時間序列

第三章研究方法設計

第二節實證方式

二時間序列

在建立模型討論之前，必須先對資料是否為定態性質加以處理。本研究擬先使用單根檢定 (unit root test)判斷資料是否為定態(stationary)數列，若為定態數列(即不存在單根)，

則須以 VAR 模型(vector autoregression model)進行實證分析，之後利用 Granger 因果關係檢定即可觀察出兩數列間領先-落後關係，最後在進行衝擊反應分析與變異數分解。

若為非定態數列(存在單根)，則須先對數列進行差分，直到數列為定態為止。若兩數列的整合階次相同，則進行 Johansen 共整合檢定，若兩數列存在共整合關係，則可利用向量誤差修正模型(VECM)進行實證分析，進而執行衝擊反應分析與變異數分解。以下將詳盡說明:

根據時間序列廣泛的意義、特性及目的等敘述如下:

(一)時間序列意義:按資料在時間發生的先後順序所觀察之一連串實現值的集合，如:

 y

₁,

y

₂

y



其中，

y 可稱為在

t

_{時之實現值，且}

^t ^ ¹ ^, ² ^, ³ ^,.... ⁿ

一般時間序列呈現隨機(random)的性質，對於該序列的未來結果若無法確定的情形下，將以隨機機率分配方式來表示之。而透過時間序列模型，能夠藉由過去與現在的時間序列，

建立時間序列模式做預測分析，並將其繪成圖形做為觀察，得出實證之結果，以利後續研究。

(二)單根檢定（Unit-Root Test）

一般而言可以將變數之時間序列區分為定態（stationary）以及非定態（nonstationary）

1. Dickey-Fuller test（DF 檢定法）

Dickey and Fuller 於1979 年提出「DF 檢定法」來檢驗變數是否為定態，可

2. Augmented Dickey-Fuller test（ADF 檢定法）

Said and Dickey於1984 年進一步發展出「ADF 檢定法」以改善DF 檢定法沒有考慮殘差項可能發生自我相關的問題，即是在檢定模型中加入解釋變數經差分後之落後期，

以修正殘差項自我相關的問題，用AR(p)模式進行單根檢定，其檢定模式如下：

(1)無截距項及時間趨勢項：

(2)有截距項但無時間趨勢項：

(3)有截距項及時間趨勢項：

目的在於選擇適合的p 值，使得殘差項服從高斯白噪音

過程 (Gaussian white noise process)。其虛無假設（ H0）與對立假設（ H1）分別為：

H0:β= 0 H1:β≠0

若檢定結果皆拒絕虛無假設，則表示原始數列Y^t

不存在單根，亦即數列為一定態數

列；反之，則表示數列存在單根，須將原始數列進一步做差分處理後，再以差分後之型態進行單根檢定。

(三)共整合檢定(Cointegration Test）

大體來說，多數的總體經濟變數在原始值時多為非定態，亦即這些變數的基本統計特質會隨時間而變，因此，傳統的做法為將其運用迴歸分析前，先將變數作一階差分處理，然而，若時間序列之間具有共整合的關係，則經過差分的迴歸式或向量自我迴歸

（VAR）模式所估計的係數值將是偏誤的（biased）且不具一

致性（ inconsistency）。Engle andGranger (1987) 指出，即使個別經濟變數是依循隨機漫步（random walker），但假若變數間存在共整合係數（cointegration），則這些變數的線性組合在長期內必藉短期的動態調整，而恢復至長期均衡。因此，鑑於對序列取差分後將對資料造成扭曲，較適合用來探討模型中的變數是否具有長期均衡關係

的方法則應採用共整合概念。

1.Johansen 最大概似共積檢定

Johansen (1988,1991) 以未受限制及含有Gaussian誤差假設的VAR模型作為出發點，利用所對應的誤差修正式做為最大概似估計法的基礎，優點在於共積向

量的個數，以及經濟理論對變數關係的限制均可直接估計。Johansen 發展出兩種概似比檢定（likelihood ratio test, LR test）統計量以確認共整合向量的個數。其一為跡檢定 (trace test)，另一為最大特性根檢定(maximallambda test, L-max)，若檢定結果有顯著的特性向量，即表示相關變數之間具有長期穩定的均衡關係。茲將Johansen 最大概似估計法之理論及檢定內容說明如下：

假設Yt為kx 1的I(1)向量數列，則其落後p 期的VAR可表示為：

其中，

0 rank

 p 

r n，可分為以下三種情形：

(1)若rank(p)=0，表示所有的變數皆為非定態，? 為一空矩陣， Yt之間不具任何共整合關係，故變數間無長期均衡關係。

(2)若rank(p)=p，即為全秩（full rank）矩陣，表示向量中所有變數皆為定態，則 Yt為穩定的數列。

(3)若0<rank(p)=r<p，則是在Yt中存在r個共積向量，此時可將分解成P =ab'，其中a 與ß 皆為 ( n ´ r ) 短陣，a 為誤差修正項係數，用來衡量誤差修正項回饋調整速度的大小；ß 的r 個行向量則為共積向量。

檢定該向量有多少個非零的特徵根，Johansen 則提出跡檢定(tracetest)與最大特性根檢定(maximal lambda test, L-max)二種方法作為檢定工具：

在跡檢定中，虛無假設與對立假設的設定如下：

H0：最多有r個共積向量（rank r），

H1：至少有r+1個共積向量（rank r）。

最大概似比（maximum likelihood ration）的統計量為：

最大特性根檢定(maximal lambda test, L-max)則是設定虛無假設與對立假設如

H0：有r個共積向量，

H1：有r+1個共積向量。

最大概似比的統計量為：

經由二種統計量，可以決定r的個數，進而得知變數之間是否具有共整合關係。

(四)誤差修正模型（Error-correction-model, ECM）

誤差修正模型係指在某一期的某些變數脫離長期均衡而處於失衡的狀態時，可透過誤差修正項 (error correction term) 所包含的長期訊息，使數列不會脫離長期均衡太遠，

具有調整的概念。其意義為數列的變動不僅受自身與其他數列落後項的影響，同時亦受到前一期失衡的影響。該模型由Sargan 於1960 年首先應用，其觀念是藉由前期的共積關係失衡的部分，修正短期動態調整現象，以解釋數列間的短期變動關係與由短期不均衡狀態調整至長期均衡的過程。簡言之，當現在（即短期）某產品在市場上的價格高於長期均衡價格，則在市場機制的調節下，短期價格應「向下修正」；反之，

則「向上修正」。而當短期價格偏離長期均衡價格愈遠，其修正幅度會愈大。

共積迴歸式是以靜態迴歸來估計長期關係，著重於長期均衡關係，並未考慮短期動態關係，因此，若結合代表短期動態的變數落後項，則能同時結合長期均衡關係與短期調整過程。ECM是依據Engle and Granger於1987 年提出的Granger

representation theory，其證明若變數間相互整合，則變數的隨機過程將服從以一

致性原則所估計出來的誤差修正模型，且當^{t t}

X ,Y 為非定態數列，且能以一共積

向量ß 進行共整，則可表示成誤差修正模型：

其中， Zt 1即為誤差修正項，即當前期的殘差項偏離長期均衡值時，可以在本期中做修正調整；誤差修正係數b 可用以衡量前期殘差項偏離均衡值部分於本期反應在Xt 的能力，在b 值很小或在統計檢定上不顯著，則因變數Xt將無法由偏離長期均衡中修正過來。此計量模型的涵義為Xt 數列的變動可由上期之誤差修正項、數列Yt目前的與落差的變化以及Xt 本身過去的變化來解釋。

(五)向量自我迴歸模型

在時間序列資料的處理上，Sims(1980)將所有變數皆視為內生變數，避免在認定內生變數以及外生變數產生質疑，他建立VAR 模型(vectorautoregression model)來觀察變數間的影響關係。VAR 模型是由多個變數與多條迴歸式所組成，是以向量形式所表示的模型，要說明VAR 模型基本架構可以先從簡單的二個變數來看，首先假設動態模型如下：

在假設 εxt 與 εyt 符合白噪音性質的情況下，我們將當期項放置於同一邊，並以矩陣型式表示上式：

再將上式以向量形式簡化，我們可以整理成：

接著我們以Γ的反矩陣Γ−1左右同乘後，再以縮減方式簡化模型可以得到：

最後再將(3.2.4)式以向量型式簡化模型可以得到(3.2.5)式：

由於VAR 主要是觀察預測某一變數會如何影響模型中的全部變數，在實證上我們通常利用衝擊反應函數與預測誤差變異分解來看所影響的程度大小，接下來我們將兩者分別介紹如下。

(六)衝擊反應函數

在VAR 模型裡要觀察衝擊反應函數(impulse response function)必須要先利用 AIC(Akaike information criterion) 或SBC(SchwartzBayesian information criterion)值來選定資料的落後期數，待期數選定後觀察模型內誤差項對所有變數的影響，我們用二變數VAR 模型來說明衝擊反應函數，首先擴展至n 期：

此時要注意的是，為了防止誤差項具有當期相關，無法明確看出對變數的衝擊效果，

我們一般利用Choleski 分解(Choleski factorization)將誤差項作正交化處理。接著將放入落遲運算元並擴展至無限期，以向量移動平均表示如下：

其中i Ψ 代表著每期變數的方程式其落後一期對當期變數的衝擊矩陣，其中包含當

期的落後項交互對當期的影響，我們以i 為一的矩陣式為例：

最後從矩陣式我們可以看出四組衝擊反應函數，每一當期皆被落後一期衝擊影響。在本研究中衝擊效果的大小使用統計軟體計算並以圖形來顯示。

(七)預測誤差變異分解

所謂預測誤差變異分解(variance decomposition)指的是，藉由觀察某些變數的誤差變異對其他變數的預測變異解釋力，來判斷變數之間的關係大小。我們在Υ = Φ + Φ Υ +

υ

式的基礎上建立到n 期的方程式：

接著逐項加總並以預測期望誤差型式寫成

我們假設ε^xt 與ε^yt 的變異數分別為

σ

²^xt 與σ²^yt ，以及假設υ^t的變異數向量為p²t，所以根據前式我們可以得到向前n 期預測誤差變異數為：

由上式可以知道

σ

²^xt 與σ²^yt為預測誤差變異分解裡的影響要素，我們假設R(i,n, j)代表第j變數影響第i變數前n 期預測誤差變異的部分，所以預測誤差解釋變異比例可以表示成：

以變數x 為例，

σ

²^xt 與σ²^yt對x前n期的預測誤差變異的影響就可以分別表示成：

利用上述的結果，可以在比較變數間相互影響的大小時，來判定變數之間是否具有關係，換言之，只要A 變數非預期的變動所產生的變異相對於其他變數對B 變數預測變異解釋比例較高，我們就可以稱A 變數相對於其他變數對B 變數關係較強。

(八)Granger 因果關係檢定

Granger 認為在傳統VAR 模型中，如果所使用的序列資料具有一階整合的特性，而且其間若具有共整合的關係時，有關變數間的因果關係推論將可能會有判斷錯誤的機會，

因此他提出了Granger 因果關係檢定(Granger causality test)。此理論簡單的來說，

在文檔中預售屋價格發現功能之研究 (頁 23-34)

第三章 研究方法設計

第二節 實證方式

二 時間序列

 y

y

y

