暫態響應分析

3.1 馬達結構設計

3.3.5 暫態響應分析

本節針對馬達定子楔形體的行進波進行暫態響應分析，考慮當電壓隨時間改變，壓電致動器藉由兩相位差90 度的弦波電壓輸入 A 相與 B 相電極後，激振整體定子結構，

觀察啟動瞬間與抵達穩態的位移變化量。

本文採用直接積分隱式法中的Newmark 法，邊界條件考慮電壓為 400Vp-p，以交流電的型態施加於定子的8 個分佈電極，再根據模態分析所得到的 F(1, 4)自然頻率f r = 36.950 kHz 作為施加交流電壓的驅動頻率，如圖 3.20(a)所示為 A 相驅動交流電壓。根據 Bathe[90]指出，想要求得準確的暫態解，時間增量(time step)△t 須滿足△t/T < 0.01，

其中T 為驅動周期。所以考慮將驅動週期分成十六等份的負荷增量，時間增量則細分 10 段，而定子上各點的初始位移與速度均假設為零。

此外，施加Rayleigh阻尼於整體結構，根據第二章推導的運動方程式(2.34)式，阻尼矩陣C=αM+βK，分別代表結構阻尼以及庫倫摩擦阻尼，假設整個結構阻尼比不隨振動頻率改變，阻尼係數ζ =0.2%，以F(1, 4)之自然頻率與其下一個自然頻率來決定比例阻尼(proportional damping)之α 與β 值，根據公式

α +βω_i² =2ω_iζ_i (3.4) 可求得α = 485 rad/s，β = 4.1×10^-8 s/rad。

根據上述條件模擬馬達定子的暫態響應，以楔形的尖端下方1.26 mm 之節點當作代表，徑向的位移變化量如圖3.20(b)所示，徑向位移以線性遞增直到第 37 周期(約 1.03 ms) 有最大值，隨後以不穩定的狀態增加與減少，最後在8.887 ms，也就是 320 周期以後，

輸出振幅的變化在穩態平均值的1 %之內，此時楔形定子的波動位移達到穩態。接著，

考慮在600 周期，時間 16.663 ms，將驅動電壓設定為零，馬達定子振動位移立即以指數方式衰減，約莫在時間27.772 ms 時，馬達定子達到了靜止狀態，說明了超音波馬達在關掉電源後的11.11 ms 內(約 400 個周期)即沒有任何波動能量在楔形體尖端上傳遞。

圖3.20(c)所示為從模態感測器擷取到的行進波反應電壓訊號，可看出 ON 狀態時段為0 ~ 8.837 ms、穩態時段 8.837 ms ~ 16.677 ms 以及 OFF 狀態時段為 16.677 ms ~ 27.787

ms，大致上與徑向位移曲線一致。ANSYS 模擬雙相驅動訊號與模態感測器在穩態時段之響應訊號如圖3.21 所示。此三個時段訊號分別取快速傅利葉轉換(fast fourier

transform，FFT)可獲得三個時段的頻譜曲線如圖 3.22 所示。從圖中可看出在 ON 狀態時段仍然有其他兩個模態(包括第一縱向模態 L(1, 0)與第二縱向模態 L(1, 0))會被激振出現，在穩態時段則僅有驅動模態F(1, 4)被激振出來，而在 OFF 狀態時段不但振幅降低、

能量減少還有許多附近的模態皆出現了，這代表在沒有驅動電壓之後，會回歸馬達定子的本質特性(intrinsic property)，意即所有模態都會被激振出現。

3.4 討論

本文應用雙維有限元素法分析壓電圓管楔形撓性波的頻散曲線及共振模態，該方法適合分析圓管狀馬達定子楔形尖端的行進波及駐波。有效運用模態隔離的概念設計馬達的結構尺寸，數值結果顯示第二段基座高度hb = 12.5 mm 時，周向模態 F(1 ,4)與鄰近模態的共振頻率間隔達3.7 kHz 以上。若基座高度越矮，楔形撓性波受到底部的拘束條件限制，位移量易降低，故本文以第二段基座高度為12.5 mm 的超音波馬達製作原型機，

進行各項性能試驗。

本文也應用ANSYS 套裝軟體對於軸對稱電極佈置的馬達定子進行模態分析、時諧分析、暫態分析與接觸分析。模態隔離的效果可以從模態分析結果充分的顯示出來。時諧分析模擬結果顯示，軸對稱分佈電極生成的行進波沿馬達定子的楔形尖端傳遞，其相速度與位移振幅均勻分佈，幾乎為一個定值，表示軸對稱分佈電極產生的行進波穩定。

若以不同的周向模態驅動超音波馬達，周向匝數n 越小，位移振幅越大，但是在不同周 向位置的行進波位移振幅跳動。暫態響應模擬區分為三個時段：ON 暫態、穩態與 OFF 暫態，三個時段各代表三個不同的等效電路，可同時觀察楔形尖端的位移變化與模態感測器的反應暫態電壓訊號，後者又可以經FFT 轉換觀察三個時段的頻譜。證明數值模擬結果與理論分析的結果是一致的。

雙維有限元素分析法可以分析導波相速度、自然頻率與空間頻率k 之間的關係，

計算頻散曲線與自然模態，也可以清楚的說明軸向模態數m 與周向模態數 n 之間的關 係。其中周向模態數n 為整數時代表駐波，n 非整數時則代表行進波，不論 n 為整數或 非整數皆可以用雙維有限元素分析法計算自然模態，ANSYS 則僅能模擬n 為整數的模 態，但是雙維有限元素分析法無法加入阻尼(damping)效應，ANSYS 卻可以，兩者恰好可以互補。

ANSYS 模態分析可將各個模態與共振頻率顯示出來，更可以用模擬動畫來判斷是屬於縱向模態、扭曲模態或者撓性模態的那一種。通常撓性模態會成對出現，意即在相同共振頻率會有兩個模態且相差四分之一波長，縱向模態與扭曲模態則僅出現一個模態。ANSYS 時諧分析可以模擬馬達定子的阻抗曲線，也可用雙相合成的方式計算楔形尖端的質點位移橢圓形軌跡以及接觸點行進波的速度與方向。

ANSYS 暫態分析則可以模擬歷時曲線圖，我們區分成三個時段來模擬：ON 暫態時段、穩態時段以及OFF 暫態時段。一方面量得楔形尖端的質點位移暫態響應，另一方面從模態感測器取得行進波的反應電壓訊號，再依三個時段分別取快速傅利葉轉換 FFT 可獲得頻譜圖。在 OFF 暫態時段，由於沒有任何外加電場的驅動運作，馬達會緩慢的回歸原生本質的特性，所以每個模態都有可能會出現。如圖3.23 所示為馬達定子在 20 kHz ~ 60 kHz 的原生本質頻譜特性曲線，各個相對的共振模態列於表 3.6 所示。

因為馬達在運轉時段的特性是最重要的課題，所以必須針對ON 暫態時段與穩態時段的特性加以分析。其中穩態時段的頻率響應只有驅動頻率一個模態出現，這是最佳的馬達性能驅動情況。但是在ON 暫態時段，除了驅動頻率的模態出現以外，尚有兩個明顯的其他模態出現，一個是第一縱向模態L(1, 0)另外一個是第二縱向模態 L(2, 0)，雖然其相對共振頻率與驅動模態的頻率差距分別為6 kHz 與 12 kHz，並未影響驅動模態。

但是在馬達啟動瞬間會造成很大的干擾，我們從變形響應動畫可以很清楚看到啟動瞬間 4 個周期內，第一縱向模態與第二縱向模態主導整個馬達的運作，直到第 4 週期之後才由驅動模態主導，因此如何進行模態壓抑(modal suppression)讓其他不期望的模態影響力降低是接下來的重要議題。

在超音波馬達的設計階段，設計者通常以頻率響應曲線FRF 來判斷那一個共振頻

率相對於那一個模態，有時候結構的微調將造成某一特定模態相對共振頻率的極大改變，甚至於出現兩個模態交錯的現象，以致於無法區分鄰近的共振頻率屬於那一個模態。本文使用二維曲線(圖 3.10)以及圖 3.16 所示的頻散曲線分析圖，可以很清楚的區別各個共振頻率與模態，此點比一維的頻率響應曲線FRF(frequency response function)要強。我們可以依此很容易的尋找期望的模態與共振頻率，並且也可觀察結構在適度修改之後的影響，這是本文能夠增進馬達效能的重大發現。

當馬達定子基座第二段高度hb增加時，不論是縱向模態、扭曲模態或者撓性模態，

其共振頻率皆隨之大幅度的降低。然而軸向模態數m = 1 的撓性模態卻僅有微幅降低，

這可以證明當m = 1 時基本的撓性模態其能量集中於楔形尖端，當 m = 2 或更高時其他模態的能量反而很容易會往下方發散。往下方發散的能量很容易會以熱能的方式表現出來而使得壓電圓管破裂或毀損，這是本研究選擇基本撓性模態F(1, 4)來驅動圓柱楔形超音波馬達的最重要考慮因素。

表3.1 不鏽鋼(stainless steel)材料參數密度

ρ ( g cm

)

^楊氏係數^E

^(GPa ⁾

^蒲松比

υ

7.82 201.25 0.29

表3.2 海軍黃銅(Navel brass) 材料參數密度

ρ ( g cm

)

^楊氏係數^E

^(GPa ⁾

^蒲松比

υ

8.47 105.46 0.34

表3.3 壓電圓管 PZT-4 材料參數彈性係數(GPa)

C

₁₂

C

₁₃

C

₃₃

C

₄₄

139 77.8 74.3 115 25.6 壓電係數(Coulomb/m²) 介電係數

e

₃₁

e

₃₃

ε

₁₁

/ ε

₀

ε

₃₃

/ ε

₀

12.7 -5.6 15.1 730 635

※

ε

₀

= 8 . 854 × 10

⁻¹²farads/m

表3.4 Bi-d FEM 分析hb=12.5mm 各個模態共振頻率比較表(小括號內為hb=0) Resonant frequency (kHz)

n m = 1 m = 2 m = 3

表3.5 ANSYS 分析hb=12.5mm 各個模態共振頻率比較表(小括號內為hb=0) Resonant frequency (kHz)

n m = 1 m = 2 m = 3

表3.6 圓柱楔形超音波馬達定子原生振動模態(0 Hz ~ 60 kHz) 模態

順序

模態振形自然頻率 (kHz)

立體圖側視圖俯視圖

1 F(1, 2) 9.859

2 F(1, 1) 11.063

3 T1 19.411

4 F(1, 3) 21.679

5 F(2, 2) 23.815

6 F(2, 3) 29.207

7 L1 30.263

8 F(2, 1) 31.544

9 F(1, 4) 36.617

10 F(3, 2) 41.358

11 F(3, 1) 41.792

12 F(2, 4) 43.726

13 F(3, 3) 45.127

14 L2 47.671

15 F(1, 5) 49.667

16 F(4, 1) 50.563

17 T2 52.977

18 F(4, 2) 55.069

19 F(3, 4) 58.811

20 L3 59.988

z F(m, n)代表撓性波模態，m 為軸向模態數，n 為周向模態數，T 代表扭曲模態，L 代表縱向模態。

(a) 線性楔形聲波導

(b) 圓柱楔形聲波導

圖3.1 楔形聲波導示意圖 x

o 波傳方向

波傳方向

r θ

z

圖3.2 圓柱楔形 3D 結構

圖3.3 楔形體尖端截角寬度照片(ZEISS Axioskop 40 光學顯微鏡放大200 倍)

(a) 剖面與頂端放大圖

(b) Bi-d FEM 網格圖

圖3.4 馬達定子剖面及網格圖

圖3.5 圓柱楔形馬達定子及轉子的結構 3D 示意圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spatial frequency k (1/mm) 0

2 4 6

Phase velocity c (mm/μs)

m=5

Spatial frequency k (1/mm)

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n=4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n=8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n=12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n=16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n=20

圖3.7 周向匣數 n 變化(固定 m = 1)楔形體斜邊的位移曲線

0 0.4 0.8

m=1

0 0.4 0.8

m=2

0 0.4 0.8

m=3

0 0.4 0.8

m=4

0 0.4 0.8

m=5

圖3.8 模態數 m 變化(固定 n = 4)楔形體斜邊的位移曲線

(a) hb = 0 之馬達定子 (b) hb = 12.5 mm 之馬達定子

圖3.9 超音波馬達定子 3D 結構圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spatial frequency k (1/mm)

0 ANSYS (h

=12.5mm)

Bi-d FEM (h

=12.5mm)

圖3.11 修正後之馬達定子剖面圖

圖3.12 修正後之馬達定子 Bi-d FEM 網格圖

圖3.13 hb = 0 之 ANSYS F(1, 4)模態圖

圖3.14 修正後hb = 12.5 mm 之馬達定子 F(1, 4)模態圖

0 4 8 12 16 20

Upper segment base height h

(mm) 20

40 60

Resonant Frequency (kHz)

F(1, 4) mode The other modes

F(1, 5) F(3, 3)

F(3, 2) F(2, 4)

F(3, 1) F(2, 1)

F(1, 4) L1

F(2, 3) F(2, 2)

F(1, 3)

圖3.16 底座高度hb與各個模態的分佈圖(ANSYS 模擬)

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

U

_θ

magnitude (μm) 8

4 0

h0 (mm)

-5.84 -5.8 -5.76 -5.72 -5.68 U

_θ

phase (deg)

magnitude phase

contact points #1

#2

#3

#4

#5

#6

圖3.17 楔形體斜邊之周向位移 Uθ曲線 ho

100

-100 0 100

Circumferential angle (deg) 0

0.4 0.8 1.2 1.6 2

Uθ (μm)

-300 -200 -100 0 100 200

Phase (deg)

U_θ (μm) Phase (deg)

#4 #3

圖3.18 楔形體內側斜邊的周向位移振幅與相位分佈。

101

圖3.19 楔形馬達定子剖面圖，預力 0.98 N 定子與轉子 6 個接觸點對應之馬達最大轉矩與最快轉速

#5: 12.093 mN-m 152.881 rpm

#6: 15.736 mN-m 150.029 rpm

#4: 9.190 mN-m 156.607 rpm

#3: 7.179 mN-m 172.861 rpm

#2: 6.199 mN-m 189.223 rpm

2.52 3.78

5.66 6.92

8.18

2.5 Unit: mm

#1: 5.550 mN-m 225.147 rpm

1.26 = h

₀

102

0 10 20

Time (ms) -200

-100 0 100 200

Amplitude (V)

(a) 相 A 的驅動交流信號

0 10 20

Time (msec) -2

0 2

Displacement Ur (μm)

(b) 在#1 接觸點之徑向位移Ur

0 10 20

Time (msec) -40

0 40

Amplitude (V)

ON state Steady State OFF state

圖3.20 ANSYS 模擬的暫態響應

103

0 20 40 60 80 100

Time (μs) -200

0 200 400

Amplitude (V)

Phase A Phase B

Modal Sensors

圖3.21 ANSYS 模擬雙相驅動訊號與模態感測器在穩態響應時之訊號

20 30 40 50 60

Frequency (kHz) -80

-60 -40 -20

Amplitude (dB)

ON state Steady state OFF state F(1,4)

L(1,0)

L(2,0)

圖3.22 圖 3.20(c)之暫態訊號頻譜

104

0 20 40 60

Frequency (kHz) -16

-12 -8 -4 0 4

Magnitude (dB)

1-4 1-2

1-1

T1 1-3

2-2

2-3 2-1 L1

3-2 3-1

2-4 1-5

L24-1

T24-2

圖3.23 圓柱楔形超音波馬達定子原生本質特性頻譜 (其中 2-3 代表 F(m=2, n=3)撓性模態，L2 代表第二縱向模態，T2 代表

第二扭曲模態)

105

四、實驗與量測結果

在文檔中圓柱楔形超音波馬達之研發 (頁 103-131)

3.1 馬達結構設計

3.3.5 暫態響應分析

ρ ( g cm

)

(GPa )

υ

ρ ( g cm

)

(GPa )

υ

C

C

C

C

C

e

e

e

ε

/ ε

ε

/ ε

ε

= 8 . 854 × 10

o 波傳方向

波傳方向

r θ

z

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spatial frequency k (1/mm) 0

2 4 6

m=5

Spatial frequency k (1/mm)

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Spatial frequency k (1/mm)

0

ANSYS (h

=12.5mm)

Bi-d FEM (h

=12.5mm)

0 4 8 12 16 20

Upper segment base height h

(mm) 20

40 60

F(1, 4) mode The other modes

F(1, 5) F(3, 3)

F(3, 2) F(2, 4)

F(3, 1) F(2, 1)

F(2, 3) F(2, 2)

F(1, 3)

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

U

magnitude (μm) 8

4 0

-5.84 -5.8 -5.76 -5.72 -5.68 U

phase (deg)

magnitude phase

contact points #1

#2

#3

#4

#5

#6

#5: 12.093 mN-m 152.881 rpm

#6: 15.736 mN-m 150.029 rpm

#4: 9.190 mN-m 156.607 rpm

#3: 7.179 mN-m 172.861 rpm

#2: 6.199 mN-m 189.223 rpm

2.52 3.78

5.66 6.92

8.18

2.5

Unit: mm

#1: 5.550 mN-m 225.147 rpm

1.26 = h

0 20 40 60 80 100

Time (μs) -200

0 200 400

^(GPa ⁾

^(GPa ⁾