{ }
∫ + + +
= A S Er e Sr e S Sz dA
Qr ε33 33 31 θ (4.71)
其中e33與e31 為材料之壓電常數，ε33S 為介電常數，Qr 與 Er 為被應用在徑向方向的電 量與電場。表面積A 涵蓋被塗佈在壓電圓管上的所有模態感測器電極面積，Sθ與Sz 代 表周向與軸向量測之正向應變。
2.9 討論
本研究首先以雙維有限元素分析法推導包含壓電特性的圓柱楔形體撓性波之頻散 方程式數值解，以選擇適合使用的模態振型，亦即軸向模態數m 與周向模態數 n 之模態。
然後推導壓電共振器的暫態響應方程式與三個時段的等效電路，最後再以PSpice 套裝軟 體模擬此等效電路的暫態響應。
直線形與圓柱形楔形體的導波頻散方程式仍然沒有解析解，目前只有經驗公式、幾 何近似解與數值解被推導出來，而且均不含壓電特性。本文利用原先的數值解推導方 式，擴展成包含壓電材料特性的頻散方程式，讓圓柱楔形體的導波頻散方程式數值解更 加完整，尤其是在圓柱楔形超音波馬達的分析上。但是最好仍然是嘗試推導圓柱楔形體 的運動方程式解析解，可以徹底定義運動方程式。
依據(2.50)與(2.51)二式的條件可知，雙相電極配置之 A 相至 B 相固定距離為波長
61
整數倍再加四分之一波長，再改變相A 比相 B 領前或落後四分之一週期即可控制行進 波的波傳方向。圓柱楔形超音波馬達的等效電路模型是以HP4195A 阻抗分析儀量得，
等效電路參數皆以單相驅動測試取得，然後我們再以PSpice 套裝軟體來模擬。PSpice 只能模擬雙相驅動電源的相位差90 度，卻無法模擬 A 相至 B 相電極固定距離為波長整 數倍再加四分之一波長的效果，只能以單相驅動的方式模擬等效電阻反應電壓vR3(t)的 暫態響應。
62
表2.1 HP4195A 量得之等效電路參數 Mode
(m, n)
Resonant frequency fr (kHz)
Rm (Ω) Lm (mH) Cm (pF) Cb (nF)
F(2, 3) 28.293 467.152 204.114 160.102 133.449 L(1, 0) 32.379 556.962 47.8249 492.612 137.093 F(1, 4) 36.057 121.076 10.0192 1951.93 132.516 L(2, 0) 48.559 156.478 3.62083 2832.40 129.325
63
(a) 正壓電效應之輸出電場方向
+
_
P
P
T T
+ _
(b) 逆壓電效應造成應變的方向
圖2.1 壓電效應示意圖
64
65
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Position (a)
(b)
(c)
圖2.4 雙相驅動之單方向合成波示意圖
66
(a) 最簡模型
(b) ON 暫態模型
Cb Cm
Lm
Rm
+
−
) (t im
) (t vd
Cb Cm
Lm
Rm
67
(c) 共振時穩態模型
(d) OFF 暫態模型
圖2.5 壓電共振器的等效電路模型
Vb Cm
Lm
Rm
) (t im
+
−
Cb Rm
+
−
) (t im )
(t vd
68
69
0 10 20
Time (ms) -200
-100 0 100 200
Amplitude (V)
(a)驅動信號
0 10 20
Time (ms) -40
-20 0 20 40
Amplitude (V)
(b) 第三分支輸出響應 vR3(t)
圖2.8 PSpice 模擬結果
70
(本頁空白)
71
三、數值模擬分析與結果
超音波馬達發展至今已有50 多年歷史，各式各樣不同形態的超音波馬達約有上百 種，依照所推動的物體運動形態區分大致可分為直線式(linear type)與旋轉式(rotary type) 兩大類，本文研發之馬達為圓柱楔形超音波旋轉式馬達。
3.1 超音波馬達結構設計
楔形體亦可區分為直線形(straight)與圓柱形(circular)兩種楔形體，如圖 3.1(a)與(b) 所示。本文之楔形體為圓柱形的楔形體，楔形角度(wedge angle)為 15 度。為了配合購買 的壓電材料壓電圓管(PZT tube)之尺寸與實驗方便，圓柱楔形體外半徑固定為 12.95 mm，底部固定為 2.5 mm 寬，如圖 3.2 所示為圓柱楔形結構。使用材料為不繡鋼(stainless steel)，直接車削加工製作楔形角為 15 度的圓柱楔形體。因為加工精度的限制，楔形體 尖端(tip)皆有一截角寬度(truncation)存在，所以在第四章圓柱楔形體加工完成之後以光 學顯微鏡量測其截角寬度如圖3.3 所示照片，量得截角寬度平均大約為 40 μm，以此作 為雙維有限元素分析(bi-d FEM)與 3D ANSYS 分析之依據。
本文原先設計的圓柱楔形馬達定子的剖面形狀及Bi-d FEM 網格(mesh)如圖 3.4(a) 與(b)所示，考慮楔角 θw為
15 °
的楔形體，斷面長寬比W/H = tan(θw)且半徑 R=12.95mm 之圓柱楔形體，材料為不鏽鋼金屬(stainless steel)，材料參數如表 3.1 所示。原先設計的圓柱楔形超音波旋轉馬達之結構如圖3.5 所示。不鏽鋼楔形體緊密黏貼 在PZT-4 壓電圓管( Eleceram Inc., Taiwan)上面，壓電圓管又緊密黏貼在不鏽鋼基座(base) 上，海軍黃銅(Navy brass)製的轉子以預力彈簧加壓與楔形體斜面緊密接觸，轉子材料參 數參考值如表3.2 所示。PZT-4 壓電圓管之極化(poling)方向為徑向(radial direction)且內 側管壁已經均勻塗佈電極，為了產生4 波長的行進波以推動轉子，兩組梳狀電極 A、B 相與一組模態感測器(modal sensor)被以網版印刷(screen print)方式塗佈於壓電圓管之外 側管壁上。PZT-4 壓電材料參數參考值如表 3.3 所示。
72
3.2 雙維有限元素分析
本文以雙維有限元素法分析導波(guided wave)的波動行為，以分離變數法(variable separation method)將時諧波傳因子與截面振動分離，並由斷面的共振模態分析來描述導 波波傳及運動。雙維有限元素分析法可將三維的立體結構振動問題降低為二維的平面模 型來模擬，不但可大量減少元素數目以節省計算時間，運算速度變快且其模擬結果又包 含有三維的模擬資料，因此適合擴大頻率分析的範圍至高頻。
3.2.1 模態分析(modal analysis)
在尋找頻散方程式之特徵值的計算中，先固定波數k(wave number = n/R，R 為外 徑，n 為周向匣數)，以二分逼近法(half interval method)搜尋符合頻散方程式容許誤差的 導波相速度(phase velocity)c，然後描繪出以波數 k 為橫座標、相速度 c 或自然頻率 f (natural frequency)為縱座標的頻散曲線。自然模態(natural modes)的計算則是依據頻散曲 線的走向，固定波數值，依序找出不同相速度所對應的自然模態位移，此計算程式以 FORTRAN 語言撰寫。
Lagasse[75]於 1973 年歸納出經驗公式，理想楔形體導波波傳速度可近似為 )
Rsin(
V )
V(θ = mθ ， mθ ≤ 90° (3.1) 其中
V
R為芮利波(Rayleigh wave)波速，m 為軸向模態數(axial mode number)，m = 1,2,…之正整數)。
Krylov[82]於 1999 年，以幾何聲學理論為基礎，推導出更簡單、更快捷的幾何近似 解，公式如下：
73
部26 個節點的自由度設為零。後來我們也嘗試增加整個截面的元素及節點數再作分析，
發現各節點的位移會隨著離開頂角的距離而呈現指數式衰減，因此必須在頂角處作更緊 密的元素網格(mesh)。圖 3.6(a)為其導波的相速度 c 相對波數 k 之頻散曲線。依據 Lagasse 經驗公式(3.1)可知，頂角 15°之楔形體在芮利波波速以下共有五個可能的模態出現，在 波數k較小時，各模態之相速度頻散曲線受到底部邊界條件的影響而急速拉高。在波數
k較大的範圍，導波受到圓柱曲率的影響可以忽略，各模態之相速度頻散曲線近乎一水 平線，與Lagasse 經驗公式比較很接近。圖 3.6(b)為其導波的共振頻率 f 相對波數 k 之頻 散曲線。
圖3.7 為在不同空間頻率 k( = n/R)之下楔形體斜邊的共振模態位移圖，隨著空間頻 率k 的增加，各頻散曲線對應的共振模態變形愈加集中於楔角頂端。圖 3.8 為在固定空 間頻率k(固定 n)的各個共振模態圖，隨著軸向模態數 m 的增加，各頻散曲線對應的共 振模態變形會有愈不集中於楔角頂端現象出現，這些現象將提供未來應用設計的選擇依 據。因此依據雙維有限元素法分析的結果，選擇軸向模態數m 越小越好，周向模態數 n 越大越好的撓性模態，使得楔形波能量會集中在楔形體尖端以推動轉子轉動，最後選擇 m = 1 與 n = 4 的撓性模態當做定子的激振模態，並且設計激振電極與模態感測器電極。
3.2.2 模態隔離設計
大多數廠商提供商用壓電產品之基本共振頻率表單已經足夠我們參考，但是針對旋 轉式楔形波馬達而言，驅動頻率附近的共振模態卻無法很清楚的被區隔開來，這一點無 法滿足我們的設計需求，更何況共振頻率的順序並非依照共振模態的出現而單調遞增。
因此，在共振頻率之間的模態隔離(modal separation)成為設計這類型馬達的關鍵議題。
基座高度hb的改變對於模態隔離有很明顯的影響，本文提出一種全新的設計理念，使用 撓性波的頻散曲線方式取代頻率響應函數來進行模態隔離。
雙維有限元素分析之結果列於表4.3，代表各個模態與其相對之自然頻率，其中括 號內之值為未修正前之資料。在未修正前，撓性模態F(1, 4)共振頻率為 36.099 kHz，而 F(2, 2)模態共振頻率為 35.742 kHz，僅有 357 Hz 的頻率差距，頻率太接近，很容易造成 兩模態之互相干擾，因此我們嘗試增加底座第二區段高度hb來隔離此兩模態，再跑一次
74
頻散曲線程式。如圖3.9(a)所示為hb = 0 的馬達定子，圖 3.9(b)所示為hb = 12.5 mm 的馬 達定子。圖3.10 所示為hb = 0 與hb = 12.5 mm 的頻散曲線比較圖，其中也包含。在hb = 12.5 mm 時，雙維有限元素分析之馬達定子截面分割成 2,050 個元素、節點數目共 2,241 點，
並假設基座底部26 個節點的自由度設為零。可很明顯看出 F(1, 4)模態(如圖中雙圈圓圈 處，代表波數k = n/R = 4/12.95 = 0.309)之共振頻率只有微幅調降，但 F(2, 2)模態之共振 頻率卻大幅調降(如圖中箭頭處)，在hb = 12.5 mm 時 F(1, 4)模態與其他模態皆有 3.7 kHz 以上的頻率差距，因此接下來比較hb = 0 與hb = 12.5 mm 之底座設計。3D ANSYS 模態 分析之各個模態與相對共振頻率也標示於圖3.10 中。
由表3.4 所列與圖 3.10 所示，當hb = 0 提高至hb = 12.5 mm 時 F(1, 4)模態共振頻率 由36.099 kHz 稍微降低至 36.008 kHz，但是 F(2, 2)模態共振頻率則由 35.742 kHz 降至 24.142 kHz，降差約 11.6 kHz，與其他 F(2, 1)模態或 F(3, 2)模態之共振頻率也有至少 3.7 kHz 以上的差異，可以很明顯的完成最佳的模態隔離，所以我們接下來選擇hb = 12.5 mm 之基座設計馬達定子。如圖3.11 所示為修正後之馬達定子剖面圖與 Bi-d FEM 網格圖，
如圖3.12 所示為修正後之馬達定子 F(1, 4)模態圖。
3.3 3D 有限元素分析
3.3.1 模態分析
本節以ANSYS 套裝軟體之模擬來與雙維有限元素分析互相驗證。修正前hb = 0 圓 柱楔形馬達定子3D ANSYS 網格分割成 60,440 個元素、節點數目共 73,200 點，並假設 基座四個螺栓固定底部1,244 個節點的自由度設為零，如圖 3.13 為 ANSYS 模態分析 (modal analysis)之後所呈現的 F(1, 4)3D 模態圖。修正後hb = 12.5 mm 圓柱楔形馬達定子 3D ANSYS 網格分割成 80,440 個元素、節點數目共 89,200 點，並假設基座四個螺栓固 定底部1,244 個節點的自由度設為零，如圖 3.14 為 ANSYS 模態分析之後所呈現的 F(1, 4)3D 模態圖。經過雙維有限元素分析與 3D ANSYS 之模態分析之後，選擇 F(1, 4)之撓 性波共振模態(resonant mode shape)其相對共振頻率為 36.617 kHz 當作激振的目標模
75 相同而相位差90°的駐波干涉組合成單方向行進波(traveling wave)，兩個梳狀電極線寬皆 為λ/4，其中 λ 代表波長(wavelength)。除了相差以外，兩組梳狀換能器之間的角度空間
76
表3.5 所示為 ANSYS 各模態共振頻率相對值，當hb = 0 提高至hb = 12.5 mm 時 F(1, 4)模態共振頻率由 36.950 kHz 稍微降低至 36.617 kHz，但是 F(2, 2)模態共振頻率則由 36.627 kHz 降至 23.815 kHz，降差約 12.8 kHz，與其他 F(2, 1)模態或 F(3, 2)模態之共振 頻率也有至少5 kHz 以上的頻率間隔差異，可以很明顯的完成最佳的模態隔離。
3.3.4 時諧分析
從結構的觀點來看，楔形體定子具有隨著軸向位置Z 單調遞增扭曲角(twist angle) 函數，代表楔形體內側斜坡之轉矩為常數，也表示接觸點越接近楔形體尖端則轉子之轉
從結構的觀點來看，楔形體定子具有隨著軸向位置Z 單調遞增扭曲角(twist angle) 函數，代表楔形體內側斜坡之轉矩為常數，也表示接觸點越接近楔形體尖端則轉子之轉