第五章 結論
5.2 改善與發展方向
5.2.4 更多動態模擬分析之驗證樣本建立
本研究動態響應分析控制器選用SSH，雖然在各種非限性有限元素分析中依然非常 穩定，但因為此種動態分析計算法帶有數值減幅性，其模擬分析結果之精確性還有討論 空間，必須要有更多的試驗驗證樣本來確定其模擬分析結果之合理性。所以除了進行衝 槌質量為8.5 kg 之試驗外，亦必須規劃不同衝槌質量的試驗進行驗證，建立更多樣本數 來確認以SSH 為動態響應控制器是否有足夠的合理性。
此外，由財團法人鞋技中心所取得之試驗結果，在衝槌穿透距離與衝槌減加速度兩 項數據上只有單一最大值之數據，但因為TPU 這類之高分子材料在彈性範圍時其應力 應變即呈現非線性之趨勢，在整個運動過程中受力產生變形的狀況乃非單純的比例關係，
所以未來在進行試驗時，應當將整體過程之數據紀錄做為列資料並製成圖表，與模擬分 析結果作更完整的比較。
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附錄 A 鞋體架構簡圖參考
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附錄 B Mooney-Rivlin 超彈體方程式推導
本研究所使用五參數項之Mooney-Rivlin 超彈體模型，在假設其為不可壓縮之條件 下，其超彈體能量密度方成式可寫為下式：
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86 C10、C01、C11、C20 與 C30 之數值後，便可決定 Mooney-Rivlin 超彈體材料模型其簡 易拉力、平面剪力與雙軸拉力之應力應變特性。
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附錄 C 液壓膨脹應力應變式推導
若液壓膨脹實驗試片半徑尺寸遠大於厚度尺寸，且在實驗過程中皆以近似球體之狀 態進行膨脹，則其受力狀態與內部受均勻施壓之中空球殼相同，應力σb可寫為：
b
0
PR
σ = 2t (C.1)
上式(C.1)中 P 為液壓膨脹壓力，R 為膨脹時近似球體之半徑尺寸，t0為原始試片厚度尺 寸。液壓膨脹實驗在實驗過程中，試片的變形狀況可分為兩個階段：第一個階段為試片 膨脹高度h 小於初始平面圓半徑 R0時，第二個階段為試片膨脹高度h 大於初始平面圓 半徑R0時，此二階段之變形示意如圖C.1 與 C.2 所示。
圖C.1 試片膨脹高度 h 小於初始平面圓半徑 R0
圖C.2 試片膨脹高度 h 大於初始平面圓半徑 R0
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將式(C.2)代回式(C.1)可將應力式重新改寫為式(C.3)：
(
2 02)
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附錄 D 夾具系統之設計規格圖
圖D.1 支架部件：電阻尺支架組件
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圖D.2 支架部件：電路板支架組件與試片座支架組件
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圖D.3 總底座部件
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圖D.4 試片座部件
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但從圖E.1(a)可看出，MSC.Marc 所附橡膠材料之應變值範圍只到 0.9，而對照本研 究採用之簡易拉力實驗數據，輸入有限元素分析材料模型之實驗數據最大應變值需達
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根據上述需求，利用MATLAB 中之多項式趨近功能與自行計算延伸曲線之預測結 束點數據，將數據比例矩陣Aoriginal之曲線前段做平順處理與延伸。將在比例矩陣Aoriginal 之曲線曲前段曲線應變值小於0.4 之部分，以二次式趨近重新取一平順之數據比例矩陣 用MATLAB 中點運算（Dot-Operators）功能，將數值矩陣 V 第二列應力值元素群與列 向量M 做點乘（Dot-Multiplication）運算，得到最後推測之數值矩陣 W，此數值矩陣 W 第一列應變值元素群與第二列應力值元素群可繪成應力應變圖上推測之材料曲線，如 圖2.22 所示，本研究此數值矩陣之應力應變值代替原有之液壓膨脹實驗數據。
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附錄 F Herrmann 特性元素
本研究在MSC.Marc 之模擬分析中，所選用的元素類型皆具有 Herrmann 特性，包 含了編號119 之軸對稱四邊形減積分元素及編號 157 之立體四面體全積分元素。
在Herrmann 元素中，較普通元素多出對壓力自由度（Pressure Degree of Freedom）
之控制，以進行近似不可壓縮或是不可壓縮之應用計算。如編號119 之軸對稱四邊形減 積分元素中除了原本四個積分點之外，再額外加入一個只具有壓力自由度之積分點，編 號157 之立體四面體全積分元素則在四個角落上之積分點各再加上一壓力自由度。
Herrmann 元素在位移方程上根據 Herrmann Variation Principle 作修正，Herrmann Variation Principle 可用下列式(F.1)敘述：
( ) ( )
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附錄 G Single-Step Houbolt 動態響應方程式推導
本研究在動態響應的模擬中，選擇使用Single-Step Houbolt 計算法（簡稱 SSH）為 動態響應控制器，SSH 係由原始之 Three-Steps Houbolt 計算法（簡稱 TSH）推導而來，
因為具有數值減幅特性（Numerical Damping），使得其在進行非線性問題分析時有相當 程度之穩定。
根據牛頓第二運動定律，在時間範圍T 內時間為 t 時，任一物體在空間中之運動特 性可用下列式表示：
[ ] M
⎡⎣u'' t ( )
⎤ ⎡⎦ ⎣+ f
int( ) t
⎤ ⎡⎦ ⎣= f t ( )
⎤⎦,0 ≤ ≤ t T
(G.1)在式(G.1)中，[M]為質量矩陣，[u’’]為加速度向量，[fint(t)]與[f(t)]為內力向量與外力向量。
其初始條件可用下列式(G.2)到式(G.4)表示，其中式(G.4)係針對非線性問題所加入之初
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附錄 H Newmark-beta 動態響應方程式與分析結果
Newmark-beta 係以擴張均值理論（Extended Mean Value Theorem）為基礎，俱有無 條件穩定性與無數值減幅性之優點，進行線性有限元素模擬之動態響應分析時通常以 Newmark-beta 為動態響應控制器之首選，其方程式如下列式所示：
[
n 1] [ ]
n[ ]
n (1 2 ) 2[
n]
2[
n+1]
2
u + = u + Δt u' + − β Δt u'' + Δβ t u'' (H.1)
[
n+1] [ ]
n 2[
n n+1]
u' = u + Δt u'' +u'' (H.2)
然而對於非線性有限元素模擬之動態響應分析而言，Newmark-beta 會產生相對的不 穩定性，如本研究之動態吸震試驗模擬若以Newmark-beta 為動態響應控制器進行計算，
則會在鞋氣墊接觸衝槌處發生不合理之發散現象，如圖H.1 所示，因此本研究在進行動 態響應分析時主要使用SSH 為動態響應控制器。
圖H.1 以 Newmark-beta 為動態響應控制器之分析結果
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