「最佳化方法」是指找出問題其「最好的解決方案」的方法。此法已 被廣泛運用在解決數學、應用科學、工程、生物科技、商業和管理等領域 的最佳化問題上，例如在工程上，考量產品尺寸選用材料組合、成本、強 度等因素；在商業和管理上，有關排班表、投資組合、人員與物流管理等，
都是最佳化的問題。另外，尤其是有些領域上的問題是沒有解析解的，或 是問題同時有太多的考量因素與條件時，都可以將這些棘手的問題轉換變 成數學模式的最佳化問題，再藉由電腦的計算和模擬，而獲得解答。本章 將簡明地敘述這個方法及最佳化演算法的基本概念。
有關求解最佳化模型的數值方法，可以沒有限制條件和有限制條件來 區分。首先考慮「沒有限制條件」：(一)單變數函數最小值搜尋，這是多變 數目標函數最小值演算法的基礎，而其方法有解析解方法求函數一次微分 為零的解；若一次微分很難求得、不存在或不連續時，應用數值迭代方式 直接求解的零次方法，如二分法的「費邦那西搜尋」(Fibonacci Search)、「黃 金分割搜尋」(Golden Section Search)和割線法(Secant Method)；或使用二次 方法的多項式近似法之「牛頓法」等。(二)多變數函數最小值搜尋，其方法 有「零次方法」的隨機搜尋法、前面提到的「費邦那西搜尋」、「黃金分割 搜尋」；或使用一次、二次之直線搜尋(Line Search)法，如「準牛頓法」
(Qusi-Netwoon Method)、「牛頓法」(Netwoon Method)。接下來則是考慮「有 限制條件」：(一)單變數函數最小值搜尋，其方法有直接搜尋法(多項式近似 法、費邦那西搜尋法與黃金分割搜尋法)；或懲罰函數(Penalty Function)法配 合循序無限制(Sequential Unconstrained)條件最小化技巧，將問題轉換為無
限制條件最佳化問題。(二)多變數函數最小值搜尋，其方法有「直接搜尋法」
的可行方向法、梯度投影法；應用「懲罰函數法配合循序無限制條件最小 化技巧」將原先的有限制條件的非線性問題，轉換成一系列的無限制條件 最佳化問題；線性規劃法(Linear Programing，LP)；或是循序線性規劃法 (Sequential Linear Programing，SLP)與循序非線性規劃法(SNLP)等。
4-1 最佳化設計
在工程設計上，整個設計的流程其實很自然的包含了迴圈形式的迭代 過程。設計者經由不斷地深入了解問題，思考解決方法、而產生了各種新 的方案，再藉由不斷的試驗評估其可行性，最後在有限的時間和資源條件 限制下，找出一個最好的解決方案，而這其實就正是最佳化設計的流程。
最佳化設計乃是尋找一組變數 x ，而x∈ ⊂X Rn，使得在受某些限制條件 下或在不受限制條件的系統模式(目標函數)F(x) 能夠達到最佳性能(目標函 數之最大值或最小值)。最佳化設計的程序，是先經由有系統的整理相關領 域知識後，再將實際問題建立成正確的最佳化數學模型，再以數值方法求 解最佳的解，數值方法概以沿著搜尋軌跡做反覆迭代來改變設計變數的值 以達到目標函數之最佳解。而最佳化設計其數學標準形式描述如下：
Minimize F(x)=F(x1,x2,...xn) (4.1) s.t. hj(x1,x2,L,xn)=0 ; j =1,2,L,p
(x x x ) k m
gk 1, 2,L, n ≤0 ; =1,2,L, n i
x x
xil ≤ i ≤ iu ; =1,2,L,
其中 n、 p 和 m 分別為設計變數、等式限制條件及不等式限制條件之數目，
x 和 il 則為設計變數之合理上、下限制容許值(Lower Bound and Upper Bound)。
xiu
而本文研究之片狀彈性支承幾何形狀設計，牽涉到相當多的變數，且 目標函數為非線性，都增加了總域極小值收斂的困難及不可靠度。因此，
文中將應用廣義拉格蘭吉乘子法(Augmented Lagrange Multiplier Method)將 原始受限制條件問題先轉變成無限制條件的問題，再配合隨機多起始點的 方法(Multi - Start Method)及貝氏分析法(Bayesian Approach)所發展的總域 極小值演算法[10]進行最佳化設計。此演算法是基於運動質點在保守力場中 能量守恆觀點，在無限制條件下的目標函數 F(x)(即位能值)，應用多起始點 搜尋最小位能，若起始點落於R* = ∪Y1 Y2 ∪Y3 ∪ 內，皆可成功搜尋到目Y4 標函數之總域最小值X*(如圖 4-1 所示）。
4-2 多起始點方法
一般最佳化方法，是採用單起始點方式來搜尋極小值，而其所獲得之 極小值亦僅是區域局小值，並無法確認是否獲得總域之極小值。而本文之 方法正是要改善此一困境，利用隨機多起此點搜尋方式，可以增加搜尋獲 得上、下限範圍內之各個區域極小值的機會。且以能量守恆的觀念來計算 出目標函數值(亦即為質點位能)，其迭代過程容許目標函數些微上升的解，
使目標函數可從區域極小值中跳脫，找到總域極小值，詳如4-3 節之區域極 小化程序所述。
在最佳化設計中取多起始點的方法，乃是針對設計變數x 的合理區間i (上、下限)內，利用隨機取樣的方式取出一系列的起始點，並且以此為開始
做搜尋軌跡方式，找出其區域極小值。而在文中取多起始點的方式，乃應
下列以三個條件來判別質點行進方向或停止搜尋：
(1) 當條件式 −∇F xT &>0 成立時：
當質點的加速度與速度分量乘積合為正時，可視為加速度與速度是同 方向，表示質點將沿著搜尋軌跡下降最快的方向移動。此時位能減少，則 動能持續增加，而目標函數值將會降低，質點行進方向以迭代法來改變，
所以 x 值經過 k 次迭代後的改變值如下：
xk+1 = xk + Δx& tk
x&k+1 = x&k − ∇F x( k+1)Δt (4.6) 其中；x0，x&0 及時間步階Δ 皆已給定。所以由上式亦可滿足近似之能量t 守恆關係：
2 2 2
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1( ) ( ) 2
k k k k k
T
k k
x F x x F x F x 2 t
x H x x
+ + + = + + ∇ +
− Δ Δ
& &
%
Δ
(4.7)
其中；H(x~) 為黑森矩陣（Hessian Matrix）。
x%= xk+1 − Δx rk (0≤ ≤r 1) (4.8) (2) 若條件式 −∇F xT &<0 成立時：
表示質點的加速度與速度是反方向，此時表示質點位能增加，則動能 減少，所以質點軌跡移動的方向應往相反方向搜尋。
(3) 臨界點的判斷：
若以 當做在此搜尋軌跡中所找到的最低位能，且目標函數滿足下 列兩個條件之一時，就得終止搜尋軌跡，並將此軌跡當做區域最小值的變 數值。其目標函數滿足的兩個條件之一如下：
Ft
F x t( ( ))− Ft >α( ( )F x0 − Ft)
4-5 廣義拉格蘭吉乘子方法
廣義拉格蘭吉乘子法(Augmented Lagrange Multiplier Method)(簡稱 A. L.
M.)[13]其主要的目的是要將原始問題中的等式及不等式的限制條件先加上 放鬆變數，再與等式限制條件，各別乘上一個拉格蘭吉乘子，加入原始的 目標函數中，如此原始具限制條件的目標函數 F(x)，將變成無限制條件的 新目標函數ψ