由於本文使用之振動板直徑為 84mm，厚度為 2mm，符合一階剪變形 理論長厚比需大於15 的條件，因此使用一階剪變形來進行分析。而求平板 之振動頻率常用的方法有兩種：瑞雷-黎次法(Rayleigh-Ritz method)以及有限 元素分析，本章將敘述一階剪變形平板理論之基本假設、應力與應變關係 以及兩種振動分析的基本理論。
2-1 一階剪變形平板理論
一階剪變形理論 FSDT ( The First Order Shear Deformation Theory )來作 為積層板分析的基礎，其基本假設如下：
1. 板的長、寬為板的厚度的 15 倍以上。
2. 板的截面變形後仍保持平面。
3. 厚度仍保持不變，即 =0。 εz 4. 板的變形量 u, v, w 很小。
其位移場的假設如下：
u =u0(x,y,t)+ zθx(x,y,t)
v=v0(x,y,t)+zθy(x,y,t) (2.1) w=w(x,y,t)
而應變場如下：
應變所產生之旋轉量(Shear Rotation)。
而中間面之曲率為
分別代表拉伸、偶合、彎曲勁度矩陣(Extensional Stiffness Matrix、Coupling Stiffness Matrix、Bending Stiffness Matrix)，將合力及合力矩寫成矩陣形式如 下:
2.2 瑞雷-黎次法(Rayleigh-Ritz method)
對於半徑為a公尺之彈性支撐圓板的情形，可模擬成如圖2-2所示，邊
界之彈性支承以橫向(Translation)及旋轉(Rotation)彈簧加以表示，此系統所 具有之最大應變能為Umax，可表示如下： 應變能。 、 代表線性剛性(translational stiffness)和旋轉剛性(rotational stiffness)。而位移函數(deflection function)W 表示為下式：
Up Ut Ur
利用Rayleigh-Ritz method將位移函數表示如下：
∑∑
( ) ( ) 式函數(polynomial function)，亦是所謂之形狀函數(shape function)。而其他 無因次化定義如下：
而shape function可整理如下：
2-3 平板之有限元素分析
θx,x =Ni,xθxi θx,y =Ni,yθxi
再由(2.26)及(2.29)式，可用下列各式表示任意元素之各項虛功： 元素勁度矩陣(Element Bending Stiffness Matrix)，Fe是元素之點負載向量 (Vector of Element Nodal Force)。
而具邊界彈性支承平板之虛功方程式以n個元素加上 p個邊界節點組
向量。接下來說明外力為零以及受外力時的振動系統。
2-4 特徵值與特徵向量
一般探討結構系統的基本模態，係假設為無阻尼狀態下的自由振動模 態，其運動方程式可寫為：
[M]{X&&}+[K]{X}=0 (2.41) 其中，[M]為質量矩陣；[K]為勁度矩陣；{X}為位移向量；而對任何線性結 構系統而言(該系統之受力與變形關係為線性)，上式中之[M]、[K]均為實數 對稱(Real Symmetric)矩陣。
求解任何線性結構系統時，通常假設在結構系統中，各不同部位之振 動為簡諧運動，且其振頻與相位均為相同，即
{X}={Φ}eiwt (2.42)
{X&&}=−ω2{X}=−λ{X} (2.43)
其中{Φ}為實向量； 為簡諧運動之角頻率；ω λ=ω2。代回式(2.41)可得：
([K]−ω2[M]){Φ}eiwt ={0} (2.44) 上式中{Φ}有非零解之條件為[K]-ω [M]2 為奇異性(Singular)，亦即為：
det|[K]−ω2[M]|=0 (2.45)
上式即為此系統之特徵方程式，ω 為系統之第r r 各自然頻率，求解上式即 可得平板之自然頻率，而相對應之{Φ 為特徵向量，寫成矩陣型式為：}r
，
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ ω
O O
0
0
2
r [Ψ =] [{Φ}1L Φ{ }rL]
2-5 受外力的振動系統
假設此系統具有比例阻尼(Proportional Damping)
[C]=α[M]+β[K] (2.46)
其中α、 將以下述之β Bandwidth Method和Rayleigh Damping 取得：
(一)Bandwidth Method
如圖2-3所示，為一振動板中心之頻率-響應圖，其中Peak response 為
某一共振頻率相對應之振幅， f 及1 f 為曲線和2 peak/ 2 之交點。利用下式 求得共振頻率之阻尼比：
2
2 1
f f1
f f ξ = −
+ (2.47) ξ為此共振頻率之阻尼比。
(二)Rayleigh Damping
由Bandwidth Method得到每一共振頻率相對應之阻尼比後，可從任二
組共振頻率響應得到系統阻尼比(如圖 2-4 所示)。利用下式可以求得系統 α-damping和 β-damping：
ξi =α(2Ωi)+β(Ωi2) (2.48) ξi：第i個模態之阻尼比
Ωi:第 i個模態之角自然頻率
α：與質量矩陣有關的阻尼比
β：與勁度矩陣有關的阻尼比
振動系統之運動方程式可寫為：