, 有

此题也可以用递推法求解。

例 16：一系列相同的电阻 R，如图 5—14 所示连接，求 AB 间 的等效电阻 RAB。

解析：无穷网络，增加或减小网络的格数，其等效电阻不变，

所以 RAB跟从 CD 往右看的电阻是相等的。因此，有 R R

R R

R R R

R _AB

AB AB

AB

2 = ( 3 + 1 )

+ +

= 解得

例 17：如图 5—15 所示，一个 U 形导体框架，宽度 L=1m，

其所在平面与水平面的夹角α

= 30

^D，其电阻可以忽 略不计，设匀强磁场为 U 形框架的平面垂直，磁感 应强度 B=1T，质量 0.2kg 的导体棒电阻 R=0.1Ω，跨

图 5—14 图 5—14

放在 U 形框上，并且能无摩擦地滑动。求：

（1）导体棒 ab 下滑的最大速度v_m；

（2）在最大速度v_m时，ab 上释放出来的电功率。

解析：导体棒做变加速下滑，当合力为零时速度最大，以后保持匀速运动

（1）棒 ab 匀速下滑时，有

R I Blv BIl

mg

sin

α

= , 而 =

解得最大速度 m s

l B

R

v_m mg

sin 0 . 1 /

2

2

⋅ =

=

α

（2）速度最大时，ab 释放的电功率P

=

mg

sin

α

⋅

v_m

= 0 . 1

^W

针对训练

1．如图 5—16 所示，原长 L₀为 100 厘米的轻质弹簧放置在一光滑 的直槽内，弹簧的一端固定在槽的 O 端，另一端连接一小球，

这一装置可以从水平位置开始绕 O 点缓缓地转到竖直位置。设 弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a）、（b）两种情 况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕 O 点 转到竖直位置时小球离开原水平面的高度 h0。（a）在转动过程 中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值 hm

为 40 厘米，（b）在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度 不断增大。

2．如图 5—17 所示，一滑雪运动员自 H 为 50 米高处滑至 O 点，由 于运动员的技巧（阻力不计），运动员在 O 点保持速率v₀不变，

并以仰角θ 起跳，落至 B 点，令 OB 为 L，试问α为 30°时，L 的最大值是多大？当 L 取极值时，θ角为多大？

3．如图 5—18 所示，质量为 M 的长滑块静止放在光滑水平面上，左 侧固定一劲度系数为 K 且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一不可 伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细线所能承受的最大拉力为 T。

使一质量为 m，初速度为v₀的小物体，在滑块上无摩擦地向左运 动，而后压缩弹簧。

（1）求出细线被拉断的条件；

（2）滑块在细线拉断后被加速的过程中，所能获得的最大的左向加速度为多大？

（3）物体最后离开滑块时相对于地面速度恰为零的条件是什么？

4．质量 m=2.0kg 的小铁块静止于水平导轨 AB 的 A 端，导轨及支架 ABCD 形状及尺寸 如图 5—19 所示，它只能绕通过支架 D 点的垂直于纸面的水平轴转动，其重心在图

图 5—16

图 5—17

图 5—18

中的 O 点，质量 M=4.0kg，现用一细线沿轨拉铁块，拉力 F=12N，铁块和导轨之间 的摩擦系数μ

= 0 . 50

，重力加速度 g=10m/s²，从铁块运动时起，导轨（及支架）能 保持静止的最长时间 t 是多少？

5．如图 5—20 所示，在水平桌面上放一质量为 M、截面为直角三角形的物体 ABC。AB 与 AC 间的夹角为θ，B 点到桌面的高度为 h。在斜面 AB 上的底部 A 处放一质量 为 m 的小物体。开始时两者皆静止。现给小物体一沿斜面 AB 方向的初速度v₀^，如 果小物体与斜面间以及 ABC 与水平桌面间的摩擦都不考虑，则v₀^{至少要大于何值} 才能使小物体经 B 点滑出？

6．如图 5—21 所示，长为 L 的光滑平台固定在地面上，平台中央放有一小物体 A 和 B，

两者彼此接触。物体 A 的上表面是半径为 R（R<<L）的半圆形轨道，轨道顶端距 台面的高度为 h 处，有一小物体 C，A、B、C 的质量均为 m。现物体 C 从静止状态 沿轨道下滑，已知在运动过程中，A、C 始终保持接触，试求：

（1）物体 A 和 B 刚分离时，物体 B 的速度；

（2）物体 A 和 B 分离后，物体 C 所能达到距台面的最大高度；

（3）判断物体 A 从平台的左边还是右边落地，并粗略估算物体 A 从 B 分离后到离开台 面所经历的时间。

7．电容器 C₁、C2和可变电阻器 R1、R2以及电源ε连 接成如图 5—22 所示的电路。当 R1的滑动触头在 图示位置时，C1、C2的电量相等。要使 C1的电量 大于 C2的电量，应 （ ） A．增大 R₂ B．减小 R₂

C．将 R₁的滑动触头向 A 端移动 D．将 R₁的滑动触头向 B 端滑动

8．如图 5—23 所示的电路中，电源的电动势恒定，要想使灯泡变亮，可以 （ ） A．增大 R₁ B．减小 R₂ C．增大 R₂ D．减小 R₂

图 5—19 图 5—20 图 5—21

图 5—22

图 5—23 图 5—24 图 5—25

9．电路如图 5—24 所示，求当 R′为何值时，R_AB的阻值与“网格”的数目无关？此时 R_AB的阻值等于什么？

10．如图 5—25 所示，A、B 两块不带电的金属板，长为 5d，相距为 d，水平放置，B 板接地，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场，现有宽度为 d 的电子束从两板左侧水 平方向入射，每个电子的质量为 m，电量为 e，速度为v，要使电子不会从两板间 射出，求两板间的磁感应强度应为多大？

11．图 5—26 中 abcd 是一个固定的 U 形金属框架， ad 和 cd 边 都很长， bc 边长为 L，框架的电阻可不计， ef 是放置在框 架上与 bc 平行的导体杆，它可在框架上自由滑动（摩擦可 忽略），它的电阻 R， 现沿垂直于框架的方向加一恒定的匀 强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于纸面向里，已知当以

恒定力 F 向右拉导体杆 ef 时，导体杆最后匀速滑动，求匀速滑动，求匀速滑动时的 速度？

12．如图 5—27 所示，导线框 abcd 固定在竖直平面内，bc 段的电 阻为 R，其他电阻均可忽略。ef 是一电阻可忽略的水平放置 的导体杆，杆长为 L，质量为 m，杆的两端分别与 ab 和 cd 保 持良好接触，又能沿它们无摩擦地滑动。整个装置放在磁感应 强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向与框面垂直。现用一恒力 F

竖直向上拉 ef，当 ef 匀速上升时，其速度的大小为多大？ 图 5—27 13．在倾角为α的足够长的两光滑平行金属导轨上，放一质量为

m，电阻为 R 的金属棒 ab，所在空间有磁感应强度为 B 的 匀强磁场，方向垂直轨道平面向上，导轨宽度为 L，如图 5—28 所示，电源电动势为ε，电源内阻和导轨电阻均不计，

电容器的电容为 C。求：

（1）当开关 S 接 1 时，棒 ab 的稳定速度是多大？

（2）当开关 S 接 2 时，达到稳定状态时，棒 ab 将做何运动？

14．如图 5—29 所示，有上下两层水平放置的平行光滑导轨，间 距是 L，上层导轨上搁置一根质量为 m、电阻是 R 的金属杆 ST，下层导轨末端紧接着两根竖直在竖直平面内的半径为 R 的光滑绝缘半圆形轨道，在靠近半圆形轨道处搁置一根质量

也是 m、电阻也是 R 的金属杆 AB。上下两层平行导轨所在区域里有一个竖直向下 的匀强磁场。当闭合开关 S 后，有电量 q 通过金属杆 AB，杆 AB 滑过下层导轨后 进入半圆形轨道并且刚好能通过轨道最高点 D′F′后滑上上层导轨。设上下两层 导轨都足够长，电阻不计。

（1）求磁场的磁感应强度。

（2）求金属杆 AB 刚滑到上层导轨瞬间，上层导轨和金属杆组成的回路里的电流。

（3）求两金属杆在上层导轨滑动的最终速度。

（4）问从 AB 滑到上层导轨到具有最终速度这段时间里上层导轨回路中有多少能量 图 5—26

图 5—28

图 5—29

转变为内能？

15．位于竖直平面内的矩形平面导线框 abcd，ab 长为 l₁,是 水平的，bc 长 l2, 线框的质量为 m， 电阻为 R， 其下 方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界 PP′和 QQ′

均与 ab 平行，两边界间的距离为 H，H>l2，磁场的磁感 强度为 B，方向与线框平面垂直，如图 5—30 所示，令 线框的 dc 边从离磁场区域上边界 PP′的距离为 h 处自由 下落，已知在线框的 dc 边进入磁场以后，ab 边到达边界

PP′之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到 dc 边刚刚到达磁场区域下边界 QQ′的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为 多少？

答案：

1．(a)37.5cm (b)50cm<h<100cm 2．L_max

= 200

m θ

= 30 °

3．

K M m v T

T M KMv

m m a M

mK v T

) (

) 1 (

,

₀^{2 2} ₀

0

+ = −

= +

>

4．1.41s 5．

θ

2

) (

2

mL M

gh m M

+

+

6．（1）

3

gh （2）h R

4

− 1

（3）

gh L

3

7．D 8．B、C 9．

( 5 − 1 )

R

( 5 + 1 )

R

10． de

B mv de

mv

2

13 ≤ ≤

11．

2 2L B

FR 12．

2 2

) (

L B

R mg F

−

13．（1） _{2 2}

sin

L B

mgR BIε

−

α

（2）加速度

2 2

sin

L CB m

mg

+

α

14．（1） gR qL

m

5

（2）

R gR BL

2

^（3） R gR

2

^（4） mgR

4 1

15．

( )

2

^{4 4 2}

2 2 3

h l l mg

B R g

W

=

m

− +

P

Q′ Q P′

a b

d c

h l₁

l₂

图 5—30

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六、递推法

方法简介

递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多 并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方 法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结 论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系 式.

塞题精析

例 1 质点以加速度 a 从静止出发做直线运动，在某时刻 t，加速度变为 2a；在时刻 2t，

加速度变为 3a；…；在 nt 时刻，加速度变为（n+1）a，求：

（1）nt 时刻质点的速度；

（2）nt 时间内通过的总路程.

解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解.

（1）物质在某时刻 t 末的速度为v_t

=

at

2t 末的速度为v_2t

=

v_t

+ 2

at

, 所以

v_2t

=

at

+ 2

at 3t 末的速度为v_2t

=

v_2t

+ 3

at

=

at

+ 2

at

+ 3

at

……

则 nt 末的速度为v_nt

=

v_{(n− )1t}

+

nat

) 3

2 1 ( )

1 ( 3

2

at at n at nat at n

at

+ + + + − + = + + + +

= " "

at n n n n

at

( 1 )

2 ) 1 1 2 (

1 + = +

⋅

=

（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程

( 1 )( 2 1 ) . 12

1

2

at n n

n

s

= + +

例 2 小球从高h₀

= 180

m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度 减小

1 (

n

= 2 )

n ，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g 取 10m/s²）

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解析 小球从 h0高处落地时，速率v₀

= 2

gh₀

= 60

m

/

s 第一次跳起时和又落地时的速率v₁

=

v₀

/ 2

第二次跳起时和又落地时的速率v₂

=

v₀

/ 2

²

第 m 次跳起时和又落地时的速率v_m

=

v₀

/ 2

^m

每次跳起的高度依次

4 0 2 2 2 2

0 2 1

1

, 2

2

n

h g h v

n h g

h

=

v

= = =

，

通过的总路程

∑

s

=

h₀

+ 2

h₁

+ 2

h₂

+ " + 2

h_m

+ "

m n h

h n n

h h

n n

n n

h h _m

3 300 5 1 1 1

2

1 ) 1

1 1 2 (

2 0 2 2 0

0 0

2 2 4

2 2

0 0

=

− =

⋅ +

− = +

=

+ +

+ + + +

= "

₋

"

经过的总时间为

∑

t

=

t₀

+

t₁

+

t₂

+ " +

t_m

+ "

g s v

n n g v

n n

g v

g v g

v g v

m m

3 18 1 ) ( 1

] 1 )

( 1 2

2 1 [

2 2

0 0 0

1 0

=

=

−

= +

+

⋅ + +

⋅ +

=

+ +

+ +

=

"

"

"

"

例 3 A、B、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正 三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为 v，A 犬想追捕 B 犬，B 犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调 整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长 时间可捕捉到猎物？

解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎

……

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犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图 6—1 所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用 递推法求解.

设经时间 t 可捕捉猎物，再把 t 分为 n 个微小时间间隔△t，在每一个△t 内每只猎犬的运 动可视为直线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为 a1、a2、a3、…、an，显然当 an→0 时 三只猎犬相遇.

t v n a a

t v a

t v a

a

t v a

t v a

a

t v a BB

AA a a

n

= − ⋅ Δ

Δ

×

−

= Δ

−

=

Δ

×

−

= Δ

−

=

Δ

−

=

°

−

−

=

2 3

2 , 3 3 2

3

2 , 2 3 2

3

2 , 60 3

cos

2 3

1 2

1 1

1

"

因为

0 ,

2 3 Δ =

⋅

−

n v t a

即

v t a t

t

n

3

= 2

=

Δ 所以

此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.

例 4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m，若一次直接起动，

车头的牵引力能带动 30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车 厢？

解析 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若 利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.

原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s 的宽松距离，设火车的牵引力为 F，则 有：

车头起动时，有 ₁²

2 ) 1

(

F

−

μmg

Δ

s

=

mv 拉第一节车厢时：

(

m

+

m

)

v₁

′ =

mv₁

故有 g s

m v F

v

= = ( − ) Δ 2

1 4

1

2 1 2

1 μ

₂²

2

₁²

2

2 1 2 ) 1

2

(

F

−

μmg

Δ

s

= ×

mv

− ×

mv

′

拉第二节车厢时：

(

m

+ 2

m

)

v₂

′ = 2

mv₂

在文檔中 一、整体法 (頁 63-146)