)2cos

1 (

cos )

2 cos 1 ( [ cos

2 3 2

3 3

θ θ θ

θ

r s

s r

r s

s r

r F_y kqQ

−

− − +

= +

又因为

2 cos 1 , <

≤

θ

r r s s

所以利用近似计算 x x

2 1 3 ) 1

(

²

3

≈ ∓

±

⁻ 得

3 cos )]

1 )(

cos ( ) 3 cos 1 )(

cos

3

[(

θ θ θ θ

r s s

r r s s

r r

F_y

≈

kqQ

+ + − − +

忽略s^2得

= −

₃

( 3 cos

²θ

− 1 )

r

F_y kqQs

当（

3 cos

²θ

− 1 ) > 0

^时F_y具有恢复线性形式，所以在

3

cos

²θ

> 1

范围内，P 可围绕原 点做微小振动，所以 P 在原点处是稳定的.

例 11 某水池的实际深度为h，垂直于水面往下看，

水池底的视深为多少？（设水的折射率为n）

解析 如图 14—11 所示，设 S 为水池底的点光源，

在由 S 点发出的光线中选取一条垂直于面 MN 的光线，

由 O 点垂直射出，由于观察者在 S 正方，所以另一条光 线与光线 SO 成极小的角度从点 S 射向水面点 A，由点 A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小，

进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点 S′，该点

即为我们看到水池底光源 S 的像，像点 S′到水面的距离h′，即为视深.

由几何关系有

tan

r

=

AB

/

h

′ , tan

i

=

AO

/

h

,

^所以

tan

r

/ tan

i

= /

h h

′

^，因为r^、i^均很 小，则有

tan

r

≈ sin

r

, tan

i

≈ sin

i^，所以

sin

r

/ sin

i

≈ /

h h

′

又因

i n r

sin

= sin

所以视深h

′ =

h

/

n

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针对训练

1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与 U 形管压强 计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U 形管内盛有密度 为ρ

= 7 . 5

×10²kg/m³的液体.开始时左、右两气室的体积都为 V₀=1.2×10^－2m³，气压都为ρ₀

= 4 . 0

×10³Pa，且液体的液面处 在同一高度，如图 14—12 所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在 U 形管中的高度差 h=40cm.求此时左、右气室的体积 V₁、V2.假 定两气室的温度保持不变.计算时可以不计 U 形管和连接管道中 气体的体积.取 g=10m/s².

2．一汽缸的初始体积为 V0，其中盛有 2mol 的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡 时气体的总压强是 3.0 大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的 水刚好全部消失，此时的总压强为 2.0 大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加 倍，试计算此时：

（1）汽缸中气体的温度；

（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；

（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理）

3．1964 年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气 室示意图如图 14—13 所示.利用海浪上下起伏力量，空气 能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电 机发电.当海水下降时，阀门 S1关闭，S2打开，设每次吸 入压强为 1.0×10⁶Pa、温度为 7℃的空气 0.233m³（空气可 视为理想气体），当海上升时，S2关闭，海水推动活塞 绝热压缩空气，空气压强达到

32

^{×105Pa 时，阀门 S}1才 打开.S1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工

作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开 S₁后，活塞附近的压强近似保持不 变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知 空气从压强为ρ₁、体积为 V1的状态绝热的改变到压强为ρ₂、体积为 V2的状态过程中，

近似遵循关系式ρ₁^/ρ₂^=（V2/V₁）^5/3，1mol 理想气体温度升高 1K 时，内能改变为 3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]

4．如图 14—14 所示，在 Ox轴的坐标原点 O 处，

有一固定的电量为Q

(

Q

> 0 )

^{的点电荷，在}x

= −

L 处，有一固定的、电量为

− 2

Q的点电荷，今有一 正试探电荷q^放在x^轴上x

> 0

的位置，并设斥力 为正，引力为负.

图 14—13

图 14—14

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（1）当q的位置限制在 Ox^{轴上变化时，求}q的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；

（2）试定性地画出试探电荷q所受的合力 F 与q在 Ox^{轴上的位置}x的关系图线.

5．如图 14—15 所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条 鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.

6．如图 14—16 所示，天空中有一小鸟 B，距水面高h₁

= 3

m^{，其正下方距水面深}h₂

= 4

m处 的水中有一条小鱼 A.已知水的折射率为 4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看 到鸟距离自己又是多远？

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参考答案

十一、图象法 1．A 2．A、D 3．C

4．

5．t₁

>

t₂ 6．乙图中小球先到底端 7．

) 2 ( 1

2 + −

=

n

n n a s

v_B =

1 )

3

(

n

as

−

8．13.64s

9．2:1 10．D 11．

FG f F v gfs

f f F g

t sFG _m

2 ( )

) (

2 = −

= −

十二、类比法

1．

2 3

LR²

/ 3

Gt² 2． _{2 2 2}

2

) (

a R

aR kQ

−

^{3． 2 2 2}

2

2

( )

) (

R a

aR kQ a

q a Q kQ R

− − +

4．C_AB

= 2 . 9

μF 5．C_AB

= 6

μF

6．（1）C C

2

1 5 −

′ =

（2）C_总

=

C

′

（3）C C

2

1 5 −

′ =

7．

[ ( ) ] )

2

(

tf f t H

t H N L

−

− +

= Δ

λ （注：将“两块半透镜移开一小段距离”后加“

Δ

L”.在“t

>

f 处放置一个”与“单色点光源”之间加“波长为λ 的”.）

8．（1）a

= 0 . 5 × 10

⁻³m （2）d

= 4

m

在文檔中 一、整体法 (頁 166-170)