3tan4

当n

→ ∞

时，Rn=R_n－1 ∴ 上式变为

n n n

n

n r R

rR r

R r r rR

R

3

4

3 +

= + + +

=

由此解得： r r

R_n

6 21 3 +

=

即 r r R_AB

6 21 3 +

′

=

补上 AB 竖线对应的电阻 r

3

2

，网络变为如图 13—13—戊所示的电路。

r r r

r r

r R

r R r R

B A

B A

AB

21

21 2 ) 3 21 ( 21

) 21 3

( 2 21

3 21

) 21 3

( 2

6 21 3

3 2

6 21 3

3 2

3 2 3

2

₂

+ =

= + +

= + + +

⋅ +

= +

⋅

=

′

′

例 14：设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和 匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，

电场强度的大小 E=4.0V/m，磁感应强度的大小 B=0.15T，

今有一个带负电的质点以 v=20m/s 的速度在此区域内沿 垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与 质量之比 q/m 以及磁场的所有可能方向（角度可用反三 角函数表）。

解析：因为带负电的质点做匀速直线运动，说明此质点所受的合外力为零。又因为电场 强度和磁感应强度的方向相同，所以该带电质点所受的电场力和洛仑兹力的方向垂直共面，

且必受重力作用，否则所受合外力不可能为零，设质点速度方向垂直纸面向里。由此该带电 质点的受力图如图 13—14 所示。由平衡条件有

有水平方向：Eq

cos

θ

=

Bqv

sin

θ ① 在竖直方向：Eq

sin

θ

+

Bqv

cos

θ

=

mg ② 解得：

3

针对训练

1．如图 13—15 所示，一个重 1000N 的物体放在倾角为 30°的斜面上，物体与斜面间的摩 擦系数μ为 1/3。今有一个与斜面最大倾斜线成 30°角的力 F 作用于物体上，使物体在斜 面上保持静止，求力 F 的大小。

2．斜面倾角θ=37°，斜面长为 0.8m，宽为 0.6m，如图 13—16 所示。质量为 2kg 的木块与 斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，在平行于斜面方向的恒力 F 的作用下，沿斜面对角线从 A 点运动到 B 点（g=10m/s²，sin37°=0.6）。求：

（1）力 F 的最小值是多大？

（2）力 F 取最小值时木块的加速度。

3．质量为 0.8kg 的长方形木块静止在倾角为 30°的斜面上，若用平行于斜面沿水平方向大 小等于 3N 的力推物体，它仍保持静止，如图 13—17 所示，则木块所受摩擦力大小为 ，方向为 。

4．如图 13—18，四面体框架由电阻同为 R 的 6 个电阻连接而成，试求任意两个顶点 AB 间 的等效电阻。

5．如图 13—19 所示三棱柱由电阻同为 R 的电阻线连接而成，试求 AB 两个顶点间的等效电 阻。

6．将同种材料粗细均匀的电阻丝连接成立方体的形状，如图 13—20 所示，每段电阻丝电阻 均为 r。试求：

（1）AB 两点间等效电阻 R_AG； （2）AD 两点间等效电阻 R_AD。

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十四、近似法

方法简介

近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问 题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要 因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.

近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近 似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越 多地注重这种能力的考查.

赛题精讲

例 1：一只狐狸以不变的速度υ₁沿着直线 AB 逃跑，一只猎犬 以不变的速率υ₂追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在 F 处，

猎犬在 D 处，FD⊥AB，且 FD=L，如图 14—1 所示，求猎犬的加速 度的大小.

解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，

故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度 r a r

,

2

υ2

=

为猎

犬所在处的曲率半径，因为 r 不断变化，故猎犬的加速度 的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在 D 处的加 速度大小，由于υ₂大小不变，如果求出 D 点的曲率半径，

此时猎犬的加速度大小也就求得了.

猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很 短的时间

Δ

t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为 R，则加速度

a

=

R

2

υ2

其方向与速度方向垂直，如图 14—1—甲所示.在

Δ

t时间内，设狐狸与猎犬分别 到达 D

F

′与 ′

，猎犬的速度方向转过的角度为α

=

υ₂

Δ

t/R

而狐狸跑过的距离是：υ₁

Δ

t^≈αL 因而υ₂

Δ

t/R≈υ₁

Δ

t/L，R=Lυ₂^/υ₁

所以猎犬的加速度大小为a

=

R

2

υ2

=υ₁υ₂/L

图 14—1

图 14—2—甲

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例 2 如图 14—2 所示，岸高为h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ ^时，

收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？

解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速 率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.

设船在θ^角位置经

Δ

t^{时间向左行驶}

Δ

x距离，滑轮右侧的绳长缩短

Δ

L，如图 14—2—

甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有

Δ

L=

Δ

x

cos

θ

两边同除以

Δ

t^得：

cos

θ t x t

L

Δ

= Δ Δ

Δ

，即收绳速率υ

=

υ_船

cos

θ

因此船的速率为

θ υ υ

= cos

船

例 3 如图 14—3 所示，半径为 R，质量为 m 的圆形绳圈，

以角速率ω绕中心轴 O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张 力为多大？

解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角

Δ

θ ^{很小时，有近似关系式}

.

sin

θ θ

≈ Δ Δ

若取绳圈上很短的一小段绳 AB=

Δ

L为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为

Δ

θ ^，这

段绳两端所受的张力分别为T_A^和T_B（方向见图 14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加 速度，所以T_A^和T_B的大小相等，均等于 T. T_A^和T_B在半径方向上的合力提供这一段绳做匀 速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为

Δ

m，根据牛顿第二定律有：_{T m} ²_R

sin 2

2 θ ω

Δ

Δ = ； 因为

Δ

L段很短，它所对应的圆心角

Δ

θ ^很小所以

2 sin 2θ Δθ

Δ =

将此近似关系和

π θ θ π

2 2

= Δ

⋅ Δ

⋅

=

Δ

m

R R m

m

代入上式得绳中的张力为

π ω

2

2R T

=

m

例 4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道 ABC，光滑小球从顶点 A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到 端点 C 处所需时间，恰好等于小球从顶点 A 处自静止出发自

图 14—2 图 14—2—甲

图 14—3

图—14—3—甲

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由地经两直角边轨道滑到端点 C 处所需的时间.这里假设铅垂轨 道 AB 与水平轨道 BC 的交接处 B 有极小的圆弧，可确保小 球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.

在此直角三角形范围内可构建一系列如图 14—4 中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由 若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从 A 点出 发到 C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地 从 A 点滑行到 C 点所经时间的上限与下限之比值.

解析 直角三角形 AB、BC、CA 三边的长分别记为 l1^、l₂^、l₃，如图 14—4—甲所示，小球从 A 到 B 的时间 记为T₁，再从 B 到 C 的时间为T₂，而从 A 直接沿斜边到 C

所经历的时间记为T₃^{，由题意知}T₁

+

T₂

=

T₃，可得l₁^：l₂^：l₃=3：4：5，

由此能得T₁^与T₂的关系.

因为 _{1 1}² _{1 1 2}

2

1

gT l gTT

l

= =

所以

2 1 2 1

2T

T ll =

因为l₁^：l₂=3：4，所以 _{2 1}

3 2

T T

=

小球在图 14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为t₁

=

T₁^， 经各水平段所需时间之和记为t₂，则从 A 到 C 所经时间总和为t

=

T₁

+

t₂^，最短的t₂^对应t^的 下限t_min^，最长的t₂^对应t^的上限t_max

.

小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需 时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与 BC 重合）时t₂^{最短，其值即为}T₂^，故

tmin=

.

3 5

1 2

1 T T

T

+ =

t2的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降 小量

Δ

l₁，便接一段水平小量

Δ

l₂，这两个小量之间恒有

Δ

l₂

= Δ

l₁

cot

α ，角α即为∠ACB，

水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示

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的微齿形轨道，由于

Δ

l₁^、

Δ

l₂均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经 的时间小量

Δ

t₁

(

i

)

^与

Δ

t₂

(

i

)

之间有如下关联：

α

) cot

( ) (

1 2 1

2

=

Δ

= Δ Δ

Δ

l l i

t i t

于是作为

Δ

t₂

(

i

)

^之和的t₂^{上限与作为}

Δ

t₁

(

i

)

^之和的T₁^之比也为

cot

α

.

^故t₂^{的上限必为}

T1

cot

α ^，即得：

.

3

在文檔中 一、整体法 (頁 155-160)