针对训练

1．某地强风的风速为 v，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面 积为 S 的风的动能全部转化为电能，则其电功率为多少？

2．如图 3—19 所示，山高为 H，山顶 A 和水平面上 B 点的水平 距离为 s.现在修一条冰道 ACB，其中 AC 为斜面，冰道光滑，

物体从 A 点由静止释放，用最短时间经 C 到 B，不计过 C 点 的能量损失.问 AC 和水平方向的夹角θ多大？最短时间为多少？

3．如图 3—21 所示，在绳的 C 端以速度 v 匀速收绳从而拉动低

处的物体 M 水平前进，当绳 AO 段也水平恰成α角时，物体 M 的速度多大？

4，如图 3—22 所示，质量相等的两个小球 A 和 B 通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动 C 球 上升，某时刻连接 C 球的两绳的夹角为θ，设 A、B 两球此时下落的速度为 v，则 C 球上 升的速度多大？

5．质量为 M 的平板小车在光滑的水平面上以 v₀向左匀速运动，一质量为 m 的小球从高 h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为 h.设 M>>m，碰撞弹力 N>>g，球与车之 间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是 （ ）

A．

2

gh ^{B．0 C．}

2

μ

2

gh ^D．v0

6．半径为 R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为 M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa，a=R/2，绳圈的弹性系数为 k（绳伸长 s 时，绳中弹性张力为 ks）.将绳圈从球的正 上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位置.考 虑重力，忽略摩擦.

（1）设平衡时弹性绳圈长 2πb，b=

2

a，求弹性系数 k；（用 M、R、g 表示，g 为重力加 速度）

（2）设 k=Mg/2π²R，求绳圈的最后平衡位置及长度.

7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，

在环内的环底 A 处有一质量为 m、直径比管径略小的小球，

小球上连有一根穿过环顶 B 处管口的轻绳，在外力 F 作用 下小球以恒定速度 v 沿管壁做半径为 R 的匀速圆周运动，

如图 3—23 所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧 部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑 的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为 R.试求小 球从 A 点运动到 B 点过程中 F 做的功 W_F.

8．如图 3—24，来自质子源的质子（初速度为零），经一 加速电压为 800kV 的直线加速器加速，形成电流为 1.0mA 的细柱形质子流.已知质子电荷 e=1.60×10^－19C.这束质子 流每秒打到靶上的质子数为 .假设分布在质子源 到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距 l

物理奥赛三第 13 页

和 4l 的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质 子数分别为 n₁和 n2，则 n1: n₂ .

9．如图 3—25 所示，电量 Q 均匀分布在一个半径为 R 的 细圆环上，求圆环轴上与环心相距为 x 的点电荷 q 所受的 力的大小.

10．如图 3—26 所示，一根均匀带电细线，总电量为 Q，

弯成半径为 R 的缺口圆环，在细线的两端处留有很小的 长为△L 的空隙，求圆环中心处的场强.

11．如图 3—27 所示，两根均匀带电的半无穷长平行直导 线（它们的电荷线密度为η），端点联线 LN 垂直于这 两直导线，如图所示.LN 的长度为 2R.试求在 LN 的 中点 O 处的电场强度.

12．如图 3—28 所示，有一均匀带电的无穷长直导线，

其电荷线密度为η.试求空间任意一点的电场强度.

该点与直导线间垂直距离为 r.

13．如图 3—29 所示，半径为 R 的均匀带电半球面，电 荷面密度为δ，求球心 O 处的电场强度.

14．如图 3—30 所示，在光滑的水平面上，有一垂直向 下的匀强磁场分布在宽度为 L 的区域内，现有一个边长 为 a（a<L），质量为 m 的正方形闭合线框以初速 v0垂直 磁场边界滑过磁场后，速度变为 v（v<v0），求：

（1）线框在这过程中产生的热量 Q；

（2）线框完全进入磁场后的速度 v′.

15．如图 3—31 所示，在离水平地面 h 高的平台上有一相 距 L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为 C，

充电后两端电压为 U1.轨道平面处于垂直向上的磁感应 强度为 B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为 m 的金 属棒，当闭合 S，棒离开轨道后电容器的两极电压变为 U2， 求棒落在离平台多远的位置.

16．如图 3—32 所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小 为 B，一光滑导轨竖直放置，导轨上接有一电容为 C 的电 容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为 m，释放后，求 金属棒的加速度 a.

答案：

1． ³

2

1

Sρv 2．θ=60°

) 2 2 ( 3 2

h s g

h

+

3．v

/( 1 + cos

x

)

4．

cos 2

/

θ

v 5．CD

6．（1）

R Mg

2

2

) 1 2 (

π

+

（2）绳圈掉地上，长度为原长 7．

2

mgR

+

μmπv²

8．6.25×10¹⁵,2:1 9．

32 2

2

)

(

R x K Qqx

+

^10．

2 R

³ l K Q

ρ

Δ

11．

R kλ

2

12．

r kλ

2

13．

2

πRσ 14．

), 2 2 (

1

_{2 2 0}

0

v v v

v v

m

+

′ =

−

^15．

g h m

u u

CBL( ₁ − ₂) 2

16．

2 2L CB m a mg

= +

四、等效法

方法简介

在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，

在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后 一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不 影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。

等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问 题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。因此应用等效法时往往是用较简 单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。

赛题精讲

例 1：如图 4—1 所示，水平面上，有两个竖直的光滑墙壁 A 和 B ，相距为 d ，一 个小球以初速度v0从两墙之间的O 点斜向上抛出，与 A 和 B 各发生一次弹性碰撞后，正 好落回抛出点，求小球的抛射角θ 。

解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等 效为一个完整的斜抛运动（见图）。所以可用解斜抛 运动的方法求解。

由题意得：2d = v0cosθ⋅t = v0cosθ⋅ 2v sin⁰ g

θ

可解得抛射角：θ =1

2arcsin ₂

0

2gd v

例 2：质点由 A 向 B 做直线运动，A 、B 间的距离为 L ，已知质点在 A 点的速度为 v0 ，加速度为 a ，如果将 L 分成相等的 n 段，质点每通过L

n 的距离加速度均增加a n，求 质点到达B 时的速度。

解析：从A 到 B 的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线 运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速 直线运动等效代替，则此运动就可以求解。

因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为：

a^平 =a a 2

初+ 末 =

(n 1)a a a n

2 + + −

=3an a 2n

− =(3n 1)a 2n

−

由匀变速运动的导出公式得：2a^平L =v －²_B v²₀

解得：vB = ²₀ (3n 1)aL

v n

+ −

例 3：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度 v 的大小与距老鼠洞中心的距离 s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离 s1 = 1m 的 A 点时，速度大小为 v1 = 20cm/s ，问 当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m 的 B 点时，其速度大小 v2 = ？老鼠从 A 点到达 B 点所用 的时间t = ？

解析：我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v 与牵引力 F 成反比，即 v =P F， 由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动。

由此分析，可写出：v =P F= P

kx 当x = s1时，v = v1

将其代入上式求解，得：k =

1 1

P v s =

2 2

P v s 所以老鼠到达B 点时的速度 v2 = ¹

2

s

s v1 =1

2×20 = 10cm/s 再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，Pt =1

2ks －²₂ 1 2ks₁² 代入有关量可得：Pt =1

2 ^⋅ _{1 1} P

v s (s －²2 s₁²) 由此可解得：t =

2 2

2 1

1 1

s s 2s v

− =

2 2

2 1 2 1 0.2

−

× × = 7.5s

（此题也可以用图像法、类比法求解。）

例 4：如图 4—2 所示，半径为 r 的铅球内有一半径为 r 2的 球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M 。在铅球和 空腔的中心连线上，距离铅球中心L 处有一质量为 m 的小球

（可以看成质点），求铅球对小球的引力。

解析：因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球

心的质点。 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球 ΔM ，然后在对 于小球 m 对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球 ΔM ，这样加入的两个小铅球对小球 m 的引力可以抵消，就这样将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的。

带空腔的铅球对m 的引力等效于实心铅球与另一侧 ΔM 对 m 的引力之和。 设空腔铅 球对m 的引力为 F ，实心铅球与 ΔM 对 m 的引力分别为 F1 、F2。 则

F = F1－F2 ① 经计算可知：ΔM =1

7M ，所以：

F1 = Gm(M ₂ M) L

+ Δ =8GmM₂

7L ②

图4—2

F2 = G

2

m M (L r) 2 Δ

− =

2

GmM 7(L r)

−2 ③ 将②、③代入①式，解得空腔铅球对小球的引力为：

F = F1－F2 = GmM［ 8₂ 7L －

2

1 7(L r)

−2

］

例 5：如图 4-3 所示，小球长为 L 的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞 并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的4

5，求小球从开始下滑 到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程。

解析：小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，

说明碰撞过程中损失能量，每次反弹距离都不及上次大，

小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处。 我们可以分 别计算每次碰撞垢上升的距离L1 、L2 、… 、Ln ，则 小球总共通过的路程为s = 2 (L1 + L2 + … + Ln) + L ， 然后用等比数列求和公式求出结果，但是这种解法很麻 烦。

我们假设小球与挡板碰撞不损失能量，其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻 力做功而消耗掉，最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就可以利用摩擦力 做功求出路程。

设第一次碰撞前后小球的速度分别为v 、v1 ，碰撞后反弹的距离为 L1 ，则：

1

2mv² = mgLsinθ ，1

2mv₁²= mgL1sinθ 其中v1 =4

5v ，所以：L¹ L =

2 1 2

v v = (4

5)² 碰撞中损失的动能为：ΔEk =1

2mv²－1

2mv₁²=1

2mv²(1－16 25) 根据等效性有：f (L1 + L) = ΔEk ，解得等效摩擦力 f = 9

41mgsinθ

通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等 效摩擦力都相同。 以整个运动为研究过程，有：f⋅s = mgL⋅sinθ

解出小球总共通过的总路程为：s =41 9 L

（此题也可以通过递推法求解，读者可试试。）

例 6：如图 4—4 所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球，设 L 和α 已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为 。

解析：此题是一个双线摆，而我们知道单摆的周期，若将又线摆摆 长等效为单摆摆长，则双线摆的周期就可以求出来了。

图4—3

图4—4

将双线摆摆长等效为单摆摆长L′= Lsinα ，则此双线摆的周期为：

T′= 2π L g

′ = 2π L sin g

α

例 8：如图 4—5 所示，由一根长为 L 的刚性轻杆和杆端的小 球组成的单摆做振幅很小的自由振动。 如果杆上的中点固定另一 个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期。

解析：复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容，中学阶 段限于知识的局限，不能直接求解。 如能进行等效操作，将其转 化成中学生熟悉的单摆模型，则求解周期将变得简捷易行。

设想有一摆长为 L0的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分别从摆角 α 处从静止开始 摆动，摆动到与竖直方向夹角为 β 时，具有相同的角速度 ω ，对两摆分别应用机械能守 恒定律，于是得：

mgl (cosβ－cosα) + mg1

2( cosβ－cosα) =1

2m(ωl)² +1 2( l

2 ω )²

对单摆，得：mgl0(cosβ－cosα) =1

2m(ωl0)² 联立两式求解，得：l0 =5

6l 故原复摆的周期为：T = 2π l⁰

g =2π 5l 6g

例 9：粗细均匀的 U 形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图 4—6 所示，

已知：L = 10cm ，当此 U 形管以 4m/s²的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高 度差。（g = 10m/s²）

解析：当U 形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重 力场中，g′的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面 应与等效重力场的水平方向平行，即与g′方向垂直。

设g′的方向与 g 的方向之间夹角为 α ，则：

tanα =a g= 0.4

由图4—6 可知液面与水平方向的夹角为 α ， 所以，Δh = L⋅tanα = 10×0.4 = 4cm = 0.04m

例 10：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为 R ，在其最低点 A 处放一质量为 m 的 带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为 3

3 mg ，方向水平向右，

现给小球一个水平向右的初速度 v0 ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆 周运动，求v0 。

解析：小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中。小 图4—5

图4—6

在文檔中 一、整体法 (頁 37-54)