一、整体法
方法简介
整体是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一 种把具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物 理变化过程组合作为一个融洽加以研究的思维形式。整体思维是一种综合思维，也可以说 是一种综合思维，也是多种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。因此在物 理研究与学习中善于运用整体研究分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，
另一方面表现为思维的有机组合。灵活运用整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”
的魅力，把物理问题变繁为简、变难为易。
赛题精讲
例 1：如图 1—1 所示，人和车的质量分别为 m 和 M ， 人用水平力F 拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向，
不计滑轮质量及摩擦，若人和车保持相对静止，且水平 地面是光滑的，则车的加速度为 。
解析：要求车的加速度，似乎需将车隔离出来才能 求解，事实上，人和车保持相对静止，即人和车有相同 的加速度，所以可将人和车看做一个整体，对整体用牛 顿第二定律求解即可。
将人和车整体作为研究对象，整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力。在竖 直方向重力与支持力平衡，水平方向绳的拉力为2F ，所以有：
2F = (M + m)a ，解得：a = 2F M m+
例 2：用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图 1—2 所示，今对小球 a 持续 施加一个向左偏下 30°的恒力，并对小球 b 持续施加一个向右偏上 30°的同样大小的恒 力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是（ ）
解析：表示平衡状态的图是哪一个，关键是要求出两条轻质细绳对小球a 和小球 b 的 拉力的方向，只要拉力方向求出后，。图就确定了。
先以小球a 、b 及连线组成的系统为研究对象，系统共受五个力的作用，即两个重力 (ma + mb)g ，作用在两个小球上的恒力 Fa 、Fb和上端细线对系统的拉力T1 。因为系统处 于平衡状态，所受合力必为零，由于Fa 、Fb大小相等，方向相反，可以抵消，而(ma + mb)g 的方向竖直向下，所以悬线对系统的拉力T1的方向必然竖直向上。再以b 球为研究对象，
b 球在重力 mbg 、恒力 Fb和连线拉力T2三个力的作用下处于平衡状态，已知恒力向右偏 上30°，重力竖直向下，所以平衡时连线拉力 T2的方向必与恒力Fb和重力mbg 的合力方 向相反，如图所示，故应选A 。
例 3：有一个直角架 AOB ， OA 水平放置，表面粗糙，OB 竖 直向下，表面光滑，OA 上套有小 环 P ，OB 上套有小环 Q ，两个 环的质量均为m，两环间由一根质 量可忽略、不何伸长的细绳相连，
并在某一位置平衡，如图1—4 所 示。现将P 环向左移动一段距离，
两环再次达到平衡，那么将移动后
的平衡状态和原来的平衡状态相比，OA 杆对 P 环的支持力 N 和细绳上的拉力 T 的变化情 况是（ ）
A．N 不变，T 变大 B．N 不变，T 变小 C．N 变大，T 变小 D．N 变大，T 变大 解析：先把 P、Q 看成一个整体，受力如图 1—4—甲所示，则 绳对两环的拉力为内力，不必考虑，又因 OB 杆光滑，则杆在竖直 方向上对Q 无力的作用，所以整体在竖直方向上只受重力和 OA 杆 对它的支持力，所以N 不变，始终等于 P 、Q 的重力之和。再以 Q 为研究对象，因 OB 杆光滑，所以细绳拉力的竖直分量等于 Q 环的 重力，当 P 环向左移动一段距离后，发现细绳和竖直方向夹角 a 变 小，所以在细绳拉力的竖直分量不变的情况下，拉力 T 应变小。由 以上分析可知应选B 。
例 4：如图 1—5 所示，质量为 M 的劈块，其左 右劈面的倾角分别为θ1 = 30°、θ2 = 45°，质量分别 为m1 = 3 kg 和 m2 = 2.0kg 的两物块，同时分别从左 右劈面的顶端从静止开始下滑，劈块始终与水平面保 持相对静止，各相互接触面之间的动摩擦因数均为μ = 0.20 ，求两物块下滑过程中(m1和 m2均未达到底端) 劈块受到地面的摩擦力。（g = 10m/s2）
解析：选 M 、m1和 m2构成的整体为研究对象，把在相同时间内，M 保持静止，m1
和 m2 分别以不同的加速度下滑三个过程视为一个整体过程来研究。根据各种性质的力产 生的条件，在水平方向，整体除受到地面的静摩擦力外，不可能再受到其他力；如果受到 静摩擦力，那么此力便是整体在水平方向受到的合外力。
根据系统牛顿第二定律，取水平向左的方向为正方向，则有：
F合x = Ma′+ m1a1x－m2a2x
其中 a′、a1x和 a2x分别为M 、m1和 m2在水平方向的加速度的大小，而a′= 0 ， a1x = g (sin30°－μcos30°) ⋅cos30° ，a2x = g (sin45°－μcos45°) ⋅cos45° 。所以：
F合 = m1g (sin30°－μcos30°) ⋅cos30°－m2g (sin45°－μcos45°) ⋅cos45°
= 3 ×10×(1
2－0.2× 3 2 )× 3
2 －2.0×10×( 2
2 －0.3× 2 2 )× 2
2 =－2.3N
负号表示整体在水平方向受到的合外力的方向与选定的正方向相反。所以劈块受到地 面的摩擦力的大小为2。3N，方向水平向右。
例 5：如图 1—6 所示，质量为 M 的平板小车放在倾角为 θ 的光滑 斜面上（斜面固定），一质量为 m 的人在车上沿平板向下运动时，车 恰好静止，求人的加速度。
解析：以人、车整体为研究对 象，根据系统牛顿运动定律求解。
如图1—6—甲，由系统牛顿第二定 律得：
(M + m)gsinθ = ma
解得人的加速度为a =M m m
+ gsinθ
例 6：如图 1—7 所示，质量 M = 10kg 的木块 ABC 静置 于粗糙的水平地面上，滑动摩擦因数 μ = 0.02 ，在 木块的倾角θ 为 30°的斜面上，有一质量 m = 1.0kg 的物 块静止开始沿斜面下滑，当滑行路程s = 1.4m 时，其速度 v = 1.4m/s ，在这个过程中木块没有动，求地面对木块的 摩擦力的大小和方向。（重力加速度取g = 10/s2）
解析：物块m 由静止开始沿木块的斜面下滑，受重力、弹力、摩擦力，在这三个恒力 的作用下做匀加速直线运动，由运动学公式可以求出下滑的加速度，物块m 是处于不平衡 状态，说明木块M 一定受到地面给它的摩察力，其大小、方向可根据力的平衡条件求解。
此题也可以将物块m 、木块 M 视为一个整体，根据系统的牛顿第二定律求解。
由运动学公式得物块m 沿斜面下滑的加速度：
a =
2 2
t 0
v v 2s
− =
2
vt
2s= 1.42
2 1.4× = 0.7m/s2
以m 和 M 为研究对象，受力如图 1—7—甲所示。由系统的牛顿第二定律可解得地面 对木块M 的摩擦力为 f = macosθ = 0.61N ，方向水平向左。
例 7：有一轻质木板 AB 长为 L ，A 端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳 CB 拉住。板上依次放着A 、B 、C 三个圆柱体，半径均为 r ，重均为 G ，木板与墙的夹角 为θ ，如图 1—8 所示，不计一切摩擦，求 BC 绳上的张力。
解析：以木板为研究对象，木板处于力矩平衡状态，若分别以圆柱体 A 、B 、C 为 研究对象，求A 、B 、C 对木板的压力，非常麻烦，且容易出错。若将 A 、B 、C 整体 作为研究对象，则会使问题简单化。
以 A 、B 、C 整体为研究对象，整体受到重力 3G 、木板的支持力 F 和墙对整体的 支持力FN ，其中重力的方向竖直向下，如图 1—8—甲所示。合重力经过圆柱 B 的轴心，
墙的支持力FN垂直于墙面，并经过圆柱C 的轴心，木板给的支持力 F 垂直于木板。由于 整体处于平衡状态，此三力不平行必共点，即木板给的支持力
F 必然过合重力墙的支持力 FN的交点。
根据共点力平衡的条件：ΣF = 0 ，可得：F = 3G sinθ。 由几何关系可求出F 的力臂 L = 2rsin2θ + r
sinθ + r·cotθ 以木板为研究对象，受力如图 1—8—乙所示，选 A 点为 转轴，根据力矩平衡条件ΣM = 0 ，有：F⋅L = T⋅Lcosθ
即：
2 1
3Gr(2sin cot ) sin
sin
θ + + θ
θ θ = T ⋅ Lcosθ
解得绳CB 的张力：T =3Gr
L (2tanθ + 1 cos2 sin cos
+ θ θ⋅ θ)
例 8：质量为 1.0kg 的小球从高 20m 处自由下落到软垫上，反弹后上升的最大高度为 5.0m ，小球与软垫接触的时间为 1.0s ，在接触时间内小球受合力的冲量大小为（空气阻 力不计，取g = 10m/s2） （ ）
A．10N⋅s B．20 N⋅s C．30 N⋅s D．40 N⋅s 解析：小球从静止释放后，经下落、接触软垫、反弹上升三
个过程后到达最高点。动量没有变化，初、末动量均为零，如图 1—9 所示。这时不要分开过程求解，而是要把小球运动的三个过 程作为一个整体来求解。
设小球与软垫接触时间内小球受到合力的冲量大小为I ，下 落高度为 H1 ，下落时间为 t1 ，接触反弹上升的高度为 H2 ，上 升的时间为t2 ，则以竖直向上为正方向，根据动量定理得：
－mg⋅t1 + I－mg⋅t2 = 0
图1—8 乙
图1—9
而 t1 = 2H1
g ，t2 = 2H2 g
故：I = m( 2gH1 + 2gH2 ) = 30N ⋅ s 答案：C
例 9：总质量为 M 的列车以匀速率 v0在平直轨道上行驶，各车厢受的阻力都是车重 的k 倍，而与车速无关。某时刻列车后部质量为 m 的车厢脱钩，而机车的牵引力不变，则 脱钩的车厢刚停下的瞬间，前面列车的速度是多少？
解析：此题求脱钩的车厢刚停下的瞬间，前面列车的速度，就机车来说，在车厢脱钩 后，开始做匀加速直线运动，而脱钩后的车厢做匀减速运动，由此可见，求机车的速度可 用匀变速直线运动公式和牛顿第二定律求解。
现在若把整个列车当作一个整体，整个列车在脱钩前后所受合外力都为零，所以整个 列车动量守恒，因而可用动量守恒定律求解。
根据动量守恒定律，得：Mv0 = (M－m)V 即：V = Mv0
M m−
即脱钩的车厢刚停下的瞬间，前面列车的速度为 Mv0 M m− 。
【说明】显然此题用整体法以列车整体为研究对象，应用动量守恒定律求解比用运动 学公式和牛顿第二定律求简单、快速。
例 10：总质量为 M 的列车沿水平直轨道匀速前进，其末节车厢质量为 m ，中途脱钩，
司机发觉时，机车已走了距离L ，于是立即关闭油门，撤去牵引力，设运动中阻力与质量 成正比，机车的牵引力是恒定的，求，当列车两部分 都静止时，它们的距离是多少？
解析：本题若分别以机车和末节车厢为研究对象用运动学、牛顿第二定律求解，比较 复杂，若以整体为研究对象，研究整个过程，则比较简单。
假设末节车厢刚脱钩时，机车就撤去牵引力，则机车与末节车厢同时减速，因为阻力 与质量成正比，减速过程中它们的加速度相同，所以同时停止，它们之间无位移差。事实 是机车多走了距离L 才关闭油门，相应的牵引力对机车多做了 FL 的功，这就要求机车相 对于末节车厢多走一段距离ΔS ，依靠摩擦力做功，将因牵引力多做功而增加的动能消耗 掉，使机车与末节车厢最后达到相同的静止状态。所以有：
FL = f⋅ΔS
其中F = μMg ， f = μ(M－m)g
代入上式得两部分都静止时，它们之间的距离：ΔS = ML M m−
例 11：如图 1—10 所示，细绳绕过两个定滑轮 A 和 B ，在两端各挂 个重为 P 的物 体，现在A 、B 的中点 C 处挂一个重为 Q 的小球，Q＜2P ，求小球可能下降的最大距离 h 。已知 AB 的长为 2L ，不讲滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。
解析：选小球Q 和两重物 P 构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为 最大，紧接着从最大又逐渐减小为零（此时小球下降的距离最大为h），如图 1—10—甲。
在整过程中，只有重力做功，机械能守恒。
因重为 Q 的小球可能下降的最大距离为 h ，所以重为 P 的两物体分别上升的最大距 离均为： h2+L2 －L
考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q 的小球重力 势能的减少量等于重为P 的两个物体重力势能的增加量，即：
Qh = 2P ( h2+L2 －L)
从而解得：h =2PL( 8P2 2 Q22 Q Q 4P
− −
−
例 12：如图 1—11 所示，三个带电小球质量相等，
均静止在光滑的水平面上，若只释放 A 球，它有加速 度aA = 1m/s2 ，方向向右；若只释放 B 球，它有加速 度aB = 3m/s2 ，方向向左；若只释放 C 球，求 C 的加 速度aC 。
解析：只释放一个球与同时释放三个球时，每球所受的库仑力相同。而若同时释放三 个球，则三球组成的系统所受合外力为0，由此根据系统牛顿运动定律求解。
把 A 、B 、C 三个小球看成一个整体，根据系统牛顿运动定律知，系统沿水平方向 所受合外力等于系统内各物体沿水平方向产生加速度所需力的代数和，由此可得：
maA + maB + maC = 0
规定向右为正方向，可解得C 球的加速度：
aC =－(aA + aB) =－(1－3) = 2m/s2 方向水平向右：
例 13：如图 1—12 所示，内有 a 、b 两个光滑活塞的圆柱形金属容器，其底面固定在 水平地板上，活塞将容器分为A 、B 两部分，两部分中均盛有温度相同的同种理想气体，
平衡时，A 、B 气体柱的高度分别为 hA = 10cm ， hB = 20cm ， 两活塞的重力均忽略不 计，活塞的横截面积S = 1.0×10－3m2 。 现用竖直向上的力 F 拉活塞 a ， 使其缓慢地向 上移动Δh = 3.0cm ，时，活塞 a 、b 均恰好处于静止状态，环境温度保护不变，求：
（1）活塞 a 、b 均处于静止平衡时拉力 F 多大？
（2）活塞 a 向上移动 3.0cm 的过程中，活塞 b 移动了多少？
（外界大气压强为p0 = 1.0×105Pa）
解析：针对题设特点，A 、B 为同温度、同种理想气体，可选 A 、B 两部分气体构成的整体为研究对象，并把两部分气体在一同 时间内分别做等温变化的过程视为同一整体过程来研究。
（1）根据波意耳定律，p1V1 = p2V2得：p0(10 + 20)S = p′(10 + 20 + 3.0)S′
从而解得整体末态的压强为p′=10 11p0
再以活塞a 为研究对象，其受力分析如图 1—12 甲所示，因活塞 a 处于平衡状态，故 有：F + p′S = p0S
从而解得拉力：
F = (p0－p′)S = (p0－10
11p0)S = 1
11p0S = 1
11×1.0×105×1.0×10－3
= 9.1N
（2）因初态 A 、B 两气体的压强相同，温度相同，分子密度相 同，末态两气体的压强相同，温度相同，分子密度相同，故部分气体 体积变化跟整体气体体积变化之比，必然跟原来它们的体积成正比，
即：
hB
h Δ
Δ = B
A B
h h +h
所以活塞b 移动的距离：ΔhB = B
A B
h
h +h Δh = 20
10 20+ ×3.0 = 2.0cm 例 14：一个质量可不计的活塞将一定量的理想气体封
闭在上端开口的直立圆筒形气缸内，活塞上堆放着铁砂，如 图1—13 所示，最初活塞搁置在气缸内壁的固定卡环上，气 体柱的高度为 H0 ，压强等于大气压强 p0 。现对气体缓慢 加热，当气体温度升高了ΔT = 60K 时，活塞（及铁砂）开 始离开卡环而上升。继续加热直到气柱高度为H1 = 1.5H0 。 此后，在维持温度不变的条件下逐渐取走铁砂，直到铁砂全 部取走时，气柱高度变为H2 = 1.8H0 ，求此时气体的温度。
（不计活塞与气缸之间的摩擦）
解析：气缸内气体的状态变化可分为三个过程：等容变化→等压变化→等温变化；因 为气体的初态压强等于大气压p0 ，最后铁砂全部取走后气体的压强也等于大气压 p0 ，所 以从整状态变化来看可相当于一个等压变化，故将这三个过程当作一个研究过程。
根据盖·吕萨克定律： 0
1
H S T = 2
2
H S
T ①
再隔离气体的状态变化过程，从活塞开始离开卡环到把温度升到 H1 时，气体做等压
变化，有： 0
1
H S T + ΔT = 1
2
H S
T ② 解①、②两式代入为数据可得：T2=540K
例 15：一根对称的“∧”形玻璃管置于竖直平面内，
管所有空间有竖直向上的匀强电场，带正电的小球在管内从 A 点由静止开始运动，且与管壁的动摩擦因数为 μ ，小球 在B 端与管作用时无能量损失，管与水平面间夹角为 θ ， AB 长 L ，如图 1—14 所示，求从 A 开始，小球运动的总 路程是多少？（设小球受的电场力大于重力）
解析：小球小球从 A 端开始运动后共受四个力作用，
电场力为qE、重力 mg、管壁 支持力 N、摩擦力 f，由于在
起始点A 小球处于不平衡状态，因此在斜管上任何位置都是不平衡的，小球将做在“∧”
管内做往复运动，最后停在B 处。若以整个运动过程为研究对象，将使问题简化。
以小球为研究对象，受力如图 1—14 甲所示，由于电场力和重力做 功与路径无关，而摩擦力做功与路径有关，设小球运动的总路程为s，由 动能定理得：
qELsinθ－mgLsinθ－fs = 0 ① 又因为f = μN ② N = (qE－mg)cosθ ③
所以由以上三式联立可解得小球运动的总路程：s =L tanθ μ
例 16：两根相距 d = 0.20m 的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向 的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B = 0.2T ，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回 路，每条金属细杆的电阻为r = 0.25Ω ，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆 在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v = 5.0m/s ，如 图1—15 所示。不计导轨上的摩擦。
（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小；
（2）求两金属细杆在间距增加 0.40m 的滑动过程 中共产生的热量。
解析：本题是电磁感应问题，以两条细杆组成的回 路整体为研究对象，从力的角度看，细杆匀速移动，拉
力跟安培力大小相等。从能量的角度看，外力做功全部转化为电能，电又全部转化为内能。
根据导线切割磁感线产生感应电动势公式得：ε总 = 2BLv 从而回路电流：I =2Blv
2r
由于匀速运动，细杆拉力：F = F安 = BIl = B l v2 2
r = 3.2×10－2N 根据能量守恒有：Q = Pt = 2Fvt = Fs = 1.28×10－2J
即共产生的热量为1.28×10－2J 。
例 17：两金属杆 ab 和 cd 长均为 l ，电阻均为 R，质量分别为 M 和 m ， M＞m 。 用 两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平、光 滑、不导电的圆棒两侧。两金属杆都处在水平位置，如图 1—16
所示。整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应 强度为B。若金属杆 ab 正好匀速向下运动，求运动的速度。
解析：本题属电磁感应的平衡问题，确定绳上的拉力，可选 两杆整体为研究对，确定感应电流可选整个回路为研究对象，确 定安培力可选一根杆为研究对象。设匀强磁场垂直回路平面向 外，绳对杆的拉力为T，以两杆为研究对象，受力如 1—16 甲所 示。因两杆匀速移动，由整体平衡条件得：
4T = (M + m)g ①
对整个回路由欧姆定律和法拉第电磁感应定律得：
I =BlV
2R ② 对ab 杆，由于杆做匀速运动，受力平衡：
BIl + 2T－Mg = 0 ③ 联立①②③三式解得：v =(M m)gR2 2
2B l
−
针对训练
1．质量为 m 的小猫，静止于很长的质量为 M 的吊杆上，如图 1—17 所示。在吊杆上 端悬线断开的同时，小猫往上爬，若猫的高度不变，求吊杆的加速度。（设吊杆下端离地 面足够高）
图1—17 图1—18
2．一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭中，若把在空中下落的过程称 为过程I ，进入泥潭直到停止的过程称为过程 II ，则（ ）
A、过程 I 中钢珠动量的改变量等于它重力的冲量
B、过程 II 中阻力的冲量的大小等于全过程中重力冲量的大小
C、过程 II 中钢珠克服阻力所做的功等于过程 I 与过程 II 中钢珠所减少的重力势能之 和
D、过程 II 中损失的机械能等于过程 I 中钢珠所增加的动能 3．质量为 m 的运动员站在质量为m
2 的均匀长板AB 的中点，板位于水平面上，可绕 通过 B 点的水平轴转动，板的 A 端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运 动员手中。当运动员用力拉绳时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直方向，如图1—18 所示。
要使板的A 端离开地面，运动员作用于绳子的最小拉力是 。 4．如图 1—19，一质量为 M 的长木板静止在光滑水平桌面
上。一质量为m 的小滑块以水平速度 v0从长木板的一端开始在 木板上滑动，直到离开木板。滑块刚离开木板时的速度为 v0
3 。 若把该木板固定在水平桌面上，其他条件相同，求滑决离开木 板时的速度v 。
5．如图 1—20 所示为一个横截面为半圆，半径为 R 的光滑圆柱，一根不可伸长的细 绳两端分别系着小球A 、B ，且 mA = 2mB ，由图示位置从静止开始释放 A 球，当小球 B 达到半圆的顶点时，求线的张力对小球 A 所做的功。
6．如图 1—21 所示，AB 和 CD 为两个斜面，其上部足够长，下部分别与一光滑圆弧 面相切，EH 为整个轨道的对称轴，圆弧所对圆心角为 120°，半径为 2m ，某物体在离弧 底H 高 h = 4m 处以 V0 = 6m/s 沿斜面运动，物体与斜面的摩擦系数 μ = 0.04 ，求物体在 AB 与 CD 两斜面上（圆弧除外）运动的总路程。（取 g = 10m/s2）
7．如图 1—22 所示，水平转盘绕竖直轴 OO′转动，两木块质量分别为 M 与 m ，到 轴线的距离分别是L1和L2 ，它们与转盘间的最大静摩擦力为其重力的 μ 倍，当两木块用 水平细绳连接在一起随圆盘一起转动并不发生滑动时，转盘最大角速度可能是多少？
8．如图 2—23 所示，一质量为 M ，长为 l 的长方形木板 B ，放在光滑的水平地面上，
在其右端放一质量为m 的小木块，且 m＜M 。现以地面为参考系，给 A 和 B 以大小相等、
方向相反的初速度，使A 开始向左运动，B 开始向右运动，且最后 A 没有滑离木板 B，求 以地面为参考系时小木块 A 的最大位移是多少？摩
擦力做的功是多大？
9．如图 1—24 所示，A 、B 是体积相同的气缸，
B 内有一导热的、可在气缸内无摩擦滑动的、体积不计的活塞 C 、D 为不导热的阀门。起 初，阀门关闭，A 内装有压强 P1 = 2.0×105Pa ，温度 T1 = 300K 的氮气。B 内装有压强 P2 = 1.0×105Pa ，温度 T2 = 600K 的氧气。阀门打开后，活塞 C 向右移动，最后达到平衡。以 V1和V2分别表示平衡后氮气和氧气的体积，则V1∶V2 = 。（假定氧气和氮气均为 理想气体，并与外界无热交换，连接气体的管道体积可忽略）
10．用销钉固定的活塞把水平放置的容器分隔成 A 、B 两部分，其体 积 之 比 VA ∶VB = 2∶1 ，如图 1—25 所示。起初 A 中有温度为 127℃ ，压强为 1.8×105Pa 的空气，
B 中有温度 27℃ ，压强为 1.2×105Pa 的空气。拔出销钉，使活塞可以无摩擦地移动（不漏 气）。由于容器缓慢导热，最后气体都变成室温 27℃ ，活塞也停住，求最后 A 中气体的 压强。
11．如图 1—26 所示，A 、B 、C 三个容器内装有同种气体，已知 VA = VB = 2L ， VC = 1L ，TA = TB = TC = 300K ，阀门 D 关闭时 pA = 3atm ，pB = pC = 1atm 。若将 D 打 开，A 中气体向 B 、C 迁移（迁移过程中温度不变），当容器 A 中气体压强降为 Pa′= 2atm 时，关闭D ；然后分别给 B 、C 加热，使 B 中气体温度维持 Tb′= 400K ，C 中气体温 度维持Tc′= 600K ，求此时 B 、C 两容器内气体的压强（连通三容器的细管容积不计）。
12．如图 1—27 所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为 H ，上端封闭，
左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道相 连，容器、活塞和细管都是绝热的。开始时，阀门关闭，左边容器中装有热力学温度为T0
的单原子理想气体，平衡时活塞到容器底的距离为 H ，右边容器内为真空。现将阀门缓 慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡，求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体 的温度。（提示：一摩尔单原子理想气体的内能为3
2RT ，其中 R 为摩尔气体常量，T 为气 体的热力学温度。）
13．如图 1—28 所示，静止在光滑水平面上已经充电的平行板电 容器的极板距离为 d ，在板上开个小孔，电容器固定在一绝缘底座 上，总质量为M ，有一个质量为 m 的带正电的小铅丸对准小孔水平 向左运动（重力不计），铅丸进入电容器后，距左极板的最小距离为d
2， 求此时电容器已移动的距离。
14．一个质量为 m ，带有电量－q 的小物体，可在水平轨道 OX 上运动，O 端有一与 轨道垂直的固定墙壁，轨道处于匀强电场中，场强大小
为E，方向沿 OX 正方向，如图 1—29 所示，小物体以 初速 v0从x0点沿Ox 运动时，受到大小不变的摩擦力 f 的作用，且f＜qE ；设小物体与墙碰撞时不损失机械能，
且电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程s 。
15．如图 1—30 所示，一条长为 L 的细线，上端固定，下端拴一质量为 m 的带电小 球。将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E ，方向是水平的，已知当细线离开竖直位 置的偏角为α 时，小球处于平衡。求：
（1）小球带何种电荷？小球所带的电量；
（2）如果使细线的偏角由 α 增大到 φ ，然后将小球由静止开始释放，则 φ 应为多大，
才能使在细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？
16．把 6 只相同的电灯泡分别接成如图 1—31 所示的甲乙两种电路，两电路均加上 U 等于 12V 的恒定电压，分别调节变阻器 R1和 R2 ，使 6 只灯泡均能正常工作，这时甲乙 两种电路消耗的总功率分别为P1和P2 ，试找出两者之间的关系。
17．如图 1—32 所示，在竖直方向的 x 、y 坐标系中，在 x 轴上方有一个有界的水平向右的匀强电场，场强为 E ，x 轴的下 方有一个向里的匀强磁场，场强为B 。现从 A 自由释放一个带电 量为－q 、质量为 m 的小球，小球从 B 点进入电场，从 C 点进入 磁场，从 D 点开始做水平方向的匀速直线运动。已知 A、B 、C 点的坐标分别为（0 ，y1）、（0 ，y2）、（－x ，0），求 D 点的纵 坐标y3 。
参考答案
1、(1 +m M )g 2、ABC 3、1
2mg 4、t0
3
4m M M
+ 5、19mAgR 6、290m 7、
2 1
(M m)g ML mL μ +
+
8、s = 2ml
M m+ ，W = μmgl
9、4∶1 10、1.3×105Pa 11、2.5atm 12、h =2
5H ，T =7 5T0
13、 mg 4M
14、2qEx0 mv20 2f
+
15、（1）正电，c =mg
E tanα ，（2）φ = 2α 16、P1 = 2P2
17、y3 =－(1 2 ⋅
2
2 2
m g
q B －y1－ qE mgx)
二、隔离法
方法简介
隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力 情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。隔离法在求解物理 问题时，是一种非常重要的方法，学好隔离法，对分析物理现象、物理规律大有益处。
赛题精讲
例 1：两个质量相同的物体 1 和 2 紧靠在一起放在光滑 水平桌面上，如图 2—1 所示，如果它们分别受到水平推力 F1和F2作用，且F1＞F2 ， 则物体 1 施于物体 2 的作用力的 大小为（ ）
A．F1 B．F2 C．F F1 2 2
+ D．F F1 2 2
−
解析：要求物体1 和 2 之间的作用力，必须把其中一个隔离出来分析。先以整体为研 究对象，根据牛顿第二定律：F1－F2 = 2ma ①
再以物体2 为研究对象，有 N－F2 = ma ② 解①、②两式可得N =F F1 2
2
+ ，所以应选C
例 2：如图 2—2 在光滑的水平桌面上放一物体 A ，A 上再放 一物体 B ，A 、B 间有摩擦。施加一水平力 F 于 B ，使它相对 于桌面向右运动，这时物体A 相对于桌面（ ）
A．向左动 B．向右动
C．不动 D．运动，但运动方向不能判断 解析：A 的运动有两种可能，可根据隔离法分析
设AB 一起运动，则：a =
A B
F m +m AB 之间的最大静摩擦力：fm = μmBg
以A 为研究对象：若 fm≥mAa ，即：μ≥ A
B B A
m
m (m +m )g F 时，AB 一起向右运动。
若μ＜ A
B B A
m
m (m +m )g F ，则 A 向右运动，但比 B 要慢，所 以应选B
例 3：如图 2—3 所示，已知物块 A 、B 的质量分别为 m1 、 m2 ，A 、B 间的摩擦因数为 μ1 ，A 与地面之间的摩擦因数为 μ2 ， 在水平力F 的推动下，要使 A 、B 一起运动而 B 不至下滑，力 F 至少为多大？
解析： B 受到 A 向前的压力 N ，要想 B 不下滑，需满足的临界条件是：μ1N = m2g 。
设 B 不下滑时，A 、B 的加速度为 a ，以 B 为研究对象，用隔离法分析，B 受到重 力，A 对 B 的摩擦力、A 对 B 向前的压力 N ，如图 2—3 甲所示，要想 B 不下滑，需满 足：μ1N≥m2g ，即：μ1m2a≥m2g ，所以加速度至少为 a =
1
g μ 再用整体法研究A、B，根据牛顿第二定律，有：
F—μ2(m1 + m2)g = (m1 + m2)g = (m1 + m2)a 所以推力至少为：F = (m1 + m2)(
1
1
μ + μ2)g
例 4：如图 2—4 所示，用轻质细绳连接的 A 和 B 两个物体，沿着倾 角为α的斜面匀速下滑，问A 与 B 之间的细绳上有弹力吗？
解析：弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间，现 在细绳有无形变无法确定。所以从产生原因上分析弹力是否存 在就不行了，应结合物体的运动情况来分析。
隔离 A 和 B ，受力分析如图 2—4 甲所示，设弹力 T 存 在，将各力正交分解，由于两物体匀速下滑，处于平衡状态，
所以有：
mgAsinα = T + fA ① mgBsinα + T = fB ②
设两物体与斜面间动摩擦因数分别为μA 、μB ，，则：
fA = μANA = μAmAgcosα ③ fB = μBNB = μBmBgcosα ④ 由以上①②③④可解得：
T = mAg (sinα—μAcosα)和 T = mBg (μBcosα—sinα) 若T = 0 ，应有：μA = tanα ，μB = tanα
由此可见，当μA = μB时，绳子上的弹力T 为零。
若μA≠μB ，绳子上一定有弹力吗？
我们知道绳子只能产生拉力。当弹力存在时，应有：T＞0 ，即：μA＜tanα ，μB＞tanα 所以只有当μA＜μB时绳子上才有弹力。
例 5：如图 2—5 所示，物体系由 A 、B 、C 三个 物体构成，质量分别为mA 、mB 、mC 。用一水平力 F 作用在小车C 上，小车 C 在 F 的作用下运动时能使物体 A 和 B 相对于小车 C 处于静止状态。求连接 A 和 B 的 不可伸长的线的张力T 和力 F 的大小。（一切摩擦和绳、
滑轮的质量都不计）
解析：在水平力 F 作用下，若 A 和 B 能相对于 C 静止，则它们对地必有相同的水平加速度。而A 在绳的
张力作用下只能产生水平向右的加速度，这就决定了F 只能水平向右，可用整体法来求，
而求张力必须用隔离法。
取物体系为研究对象，以地为参考系，受重力(mA + mB + mC)g ，推力 F 和地面的弹
力N ，如图 2—5 甲所示，设对地的加速度为 a ，则有：
F = (mA + mB + mC)a ①
隔离B，以地为参考系，受重力 mBg 、张力 T 、C 对 B 的 弹力NB ，应满足：
NB = mBa ，绳子的张力 T = mBg ②
隔离A ，以地为参考系，受重力 mAg ，绳的张力 T ，C 的 弹力NA ，应满足；
NA = mAg ③ T = mAa ④
当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时，由②、④两式解出加速度：
a = B
A
m m g
代入①式可得：F = B A B C
A
m (m m m )g m
+ +
例 6：如图 2—6 所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为 m0
的平盘，盘中有一物体质量为m ，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度 伸长了L ，今向下拉盘，使弹簧再伸长 ΔL 后停止。然后松手放开，设弹 簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ ）
A．(1 + L L
Δ )mg B．(1 + L L
Δ )(m + m0)g
C． L L
Δ mg D． L L
Δ (m + m0)g
解析：确定物体m 的加速度可用整体法，确定盘对物体的支持力需用隔离法。选整体 为研究对象，在没有向下拉盘时有：
KL = (m + m0)g ① 在向下拉伸ΔL 又放手时有：
KΔL = (m + m0)a ② 再选m 为研究对象：FN－mg = ma ③ 解得：FN = (1 + L
L Δ )mg
应选A 。此题也可用假设法、极限法求解。
例 7：如图 2—7 所示，AO 是质量为 m 的均匀细 杆，可绕 O 轴在竖直平面内自动转动。细杆上的 P 点 与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡 板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ ，AP 长度是杆长 的1
4，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等 于 。
解析：求圆柱体对杆的支持力可用隔离法，用力矩平衡求解。求挡板对圆柱体的作用
力可隔离圆柱体，用共点力的平衡来解。
以杆为研究对象，受力如图2—7 甲所示，根据力矩平衡条件：
mg l
2cosθ = F3
4l ，解得：F =2
3mgcosθ 。根据牛顿第三定律，杆对圆柱体的作用力与 F 大小相等，方向相反，再以圆柱体为研究对象，将力 F 正交分解，如图 2—7—乙，在水 平方向有：
2
3mgcosθsinθ =1
3mgsin2θ 即挡板对圆柱体的作用力为1
3mgsin2θ 。
例 8：如图 2—8 所示，质量为 m 的小球被两个劲度系数 皆为k 的相同弹簧固定在一个质量为 M 的盒中，盒从 h 高处
（自桌面量起）开始下落，在盒开始下落的瞬间，两弹簧未
发生形变，小球相对盒静止，问下落的高度h 为多少时，盒与桌面发生完全非弹性碰撞后 还能再跳起来。
解析：盒下落过程可用整体法研究，下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究，盒起 跳时可隔离盒研究。
在盒与桌面发生碰撞之前，小球仅受重力作用，着地时速度为：v = 2gh 。
碰撞后盒静止，球先压缩下面的弹簧，同时拉上面的弹簧，当小球向下的速度减为零 后，接着又向上运动，在弹簧原长位置上方x 处，小球的速度又减为 0 ，则在此过程中，
对小球有：
1
2mv2 = mgx + 2⋅ 1 2kx2
把盒隔离出来，为使盒能跳起来，需满足：2kx＞Mg ，代入上式可解得：
h =Mg
2k (1 + M 2m )
例 9：如图 2—9 所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光 滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A ，并使这个 质点速度变为 u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点 D 的速度。
解析：要想求此瞬间质点D 的速度，由已知条件可知得用动量定理，由于 A 、B 、C 、 D 相关联，所以用隔离法，对 B 、C 、D 分别应用动量定理，即可求解。以 B 、C 、D
分别为研究对象，根据动量定理：
对B 有：IA－IBcos60°= mBu ① IA cos60°－IB = mBu1 ② 对C 有：IB－ID cos60°= mCu1 ③ IBcos60°－ID = mcu2 ④ 对D 有：ID = mDu2 ⑤ 由①~⑤式解得 D 的速度：u2 = 1
13u
例 10：有一个两端开口、粗细均匀的 U 形玻璃 细管，放置在竖直平面内，处在压强为p0的大气中，
两个竖直支管的高度均为h ，水平管的长度为 2h ，玻璃细管的半径为 r ，且 r h 。今 将水平管内灌满密度为ρ 的水银，如图 2—10 所示。
1．如将 U 形管两个竖直支管的开口分别密封起来，使其管 内空气压强均等于大气压强，问当U 形管向右做匀加速移动时，
加速度应为多大时才能使水平管内水银柱的长度稳定为5 3h？
2．如将其中一个竖直支管的开口密封起来，使其管内气体 压强为1 个大气压。问当 U 形管绕以另一个竖直支管（开口的）
为轴做匀速转动时，转数n 应为多大才能使水平管内水银柱的长 度稳定为5
3h（U 形管做以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜）
解析：如图 2—10—甲所示，U 形管右加速运动时，管内水银柱也要以同样加速度运 动，所以A 管内气体体积减小、压强增大，B 管内气体体积增大、压强减小，水平管中液 体在水平方向受力不平衡即产生加速度。若U 形管以 A 管为轴匀速转动时，水平部分的液 体也要受到水平方向的压力差而产生向心加速度。
1．当 U 形管以加速度 a 向右运动时，对水平管中水银柱 有：F1－F2 = ma ，即：
(pA + ρgh
3)S－pBS =5
3hSρ ⋅ a ① 对A 中气体有：p0hS = pA(h－h
3)S ，解得：
pA =3
2p0 ② 对B 中气体有：p0hS = pB(h +h
3)S ，解得：
pB =3
4p0 ③ 将②、③式代入①式可得：a =9p0 4 gh
20 h + ρ ρ
2．如图 2—10—乙，若 U 形管以 A 管为轴匀速转动时，对水平管中水银柱有：F2— F1 = ma 。若转速为 n ，则有：
(pB′+ ρgh
3)S－p0S = m ⋅ (2πn)2⋅ 7
6h ① 对B 中气体有：p0hS = pB′(h－h
3)⋅S ，解得：
pB′=3
2p0 ② 将②式代入①式可解得转速：
n = 1 9p0 6 gh h 140
+ ρ
π ρ
例 11：如图 2—11 所示，一个上下都与大气相通的竖直圆筒，
内部横截面的面积S = 0.01m2 ，中间用两个活塞 A 与 B 封住一定质 量的理想气体，A 、B 都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动，但不漏气，
A 的质量可不计，B 的质量为 M ，并与一倔强系数 k = 5×103N/m 的较长的弹簧相连。已知大气压强p0 = 1×105Pa ，平衡时，两活塞 间的距离l0 = 0.6m 。现用力压 A 使之缓慢向下移动一定距离后，
保持平衡，此时，用于压A 的力 F = 5×102N 。求活塞 A 向下移动 的距离。（假定气体温度保持不变。）
解析：活塞A 下移的距离应为 B 下降的距离与气体长度的减小量之和，B 下降的距离 可用整体法求解。气体长度的变化可隔离气体来求解。
选A 、B 活塞及气体为研究对象，设用力 F 向下压 A 时，活塞 B 下降的距离为 x ， 则有：F = kx ①
选气体为研究对象，据玻意耳定律有：p0l0S = (p0 +F
S)l⋅S ② 解①②两式可得：x = 0.1m ，l = 0.4m
则活塞A 下移的距离为：y = 0.1 + 0.6—0.4 = 0.3m
例 12：一个密闭的气缸，被活塞分成体积相等的左右两室，
气缸壁与活塞是不导热的，它们之间没有摩擦，两室中气体的温 度相等，如图2—12 所示，现利用右室中的电热丝对右室中的气 体加热一段时间，达到平衡后，左室的体积变为原来体积的3
4， 气体的温度T1 = 300K 。求右室中气体的温度。
解析：可隔离出A 、B 两部分气体，用理想气体状态方程求解。
设原来两室中气体的压强都为p ，温度都为 T ，体积都为 V ，
对左边气体有：pV T =
1
p 3V 4 T
′
①
图 2－10－乙
对右边气体有：pV T =
2
p 5V 4 T
′
②
①、②两式相比，可得右室中气体温度T2 =5
3T1 = 500K 例 13：如图 2—13 所示，封闭气缸的活塞被很细的弹簧拉着，
气缸内密封一定质量的气体，当温度为 27℃时，弹簧的长度为 30cm ，此时缸内气体的压强为缸外大气压的 1.2 倍，当气温升到 123℃时，弹簧的长度为 36cm ，求弹簧的原长。
解析：本题所研究的对象就是密封在气缸内的一定质量的气体，气体所处的初态为：
T1 = 300K 、V1 = SL1 、（S 为气缸横截面积，L1为弹簧长度）p1 = p0 +F1
S = 1.2P0 ， 末态为T2 = 396K 、V2 = SL2 、p2 = p0 +F2
S （p0为大气压强，F1 、F2为弹簧的弹力）。气 体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解：
将上述各状态参量代入状态方程： 1 1
1
p V
T = 2 2
2
p V T 解得：p2 = 1.1p1 = 1.32p0
由于弹力产生的压强等于气缸内外气体的压强差，所以：
K L1
S
Δ = p1—p0 = 0.2p0 ①
K L2
S
Δ = p2—p0 = 0.32p0 ②
联立①、②式得：ΔL2 = 1.6ΔL1
即：L2—L0 = 1.6 (L1—L0) 解得弹簧的原长为L0 = 20cm
例 14：一个由绝缘细细构成的钢性圆形轨道，其半径为 R ，此轨道水平放置，圆心在 O 点，一个金属小珠 P 穿在此 轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P 带电荷 Q 。已知在 轨道平面内A 点（OA = r＜R）放有一电荷 q。若在 OA 连线 上某一点A1放电荷q1 ，则给小珠 P 一个初速度，它就沿轨 道做匀速圆周运动，求A1点的位置及电荷q1之值。
解析：小珠P 虽沿轨道做匀速圆周运动，但受力情况并不清楚，因此不能从力的角度 来解决，可以从电势的角度来考虑，因为小珠P 沿轨道做匀速圆周运动，说明小珠只受法 向的电场力。由此可知，电场力对小珠P 做功为零，根据 W = qU 可知，圆轨道上各点电 势相等，根据题意作图如图2—14 ，设 A1点距圆形轨道的圆心O 为 r1 ，A 点放的电荷 q 距圆心为r ，由此得：
kq
R r− = 1
1
kq
r −R ①
kq
R r+ = 1
1
kq
r +R ②
解①、②两式可得：A1点的位置距圆心O 的距离为 r1 =R2
r ，所带电量q1 =R r q 例 15：如图 2—15 所示，两个电池组的电动势 ε1 = ε2
= 3V ，每节电池的内阻均为 0.5Ω ，R1 = 1Ω ，R2 = 2Ω ， R3 = 1.8Ω ，求通过 R1 、R2 、R3的电流及两个电池组的 端电压各是多少？
解析：解此题时，可采用与力学隔离法相似的解法，
即采用电路隔离法。
气体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态 方程求解。
先将整个电路按虚线划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部分，则 有：
UAB = ε1 —I1 (R1 + 2r) ① UAB = ε2—I2 (R2 + 2r) ② UAB = I3R3 ③ I1 + I2 = I3 ④
联立①②③④四式解得：I1 = 0.6A ，I2 = 0.4A ，I3 = 1A ，电池组 ε 的端电压 U1 = 2.4V ， 电池组ε2的端电压U2 = 2.6V 。
例16 如图 2—16 所示，两根相互平行的间距 L = 0.4m 的金属导轨水平放在 B = 0.2T 的匀强磁场中，磁场垂直于导轨平面，导轨上的滑杆 ab 、cd 所受摩擦力均为 0.2N ，两 杆电阻均为0.1Ω ，导轨电阻不计。当 ab 受到恒力 F 作用时，ab 以 v1做匀速运动，cd 以 v2做匀速运动，求通过ab 杆的电流强度的大小和方向。
解析 要求通过 ab 杆的电流强度，应通过 ab 杆受的安培力求解，这就需要隔离出 ab 杆进行受力分析。
以ab 杆为研究对象，因右手定则确定电流的方向为 b→a ，受力如图 2—6—甲所示。
因为ab 杆匀速运动处于平衡状态，故有：
F = f + BIL
再以滑杆 ab 、cd 整体作为研究对象，受力如图 2—16—乙所示，因为 ab 、cd 均做
匀速运动，受力平衡，故有：
F = 2f = 0.4N
代入上式，解得通过ab 杆的电流为：
I =F f BL
− = 2.5A
所以通过ab 杆的电流的大小为 2.5A ，方向 b→a 。
针对训练
1．质量为 8kg 的木块 m 放在质量为 16kg 的木板 M 上，并通过滑轮用细绳连接，如 图2—17 所示，M 与 m 间，M 与水平地面间的动摩擦因数 μ 均为 0.25 ，滑轮摩擦不计。
欲使M 向匀速运动，水平拉力应为多大？（g 取 10m/s2）
2．在水平面上有两个物体 A 和 B，它们之间用不可伸缩的质量不计的细绳连接起来，
其中mA = 3kg ，mB = 2kg ，它们与地面间的动摩擦因数 μ = 0.1 。如图 2—18 所示，今用 一与水平方向成37°角、大小为 10N 的恒力拉 B ，使 AB 一起向右做匀加速直线运动，
试求A 对 B 的拉力。（g 取 10m/s2）
3．如图 2—19 所示，小物体 m 放在大物体 M 上，M 系在固定于墙上的水平弹簧的另一端，
并置于光滑水平面上，若弹簧的劲度系数为k ， 将M 向右拉离平衡位置 x 后无初速度释放，在以 后的运动中M 与 m 保持相对静止，那么 m 在运 动中受到的最大和最小摩擦力分别为多大？
4．电梯内有一个物体，质量为 m ，用细线挂在电梯的天花板上，当电梯以g
3的加速 度竖直加速度竖直加速下降时（g 为重力加速度），细线对物体的拉力为（ ）
A．2
3mg B．1
3mg C．4
3mg D．mg
5．两物体 A 和 B ，质量分别为 m1和m2 ，互相 接触放在光滑水平面上，如图2—20 所示，对物体 A
施以水平的推力F ，则物体 A 对物体 B 的作用力等于（ ） A． 1
1 2
m
m +m F B． 2
1 2
m
m +m F C．F D． 2
1
m m F
6．在光滑水平面上有一木板，一木棒 A、B 可沿水平轴 O 转动，其下端 B 搁在木板 下，而整个系统处于静止状态（如图 2—21 所示）。现在用水平力 F 向左推木板，但木板 仍未动。由此可以得出结论：施力F 后，木板和木棒之间的正压力（ ）
A．变大 B．不变
C．变小 D．条件不足，不能判断如何改变
7．如图 2—22 所示，两木块的质量分别为 m1和m2 ，两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1和k2 ，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态。现缓慢向上 提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（ ）
A． 1
1
m g
k B． 2
1
m g
k C． 1
2
m g
k D． 2
2
m g k
8．如图 2—23 ，质量为 2m 的物块 A 与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为 m 的物 块B 与地面的摩擦系数为 μ 。在已知水平推力 F 的作用下，AB 做加速运动，A 对 B 的作 用力为 。
9．如图 2—24 所示，两块木块 A 和 B，质量分别为 mA和mB，紧挨着并排在水平桌 面上，AB 间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成 θ 角。A、B 间的接触面是光滑的，但 它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ。开始时A、B 都静止，现 施一水平推力F 于 A。要使 A、B 向右加速运动且 A、B 之间不发生相对滑动，则
（1）μ的数值应满足什么条件？
（2）推力 F 的最大值不能超过多少？
（只考虑平动，不考虑转动问题）
10．系统如图 2—25 所示，滑轮与绳的质量忽略，绳不可伸长。设系统所有部位都没 有摩擦，物体 B 借助导轨（图中未画出来）被限定沿物体 C 的右侧面运动，试求物体 C 的运动加速度。
11．质量分别为 m1 、m2和m3的三个质点A、B、
C 位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔 软的轻绳 AB 和 BC 连接，∠ABC 为 π－α ，α 为一 锐角，如图2—26 所示，今有一冲量为 I 的冲击力沿 BC 方向作用于质点 C ，求质点 A 开始运动时的速度。
12．如图 2—27 所示，四个质量均为 m 的质点，
用同样长度且不可伸长的轻绳连结成菱形 ABCD ，静止放在水平光滑的桌面上。若突然 给质点A 一个力时极短沿 CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点 A 的速度为 V ，其 他质点也获得一定的速度，∠BAD = 2α（α＜
4
π）。求此质点系统受到冲击后所具有的总动
量和总能量。
13．如图 2—28 所示，一三角木块 ABC 置于光滑水平面上，两斜边与平面夹角分别 为30°、60°。在斜边上有两个物体 m1 、m2，用不可伸长的细绳连接并跨在顶点A 的定 滑轮上，m1 、m2 可在斜面上无摩擦地滑动。已知木块的质量为 M ，三物体的质量比为 m1∶m2∶M=4∶1∶16 ，滑轮光滑且质量可忽略。
（1）求 M 的加速度 a 及 m1相对于M 的加速度 a′；
（2）若 m1从静止开始沿斜面移动20cm ，求 M 沿水平面移动的距离。
14．如图 2—29 所示，可沿气缸壁自由活动的活塞将密封的圆筒形气缸分隔成 A 、B 两部分。活塞与气缸顶部有一弹簧相连。当活塞位于气缸底部时弹簧恰好无形变，开始时 B 内充有一定量的气体，A 内是真空，B 部分高度为 l1 = 0.10 米，此时活塞受到的弹簧作 用力与重力的大小相等。现将整个装置倒置。达到新的平衡后 B 部分的高度 L2于多少？
设温度不变。
15．图 2—30 中竖直圆筒是固定不动的，粗筒横截面积是细筒的 4 倍，细筒足够长。
粗筒中A、B 两轻质活塞间封有空气，气柱长 l = 20 厘米。活塞 A 上方的水银深 H = 10 厘 米，两活塞与筒壁间的摩擦不计。用外力向上托住活塞B ，使之处于平衡状态，水银面与
粗筒上端相平。现使活塞B 缓慢上移，直至水银的一半被推入细筒中，求活塞 B 上移的距 离（设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强p0相当于75 厘米高的水银柱产生的压强）。
16．如图 2—31 是容器的截面图，它是由 A、B 两部分构成，两部分都是圆筒形，高 度都是h ，底面积 SB = S ，SA = 2S ，容器下端有一小孔 a 与大气相通，上端开口，B 中 有一质量为m 厚度不计的活塞，它与 B 的器壁有摩擦，最大摩擦力为 f(f)mg，开始时活塞 N 位于 B 的最下端，已知大气压强为 p0 ，当时温度为 T0 ，现把 a 孔封闭，为保证封闭气 体不与外界相通，筒中气体温度允许在多大范围内变化？
17．如图 2—32 所示，长为 2l 的圆形筒形气缸可沿摩擦 因数为μ的水平面滑动，在气缸中央有一个截面积为 S 的活 塞，气缸内气体的温度为T0 ，压强为 p0（大气压强也为p0）。 在墙壁与活塞之间装有劲度系数为k 的弹簧，当活塞处于如图 位置时，弹簧恰好在原长位置。今使气缸内气体体积增加一倍，
问气体的温度应达到多少？（气缸内壁光滑，活塞和气缸总质 量为m）。
18．A 、B 两带电小球，A 固定不动，B 的质量为 m。在
库仑作用下，B 由静止开始运动。已知初始时 A 、B 间的距离为 d ，B 的加速度为 a 。 经过一段时间后，B 的加速度变为a
4，此时 A 、B 间的距离应 为 。已知此时 B 的速度为 v ，则在此过程中电势能的减 少量为 。
19．如图 2—33 所示，是电磁流量计的示意图，在非磁性材 料做成的圆管道外加一匀强磁场区域，当管中的导电液体流过磁 场区域时，测出管壁上、下表面两点 a 、b 间的电动势为 ε ，
从而可求出管中液体在单位时间内的流量Q 。已知圆管的内径为 D ，磁感应强度为 B ， 试推导出Q 与 ε 的关系表达式。
20．如图 2—34 所示，一矩形管中（管长 为 l ，两侧面为导电面，并有导线在外面与之 相连，上下面则为绝缘面）有电阻率为 ρ 的水 银流动，当其一端加上压强 p 时，水银的流速 为v0 。现在竖直方向加上磁感应强度为 B 的匀 强磁场。试证明：此时水银的流速为：
v = v0 (1 +
2
v B L0
ρp )－1 。（设水银的速度与压 强成正比）
参考答案
1．F = 100N
2．T = 5.16N 3．fmax = mkx
M m+ ，fmin = 0 4．A
5．B 6．C 7．C 8．F 2mg
3 +
9．（1）μ＜ A
A B
m
m +m tanθ ；（2）F＜ A B A
B
(m m )m g m
+ (tanθ－μ)
10．aC = A B
A B C A B A
m m g
(m +m +m )(m +m ) m− 11．vA = 2 2
2 1 2 3 1 2
lm cos
m (m m m ) m m sin α
+ + + α，方向沿AB 方向。
12．P = 4mv2
1 2sin+ α，E = 2mv22 1 2sin+ α
13．（1）a = 0.5m/s2 ，a′= 0.64m/s2 ；（2）3.78cm 14．0.2m
15．8cm
16． 0 0
0
p S mg f p S T + −
≤T≤ 0 0
0
p S mg f p S T + +
17．摩擦力足够大时，T = 2 (1 +
0
kl
p S)T0 ；摩擦力不是足够大时 T = 2 (1 +
0
mg p S μ )T0
18．2d ，1 2mv2 19．Q = D
4B πε
20．证明略。
高中奥林匹克物理竞赛解题方法
三、微元法
方法简介
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法 可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵 循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的 数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，
从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
赛题精讲
例 1：如图 3—1 所示，一个身高为 h 的人在灯以悟空速度 v 沿水平直线行走。设灯距地面高 为 H，求证人影的顶端 C 点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。
设某一时间人经过 AB 处，再经过一微小过程
△t（△t→0），则人由 AB 到达 A′B′，人影顶端 C 点到达 C′点，由于△SAA′=v△t 则人影顶端的
移动速度
h H
Hv t
h S H
H t
v S
A A
t C C
C t
= −
Δ
− Δ Δ =
= Δ
′→ Δ
′
→
Δ
lim
0lim
0可见 vc与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶 端 C 点做匀速直线运动.
例 2：如图 3—2 所示，一个半径为 R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链 A 端受的拉力 T.
解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能 忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况.
在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，
其受力分析如图 3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，
所以受力平衡，在切线方向上应满足：
θ θ
θ T G θ T
T
+ Δ = Δ cos +
Δ
Tθ= Δ
Gcos
θ=
ρΔ
Lgcos
θ由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大
△Tθ，所以整个铁链对 A 端的拉力是各段上△Tθ的和，
即 T
= ∑ Δ
Tθ= ∑ρΔ
Lgcos
θ =
ρg∑ Δ
Lcos
θ观察
Δ
Lcos
θ 的意义，见图 3—2—乙，由于△θ很小，所以 CD⊥OC，∠OCE=θ△Lcosθ表示△L 在竖直方向上的投影△R，
所以
∑ ΔLcos
θ =
R 可得铁链 A 端受的拉力 T =
ρg∑ ΔLcos
θ =
ρgR
cos
θ=
ρgR例 3：某行星围绕太阳 C 沿圆弧轨道运行，它的近日点 A 离太阳的距离为 a，行星经过近日点 A 时的速度为vA， 行星的远日点 B 离开太阳的距离为 b，如图 3—3 所示，
求它经过远日点 B 时的速度vB的大小.
解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也 可根据开普勒第二定律，用微元法求解.
设行星在近日点 A 时又向前运动了极短的时间△t，由于时间极短可以认为行星在△t 时间内 做匀速圆周运动，线速度为vA，半径为 a，可以得到行星在△t 时间内扫过的面积
a t v Sa
=
AΔ ⋅
2
1
同理，设行星在经过远日点 B 时也运动了相同的极短时间△t，则也有 Sb
=
vBΔ
t⋅
b2
1
由开普勒第二定律可知：Sa=Sb即得 B vA b
v
=
a 此题也可用对称法求解.例 4：如图 3—4 所示，长为 L 的船静止在平静的水面上，
立于船头的人质量为 m，船的质量为 M，不计水的阻力，
人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？
解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，
系统所受合外力为零，可知系统动量守恒.设人在走动过 程中的△t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移.
设 v1、v2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有
2
1 Mv
mv
=
① 两边同时乘以一个极短的时间△t， 有 mv1Δ
t=
Mv2Δ
t ② 由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为
