第二章 k p 法與量子點等效位能
3.3 有限差分法的收斂與驗證
使用有限差分法作計算要如何逼近到準確的值是很重要的。
在本章的第一節有提到我們使用有限差分法的誤差來源是來自 大於(
x
)2高次方項，因此只要將 x
的值縮小，便可以得到更精 確的值。所以在計算上我們會提高格點的數量來求解。但是，受 限於計算所使用的機器與程式，提高格點的數量會增加記憶體的 使用。因此並不能無限制的提高格點數量，而且當使用很大量的 格點求解時也會增加運算的時間。圖(3.3.1)表示使用有限差分法 計算六能帶模型，我們所採用的量子點材料為 InAs/GaAs，參數 列於附錄 A，其形狀為截角金字塔，其底部長度及寬度為 12nm、高度 5nm。測詴格點與記憶體大小及計算時間的關係。在測詴時 電腦的 CPU：2.27GHz、記憶體大小 70GB 與 Linux 作業系統，
在編譯程式是使用 intel fortran compiler。
圖(3.3.2)與圖(3.3.1)的所計算的量子點相同，圖(3.3.2)則表示有限 差分法所展開六能帶模型的矩陣中非零項與記憶體大小及計算 時間的關係。
而我們知道當格點的數量越高，便可以得到更精確的值。但是由 圖(3.3.1)與圖(3.3.2)可以發現，當提高格點的數量時，時間及記 憶體的需求也越來越大。所以在選取合適的格點數量，達到有效
(a) (b)
圖 3.3.1 (a)x 方向格點與程式所使用記憶體大小關係(b)x 方向格點與程式所需時 間大小關係。這裡取的計算範圍 x、y、z 方向皆為 30nm；x、y、z 方 向格點相同(Nx=Ny=Nz)。
(a) (b)
圖 3.3.2 (a)矩陣中非零項與程式所使用記憶體大小關係。(b)矩陣中非零項與程 式所需時間大小關係。
率且精確的計算變成為使用上的關鍵。接下來我們對能量做收斂
ground state Nx
E E
量子點底部長、寬皆為 12nm。(a)與(c)圖量子點高度為 5nm。(b)與(d) 圖量子點高度為 2nm。x、y、z 方向格點相同(Nx=Ny=Nz)。
由圖(3.3.3)可以看到選擇相同格點數量的時候，高度較小的量子 點的收斂性是比較差的。這是因為當高度變小的時候，在量子點 內部的格點數量也變少了，使得格點沒有辦法很完整的描述位能、
波函數及量子點的形狀，因此沒辦法達到收斂的值，如圖(3.3.4) 與圖(3.3.5a)與圖(3.3.5b)。所以要達到收斂的結果，關鍵就在於 量子點內部存在多少的格點數量，是否可以完整的描述位能及量 子點的形狀，如圖(3.3.5c)與圖(3.3.5d)。
(a) (b)
圖 3.3.4 (a)、(b)z 方向的位能圖。圖上的點為實際格點的位置，量子點底部長、
寬皆為 12nm。(a)圖量子點高度為 5nm。(b)圖量子點高度為 2nm。
40
Nz Nz 40
接下來對計算量子點電子結構的程式作驗證。由於矩陣非常 的龐大，所以我們取矩陣中四能帶的部分出來先作比較。文獻[15]
中所模擬的量子點形狀為圓盤型(disk)，半徑為 30nm，高度為 12nm。文獻內的計算是考慮外加磁場與能量之間的關係，由於 目前我們不考慮磁場的作用，所以我們比較的部分就是在磁場為 零的能階，如圖(3.3.6)所示。
(a) (b)
(c) (d)
圖 3.3.5 z 方向的波函數分佈。圖上的點為實際格點的位置，量子點底部長、寬 皆為 12nm。(a)、(c)圖量子點高度為 5nm。(b)、(d)圖量子點高度為 2nm。
40 Nz 40
Nz
70 Nz 70
Nz
由圖(3.3.6)可知，四能帶模型的計算結果與文獻的比較相當的接 近，所以我們的程式是可信任的。再接下來對六能帶模型的程式 所計算的結果與文獻[16]作比較。文獻中模擬為雙量子點，隨距 離的改變與能量之間變化的關係，量子點形狀為圓盤型(disk)，
半徑為 10nm，高度為 2nm。目前六能帶的程式模擬是考慮單一 個量子點，但是文獻是考慮雙量子點的情況。當雙量子點距離很 遠的時，可以視為單一量子點的計算，所以在與文獻比較，我們 就選用文獻中距離較遠的結果來作比較，如圖(3.3.7)。
圖 3.3.6 四能帶模型的程式與文獻[15]的比較結果。其中左圖的部分是使用程 式計算能量的結果，而右圖是文獻的結果。
60nm
12nm
由圖(3.3.7)可知，六能帶模型的計算結果與文獻的比較相當的接 近，所以我們六能帶模型的程式是可信任的。
圖 3.3.7 六能帶模型與四能帶模型的程式與文獻[16]的比較結果。其中右邊的 部分是使用程式計算能量的結果，而左邊部分是文獻的結果。