本篇論文我們使用
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理論並搭配波包近似法，去計算量 子點的電子結構。在數值方法利用有限差分法展開成矩陣。接著，我們使用 fortran 的程式語言撰寫程式，並使用 ARPACK[20]對角 化矩陣，最後求得能量與波函數。
對於有限差分法的使用也作了一些討論，我們可以從一階微 分的形式推導二階交叉項的微分，甚至可以推廣到更高次項的微 分。在使用上我們的電腦為 CPU：2.27GHz、記憶體大小 70GB 與 Linux 作業系統，編譯程式則是使用 intel fortran compiler。在 使用三維均勻格點的計算時，在單一維度的格點至少需要 70 個 格點以上才能對基態的計算達到收斂性較好的結果，而計算的時 間大約 15 個小時，記憶體的使用量約 14GB 左右。在使用上的 限制，我們發現在量子點高度 2nm 以下時收斂性會比較差，這 與我們使用均勻格點描述位能及波函數有關。當量子點某一方向 長度縮小時，會使得用來描述量子點形狀的格點減少，因此失真 的情況會表現在位能與波函數上所以造成不收斂的結果。
在論文的工作上，我們建立了一個用來計算量子點電子結構 的程式，並且我們與文獻[15,16]作比較與驗證。而這個程式是可
以拿來模擬實驗上觀測到的量子點。實際應用於以下三種量子點：
1.hierarchical量子點 2.droplet epitaxy量子點 3.InAs/GaAs自組式 量子點。在三種量子點中以hierarchical量子點的高度以及長度都 是最大，其導電帶的能階量化約5meV，價電帶能階量化約1.5meV。
droplet epitaxy量子點，高度與hierarchical量子點接近，但是長度 略小一點，在能量上導電帶的能階量化約10meV，價電帶能階量 化約3meV。InAs/GaAs自組式量子點，高度與長度都小於其他兩 種量子點，所以在能階量化都比較大。導電帶能階量化約70meV，
價電帶能階量化約25meV。
而在程式的使用上，當決定好格點、材料參數、量子點形狀、
應變與 Hamiltonian 後，便可以計算出量子點的電子結構。所以 在程式上也把這部分給模組化，譬如當要改變量子點形狀時，只 需要把特徵函數給替換掉；當 Hamiltonian 的形式改變時，可以 使用第三章(3.2.12)式~(3.2.18)式的做法，整理出係數矩陣，最後 替換掉程式內的係數矩陣即可。因此，在程式的可讀性與擴充性 也提高了。
在論文中仍有許多的效應並沒有被考慮，例如電子與電洞間
coupling)等。這些效應均會改變量子點電子結構。而在導電帶與 價電帶部分是分開來計算，若要更加精確可以使用八能帶的理論 作計算。而在數值方法的改善上，我們是使用均勻格點的有限差 分法。而使用上還是有一些的限制，要達到非常理想的收斂結果 時必頇要使用龐大的記憶體與時間。在文獻[23,24]上有使用非均 勻格點的有限差分法，應該可以提高程式的效率。
參考文獻
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附錄 A、材料參數
表 A.2 GaAs/Al0.45Ga0.55As 材料參數[8,21] Luttinger parameter
1 6.85Luttinger parameter
2 2.1 Luttinger parameter
3 2.9表 A.3 GaAs/Al0.35Ga0.65As 材料參數[8,22] Luttinger parameter
1 6.85Luttinger parameter