利用有限差分法計算半導體量子點電子結構

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國立交通大學

電子物理學系

碩士論文

利用有限差分法計算半導體量子點電子結構

Finite difference method for calculation of electronic

structure of semiconductor quantum dots

研究生：古智豪

指導教授：鄭舜仁教授

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利用有限差分法計算半導體量子點電子結構

Finite difference method for calculation of electronic structure of semiconductor quantum dots

研究生：古智豪 Student：Chih-Hao Ku 指導教授：鄭舜仁教授 Advisor：Shun-Jen Cheng 國立交通大學電子物理研究所碩士論文 A Thesis

Submitted to Department of Electrophysics College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electrophysics

July 2011

HsinChu, Taiwan, Republic of China

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利用有限差分法計算半導體量子點電子結構學生：古智豪指導教授：鄭舜仁博士國立交通大學電子物理研究所碩士班摘要本篇論文主要是在探討如何利用有限差分法計算半導體量子點的電子結構，並應用於以下三種量子點：1. hierarchical量子點[17] 2.droplet epitaxy量子點[18] 3. InAs/GaAs自組式(self-assembled)量子

點[19]。在文章中利用了多能帶k p 理論以及波包近似法計算量子點電子結構。在使用三維均勻格點的有限差分法中，在單一維度上至少需使用70格點以上對於基態的計算才可以達到較佳收斂性。在計算上使用的電腦配備為CPU 2.27GHz與linux作業系統，要達到收斂的計算時間約15個小時，記憶體的使用大小為14GB。在三種量子點中以hierarchical量子點的高度以及長度都是最大，其導電帶的能階量化約5meV，價電帶能階量化約1.5meV。droplet epitaxy量子點，高度與hierarchical量子點接近，但是長度略小一些。在能量上導電帶的能階量化約10meV，價電帶能階量化約3meV。 InAs/GaAs自組式量子點，高度與長度都小於其他兩種量子點，所以在能階量化都比較大。導電帶能階量化約70meV，價電帶能階量化約 25meV。

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Finite difference method for calculation of electronic structure of semiconductor quantum dots

Student：Chih-Hao Ku Advisor：Shun-Jen Cheng

Department of Electrophysics National Chiao Tung University

ABSTRACT

We present finite difference method simulation for the electronic

structures of semiconductor quantum dots in the framework of multi-band kp theory and envelope function approximation (EFA). By using the numerical techniques, the electronic structures of three kinds of quantum dots, i.e. hierarchical quantum dots[17], droplet epitaxy quantum dots[18] and InAs/GaAs self-assembled quantum dots[19] are computed. In the three-dimensional finite difference method with uniform grids, it is found that more than 70 grids in a dimension is necessary to get satisfactory convergence consequences. With the grid number, the numerical time more than 15 hours and 15GB RAM size are needed to execute a code on a machine of CPU 2.27GHz and linux O.S..

Among the three types of quantum dots under consideration, the hierarchical quantum dots have greater sizes than others with height ~7nm and length ~ 70nm. As a result, the lateral quantization of hierarchical quantum dots is about 5meV for an electron and about 1.5meV for a valence hole. For droplet epitaxy quantum dots, whose heights are close to the hierarchical quantum dots but lengths are smaller, the quantization energy are about 10meV for a conduction electron and about 3meV for a valance hole. Self-assembled quantum dots usually have the smallest sizes than others. It turns out that the quantization is

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致謝首先，感謝鄭舜仁老師這兩年碩士生涯對我的指導與諄諄教誨。讓我在固態物理以及理論計算上更進一步的了解，以及在作研究上應該具備的態度與方法。感謝口詴委員周武清老師、張文豪老師、林炯源老師在口詴時提出的寶貴意見。感謝盧書楷、廖禹淮學長在平常對我的照顧與指導，讓我在碩士生活中得到許多幫助。接著要感謝陳彥廷、尤文廷、陳勇達、趙虔震、徐燁、許克銘、曾浤鈞學長們在研究上以及技術上的帶領，使我的研究可以更加順利。也謝謝研究室同屆同學鄭丞偉、張語宸、廖建智、林以理、陳力瑋、張書瑜，在平常課業上的討論以及互相幫助。也謝謝學弟、妹們的陪伴與幫忙。感謝家人提供我一個無憂無慮的環境，讓我可以堅持自己的理想。而在我在疲憊或是遭受挫折的時刻，提供一個溫暖的地方讓我有繼續堅持下去的勇氣。最後想對所有幫助過我的人說聲謝謝。

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目錄：中文摘要 ... ii 英文摘要 ... iii 致謝 ... iv 目錄： ... v 表目錄： ... vii 圖目錄： ... viii 第一章導論 ... 1 1.1 量子點簡介 ... 1 1.2 理論文獻 ... 1 1.3 研究動機 ... 2 1.4 章節概要 ... 2 第二章 k p 法與量子點等效位能 ... 4 2.1 k p 法 ... 5 2.2 多能帶模型(multi-band models) ... 7

2.3 波包近似法(Envelope function approximation) ... 13

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3.1 一維均勻格點的有限差分法 ... 23 3.2 三維均勻格點的有限差分法 ... 27 3.3 有限差分法的收斂與驗證 ... 39 第四章量子點電子結構 ... 46 4.1 hierarchical 量子點的電子結構與波函數 ... 46 4.2 droplet epitaxy 量子點的電子結構與波函數 ... 55 4.3 InAs/GaAs 量子點的電子結構與波函數 ... 62 第五章結論 ... 71 參考文獻 ... 74 附錄 A、材料參數 ... 76

(8)

表目錄：

表 3.2.1 係數矩陣與有限差分項對照表 ... 32

表 4.1.1 文獻[17]中量測的量子點的大小 ... 47

表 4.2.1 根據文獻[18]所估計的量子點大小 ... 55

表 4.2.2 hierarchical 量子點與 droplet epitaxy 量子點計算結果比較 ... 61

表 4.3.1 hierarchical 量子點、droplet epitaxy 量子點與 InAs/GaAs 量子點計算結果比較 ... 70

表 A.1 InAs/GaAs 材料參數[8,14] ... 76

表 A.2 GaAs/Al0.45Ga0.55As 材料參數[8,21] ... 77

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圖目錄：圖 2.1 理論流程圖 ... 4 圖 2.3.1 六能帶模型等效位能示意圖。 ... 15 圖 2.4.1 截角金字塔特徵函數示意圖(xz 平面) ... 17 圖 2.4.2 導電帶的位能圖 ... 17 圖 2.4.3 價電帶的位能圖 ... 18 圖 2.4.4 利用有限元素法計算 strain tensor 與文獻[14]比較的結果。 ... 21 圖 2.4.5 利用有限元素法計算應變張量。 ... 22 圖 2.4.6 考慮應變後等效位能的變化。 ... 22 圖 3.1.1 一維均勻格點示意圖 ... 24 圖 3.1.2 一維均勻格點有限差分法展開(3.1.6)式後的矩陣型式 . 26 圖 3.2.1 利用有限差分法近似二階微分與解析結果比較。... 29 圖 3.2.2 三維均勻格點示意圖 ... 30 圖 3.2.3 製作表(3.2.1)示意圖 ... 32 圖 3.3.1 (a)x 方向格點與程式所使用記憶體大小關係(b)x 方向格點與程式所需時間大小關係。 ... 40 圖 3.3.2 (a)矩陣中非零項與程式所使用記憶體大小關係。(b)矩陣

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中非零項與程式所需時間大小關係。 ... 40 圖 3.3.3 (a)、(b)x 方向格點與量子點價電帶的能階關係，(c)、(d) x 方向格點與量子點價電帶的能階誤差百分比 ... 41 圖 3.3.4 (a)、(b)z 方向的位能圖。 ... 42 圖 3.3.5 z 方向的波函數分佈。 ... 43 圖 3.3.6 四能帶模型的程式與文獻[15]的比較結果。 ... 44 圖 3.3.7 六能帶模型與四能帶模型的程式與文獻[16]的比較結果。 ... 45 圖 4.1.1 GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的示意圖。 ... 46 圖 4.1.2 GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的價電帶能階收斂情形。 .. 47 圖 4.1.3 GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的導電帶能階。 ... 48 圖 4.1.4 GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的價電帶能階。 ... 48 圖 4.1.5 GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的導電帶基態波函數。 ... 50 圖 4.1.6 GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的價電帶基態波函數。 ... 50 圖 4.1.7 GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的導電帶第一激發態波函數。 ... 51 圖 4.1.8 GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的價電帶第一激發態波函數。 ... 51 圖 4.1.9 不考慮輕、重電洞耦合下，GaAs/Al0.45Ga0.55As 量子點的

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圖 4.2.1 文獻[18]中所觀測的量子點形狀。 ... 55 圖 4.2.2 GaAs/Al0.35Ga0.65As 量子點的價電帶能階收斂情形。 .. 56 圖 4.2.3 GaAs/Al0.35Ga0.65As 量子點的導電帶能階。 ... 57 圖 4.2.4 GaAs/Al0.35Ga0.65As 量子點的價電帶能階。 ... 57 圖 4.2.5 GaAs/Al0.35Ga0.65As 量子點的導電帶基態波函數。 ... 58 圖 4.2.6 GaAs/Al0.35Ga0.65As 量子點的價電帶基態波函數。 ... 58 圖 4.2.7 GaAs/Al0.35Ga0.65As 量子點的導電帶第一激發態波函數。 ... 59 圖 4.2.8 GaAs/Al0.35Ga0.65As 量子點的價電帶第一激發態波函數。 ... 59 圖 4.2.9 不考慮輕、重電洞耦合下，GaAs/Al0.35Ga0.65As 量子點的價電帶能階。 ... 60 圖 4.3.1 InAs/GaAs 量子點的導電帶能階。 ... 63 圖 4.3.2 InAs/GaAs 量子點的價電帶能階。 ... 63 圖 4.3.3 InAs/GaAs 量子點的導電帶基態波函數。 ... 64 圖 4.3.4 InAs/GaAs 量子點的價電帶基態波函數。 ... 65 圖 4.3.5 InAs/GaAs 量子點的導電帶第一激發態波函數。 ... 66 圖 4.3.6 InAs/GaAs 量子點的價電帶第一激發態波函數。 ... 67 圖 4.3.7 不考慮輕、重電洞耦合下，InAs/GaAs 量子點的價電帶

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能階 ... 68 圖 4.3.8 不考慮輕、重電洞耦合與應變效應下，InAs/GaAs 量子點的價電帶能階 ... 69

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第一章

導論

1.1 量子點簡介

當材料的尺寸大小與電子在材料內物質波的波長接近時，此時電子受到量子侷限效應 (quantum confinement effect)的影響，產生不同於塊材(bulk)的物理特性。量子點(quantum dot)是準零維 (quasi-zero dimensional)的奈米材料，其三個維度都受到量子侷限，所以有著不連續的電子能階，因此量子點也被稱為人造原子[1,2]。而利用量子侷限效應的系統除了量子點外還包括一個維度都受到量子侷限效應的量子井(quantum well)與兩個維度都受到量子侷限效應的量子線(quantum wire)，它們也有各自的物理特性。常用來製作量子點的材料有 IV 與 III-V 族的半導體材料。量子點的應用[3-5]有量子點雷射、光感測元件、單電子電晶體、生物螢光檢測、單光子輻射…等。 1.2 理論文獻 再計算量子點電子結構的部分，在導電帶(conduction band) 的部分是使用k p 理論的單能帶模型；在價電帶(valence band)的部分則是使用k p 理論的四能帶模型[6,7]與六能帶[7]模型。並搭

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求解。而其他更準確的理論包含k p 八能帶模型[8]或甚至更高能帶的k p 理論。而計算上同時也有考慮應變(strain)效應[9]。 1.3 研究動機 當要研究量子點的物理量，如精細結構(Fine-structure splitting)、庫侖作用力、螢光發光強度…等。此時必頇使用到導電帶與價電帶的電子結構，如能量及波函數。所以要如何提供一個可以探討各個物理量的工具，變成為了很重要的問題。因此希望可以藉由這篇論文，提供一個可以準確、有效率且具有擴充便利性的程式去計算量子點的電子結構。而量子點的尺寸大小對於量子點的電子結構改變非常的敏感，希望可以藉由計算，找出它們彼此之間的關係。 1.4 章節概要 第一章的部分，是對於量子點及理論計算的內容作一個初步性的介紹。第二章，我們針對k p 的能帶理論作一個描述。並且討論如何將k p 能帶理論應用到量子點的計算，最後介紹如何產生量子點的等效位能與應變效應。

(15)

所介紹用來計算量子點的k p 理論。進一步探討使用有限差分法的限制以及如何達到有效率且精確的計算，接著與文獻作驗證確認其正確性。第四章，對一系列的量子點尺寸大小與電子結構作討論。希望藉由這些比較，可以更進一步了解實際文獻上所量測量子點的電子結構。第五章就對論文的工作做一個總結以及討論在未來可以如何改進我們目前的工作。

(16)

第二章

k p

法與量子點等效位能

本章主要介紹的理論結構如下圖 2.1。首先決定好我們所要計算的量子點形狀、大小和材料後，接著產生出考慮量子點形狀、應變(strain)的 Hamiltonian。最後選擇適當的基底作展開，再對角化後得到能階及波函數。

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我們分別對流程圖的各別項目作介紹，先從 k p 法、波包近似法(Envelope Function Approximation)，以及量子點等效位能。

2.1 k p 法在固態的系統中，原子的排列是固定且具有週期性的。所以，當電子或其他的帶電荷粒子在固態的系統中所受到的位能也是具有週期性排列的，可表為(2.1.1)式。 ( ) ( ) V r V r T (2.1.1) 1 1ˆ 2 2ˆ 3 3ˆ T n a n a n a 在這裡V r( )是來自原子的位能，並不是外加的位能。T 是一個平 移向量，而n1 、n2 、n3是整數，aˆ1 、aˆ2 、aˆ3為晶格向量。根據 Bloch’s theorem 當電子處在週期性位能中，波函數可以表示為 Bloch function 的形式，如(2.1.2)式。 , ( ) , ( ) ik r n k r e un k r  _  (2.1.2) , ( ) , ( ) n k n k u r u r T ik r e  表示的是電子在晶體中具有平面波的特性，而u_{n k}_, ( )_{r 表示電} 子局部的波函數，是一個週期為T的函數。現在我們來考慮 Schrödinger equation ，如(2.1.3)式。 0 n n n H E (2.1.3)

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2 0 0 ˆ ( ) 2 p H V r m   ˆp   i 0 H 是 Hamiltonian，

m

₀是電子的質量， ( )V r 使指來自原子的位 能將(2.1.2)式代入(2.1.3)式中，可得 0 n,k( ) n,k n,k( ) H r E  r _(2.1.4) (2.1.4)式可以改寫成(2.1.5)式。 2 , , , 0 ˆ ( ) ( ) ( ) 2 ik r ik r n k n k n k p V r e u r E e u r m           (2.1.5) (2.1.5)式展開成(2.1.6)式。 2 2 2 , , , 0 ˆ 2 ˆ ( ) ( ) ( ) 2 ik r ik r n k n k n k p k p k e V r u r E e u r m      _  _      (2.1.6) 接著把(2.1.6)式兩邊的

e

ik r 消去可得(2.1.7)式。 2 2 2 , , , 0 0 0 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) 2 2 n k n k n k k p k p V r u r E u r m m m            (2.1.7) 此時方程式出現了 0 ˆ k p m  ，所以稱為 k p 法。接下來進一步考慮自旋軌道耦合(spin-orbital coupling)，Hamiltonian 可以把(2.1.3) 式改寫成(2.1.8)式。



H0 Hs o. .



n  Enn (2.1.8)

(19)

2 0 0 ˆ ( ) 2 p H V r m   ˆp   i . . 2 2 0 ( ) 4 s o H V p m c



    其中，



是包力自旋矩陣， 0 1 1 0 x  _{ } _  ， 0 0 y i i  _{ }  _  ， 1 0 0 1 z



_{ } _    將(2.1.8)式重覆(2.1.3)式到(2.1.7)式的步驟作運算，可得到(2.1.9) 式。 2 2 2 , , , 0 0 0 ˆ ( ) ( ) ( ) 2 2 n k n k n k k p k V r u r E u r m m m             (2.1.9) 2 0 4 p V m c



     2.2 多能帶模型(multi-band models) 在計算上，分成導電帶與價電帶的計算。在導電帶我們使用單能帶模型(one-band model)，將(2.1.4)式根據 Löwdin 的微擾理 論[11]可求得 k p 等效的 Hamiltonian[12]，如(2.2.1)式。 2 2 * 0 ( ) ( 0) 2 c c k E k E k m m    _(2.2.1)

(20)

* 2 2 0 1 ( ) 2 1 cv c v m p m E E      _    (2.2.2) *

m

稱為有效質量，會根據材料的不同而改變。可以從(2.2.1)式中清楚的看到，當k 值很接近零的時，電子在塊材中的行為表現和在真空中的行為表現接近，而差異僅在有效質量上的不同。在真空中

m

*



1

，而在大部份的半導體中

m

*會小於 1，因此電子在塊材中的行為表現相當於質量變小了。(2.2.2)式中 p_cv  c p vˆ ，表示導帶電與價電帶的動量矩陣元素，E_g  E_c E_v為能隙(energy gap)，是導電帶底部和價電帶頂部的能量差。在價電帶部分，我們是使用六能帶模型(six-band models)。這裡採用的基底為

 

un 



uj;j_z



其，其中u1  u3/ 2 ; 3/ 2 、 2 3/ 2 ; 1/ 2 u  u _、u₃  u_{3/ 2 ; 1/ 2}_ _、u₄  u_{3/ 2 ; 3/ 2}_ _、u₅  u_{1/ 2 ; 1/ 2} _、 6 1/ 2 ; 1/ 2 u  u _ _{，而 j 為總角動量、} z j 為總角動量在 z 方向的分量。所以六能帶模型的 Hamiltonian 可表為

(21)

† † † † † † † † † † † † 0 2 2 3 0 2 2 3 0 2 2 ( ) 0 2 2 3 2 2 0 2 2 3 2 2 0 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k S P Q S R R S P Q R Q S R P Q S S Q H k S R S P Q R S Q S R P S R S Q P  _ _ _                                    _ _ _ _{ }       _ _{ }     (2.2.3)





2 2 2 2 1 0 2 k x y z P k k k m     (2.2.4)





2 2 2 2 2 0 2 2 k x y z Q k k k m     (2.2.5)





2 2 2 2 3 0 3 2 3 2 k x y x y R k k i k k m      _   _ _(2.2.6)





2 3 0 2 3 2 k x z y z S k k ik k m    (2.2.7) 在這裡



1、



2、



3是 Luttinger-Kohn 參數，不同的材料會

有不同的參數值。 則是 spin-orbit split energy，亦隨著不同的

材料而改變。(2.2.3)式中，主對角線的元素Pk Qk、Pk Qk、Pk  

分別對應到的是重電洞、輕電洞、split-off bands。非主對角線上的元素，則表示重電洞、輕電洞、split-off bands 之間的耦合。

(22)

k p 的矩陣可以表為 _, ( ) k_, ( ) s_, m n m n m n H k H k V 的形式，其中 , ( ) k m n H k 是與 k 有關的項。而 s_, m n V 是與 k 無關的項，在這裡的 s_, m n V 我們考慮的是應變(strain)的影響，這部分 2.4 節會在介紹。而 k_, ( ) m n H k 的矩陣元素可表示成(2.2.8)式。 , , , , , , , , ( ) m n n mn mn mn mn H k e a k_ b k k_{ } b  k k k_{  }         











 _(2.2.8) 其中，  , ,  x y z, , ，e 我們通常使用描述 band edge 的能量，_n 而且只會出現在主對角線上。單能帶模型：所以當(2.2.1)式使用(2.2.8)式來表示成矩陣可寫為 , , , ,

( )

_c x y z

H k

e

b

 

k k

_{ }   

 



_(2.2.9) 其中，I_{m m}_ 指的是m m 的單位矩陣(identity matrix)， ( 0) c c e  E k  (2.2.10) 2 * 0 2 xx b m m        (2.2.11) 2 * 0 2 yy b m m        (2.2.12) 2 * 0 2 zz b m m        (2.2.13)

 

0 ;

 

0 ;

 

0 xy yz xz b  b  b  (2.2.14)

(23)

六能帶模型：同理(2.2.3)式亦可以使用(2.2.8)式來表示 , , , , ,

( )

m n n mn mn x y z

H

k

e

b

 

k k

_{ }  





 





_(2.2.15) 其中，e 是描述 band edge 的能量，_n e₁ e₂ e₃ e₄ 0； 5 6 e e  。         1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 0 ₂ ₁ ₂ ₂ 2 2 1 2 2 1 0 3 0 0 6 0 0 3 2 0 3 0 0 0 2 2 ₀ ₃ ₀ ₆ ₀ 0 2 0 6 0 6 0 2 0 0 xx mn b m                                                _ _     _         (2.2.16)         1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 0 ₂ ₁ ₂ ₂ 2 2 1 2 2 1 0 3 0 0 6 0 0 3 2 0 3 0 0 0 2 2 ₀ ₃ ₀ ₆ ₀ 0 2 0 6 0 6 0 2 0 0 yy mn b m                                            _ _     _ _        (2.2.17)         1 2 1 2 2 2 1 2 2 0 1 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 zz mn b m                        _ _          _ _ _            (2.2.18)

(24)

3 3 3 2 3 0 ₃ ₃ 3 3 0 0 2 3 0 0 2 6 0 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 0 0 0 2 ₀ _{2 3} ₀ ₀ _{2 6} ₀ 0 0 0 2 6 0 0 2 6 0 0 0 0 0 xy mn i i i i b m _i _i i i          _ _                    _{ } _     _{ }         (2.2.19) 3 3 3 3 2 3 3 0 ₃ ₃ 3 3 3 3 0 2 3 0 0 6 0 2 3 0 0 0 0 3 2 0 0 0 2 3 3 2 0 2 ₀ ₀ _{2 3} ₀ ₀ ₆ 6 0 3 2 0 0 0 0 3 2 0 6 0 0 yz mn i i i i i i b m _i _i i i i i                                       _ _{ }    _{ } _{ }          (2.2.20) 3 3 3 3 2 3 3 0 ₃ ₃ 3 3 3 3 0 2 3 0 0 6 0 2 3 0 0 0 0 3 2 0 0 0 2 3 3 2 0 2 ₀ ₀ _{2 3} ₀ ₀ ₆ 6 0 3 2 0 0 0 0 3 2 0 6 0 0 xz mn b m                                 _     _         (2.2.21)

(25)

2.3 波包近似法(Envelope function approximation) 當在一個有限系統中外加位能，例如：V_QD( )r 是由量子點形狀與材料所形成的位能，V r_s( )是因為應變造成的位能，V r_E( )是因為電場所形成的位能，V r_B( )是加入磁場造成的位能等。如果這些位能在空間中是緩慢變化的話，這時候用波包近似法簡化我們的 Hamiltonian，以波包函數(envelope function)g r( ) 取代原來 Bloch function eik r 的部分，可得(2.3.1)式。 ; 1

( )

kp N i i n n n

g

r u r







_(2.3.1) kp N _是指考慮N_kp_{個 band，而下標}n是指第n個 band 的波包函數， i則是指第i個能階。考慮(2.3.1)式及 k p 的 Hamiltonian 後並經過計算，可以得到(2.3.2)式。 , , ( ˆ / ; ) m n m n H  H k  p r , , 2 ,

1 ˆ

_{ˆ ˆ}

( / ; )

( )

s

( )

m n n mn mn mn

H

p

r

e r

b

 

p p

_{ }

V

r

 











_(2.3.2) 其中 ( )e r 與_n V_QD( )r 有關， s mn V 為應變所產生的位能與應變張量

( )

r





有關。根據波包近似法可以將(2.2.1)、(2.2.3)、(2.2.4)、(2.2.5)、 (2.2.6)、(2.2.7)式中的 k 給替換成

p

ˆ /

。最後得到我們在計算量子點所使用的等效質量 Hamiltonian。

(26)

單能帶模型 , 2 , , , 1 ˆ _{ˆ ˆ} ( / ; ) _c( ) _sc( ) x y z H p r e r b p p_{ } V r     



 _(2.3.3) 其中， ( )e r_c V_QDc ( )r _{是在導電帶中由量子點形狀與材料所形成} 的位能。 xx b 、b 、yy b 、zz b 、xy b 、yz b 為1 1xz  的矩陣，它們的值與(2.2.11)式、(2.2.12)式、(2.2.13)式、(2.2.14)式相同。同理，六能帶模型 , , 2 , , , , 1 ˆ _{ˆ ˆ} ( / ; ) ( ) v( ) m n n mn m n s x y z H p r e r b p p_{ } V r       



 _(2.3.4) 其中，m n, 1, 2,3 6。把e r_n( )_mn表為矩陣的形式，如(2.3.5) 式，大小為的 6 6 矩陣。 1 2 3 6 6 4 5 6 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 v QD e r e r e r V r I e r e r e r                                _           _ _   (2.3.5) xx b 、b 、yy b 、zz b 、xy b 、yz b 為 6 6xz  的矩陣，它們的值與(2.2.16) 式~(2.2.21)式相同。在這裡要注意，實際上真實六能帶模型的位能要為圖(2.3.1)。

(27)

由於內部與外部的材料是不同，因此在參數部分也會不一樣，此時InAs  GaAs。但是在計算上我們統一都只使用內部的參數 InAs  ，所以在(2.3.5)式中的  InAs。而實際上， HH LH QD QD V V _也是會不一樣的，不過我們在計算時先暫時考慮是一樣的 v HH LH QD QD QD V V V _。當我們再使用(2.3.3)式與(2.3.4)式計算量子點電子結構時， ( ) QD V r 則表示為量子點的等效位能。而等效位能與量子點的形狀、材料、擴散效應、外加電場或磁場、應變等…有關。接下來下一節就來討論如何描述一個量子點的等效位能V_QD( )r _{與應變造成} 的位能V r_s( )。圖 2.3.1 六能帶模型等效位能示意圖。

(28)

2.4 量子點的等效位能 在計算上最重要的就是要決定量子點的等效位能。影響這個等效位能有許多因素影響，如形狀、材料、擴散效應、應變、壓電效應、庫侖作用力、自旋軌道耦合等…。在本論文我們僅考慮由量子點形狀及材料與應變所產生的等效位能。首先，為了描述由量子點形狀及材料所產生的位能V_QD( )r _{，必頇先定義一個函數} ( ) QD X r 稱為特徵函數。特徵函數與量子點形狀有關，在量子點的內部值為 1，外部則為 0，如式(2.4.1)。 1, ( ) 0, QD r in the dot X r

r out of the dot

    (2.4.1) 在常用模擬量子點的形狀，如截角金字塔或金字塔特徵函數就可以定義成式(2.4.2)。 2 2 1, 2 2 2 2 ( , , ) 2 2 2 2 0, x x x x QD y y y y h h z b b b b z x z c c X x y z b b b b z y z c c others  _{  }        _ _{ } _      _ _ _ _    _ _ _ _      _ _ _ _        (2.4.2) 其中， tan 2 x b c   ，如圖(2.4.1)所示。

(29)

圖 2.4.1 截角金字塔特徵函數示意圖(xz 平面) 圖(2.4.1)中有色區塊部分表示為模擬的量子點形狀，特徵函數值為 1。邊框則表示為完整金字塔形狀。(2.4.2)式中，bx、by為量子點底部 x 方向及 y 方向的長度，

h

為截角金字塔的高度，c 為完整金字塔的高度，



為 45 度。決定好特徵函數之後，便可以產生與形狀有關的量子點位能：在這裡分成兩個部份來討論：導電帶和價電帶導電帶部分：圖 2.4.2 導電帶的位能圖

(30)

定 dot c E 當作零位面，而與特徵函數的關係式可寫成(2.4.3)式，其中 c barrier dot barrier Ec Ec    ( ) 1 ( ) c c QD barrier QD V r    _ X r _ (2.4.3) 價電帶部分：圖 2.4.3 價電帶的位能圖圖(2.4.3)就是我們描述導電帶時的位能，在計算時我們設定 dot v E 當作零位面，而與特徵函數的關係式可寫成式(2.4.4)，其中 v barrier dot barrier Ev Ev    ( ) 1 ( ) v v QD barrier QD V r    _ X r _ (2.4.4) 當考慮應變時，barrier 的材料是 GaAs，dot 的材料則是 InAs。

而決定 c barrier  與 v barrier  的值和材料有關，詳細的材料參數值列在附錄 A。

(31)

應變效應：我們研究的對象是自組式量子點，而當自組式量子點的形成是由於兩種不同材料因為晶格長度的不匹配所造成時，必頇考慮應變效應。因為晶格長度不匹配，產生應變。晶格常數大的材料晶格常數會被縮小，晶格常數小的材料晶格常數會被拉大，這些現象再交界面更為顯著，最後達到平衡的狀態。我們考慮的量子點材料是 InAs/GaAs 時，InAs 的晶格常數比 GaAs 的晶格常數大，晶格不匹配度大約 7%，所以 InAs 會被壓縮，造成量子點的導電帶與價電帶 band edge energy 改變。這裡一樣分成兩個部分討論：導電帶與價電帶。導電帶部分：導電帶部分是使用單能帶模型，應變等效位能 s ( ) mn V r 的式子可寫成(2.4.5)式[8]





( ) ( ) ( ) ( ) c s c xx yy zz V r a



r 



r 



r (2.4.5) 價電帶部分：價電帶部分是使用六能帶模型，應變等效位能的式子可寫成 (2.4.6)式[8]

(32)

† † † † † † † † † † † † 0 2 2 3 0 2 2 3 0 2 2 ( ) 0 2 2 3 2 2 0 2 2 3 2 2 0 2 2 v s S P Q S R R S P Q R Q S R P Q S S Q V r S R S P Q R S Q S R P S R S Q P                                    _ _ _                                             _      (2.4.6)





( ) _v _xx( ) _yy( ) _zz( ) P r_  a  r  r  r (2.4.7)





( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 xx yy zz b Q r_    r  r   r (2.4.8)





3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 xx yy xy b R r_   r  r id r (2.4.9)





( ) _xz( ) _yz( ) S r_  d  r i r (2.4.10) 其中a 、_c a 、_v

b

、

d

稱為 deformation potentials，與材料有關，不

同材料的值列在附錄 A。其中



_稱為應變張量(strain tensor)，



表示形變的方向，



則表示參考軸的方向。



_是一個與位置有

關的函數，在這裡的計算是使用有限元素法[13]。為了確認計算上的正確性，我們採取文獻[14]來作比較。文獻上模擬量子點形狀為金字塔型，底部寬度為 13.6nm，高度 6.8nm。圖(2.4.4)是與

(33)

當我們考慮應變後等效位能的變化。等效位能使用的公式[8]。導電帶部分： ( ) c c eff c xx yy zz QD V a











V (2.4.11) 價電帶部分： HH v eff QD V   P_ Q_ V (2.4.12)



2 2



1 2 9 2 LH v eff QD V   P_ Q_      Q_  Q_ V (2.4.13) 其中P r_( )與Q r_( )為(2.4.7)式與(2.4.8)式。圖 2.4.4 利用有限元素法計算 strain tensor 與文獻[14]比較的結果。

(34)

由圖(2.4.6)可以看到應變會造成導電帶的 band edge 變小了，而價電帶重電洞部分的 band edge 變大了。圖 2.4.5 利用有限元素法計算應變張量。截角金字塔形狀量子點，底部寬度為 16nm，高度 5nm。 . 圖 2.4.6 考慮應變後等效位能的變化。虛線為不考慮應變的結果、實線為考慮應變使用等效位能公式計算結果。截角金字塔形狀量子點，底部長度與寬度皆為 16nm，高度 5nm。

(35)

第三章

有限差分法

有限差分法(finite difference method)是利用離散方法得到有限個差分方程式後，並搭配邊界條件求出近似解。其基本思想是將一個欲求解的區域畫分成有限個的網格點，此時配合微分方程式及邊界條件去進行離散化後得到差分方程式，再去計算出每個格點與鄰近格點的值，最後便可以求得未知函數的解。 3.1 一維均勻格點的有限差分法 有限差分法的推導，我們先從 Taylor 級數出發。在考慮一維的情況時， 2 2 2 ( ) ( ) ( ) + 1! 2! x x nx _nx n n x x _{x x} x d x d x x x dx dx      _           _ _  _ _   _ _ (3.1.1) 為了方便，定義 ( )= ₁ x x n n x x     _、 ( )= x x n n x   、 ( ) ₁ x x n n x x     _ … 以此類推。將(3.1.1)式改寫成(3.1.2)式 2 2 1 2 + 1! 2! x x nx _nx n n x x _{x x} x d x d dx dx    _   _         _ _  _ _     (3.1.2) 2 2 1 2 + 1! 2! x x nx nx n n x x _{x x} x d x d dx dx    _   _         _ _  _ _   _ _ (3.1.3) 為了要得到一階微分，將(3.1.2)式與(3.1.3)式相減可得(3.1.4)式 2 3 1 1 3 ( ) + 2 6 x x n n d x d x dx dx  _  _ _ _  _  _      _        _ _ (3.1.4)

(36)

同理，二階微分的形式為(3.1.5)式 2 2 4 1 1 2 2 4 2 ₍ ₎ + ( ) 12 x x x nx nx n n n x x x x d x d x dx dx  _   _ _ _     _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ (3.1.5) 在這裡忽略掉大於 2 (x) 的高次方項，大於 2 (x) 的高次方項 就是誤差來源。所以當 x 的值越小的時候，這個近似法就越精確，誤差也越小。現在我們來實際操作，當考慮在教科書常見的一維的 Schrödinger equation，如(3.1.6)式。 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 d V x x E x m dx



         (3.1.6) 將(3.1.5)式帶入(3.1.6)式展開 2 2 1 1 2 2 0 0 2 2 ( ) 2 ( ) x x x x x n n n n n V E m x m x



           _ _ _ _ _ _   _  _     (3.1.7) 這裡再定義一個符號 ( ) x x n n V V x 。我們先在x



0,L_x



這個範圍內，先產生出N_x 1個格點，而格點之間的間距大小為 x L_x /N_x。每個格點的編號為n_x，



0,



x x n  N 。

(37)

而根據(3.1.7)式，可以得到N_x 1的差分方程式，如(3.1.8)式。 2 2 1 1 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 1 1 1 2 2 0 0 2 2 2 1 1 1 2 2 0 0 2 1 0 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 x x x x x x N N N N N N N V E m x m x V E m x m x V E m x m x m   _ _   _ _                      _ _  _ _ _ _                   _ _  _ _ _ _                   _ _  _ _ _ _   _  _       1 2 2 2 0 2 2 ( ) ( ) x x x x N N N V E m x x                              _    _           (3.1.8) 必頇要考慮邊界條件，因為邊界條件為零的關係，此時在(3.1.8) 式中_₁0與 ₁ 0 x N



_  。所以可得到考慮邊界條件後的差分方程式，如(3.1.9)式。 2 2 1 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 1 1 1 2 2 0 0 2 2 2 1 1 1 2 2 0 0 2 1 2 0 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) x x x x x x N N N N N N V E m x m x V E m x m x V E m x m x m x  _ _   _ _                   _ _  _ _ _ _                   _ _  _ _ _ _                   _ _  _ _ _ _   _  _         2 2 0 2 2 ( ) VNx Nx E Nx m x                               _          (3.1.9) 所以將(3.1.9)式展開成矩陣型式 ' 1 ' , 0 x x x x x x N n n n n n H  E   



。 _, ' x x n n H 為 (3.1.10)式。

(38)

2 2 0 2 2 , ' 0 2 2 0 1 , ' 1 2 ( ) 2 , ' 2 ( ) 1 , ' 1 2 ( ) 0 , x x x x x n x x n n x x n n m x V n n H m x n n m x others   _ _  _       _     _ _     (3.1.10) 2 2 0 2 2 0 0 2 2 2 1 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 2 2 1 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 1 0 0 2 ( ) 2 ( ) 1 2 1 0 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 1 0 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 0 0 2 ( ) 2 1 2 ( ) 2 ( ) 1 2 2 ( ) 2 ( ) x x N N V m x m x V m x m x m x V m x m x m x m x V m x m x V m x m x      _ _                            0 0 1 1 2 2 1 1 x x x x N N N N E                                                                                                              _{ } _ _ _  _ 圖 3.1.2 一維均勻格點有限差分法展開(3.1.6)式後的矩陣型式

(39)

3.2 三維均勻格點的有限差分法 當考慮我們實際計算量子點電子結構所使用的 Hamiltonian， (2.3.3)式時。 , , 2 ,

1 ˆ

_{ˆ ˆ}

( / ; )

( )

m n n mn mn

H

p

r

e r

b

 

p p

_{ }  









需要使用有限差分法作處理的部分是 2 1 ˆ ˆ_{P P}  項，共有六項。分別為 2 2

x



、 2 2 y   、 2 2

z



、 2 x y    、 2 y z    、 2 x z    項。此時就必頇使用三維的有限差分法。在三維的系統中，在對 x 方向、y 方向與 z 方向的二階微分作有限差分法近似時，可以重複(3.1.2)式至(3.1.5)式的步驟，便可得(3.2.1)式、(3.2.2)式與(3.2.3)式。 2 1, , , , 1, , 2 2 , ,

2 ~

(

)

x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n

x



















_



_





(3.2.1) 2 , 1, , , , 1, 2 2 , ,

2 ~

(

)

x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n

y



















_



_





(3.2.2) 2 , , 1 , , , , 1 2 2 , ,

2 ~

(

)

x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n

z



















_



_





(3.2.3) 在這裡定義 ( , , )= _1, _, x y z x y z n n n n n n x x y z



 



_ 、 ( , , )= _, _, x y z x y z n n n n n n x y z



、 1, , ( , , )= x y z x y z n n n n n n x x y z



 



_ 、 ( , , )= _, _1, x y z x y z n n n n n n x y y z



 



_ 。

(40)

至於 2 x y



   、 2 y z



   、 2 x z     項，我們的處理方法是使用近似後的一階微分(3.2.4)式、(3.2.5)式及(3.2.6)式來做處理。 1, , 1, , , , ~ 2 x y z x y z x y z n n n n n n n n n x x           _  _   (3.2.4) , 1, , 1, , , ~ 2 x y z x y z x y z n n n n n n n n n y y          _  _   (3.2.5) , , 1 , , 1 , , ~ 2 x y z x y z x y z n n n n n n n n n z z           _  _   (3.2.6) 以 2 x y



   項為例子，將(3.2.4)式代入(3.2.5)式可以得到(3.2.7)式 , , ~ x y z n n n x y      _  _     



1, 1, 1, 1,

 

1, 1, 1, 1,



4 x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n x y  _ _  _ _   _ _  _ _   (3.2.7) 為了確認採取這種形式展開的正確性，我們實際代入一個函數去微分。當使用一個簡單的函數 2 3 ( , ) F x y  x y ，對函數微分會得到 2 ( , ) 6 F x y xy x y     _ _  _      。接下來就使用(3.2.7)式去作 2 ( , ) F x y x y    的近似與實際微分 2 2 ( , ) 6 F x y xy x y     作比較。圖(3.2.1)分別為解析結果與數值近似的結果比較。

(41)

由圖(3.2.1)的結果可以看出採用的近似法與解析結果是一致的。因此可以確定這個近似法是可信的。同理， , , ~ x y z n n n y z      _ _ _ _  



, 1, 1 , 1, 1

 

, 1, 1 , 1, 1



4 x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n y z  _ _  _ _   _ _  _ _   (3.2.8) , , ~ x y z n n n x z        _ _ _ _  



1, , 1 1, , 1

 

1, , 1 1, , 1



4 x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n x z  _ _  _ _   _ _  _ _   (3.2.9) 接下來，開始在三維的空間中產生格點。與一維產生格點的方式類似，現在是在一個空間中，創造出一個長方盒。x、y、z 方向上的長度分別為L 、_x L_y、L ，在_z x



0,L_x



範圍內產生N_x 1 個格點、y

 

0,L_y 範圍內產生N_y 1個格點、z



0,L_z



範圍內 (a) (b) 圖 3.2.1 利用有限差分法近似二階微分與解析結果比較。其中點為數值近似結果、線為解析結果。(a)表示函數微分後 x 方向變化的值，(b)表示函數微分後 y 方向變化的值。x 方向與 y 方向的格點數為 60 個格點。 1.5 x 1.5 y

(42)

產生N_z 1個格點，所以長方盒內的總格點數為 ( 1) ( 1) ( 1) g x y z N  N   N   N  。 x L_x / N_x、 y L_y /N_y、 / z z z L N   ，分別表示 x、y、z 方向上格點之間距離。並設定邊界條件為零，處理的方法與一維有限差分法類似，參考 (3.1.8)式與(3.1.9)式。接下來實際操作如何將有限差分法與計算量子點電子結構所使用的 Hamiltonian：(2.3.3)式作結合。在這裡舉兩個例子：當使用單能帶模型時，(2.3.3)式內的矩陣大小、 ( )e r 與係數_n 矩陣 , mn b 都已經被決定了，如(2.3.4)式。所以直接把本小節所推導出的(3.2.1)式~(3.2.3)式與(3.2.7)式~(3.2.9)式帶入(2.3.4)式，可以得到(3.2.10)式。圖 3.2.2 三維均勻格點示意圖

(43)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, , , , 1, , , , ˆ ( / ; ) ( ) 2 ~ ( , , ) ( ) x y z x y z x y z x y z x y z xx yy zz c xy yz xz n n n n n n n n n xx c n n n n n n H p r e r b b b x y z b b b x y y z x z e x y z b x               _  _  _     __ __ __ __ __ __           _   _   _   __ __ __ __ __ __                  2 , 1, , , , 1, 2 , , 1 , , , , 1 2 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, , 1, 1 2 ( ) 2 ( ) 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n yy n n n n n n n n n zz n n n n n n n n n n n n xy n n n yz b y b z b x y b                                       _ _         _ _          _ _      , 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 1, , 1 1, , 1 1, , 1 1, , 1 4 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n xz y z b x z                              _{ }          _ _     (3.2.10) 其中， ( , , ) ( , , ) x y z x y z c c n n n QD n n n e x y z V x y z _， xx b 、b 、yy b 、zz b 、xy b 、yz xz b 為1 1 的矩陣，它們的值與(2.2.11)式、(2.2.12)式、(2.2.13)式、 (2.2.14)式相同。由(3.2.10)式可知，當決定好了使用泰勒展開式去近似二階微分的型式之後，我們選取空間中的任一點(nx,ny,nz )，便可以使用空間鄰近的格點去描述我們的微分方程式。所以我們以二階微分展開的係數與鄰近格點資訊的關係整理成一個表格，如表(3.2.1)。以 2 xx b    _ _項展開為例子，其使用泰勒展開的二階

(44)

微分展開為 1, , , , 1, , 2 2 ( ) x y z x y z x y z n n n n n n n n n xx b x  _    _    _ _   。所以由表格的第一行可以看到，根據其對應的鄰近格點為 _1, _, x y z n n n  _ 、 _, _, x y z n n n  、 _1, _, x y z n n n  _ ，把這些鄰近格點相關的係數填入至表格之中，如圖(3.2.3)。以此類推對其他二階微分也是使用相同的作法填入至表格中。表 3.2.1 係數矩陣與有限差分項對照表 H



 xx 2₂ b x     2 2 yy b y     2 2 zz b z     2 xy b x y      2 yz b y z      2 xz b x z      e rc( ) 1, , x y z n n n   _{ }2 xx b x   0 0 0 0 0 0 1, , x y z n n n  _  2 xx b x   0 0 0 0 0 0 , 1, x y z n n n   0  2 yy b   0 0 0 0 0 圖 3.2.3 製作表(3.2.1)示意圖

(45)

, 1, x y z n n n  _ 0  2 yy b y   0 0 0 0 0 , , 1 x y z n n n  _ 0 0  2 zz b z   0 0 0 0 , , 1 x y z n n n   0 0  2 zz b z   0 0 0 0 , , x y z n n n   2 2 bxx x     2 2 byy y     2 2 bzz z    0 0 0 VQD(xnx,yny,znz) 1, 1, x y z n n n    0 0 0 4 xy b x y    0 0 0 1, 1, x y z n n n    0 0 0 4 xy b x y    0 0 0 1, 1, x y z n n n    0 0 0 4 xy b x y    0 0 0 1, 1, x y z n n n    0 0 0 4 xy b x y    0 0 0 , 1, 1 x y z n n n    0 0 0 0 4 yz b y z    0 0 , 1, 1 x y z n n n    0 0 0 0 4 yz b y z    0 0 , 1, 1 x y z n n n    0 0 0 0 4 yz b y z    0 0 , 1, 1 x y z n n n    0 0 0 0 4 yz b y z    0 0 1, , 1 x y z n n n    0 0 0 0 0 ₄ xz b x z    0 1, , 1 x y z n n n    0 0 0 0 0 ₄ xz b x z    0 1, , 1 x y z n n n    0 0 0 0 0 ₄ xz b x z    0 , 1, 1 x y z n n n    0 0 0 0 0 ₄ xz b x z    0 所以當我們把係數與表格同一列的格點相乘之後便可以還原到原始的(3.2.10)式。接著要轉換成矩陣的型式時，也是利用表

(46)

(3.2.1)。這邊的作法是先把表格內相同格點(同一列)因為不同的二階微分所產生的係數先相加，再乘上表格中同一列的格點位置資訊，最後再全部加總起來便可以得到當對空間中任一個格點使用有限差分法展開的微分方程式。接著對空間中每一個格點作展開便可以得到每個格點相關的微分方程式。最後收集所有微分方程式便可以得到矩陣。這樣製作表(3.2.1)的好處在於，在程式的編寫上是較為方便的，透過表格可以立刻得知使用鄰近格點展開 Hamiltonian 後的資訊。而且程式在創造矩陣時，因為已經事先得知鄰近格點的資訊，不必在建立矩陣時再去作運算，也提高了一部分的效率。最後根據空間中任一個格點將(3.2.10)式與表(3.2.1)展開成矩陣型式通式，所以單能帶模型的H₍_{nx ny nz nx ny nz}_, _, ₎₍ _', _', _')為(3.2.11)式。

(47)

我們考慮當 Nx=Ny=Nz=2 的時候，將(3.2.11)式轉換實際矩陣的形式，如(3.2.12)式。 2 2 2 ( , , )( ', ', ') 2 2 2 ' 1, ' , ' ( ) ' 1, ' , ' ( ) ' , ' 1, ' ( ) ' , ' 1, ' ( ) ' , ' , ' 1 ( ) ' , ' ( ) x y z x y z xx x x y y z z xx x x y y z z yy x x y y z z yy x x y y z z n n n n n n zz x x y y z z zz x x y b n n n n n n x b n n n n n n x b n n n n n n y b n n n n n n H y b n n n n n n z b n n n z        _{ } _ _         _ _{ } _    _ _ _{ }   _ _  2 2 2 , ' 1 2 2 2 ( , , ) ' , ' , ' ( ) ( ) ( ) x y z y z z xx yy zz c QD n n n x x y y z z n n n b b b V x y z n n n n n n x y z                          _ _ _ __ _ _ _  _   _  (3.2.11) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, 0, 0 0, 0,1 0, 0, 2 0,1, 0 0,1,1 0,1, 2 0, 2, 0 0, 2,1 0, 2, 2 2, 2, 2 0, 0, 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0, 0,1 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, 0, 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0,1, 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0,1,1 0 ( zz yy zz zz yy zz yy yy zz yy yy b b A z y b b b A z z y b b A z y b b b A y z y b y                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 0,1, 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, 2, 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0, 2,1 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, 2, 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2, 2, 2 zz zz yy yy zz yy yy zz yy zz zz yy zz b b b A z z y b b b A y z y b b A y z b b b A y z z b b A y z                           (3.2.12)

利用有限差分法計算半導體量子點電子結構

國立交通大學

電子物理學系

碩 士 論 文