在高分子加工中由於流域為複雜的三維流動，所以通常利用有限元素 法將實體流域系統分割成不同的大小、種類、區域的元素體，利用元素體 近似整個流動範圍。根據不同的統御方程式，推導出以每一個元素組成的 矩陣，再統整此流動系統元素構成系統矩陣，最後將系統矩陣的每一係數 解求出得到想要的物理參數，以下便對有限元素法做一初步之介紹。
4.1-1 數值方法與高分子加工模擬
隨著工商社會的日新月異，電腦科技有著長足的進步且在工程上佔有 相當重要的地位。而電腦軟體的應用也得力於電腦科技的蓬勃發展，將電 腦與電腦軟體用於產品的開發、設計、分析與製造，已成為提昇近代工業 競爭力的代名詞，故經由電腦輔助從事生產，如圖 26 所示，儼然成為主 流。而電腦輔助分析的技巧可分為以下三類：
1. 電腦輔助設計(Computer-aided Design；CAD)：即使用電腦軟體直 接從事於圖形的繪製與結構體的設計。
2. 電腦輔助工程(Computer-aided Engineering；CAE)：將工程上分 析的過程及計算方法來輔助工程師做設計後的分析或進行同步工程
。
3. 電腦輔助製造(Computer-aided Manufacturing；CAM)：是直接用 電腦來輔助操縱各式各樣的精密工具機器以製造不同的零組件。
Ref.: 龔皇光、黃柏文、陳鴻雄, ANSYS 與電腦輔助工程分析, 台北全華, 民國 91 年
圖 26 電腦在產品生產流程所扮演的角色
電腦輔助分析運用了電腦快速運算的能力，可以即時的判斷出產品設 計的優劣並迅速的驗證產品在此設計下的品質，除了可免去在時間成本及 原物料上的耗費外，更可促進生產的良率與產品的品質，加快產品上市的 時間。因此，電腦輔助分析不僅漸漸獲得業界的認同並予以採用。近幾年 有限元素法已經漸成主流，而且被應用的領域也越來越廣。從早期的應用 於土木工程方面的結構力學（包含線性及非線性）、結構動力學到機械工 程方面的熱力學、流體力學甚至於電子工程方面的電路學、電磁學等等均 已 發 產 完 備 。 然 而 ， 計 算 流 體 力 學 (Computational Fluid Dynamics ； CFD) 的有限元素法軟體在模擬靜態及動態下流體的行為以及結構體間的 關係更比其他數值模擬方法的軟體來的精準又迅速，所以大部分專家學者 仍偏愛使用有限元素法軟體做為分析之工具。
應用於 CAE 的數值方法很多，其中包括有限元素法（Finite Element Method；FEM），邊界元素法（Boundary Element Method；BEM），有限 差 分 法（ Finite Difference Method ； FDM） ， 流動 分 析網 路 法（ Flow Analysis Network；FAN）‥等等。而歷年來利用以上數值方法進行螺桿 及混合元件分析的研究亦不在少數，而本論文即是利用有限元素法預測高 分子融熔液在不同幾何構形混合元件內的流動情形，並藉由流體粒子的追 蹤及界面面積的變化，針對膠料在混合元件中做一混鍊的量化。
4.1-2 有限元素法在工程上之應用
一般而言，工程問題即物理狀態下的數學模組，藉由基礎法則和自然 原理對系統取控制體積，可得到統御方程式，而數學模組的應用即是一套 對應邊界條件和初始條件的微分方程式。由物理現象觀察得到的統御方程 式 各 代 表 著 質 量 （ equation of continuity ） 、 動 量 （ equation of motion）或能量（equation of energy）的平衡。而由於真正的工程問題 分析通常是隱含著許多非線性項而且通常呈現不規則的模組形態，故在求 解 方 面 利 用 傳 統 的 計 算 方 法 也 無 法 獲 得 精 確 的 解 析 解 （ analytic solution），所以有限元素法利用數值計算的方法在求解的過程中扮演了 一個重要的角色。一般來說，解析解由兩個部分組成，分別為通解（
general solution）跟特解（particular solution）。在任何工程問題 中，有兩組參數會影響到系統的行為。第一，是提供關於系統自然運作下 所得資料的參數，而這些參數包括應用於材料力學的彈性係數、熱傳學的 熱傳導係數和非牛頓流體力學的黏度函數…等等。第二，亦有參數會在系 統內產生「擾動」，這類型的參數如外界給予的壓力、力矩或者是介質本 身的差異造成溫度分佈及流體進出的壓力差異…等等，而這些經由系統的 自然運作支配的特性則統一包含在統御方程式的通解裡，相同地，造成擾 動的參數則出現在特解裡。
實際上許多工程問題在處理複雜的統御微分方程式，或是難以處理的 邊界和初始條件甚至是不規則的模組形態時，通常藉數值解來近似，與解 析解不同的是，解析解顯示系統內任一點精確（accurate）的值，而數值 解卻只存在於分離不連續（separated discontinuous point）的點，我 們稱之為節點（node）。因為此種特性的關係所以任何一種數值程序的第 一步驟即是做分離，其過程是將介質分成很多區域和節點。在數值方法有
兩者使用較為普遍，一是有限差分法，另一則是有限元素法。使用有限差 分法，每個節點都會被賦予一個微分方程式，且導式會被差分方程式所取 代，經由上述處理後會產生一組聯立線性方程式，最後藉由求解聯立方程 式得到所要的參數值。雖然有限差分法易於了解，且能套用於一些流動情 形件較為簡單的問題，但一碰上複雜的幾何形狀或是邊界條件時，有限差 分法的解決能力就略顯不足。相反地，有限元素法先切割不規則的幾何形 狀為有限個元素體，再使用 Galerkin 的積分公式法建立一個由代數方程 式組合而成的大型矩陣系統，而不是單純的微分方程式，利用數值方法求 解除了可用一個近似的連續函數來表示每個元素的解答，並藉由連結或組 合個別的解而得到整個欲分析系統的物理量。