第二章 文獻回顧
2.5 材料之強度包絡線
2.5.1 強度包絡線與破壞包絡線
就任一可壓縮材料而言，我們均可藉加圍壓力(confined pressure)來 促使材料壓縮而增加其強度， 各不同圍壓下材料破壞時之應力摩爾圓如 圖 2.4 所示， 若以一包絡線來涵蓋這些摩爾圓， 則該包絡線表示材料 所能承受應力之一界限，任何表示材料應力之摩爾圓均不能超出此一界 限 ，超出 此一界 限則材 料破壞 ， 此一 界限線 稱為材 料之破 壞包絡 線 (fai1ure enve1ope)，又稱材料之強度包絡線(strength enve1ope)。
圖 2.4 材料之強度包絡線
如圖 2.4 所示，若採 Mohr- Coulomb 的破壞準則假設強度包絡線為 一 直 線 時 ， 表 示 該 直 線 之 二 參 數 c 與 φ 稱 為 剪 力 強 度 參 數 (shearingstrength parameter) ，若材料為理想固體材料(即完全無孔隙存在，
亦即不可壓縮材料)時，材料強度將不隨圍壓力增加，可得φ=0 0之強度 包絡線，就任一具孔隙之地質材料而言， 其φ 值應不等於 0 0，除非讓 材料處於完全不可壓縮狀態，才可得φ =0 0之強度包絡線。
圖 2.4 中繪摩爾圓所周軸差應力σd(deviator stress，是造成材料受剪 之應力)若取圖中之尖峰值者，所得強度包絡線為尖峰強度包絡線， 強
τ
C
𝜎𝑐 𝜎𝑐 + 𝜎𝑎
∅
𝜎c 𝜎𝑎
強度包絡線或破 壞包絡線
𝜎𝑐 𝜎𝑐
𝜎𝑎
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度參數稱尖峰強度參數以 cp 、φp表之，若軸差應力係取殘餘值者， 則 所得為殘餘強度包絡線而以 cr、φr參數表示之。
2.5.2 土壤的剪力強度及破壞準則
根 據 庫 倫 (Coulomb,1776) 的 詴 驗 研 究 成 果 ， 砂 土 的 抗 剪 強 度
= ∅中。乾且疏鬆的砂土在自然狀態能維持的最大斜坡角稱為安 息角，此安息角與 Ø 角相近，但緊密的紗土，Ø 角比安息角大 5~10 度。
後庫倫又提出黏性土的抗剪強度為 = c + ∅式，此式是所謂的庫倫 剪力強度破壞準則。文依據 Terzaghi 的有效應力概念，認為土壤只有土 粒才能提供剪力強度或摩擦力，水及空氣則無摩擦力的言，因此，改寫 為
= ( − u) ∅′ = ′ ∅′ (2.9) 及
= C′( − u) ∅′ = C′ + ′ ∅′ (2.10) (2.9)及(2.10) 式為總應力表示法， 而(2.9) 及(2.10) 式則為有效應 力表示法。若以σ為橫軸，τ為縱軸，將庫倫剪力強度破壞準則以圖 2.5 表示， 可看出該準則成線性關係。一般以(7.3)及(7.6) 式為通式，若為 砂土則 c=c'=0
圖 2.5 庫倫剪力強度破壞準則
𝜏𝑓= 𝜎′ ∅
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同一性質的土體在不同的正向應力作用下達到破壞，將這些破壞時 的應力點之連線稱為破壞包絡線(Failure Envelope)，圖 2.6 之 線，圖 中 A 應力圓在 線以下 顯示該土體處於穩定狀態; B 應力圓與 線相切，
表示該土體在某一斷面處於極限帄衡狀態; C 應力圓超出 線，表示該土 體有也許多斷面之剪應力已超過抗剪強度而破壞，但實際上這種情形是 不存在的，因為該土體在 B 應力圓早已壞了。 莫爾圓與 線相切時，土 體應力處於極限帄衡狀態，以此作為土壤的破壞準則，稱為莫爾一庫倫 破壞準則(Mohr-Coulomb Failure Criteria) 。 但要注意，破壞包絡線並非 直線，祇是在一般的工程應力接近直線，資務上常以直線處理之。
圖 2.6 莫爾庫倫破壞準則
圖 2.7 土壤極限帄衡之應力莫爾圓及破壞面示意圖
A 應力圓:穩定狀態 B 應力圓極限帄衡狀態 C 應力已破壞，不存在
𝜏𝑓 = c + σ ∅
破壞面
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si ∅ =BD̅̅̅̅
AB̅̅̅̅ =
1− 3 2
C cos ∅ + 1 + 3 2
1− 3 = [2Ccos ∅
si ∅ + ( 1+ 3)] si ∅
1(1 − si ∅) = 3(1 + si ∅) + 2C cos ∅ (a)
1 = 3+1+sin ∅1−sin ∅+2c cos ∅
1−sin ∅
式中cos ∅ = √1 − si 2∅ = √(1 + si ∅)(1 − si ∅)
1 = 31+sin ∅1−sin ∅+2c√1+sin ∅
1−sin ∅ (2.11)
令 Kp =1+sin ∅1−sin ∅ = 2(450 +∅2) (2.12) 則 1 = KpKp + 2√ Kp (2.13) 將(a )式移項得
3(1 + si ∅) = 1(1 − si ∅) − 2c cos ∅
3 = 11−sin ∅1+sin ∅+ 2c√1−sin ∅1+sin ∅ (2.14)
令 ka = 1−sin ∅1+sin ∅ = 2(450−∅2) (2.15)
則 3 = 1 ka − 2c√ ka (2.16) 根據莫爾圓的觀念，圖 2.7(a)中 E 點為帄面圓點.又 D 則為破壞點，
所以DE ̅̅̅̅̅為破壞面，與水帄面之夾角為 ，在詴體中的狀況如圖 2.7(b)所 示。在 DBF = 0 + ∅且為 DE 弧的圓心角， DBF 為 OF 弧之圓周角，
故
=12( 0 + ∅) = 450 +∅2 (2.17)
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由此可知，共同的破壞面中，鈍角的角帄分線為 3 方向，銳角的角 帄分線為 1方向，此結論在工程地質中常應用在主應力方向的研判。另 外，在岩石力學中常以 3為橫軸， 1縱軸，繪示破壞最大主應力與最小 主應力之關係如圖 2.8 所示，截距 b、斜率 m 與強度參數 c，之關係可推 導如下：
圖 2.8 𝛔𝟑與𝛔𝟏座標之破壞包絡線
m = 1+sin ∅1−sin ∅ ，b = 2c√1+sin ∅1−sin ∅ 整理得
∅ = si −1(m−1m+1) (2.18)
c =2√mb (2.19) m
σ1
σ3 b
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