概數感的定義

本章旨在探討與本研究相關之理論及實徵研究，以做為研究設計 及研究結果與討論之依據。全章共分二節，第一節概數感的定義；第 二節概數感的評量方式；第三節概數感與數學成就的相關研究。

第一節 概數感的定義

壹、 概數感能力的重要性

根據美國數學教師協會（NTCM，1989） 在其「數學課程與評量 標準」中對於數感的解釋是「根據數所代表的不同意義，產生對於數 的一種直覺」，具有良好數感的兒童，對數學運算的意義具有充分的 理解，能辨別數與數的相對大小與之間的關係，能主動發展出所個體 對於所處環境之一般目標及情境下的參照基準，以進行量的估算。

從 NCTM (2000) 出版的 PSSM 中所發表的「數字和運算標準」

( Number and Operations Standard)中，提出應讓學生能夠暸解數字、數 字的多重表徵方式、數字間的關係及數字系統，並了解運算對數的意 義及運算間的關聯性，能夠發展出具有計算的流暢性以及發展參考點 做合理的估算之能力，而合理的估算能力的這個標準的焦點就在於數 感（劉穆樺，2007）。

一、 概數感強調數字的意義化

數感的教學強調數字的意義化，鼓勵學生探索不同的解題策 略，使學生生活化的運用數字，進而引發學習的樂趣。Kastner (1989)

則指出具備概數感能力的學生越能將數學與真實世界的經驗相連結，

越能掌握數學抽象的特質。。

具有良好數感的人，對數學情境反應迅速、準確、敏捷，且能自 然的應用最佳化的解題策略。學童能夠過自己主動感知、發現、主動 探索，覺察在學習數學過程中體會到數學就在我們周遭的生活中，能 夠運用數學知識，解釋現象中的數學現象，並解決生活中的數學問題，

在這過程中感受到數學的樂趣和作用。

二、 與感官世界的結合

概數感是一種數感能力廣泛的概念，擁有數感能力的人，對數字 會具有較強的直覺，能以彈性地以不同的表徵形式，運用數字及解釋 數字並解決問題。在非符號的系統中，如果能將數學與感官經驗的世 界連結起來，就越能做直覺的判斷與評估，能夠將抽象視為具體或有 意義的類化，進而掌握數學的抽象特徵，也能以各種不同型式的數字 暸解方式進行數學上的判斷，並能使用有效的策略來處理所面對的數 字情境（Howden，1989）。

貳、 概數感的定義

一、 概數感是一種對量的直覺能力

概數感能力被視為對數量的基本直覺感覺，是一種不需要口語計 數的，能夠對於視覺或語音等知覺上的各種項目之近似數量估計的能 力。對於數的估計能力，它包括對數的概算與數的表徵，人類和許多 動物都具有這種直觀的比較數量能力。

因此，概數感是一種能夠對於數或數與周遭世界所產生的一種 特殊的直覺，能從不同的情境中，探索數字並建立數學間的連結，是 逐漸發展而成的一種量的直覺反應。這種直覺根據所獲得的知識和經 驗做為基礎，也就是說數學的直覺是對數學對象中的關聯與連結的直 接領悟（李文興、吳開朗，1996）。而具有數感的人，能對數所代表 的意義、數的大小及日常生活常見的量的合理範圍，都有這種直覺能 力。這種直覺能力，在 Stanislas ( 2000 ) 的研究中，發現不論嬰兒或 是動物都同樣具備這種與生而來，具有數字意義的直覺能力，根據研 究發現這種直覺能力會且隨著年紀增長而逐漸增加。

二、 概數感是基本的數量感

不論嬰兒或是動物都同樣具備這種與生而來的直覺能力，目前 心理學界認為人類與動物間可能共享一套內建的估算、比較數量的機 制（Feigenson，Dehaene，& Spelke，2004; Nieder & Dehaene，2009）。

這個機制被稱為概數系統，是一個假設的生理基礎，提供生物感知數 的近似值（Lemera 等, 2003）。這種近似值大多數研究者認為就是數

量感，而這種數量感是未來算術能力的基礎，雖然對於數量感的存在 仍有許多不同的看法（Berch, 2005）。但是，普遍支持概數感系統存 在的研究者，大都認為最基本的數量感即「概數感」，而這些研究者 常透過概數感作業，來推估受試者的概數系統敏銳度，也就是對於量 的直覺能力。（Barth 等, 2003; Barth 等, 2006; Feigenson 等,2004;

Nieder & Dehaene, 2009）

三、 概數感影響進行高層思考的一種重要因素

如果我們從認知心理學的觀點來看，概數感則是一種高層思考方 式，建構與推理的能力，而這種能力與後設認知的能力有關。 Marshall ( 1989 ) 概數感是各項數學知識間正確的連結，概數感是將片段的數 學知識及有關的技能所成組合成的能力，將概數感當成一種組織完善 的概念網路，使數與運算產生關係，並在某種心智上建構出推理的能 力。

四、 概數感是學習數學的基礎

Butterworth（2010），認為群數感是概數感能力的一種表徵方

式，亦是學習數學的基礎。群數感指的是將這些有意義的數量包成一 個集合，這個集合可以容納的數量種類及大小，能夠決定數量能力的 高低。數量概念的成分，包含能瞭解一對一對應關係的原則；能夠操 縱不同大小集合裡面的數，包含合併集合或篩去部分的數；瞭解集合 內的數量不一定具體可視的，有可能是口語的或是抽象的；能夠目測 小數量的集合，例如不需要一個一個數就可以目測出數量。

五、 概數感是一種策略

Dougherty & Crities ( 1989 ) 則認為當學生應用數感的概念於解題 上，有助於學生問題的解決，並且對於數字的瞭解有較具備穩固的基 礎。過往的研究中指出，數感是指數字和運算過程的瞭解，它包括做 數學判斷時所使用複雜的理解，以及發展有用的策略處理數字和運算。

一位具有數感能力的人，就能夠運用數字和數量的方法進行溝通、處 理和解釋資訊，並且發展出有用及有效的策略處理所面對的數字情 境。

從估算的角度來看，數感所關注的是它直覺本質（intuitive

nature），且是漸進性的發展，並且顯示在多種方式上，其特徵包括：

對數字、運算和它們之間個意義化，做心算和估算時使用各種不同數 字的變通形式，比較和排列數字，能判斷計算結果的合理性，分解和 組合數字，有關數字的解題能創新多種不同的策略。

參、 小結

概數感普遍被認為是基本對於數量的直觀感覺，這種感覺在嬰兒 或小孩及成人上都已被發現存在，而且不是只有人類才有這種直覺能 力，在許多的研究中也發現許多動物和人類一樣都具有這種直觀比較 數量的能力。而這種概數能力的所存在的知識系統觀，被認為主要用 來協助近似值數字的運算（Feigenson，2004）。然而，在我們學習數 學的過程中，所需要的能力不僅是概數感，仍需要包含學習有關數的

表徵方式，這樣的表徵方式能夠與認知系統做結合。從過去的研究中 證實這些數量概念的認知能力和算術測驗結果有相關（Butterworth，

2010）

第二節 概數感的評量方式

從過去的文獻及研究中，支持概數感系統存在的研究者（Nieder

& Dehaene, 2009），大都認為最基本的數量感即概數感，因此，在進 行概數感能力的判斷時，通常皆透過概數感作業來推估受試者的概數 系統敏銳度，實驗目的為呈現黃、藍色兩種不同數量的圓點，在同面 積、不同個數的情況下，請受試者判斷哪一種顏色的數量比較多，以 此評量受試者對於非數字表徵的量感之估測能力。

而在用來測驗概數能力的測驗的方式大多是「比較多或是比較少」

的概數判斷方式進行，在這個過程中請受試者判斷哪些物件上的數量 誰比較多誰比較少，根據比較數量大小的物件的出現方式，可以分為 下列三類，相關評量方式之整理如下表2-2-1：

一、 比較數量大小的刺激圖，依序出現在畫面上

在刺激物出現時，比較數量大小的圖樣依序出現在畫面上，先出現第 一個圖、再出現第二個圖，由受試者比較兩者數量大小，中間間隔一 段時間才出現第二個圖，這種方式因為一次僅需判斷一種圖片，適用 於對於嬰幼兒或兒童。

二、 比較數量大小的刺激圖，同時出現在畫面上

在刺激物出現時，比較數量大小的圖樣依序同時出現在畫面上，但是 一個在左邊一個在右邊，讓受試者同時看見兩個的圖樣情況下比較數 量的大小，適用於對於嬰幼兒或兒童。