臺北市國小資優生與普通生概數感能力、數學成就及性別差異比較

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(1)國立台灣師範大學特殊教育學系碩士論文. 臺北市國小資優生與普通生概數感能力、數學成就及性別差異比較 The comparison of number sense, mathematical achievement , and gender differences between gifted elementary students and normal students. 指導教授：郭靜姿教授研究生：周鈞儀撰. 中華民國一 O 五年六月.

(2) 謝誌終於完成了這本論文，當年懷抱著許多的熱情與夢想進入特教所，從萌懂剛踏入教育圈的新手教師，一路歷經代課老師到成為正式老師的六個年頭裡，經歷多所學校的洗禮與身分的轉變，在眾人的協助與溫暖支持下，論文得以順利產出，心中充滿了滿滿的感謝。謝謝我的指導教授郭靜姿教授，在論文的主題構想中給我我明確的研究主題與方向，對於我的研究設計與方法都逐步地提醒我如何修正與耐心的指導。另外，十分非常感謝心輔系的嘉恩，在研究工具上大方的提供我工具的使用，並且耐心的教導我軟體的使用方式，讓我對於一竅不通的心理學實驗，能夠順利上手完成實驗。同時也感謝兩位口試委員-張海潮教授與游森棚教授，提供了我許多寶貴的意見，使我的論文能更加完善。接著，要感謝協助我完成實驗的學校以及老師們，謝謝思穎,珮榕,芳玉,慧喜,忻怡,婉婷等老師們，盡力協助我入校的事宜與課務安排我能夠,順利進入學校完成冗長的實驗，更謝謝可愛的75位小孩們辛苦的完成各項的測驗，讓我能夠獲得這些寶貴的數據 ; 感謝過去在我修課期間的工作與課業兩頭忙時，協助過我的夥伴北市大附小的夥伴們，感謝我的實習指導老師若男老師，不論我身處哪個學校總是溫暖關心與提醒我該適度放下手邊的工作，開始著手論文的進度;感謝易奇細心解說統計資料的問題;感謝過去一同修課的夥伴們帶給我們課堂上精彩的火花，總是能在疲累的工作中獲得新的能量，重返教育工作中。謝謝黃婉貞組長，美君，家雯，在口試時義無反顧的到場協助與幫忙，謝謝我的大學好姐妹七矮人們，經常陪伴與支持我完成我的論文。最後，要感謝我的家人和男朋友-倩坡默默承受著我陰晴不定的脾氣，默默幫我完成許多我閒雜事務，謝謝你們的寬容與支持，都是支持我完成學業的重要動力。鈞儀. 台北. 2016/7/17.

(3) 中文摘要本研究主要探討國小資優生與普通生在概數感能力與數學成就兩者間的相關和預測。研究以台北市東西南北四區的資優生與普通生做玩研究對象，以概數感評量與數學成就為主要研究工具。所得資料以平均數、二因子變異數分析、相關及迴歸等方式進行分析。茲將本研究之結果說明如下：. 1.. 不同類別與性別受試者在概數感能力之表現資優生在概數感評量中，資優生的概數感優於普通生且具有顯著差異。不同性別在概數感能力的表現上未達顯著差異。. 2.. 不同類別與性別受試者在數學成就之表現資優生與普通生在數學成就的得分，資優生顯著高於普通生，顯示資優生較普通生數學成就表現較好。性別間的數學成就，男生較女生高。. 3.. 概數感能力與數學成就之相關概數感能力與數學成就之間具有低度的相關性，能夠預測未來數學成就的高低。. 最後根據研究結果對教學、鑑定以及未來研究方向提出建議。. 關鍵詞：概數感能力、數學成就、資優生.

(4) The comparison of number sense, mathematical achievement , and gender differences between gifted elementary students and normal students Abstract This research primarily compares the comparison of number sense, mathematical achievement , and gender differences between gifted elementary students and normal students. The target participants of the research are gifted elementary and normal students located in the northern, southern, eastern, and west part of the Taipei ,with The number sense assessment and mathematical achievement test as the primary research instrument. The analysis of the information obtained includes statistic average, two-way analysis of variance , correlation ,regression analysis. The main results of the research are as follows: 1. The performance of various types of subject with different genders on the number sense assessment. Gifted in the number sense assessment , the number sense is better than normal students . Less than significant gender differences in the performance of the number sense ability . 2. The performance of various types of subject with different genders on the mathematical achievement test. Gifted students and students in general mathematics achievement scores significantly higher than normal students. Mathematics achievement between the gender , males than females high . 3. Correlation between the number sense and mathematical achievement Having a low degree of correlation between the ability of the approximate number sense and mathematical achievement , able to predict the level of future mathematics achievement . Finally,recommendation on how to improve education and future research direction based on the result of the study.. Key Word : number sense, mathematical achievement ,gifted student.

(5) 目次中文摘要………………………………………Ｉ英文摘要………………………………………II 目次……………………………………………V 圖次 ……………………………………………III 表次 ……………………………………………IV. 第一章續論……………………………… …01 第一節研究背景與動機…………………01 第二節研究目的………………………05 第三節研究問題………………………05 第四節名詞釋義………………………06. 第二章文獻探討……………………………08 第一節概數感的定義…………………. 10. 第二節概數感的評量方式……………. 14. 第三節概數感與數學成就相關研究………. 17. I.

(6) 第三章研究方法……………………………26 第一節預先測試………………………26 第二節研究設計………………………32 第三節研究對象………………………34 第四節研究工具………………………36 第五節研究程序………………………43. 第四章研究結果與討論……………………46 第一節資優生與普通生在概數感評量之表現 46 第二節資優生與普通生在概數感評量之表現 51 第三節概數感與數學成就之相關……………56. 第五章結論與建議………………………….59 第一節研究結論……………………….60 第二節研究限制………………………61 第三節研究建議………………………63. 參考文獻……………………………………65. II.

(7) 附錄附錄一家長同意書………………………………68 附錄二測驗授權同意書………………………… 70 附錄三概數感實驗材料（練習題）……………… 71 附錄四概數感實驗材料（正式題）………………72. III.

(8) 圖次圖 1-4-1 概數感與數感關係圖……………………………6 圖 2-2-1 比較數量刺激圖……………………………… 15 圖 3-1-1 研究架構圖…………………………………….33 圖 3-4-2 刺激反應圖……………………………………38 圖 3-4-3 概數感實驗評量流程圖………………………40. IV.

(9) 表次表 2-2-1 概數感評量方式之整理…………………………16 表 2-3-2 數學成就與概數感相關研究……………………22 表 3-1-1 預試研究對象背景描述…………………………27 表 3-1-2 概數感能力得分統計表…………………………29 表 3-1-3 資優生與普通生定期評量統計表………………30 表 3-3-1 有效樣本人數分配表……………………………34 表 4-1-1 概數感與數量表比較之描述統計………………47 表 4-1-2 全體學生性別在概數感之描述統計……………48 表 4-1-3 全體學生性別在概數感之差異檢定……………48 表 4-1-4 兩組學生概數感變異數同值性檢定……………49 表 4-1-5 兩組學生概數感得分變異數分析表……………49 表 4-1-7 性別生概數感變異數同值性檢定………………51 表 4-1-8 性別概數感得分變異數分析表…………………51 表 4-2-1 全體學生在數學成就之描述統計………………52 表 4-2-2 全體學生在數學成就之描述統計……………… 52 表 4-2-3 全體學生在數學成就之差異檢定……………… 53. V.

(10) 表 4-2-4 兩組學生數量比較得分同值性檢定…… ……. 54. 表 4-2-5 兩組學生數量比較得分變異數分析表………. 54. 表 4-2-6 性別在數量比較得分之同值性檢定 …… ……55 表 4-2-7 性別在數量比較得分變異數分析摘要表………55 表 4-3-1 概數感與數學成就之相關…………………… 56 表 4-3-2 概數感對數學成就回歸之變異數分析摘要表……57. VI.

(11) 第一章緒論本研究主要目的在於了解目前資優生與普通生之概數感能力、數學成就與數學態度及性別的差異情形，並探究其間的關係。茲將本研究之研究動機、研究目的、重要名詞釋義加以說明如下。. 第一節研究動機近年來，數感（number sense）已受到許多國家所重視，在國內亦逐漸成為主流。量的直覺被許多教育學家拿來解釋為數感，數感被認為是一種人對於數與數對於我們周遭環境所產生的一種反應，而這種能力就是對於數字的直覺反應。Carpenter 等 (1976) 發現學生應發展出「量的直覺」才能有良好的估測能力，這種量的直覺就是數感。 Ariel Starr (2013) 指出：「數學能力是很複雜的概念，由許多部分組成。」而其中一部分應該就是「概數感」（approximate number system），也就是分辨不同規模的數量的一種直覺能力。這種直覺能力，除了人類之外，許多動物也都有這種概數感。而概數感則是在是指在概數系統（approximate numerosity system， ANS）中直觀的「數感（number sense）」的一個理論假設下的生理基礎（Lemera, Dehaene,Spelke, & Cohen, 2003）。在這個概數的系統中，提出一個近似的數感，但並非並非準確的符號計算系統，而這個系統中的概數感能力可作為數感能力的判斷依據之一。概數感能力與數感能力兩者間的關係，可用下圖 1-1-1 表示數感. 圖 1-1-1 概數感與數感關係圖 1. 概數感.

(12) 因此，可以從這兩者的關係中得知，概數感能力是在整個數感能力下的一個基礎，一個概數感能力好的人他的數感能力也會比較佳，在這個前提下，本研究所想要探討的概數感能力亦指此這種對數字的直覺的能力。 Halberda, Mazzocco, 和 Feigenson （2008）將數學能力分為兩種，一種是經過後天學習，需仰賴符號表徵的計算能力，另一種則是與生俱來的能力，例如：概數感。不管是成人、嬰兒、或非人類的動物都有或多或少的概數感，可以透過視覺或是聽覺進行非口語的計數以解決日常生活中的問題。概數感是一種抽象且直觀的概念，例如：我們可以直覺地判斷桌上的五個蘋果需要用多大的盤子才能容納得下，而不需要精確測量出每個蘋果的體積或盤子的大小。既然不論人類或人類以外的動物都具有這樣的直覺能力，那麼這樣的數感能力是與生俱來的或是後天學習而來的呢？這先天與後天兩個觀點長期以來備受討論，Ariel Starr (2013) 指出，如果一個六個月大的嬰兒能分辨 10 個和 20 個點的差異，進入幼兒時期的數學能力通常會比較好。對於人的加減法能力的研究中，發現有一部分是天生的與直覺能力有關，過去已有針對從幼兒到大學生等各年齡層的直覺數感進行研究，有的讓受試者當場接受數學測驗並當場判斷近似數，也有研究利用受試者當下的概數感程度與過去的標準化數學測驗成績做比較，研究結果都顯示數學好的人通常概數感能力也好，因此普遍認為兒童的概數感是長大後數學能力的基礎。當一位學習者從事數學思考時，數感能力會以各種不同的方式呈現，包括意識到答案的正確性及判斷計算的合理性。數感可以將數. 2.

(13) 字情境意義化，尋找新訊息和先前已獲得的知識連結，以及學習者以內心的直覺將數已形成的連結做優先處理，以展現其特徵。因此，數感好的人在接受數學測驗時他的成績也比較好，但到底是數感好所以數學能力好？或是數學能力好因此數感好呢？這兩者間的關係仍然存在討論的空間。因此，近來數感能力的培養在數學教育上更被認為是重要的議題，在許多研究想要了解哪些因素會影響數學成就，發現如種族、性別、智力、學習的內在動機、家庭的社經地位…等因素（Butterworth, 2010），都有可能造成數學成就上的差異（Geary, Bailey, Littlefield,. Wood,. Hoard, & Nugent, 2009; Jordan, 2010; Landerl, Bevan, &Butterworth,2004）。但部分研究即顯示，學生在數學學習上遇到困難，或能力低落的根本原因在於概數感的不足（Halberda,, Mazzocco, & Feigenson, 2008; Jordan, 2010）。Attridgea , Gilmorea , 和 Inglis（2009）則是認為這是與生俱來的概數感和數學符號之間的聯結出了問題，導致數學學習障礙。Rousselle 和 Noel （2007）的研究，發現有數學障礙的孩童，在使用非符號表徵作業時表現良好，例如比較不同顏色的圓圈圈數量大小。但是同樣的作業將非符號的表徵改為正式的數學符號後卻無法處理，顯示這些學生具有比較數量大小的能力，但無法和數學符號作聯結，並非本身的概數感不好，因此，本研究欲從概數系統中的概數感，探討本身的數感能力與其之後數學成就的相關性。根據國內研究數感的文獻來看，兒童在數感測驗上的表現隨著年級而有些不同變化;例如：吳明玲（民 2003）針對國小二年級學生共 225 人施予自編的數感測驗發現，國小二年級學童數感測驗整體表現. 3.

(14) 偏向高分群，顯示低年級學童仍具有不錯的數感表現;但是楊德清（2001）、支毅君（1997）等針對中高年級學童進行數感研究，卻發現我國學童在數感表現方面普遍不理想，學生的數感能力似乎會隨著年級而產生不同的變化。另外，數感能力表現是否有性別上的不同乃是有趣的研究（韓啟賢，2008; Yang, Li,＆Lin, 2008）。吳姿瑢曾探討國小一年級學童數感能力表現（吳姿瑢，2008）；張慧貞以高雄市外籍配偶子女為對象，研究國小四年級數感能力表現（張慧貞，2005）；吳昭毅研究台東縣國小高年級漢、原學童數字感差異（吳昭毅，2006）；許清陽對六年級學童進行電腦化數感診斷測驗（許清陽，2006）等等，這些研究皆有性別上的分析，唯獨缺乏資優生的相關文獻，因此研究者將此問題納入探討，以期讓數感研究更臻完整。同樣地從國內的研究文獻來看，研究數感的學者大多針對某個年級進行實驗教學，探討數感能力的差異，而對於數感能力與數學成就的相關研究甚少討論，因此研究者想從不同對象、性別上來探討數感能力對資優生及普通生在數學成就上的預測性如何。另外，目前國內所使用的數感測驗大都為自編的紙筆式數感測驗（非符號系統），但考量學生可能會受環境及文化等上的差異影響其數學感的表現，因此本研究欲從非符號系統中的概數感測驗作為數感能力的判斷，以探討數學成就測驗間的相關性，並探討資優生與普通生對於數學態度的差異情形。. 4.

(15) 第二節研究目的與問題. 本研究主要的研究問題如下：一、. 比較資優生與普通生概數感能力與數學成就之差異. 二、. 比較資優生概數感能力與數學成就之性別差異. 三、. 比較普通生概數感能力與數學成就之性別差異. 四、. 探討概數感能力與數學成就之相關性. 第三節研究問題依據研究目的提出本研究之研究問題如下：. 一、. 資優生與普通生在概數感能力與數學成就之間之差異是否達. 到顯著水準？二、. 性別在概數感能力與數學成就之差異是否達到顯著水準?. 三、. 數感能力與數學成就之相關是否達到顯著水準？. 5.

(16) 第四節. 名詞釋義. 茲將本研究所涉及之重要變相與相關名詞，分別界定其概念性與操作性定義如下：. 壹、. 一般智能資賦優異學生. 係指符合依「身心障礙及資賦優異學生鑑定標準」（教育部， 2012），指在記憶、理解、分析、綜合、推理、評鑑等方面，較同年齡具有潛能或傑出表現者；其經鑑定後應符合下列各款之標準： 1.個別智力測驗評量結果在平均數正兩個標準差或百分等級 97 以上。2.經專家學者、指導老師或家長觀察推薦，並檢附學習特質與表現卓越或傑出等之具體資料。本研究對象係指 104 學年度就讀於各縣市國民小學所設立之一般智能資賦優異之分散式資優資源班之國小四年級學生。貳、. 概數感能力（number sense）. 概數感是指在概數系統（approximate numerosity system，ANS）中直觀的「數感（number sense）」的一個理論假設下的生理基礎（Lemera, Dehaene,Spelke, & Cohen, 2003）。此系統只提供一個近似的數感，並非準確的符號計算系統，可作為數感能力的判斷依據。概數感能力與數感能力兩者間的關係，可用下圖 1-4-1 表示數感. 概數感. 圖 1-4-1 概數感與數感關係圖 6.

(17) 概數感實驗評量用來評量概數感的能力，一般分成符號或非符號兩種，本研究使用的 Hinrichs 等人（2006）所改編來的心理學實驗, 以非符號的概數判斷方式，反應速度越快且反應時間越正確代表概數感能力越好。. 參、. 數學成就. 數學成就指受試者在真實數學能力的表現情形，本研究所指數學成就的得分，係指受試者在「國民小學數學學業性向測驗」中「數量比較」的得分，若得分越高，代表受試者在數學實際能力表現上越好。. 7.

(18) 第二章文獻探討本章旨在探討與本研究相關之理論及實徵研究，以做為研究設計. 及研究結果與討論之依據。全章共分二節，第一節概數感的定義；第二節概數感的評量方式；第三節概數感與數學成就的相關研究。. 第一節概數感的定義. 壹、. 概數感能力的重要性. 根據美國數學教師協會（NTCM，1989）在其「數學課程與評量標準」中對於數感的解釋是「根據數所代表的不同意義，產生對於數的一種直覺」，具有良好數感的兒童，對數學運算的意義具有充分的理解，能辨別數與數的相對大小與之間的關係，能主動發展出所個體對於所處環境之一般目標及情境下的參照基準，以進行量的估算。從 NCTM (2000) 出版的 PSSM 中所發表的「數字和運算標準」 ( Number and Operations Standard)中，提出應讓學生能夠暸解數字、數字的多重表徵方式、數字間的關係及數字系統，並了解運算對數的意義及運算間的關聯性，能夠發展出具有計算的流暢性以及發展參考點做合理的估算之能力，而合理的估算能力的這個標準的焦點就在於數感（劉穆樺，2007）。. 一、概數感強調數字的意義化. 數感的教學強調數字的意義化，鼓勵學生探索不同的解題策略，使學生生活化的運用數字，進而引發學習的樂趣。Kastner (1989). 8.

(19) 則指出具備概數感能力的學生越能將數學與真實世界的經驗相連結，越能掌握數學抽象的特質。。具有良好數感的人，對數學情境反應迅速、準確、敏捷，且能自然的應用最佳化的解題策略。學童能夠過自己主動感知、發現、主動探索，覺察在學習數學過程中體會到數學就在我們周遭的生活中，能夠運用數學知識，解釋現象中的數學現象，並解決生活中的數學問題，在這過程中感受到數學的樂趣和作用。. 二、與感官世界的結合. 概數感是一種數感能力廣泛的概念，擁有數感能力的人，對數字會具有較強的直覺，能以彈性地以不同的表徵形式，運用數字及解釋數字並解決問題。在非符號的系統中，如果能將數學與感官經驗的世界連結起來，就越能做直覺的判斷與評估，能夠將抽象視為具體或有意義的類化，進而掌握數學的抽象特徵，也能以各種不同型式的數字暸解方式進行數學上的判斷，並能使用有效的策略來處理所面對的數字情境（Howden，1989）。. 9.

(20) 貳、. 概數感的定義. 一、概數感是一種對量的直覺能力. 概數感能力被視為對數量的基本直覺感覺，是一種不需要口語計數的，能夠對於視覺或語音等知覺上的各種項目之近似數量估計的能力。對於數的估計能力，它包括對數的概算與數的表徵，人類和許多動物都具有這種直觀的比較數量能力。因此，概數感是一種能夠對於數或數與周遭世界所產生的一種特殊的直覺，能從不同的情境中，探索數字並建立數學間的連結，是逐漸發展而成的一種量的直覺反應。這種直覺根據所獲得的知識和經驗做為基礎，也就是說數學的直覺是對數學對象中的關聯與連結的直接領悟（李文興、吳開朗，1996）。而具有數感的人，能對數所代表的意義、數的大小及日常生活常見的量的合理範圍，都有這種直覺能力。這種直覺能力，在 Stanislas ( 2000 ) 的研究中，發現不論嬰兒或是動物都同樣具備這種與生而來，具有數字意義的直覺能力，根據研究發現這種直覺能力會且隨著年紀增長而逐漸增加。. 二、概數感是基本的數量感. 不論嬰兒或是動物都同樣具備這種與生而來的直覺能力，目前心理學界認為人類與動物間可能共享一套內建的估算、比較數量的機制（Feigenson，Dehaene，& Spelke，2004; Nieder & Dehaene，2009）。這個機制被稱為概數系統，是一個假設的生理基礎，提供生物感知數的近似值（Lemera 等, 2003）。這種近似值大多數研究者認為就是數. 10.

(21) 量感，而這種數量感是未來算術能力的基礎，雖然對於數量感的存在仍有許多不同的看法（Berch, 2005）。但是，普遍支持概數感系統存在的研究者，大都認為最基本的數量感即「概數感」，而這些研究者常透過概數感作業，來推估受試者的概數系統敏銳度，也就是對於量的直覺能力。（Barth 等, 2003; Barth 等, 2006; Feigenson 等,2004; Nieder & Dehaene, 2009）. 三、概數感影響進行高層思考的一種重要因素如果我們從認知心理學的觀點來看，概數感則是一種高層思考方式，建構與推理的能力，而這種能力與後設認知的能力有關。 Marshall ( 1989 ) 概數感是各項數學知識間正確的連結，概數感是將片段的數學知識及有關的技能所成組合成的能力，將概數感當成一種組織完善的概念網路，使數與運算產生關係，並在某種心智上建構出推理的能力。. 四、概數感是學習數學的基礎. Butterworth（2010），認為群數感是概數感能力的一種表徵方式，亦是學習數學的基礎。群數感指的是將這些有意義的數量包成一個集合，這個集合可以容納的數量種類及大小，能夠決定數量能力的高低。數量概念的成分，包含能瞭解一對一對應關係的原則；能夠操縱不同大小集合裡面的數，包含合併集合或篩去部分的數；瞭解集合內的數量不一定具體可視的，有可能是口語的或是抽象的；能夠目測小數量的集合，例如不需要一個一個數就可以目測出數量。. 11.

(22) 五、概數感是一種策略. Dougherty & Crities ( 1989 ) 則認為當學生應用數感的概念於解題上，有助於學生問題的解決，並且對於數字的瞭解有較具備穩固的基礎。過往的研究中指出，數感是指數字和運算過程的瞭解，它包括做數學判斷時所使用複雜的理解，以及發展有用的策略處理數字和運算。一位具有數感能力的人，就能夠運用數字和數量的方法進行溝通、處理和解釋資訊，並且發展出有用及有效的策略處理所面對的數字情境。. 從估算的角度來看，數感所關注的是它直覺本質（intuitive nature），且是漸進性的發展，並且顯示在多種方式上，其特徵包括：對數字、運算和它們之間個意義化，做心算和估算時使用各種不同數字的變通形式，比較和排列數字，能判斷計算結果的合理性，分解和組合數字，有關數字的解題能創新多種不同的策略。. 參、. 小結. 概數感普遍被認為是基本對於數量的直觀感覺，這種感覺在嬰兒或小孩及成人上都已被發現存在，而且不是只有人類才有這種直覺能力，在許多的研究中也發現許多動物和人類一樣都具有這種直觀比較數量的能力。而這種概數能力的所存在的知識系統觀，被認為主要用來協助近似值數字的運算（Feigenson，2004）。然而，在我們學習數學的過程中，所需要的能力不僅是概數感，仍需要包含學習有關數的. 12.

(23) 表徵方式，這樣的表徵方式能夠與認知系統做結合。從過去的研究中證實這些數量概念的認知能力和算術測驗結果有相關（Butterworth， 2010）. 13.

(24) 第二節概數感的評量方式. 從過去的文獻及研究中，支持概數感系統存在的研究者（Nieder & Dehaene, 2009），大都認為最基本的數量感即概數感，因此，在進行概數感能力的判斷時，通常皆透過概數感作業來推估受試者的概數系統敏銳度，實驗目的為呈現黃、藍色兩種不同數量的圓點，在同面積、不同個數的情況下，請受試者判斷哪一種顏色的數量比較多，以此評量受試者對於非數字表徵的量感之估測能力。而在用來測驗概數能力的測驗的方式大多是「比較多或是比較少」的概數判斷方式進行，在這個過程中請受試者判斷哪些物件上的數量誰比較多誰比較少，根據比較數量大小的物件的出現方式，可以分為下列三類，相關評量方式之整理如下表2-2-1：一、比較數量大小的刺激圖，依序出現在畫面上. 在刺激物出現時，比較數量大小的圖樣依序出現在畫面上，先出現第一個圖、再出現第二個圖，由受試者比較兩者數量大小，中間間隔一段時間才出現第二個圖，這種方式因為一次僅需判斷一種圖片，適用於對於嬰幼兒或兒童。二、比較數量大小的刺激圖，同時出現在畫面上. 在刺激物出現時，比較數量大小的圖樣依序同時出現在畫面上，但是一個在左邊一個在右邊，讓受試者同時看見兩個的圖樣情況下比較數量的大小，適用於對於嬰幼兒或兒童。. 14.

(25) 三、比較數量大小的刺激圖，混合在同一張圖中. 本研究採用的判斷方式，在刺激物出現時，將需要比較數量大小的圖樣混合在同一張圖中，由受試者依直覺判斷那種圖樣的數量較多，做直覺的判斷。如下圖2-2-1. 圖2-2-1 比較數量刺激圖. 15.

(26) 表2-2-1 概數感評量方式之整理. 編製者. 呈現方式. 適用對象. Attridgea 等, 2009;. 比較數量大小的圖樣依序出現在. 嬰幼童、國. Gilmore, McCarthy, &. 畫面上，先出現第一個圖、再出現小兒童. Spelke, 2010. 第二個圖，由受試者比較兩者數量大小. Halberda & Feigenson,. 同時將需要比較的圖樣呈現在畫. 2008; Mazzocco,. 面上，一個在左、一個在右，讓受小兒童. Feigenson, & Halberda,. 試者在同時看見兩個圖樣的情況. 2011. 之下比較大小. Halberda 等, 2008;. 將需要比較數量大小的圖樣混合. Libertus, Feigenson, &. 在同一張圖中，由受試者依直覺判. Halberda, 2011. 斷那種圖樣的數量較多. 資料來源：研究者自行整理. 16. 嬰幼童、國. 國中.

(27) 第三節概數感與數學成就的相關研究. 在Stanislas ( 2000 ) 的研究中，發現不論嬰兒或是動物都同樣具備這種與生而來，具有數字意義的直覺能力。根據研究發現這種直覺能力會且隨著年紀增長而逐漸增加。目前，對於概數感能力與數學成就表現之間的相關程度的研究發現並不一致，大多數的研究發現概數感能力與數學成就有關（Halberda，2008）；但也有研究發現數學能力低下的孩童，與數學表現優異的孩童，在概數作業下的表現並沒有差異（Iuculano等人， 2011）。因此，關於數學成就與概數感之間的相關性仍待討論。但如果單就概數感能力與之後數學能力的相關性研究中，仍然可以發現概數感能力與長大後的數學能力有關，且這種能力與與生俱來的成熟度有關。相關的研究發現如下：. 壹、. 概數感能力會持續發展至成人. 概數感能力會透過經驗的累積，形成經驗值，概數感能力會音其經驗值的影響，逐漸成長。所以概數感的能力可以從早期持續發展至成年。也就是說當開始接受正式數學教育時，概數感能力仍會持續發展，這也與我們進行物體的估算時，夠夠進行直接與間接的估算時，所發展出一個參考點以幫助我們，進行數的估算有關。. 17.

(28) 貳、. 概數感能力與其後數學成就有關一、幼兒的概數能力與數學成就有相關. 在 Halberda 等人（2008）的研究中發現，幼稚園幼兒的概數感能力與其後的數學成就有關，因此，認為概數感能力是學習數學的基礎，有些研究也發現數學成就與幼兒階段的算術能力具有相關性。 Jordan（2010）的研究結果則顯示，0-6 歲的孩童，在計數、量的描述及數字的命名上的表現，與數學成就表現的相關性很高。 Libertus 等人（2011）的研究中，以3到5歲的學齡前兒童作為研究對象，探討3到5歲的學齡前兒童概數感能力與學齡前的數學能力是否有關，研究發現，概數感能力和早期的數學能力之間具有相關性，在研究中更進一步排除年齡和口語能力的變項，同樣也發現概術感能力和早期數學能力之間仍有相關性。Ｍazzococo等人（2011）的研究，以3至4歲的幼兒為研究對象，探討學齡前的幼兒概數感能力能否預測未來進入幼稚園或國小的數學能力。研究發現，在幼兒園中所測得概數感能力能夠有效預測兩年後（六歲時）在學校的數學成就表現。二、國中階段概數感能力在數學能力扮演關鍵因素. Halberda 等人（2008），以過去的數學成績和國中階段的概數感能力進行探討，並且將每一年的數學成就測驗的成績與概數感評量結果，進行相關分析。發現從幼稚園到小學六年級. 18.

(29) 每一年的成績都和概數感能力有關，因此認為概數感能力在個別數學能力扮演關鍵角色。三、概數感能力與社經背景無關. Gilmore等人（2011）的研究，以幼兒園的幼兒進行概數感能力以及學校數學成就之間的相關研究，並進一步比較不同社經背景的孩童在概數感能力上，是否存在差異。研究同樣發現概數感作業中表現較好的幼兒，在學校成就方面的表現也比較好，除此之外，透過實驗也發現，同樣的一群幼兒概數感能力會隨著年齡增長。關於社經背景的研究變項上，發現概數感與社經背景均未達顯著差異。顯示出，概數感能力可能與與生俱來的成熟度有關。參、. 概數感能力在性別上的差異. 關於數感能力的研究，大多以不同階段學童對於數感能力教學成效的探討，對於性別上的研究甚少，部分研究發現 Yang（1995）對台灣國小六年級及國一、二學生進行數感研究顯示，男女性別學童在數感表現並無差異存在。許清陽（2001）對高年級學童進行研究，發現男女性別在數感表現雖有顯著差異，但差異很小。黃靖淑（2002）針對高年級學生探討數感發展的概況，發現數感能力在年級上有顯著差異，但在性別上卻沒有顯著的差異。于珮琪（2012）對國一～三學生進行概數感研究亦發現，不同性別的學生，在各項工作記憶作業及概數感作業的表現均未達顯著差異。這樣的結果與我們所預期很不一樣，過去我們一般對於數理的表現，普遍認為男生在數理表現優於女生，關於這個問題在概數感能. 19.

(30) 力上，由於針對在性別差異上的研究相對較少，因此在本研究會再針對性別的部分進行差異比較。. 肆、. 概數感能力與估算能力的關係. 美國數學教育協會（NCＴM，1989）認為擁有良好的數感兒童有五項特徵，分別就這五項特徵分述如下：（一）對數的意義有很好的了解. 有意義的瞭解所代表的意義，包括數的型態及位值概念。（二）能發展數的多重表徵形式. 數字在不同的情境中，便會以不同的形式出現，例如可用符號或圖表來表示。擁有良好數感者具有對數字良好認知，包括暸解數字可以用不同型態來表示或是在特殊的目的下有不同的表徵方式。（三）能知道數的相對大小 . 在對於數的相對大小中，比較數字的相關大小關係包含以下幾種能力：1.能夠分辨數的相對大小：包含數字的比較與排序，這種能力與位值的了解程度有關。2.了解有理數的稠密性：是指能夠瞭解兩個分數或小樹之間還包含著無限的數。3.比較數字大小的能力：可分為相對大小與絕對大小。4.比較數的絕對大小：指的是能對數量做合理的判斷。（四）能了解運算對數的影響 . 能用有意義的方法去連結數、數與運算和相關符號，並且能夠利用數和運算的屬性發展出策略來進行心算。. 20.

(31) （五）能發展參考點以測量一般物體並應用於生活情境. 參考點是指可依賴以作為檢驗其他數字或解決問題之標準點。 Mclntosh (1992)認為參考點通常可以被使用於判斷一個答案的大小或者選擇一個約略數字以便於估算或心算的進行。有關美國數學教育協會（NCＴM，1989），提出擁有良好的數感兒童有五項特徵之中，第三項「能知道數的相對大小」中，能夠針對比較數的大小進行合理判斷，將「估算能力」視為是一種直覺地利用經驗求合理答案的技能，不需要靠紙筆計算、合理算出最接近答案的特徵。在估算的能力中，包含理解數字大小、小數、分數系統與修正調整數字的能力，而這些能力均包含在概數感中，因此估算能力與概數感息息相關。Reys（1985）也認為估算和數學思考有極高的相關，一位具備良好估算能力者，在數學思考時能夠主動面對問題且能夠預測何種類型的答案是合理的，並且彈性的使用不同的數字符號並選擇適當的策略，進行較佳的數學判斷。因此，概數感能力與數學成就間在一定的相關性，概數感能力越好的人，未來的數學成就也可能越高。. 伍、. 概數感國內外相關研究. 概數能力與數學能力的相關性研究中，發現概數能力與長大後的數學能力有關，且這種能力與與生俱來的成熟度有關，相關的研究如下表 2-3-2 所示：. 21.

(32) 表 2-3-2 國外學者對於數學成就與概數感之間的相關研究研究者（年代）研究對象研究工具 Halberda 等人. 64 位 14 歲的國中生 1.. （2008）. 概數感測驗：. 研究結果 1.. 從幼稚園到小. 同時呈現不同數量. 學六年級每一. 的藍色和黃色圓. 年的數學測驗. 形，請受試者在短. 成績都和概數. 時間內憑直覺判斷. 測驗的成績相. 哪一種顏色的圓形. 關。. 數量較多。 2.. 2.. 數學測驗成績. 概數感在個別數學能力方面扮演關鍵的角色。. Halberda 與. 3至6歲的孩童各16人. Feigenson（2008）及成人16人（平均年齡20.18歲）. 1.. 概數感測驗－. 1.. 概數感能力從. 判斷圖形數量大. 早期持續發展. 小，其中一半的試. 至成年。. 驗控制為面積相關. 2.. 3 歲可辨識的. （數量較多的圖. 比例為3：4，. 形，總面積. 到6歲時可辨. 較大），另一半的. 識的比例為. 試驗控制為面積逆. 5：6，成人的. 相關（不論數量多. 辨識比例可接. 或少，總面積都相. 近10：11。因. 同）. 此，即使開始接受正式數學教育，概數感能力仍持續發展到成人。. Libertus 等人. 3~5 歲學齡前幼兒. （2011）. 1.. 概數感測驗：. 1.. 先顯示圖案一（都是黃色的圓形），. 22. 概數感和數學能力有相關。. 2.. 概數感和早期. 再顯示圖案二（都. 的數學能力之. 是藍色的圓形），. 間具有相關.

(33) 然後圖案都拿掉之. 性。. 後，請受試者回答那個顏色的圓形數量較多。. Mazzocco 等人（2011）. 3~4 歲幼童 17 位. 1.. 數學能力測驗. 2.. 口語測驗. 1.. 概數測驗. 2.. 數學能力（兩. 之數感測驗能. 年後）. 有效預測六歲. 1.. 幼童時所測得. 時在學校的數學成就表現。 2.. 概數能力與成長後的數學能力有關，並且數感能力越好，作答時間越短。. Gilmore 等人（2010）. 1.. 幼稚園幼童. 2.. 非符號概數感. 1.. 概數測驗中表. 測驗. 現較好的兒. 數學成就. 童，在數學成就方面也表現得比較好。 2.. 概數感測驗和數學成就評量的成績均達顯著相關。. 3. 概數感能力隨著年齡增長的研究結果，顯示概數感能力與與生俱來的的成熟度有關。 Attirdgea 等人. 12 名 23 至 36 歲的. 23. 1.. 概數加法測. 1.. 成人在處理數.

(34) （2009）. 成人. 驗：受試者需. 學問題時需要. 要比較前兩張. 使用概數感。. 圖片中藍色圓. 2.. 數學成就與概. 點數量的總和. 數感的能力相. 與第三中圖片. 關。. 中紅色圓點數量的大小。. 資料來源：研究者自行整理. 陸、. 小結：. 上述的研究顯示，多數研究發現概數感能力與數學能力之間存在相關性，關於概數感能力和數學成就的比較上，以時間軸來看可分為三種的比較量：第一種以當時的概數感能力與過去的數學能力進行比較；第二種在同一時間進行概數感評量和數學成就的評量，進行相關比較；第三種用當下的概數感評量的結果，和未來的數學成就進行必較，不論哪一種的比較量李，皆發現概數感能力與數學成就存在相關性。. 從研究對象來看，過去的研究大多以國小和國中階段進行相關比較，鮮少進行國小階段的研究，因此本研究鎖定為國小學生做為研究對象，並探討不同性別間，概數感能力是否有差異存在。由於研究者本身任教於國小一般智能資優班裡，在課堂中發現部分資優生對於數的敏銳度很高，因此試想比較資優生與普通生在概數感間是否從在差異呢？. 24.

(35) 因此，本研究想要探討國小資優生與普通學生中，同時進行概數感評量及數學成就測驗，期望探討不同性別的資優生與普通生在概數感能力之間是否具有差異，以及概數感能力在國小階段與數學成就間的相關性。. 25.

(36) 第三章研究方法. 本研究以調查法探討資優生與普通生在概數感能力上的差異，以及與數學成就的相關性，本章旨共分為六個小節。第一節為預先測試：說明正式研究前的測試方；第二節為研究架構：針對本研究的主題之相關設計說明將分別說明；第三節為研究對象：第四節為資料蒐集與處資研究的架構、方法與程序，共分五節，第五節研究程序以及第六節資料處理與分析。茲分節敘述如下：第一節預先測試. 預先測試可視為正式研究的簡化版。研究中使用較少的樣本數，較短的研究時間等，但研究之取樣對象及方法、研究流程皆與未來之研究相同。預先測試(Pilot study)之主要目的為確認研究之安全性及可行性，且可藉此檢討未來研究可改善之處。本研究希望用概數感的評量，了解學生對於量的直覺表現情形，因此，使用用概數感評量的實驗，是否能顯著看出資優生與普通生對於數的量感是否有差異存在，另外在性別的部分，希望了解概數感在性別上是否有差異，因此，本研究預借由預先測試的過程，了解資優生與普通生在概數感能力與數學成就上的表現情形。壹、. 預試方式. 本研究於台北市某國小進行預先，篩選四年級學生，男生 6 名女生 6 名，以概數感實驗評量做為數感能力高低的依據，並以該校其第一次評量的成績做為數學成就高低的判斷依據，本次預試的對象簡. 26.

(37) 介如下表 3-1-1 表 3-1-1 預試的研究對象與背景敘述學生. 類別. 性別. 年級. G1. 資優生. 男. 四年級. G2. 資優生. 男. 四年級. G3. 資優生. 男. 四年級. G4. 資優生. 女. 四年級. G5. 資優生. 女. 四年級. G6. 資優生. 女. 四年級. N1. 普通生. 男. 四年級. N2. 普通生. 男. 四年級. N3. 普通生. 男. 四年級. N4. 普通生. 女. 四年級. N5. 普通生. 女. 四年級. N6. 普通生. 女. 四年級. 貳、. 備註. 預試流程. 本研究基於研究倫理，先行發送同意書徵詢受試者的同意，並使其了解研究的內容與研究目的，以及相關的實施方式及流程，為確保學生個人的保密原則，故研究中僅以編號呈現研究結果，並告知本研究相關研究之結果，僅供學術使用，將不做其他用途。. 27.

(38) 一、預試進行方式: 1.. 徵求家長及學生同意書。. 2.. 蒐集學生最近一次的定期評量數學科的成績。. 3.. 進行視野的校正。. 4.. 分別針對學生進行電腦個測的概數感實驗評量。. 5.. 紀錄概數感實驗評量的答題情形與反應。. 6.. 進行口頭訪談，了解學生對圖形的時間及答題時間的相關建議。. 7.. 參、. 進行研究修正。. 預試結果. 從預試的結果可發現在資優生與普通生在概數感能力上有差異，但性別部分較無顯著，另外在進行數學成就測驗部分，如果以學期學期成績作為數學成就的依據，會發現不論資優生或是普通生成績皆普遍偏高，與概數感評量結果也不具相關性，其答題反應的相關分析如下: 從表 3-1-2 資優生與普通生在概數感實驗評量中的的分統計，可發現在概數感實驗評量中，資優生與普通生作答情形有所差異，資優生在概數感中的平均數為 65.8 ; 普通生則為的平均數為 52，資優生在概數感部分得分高於普通生，與我們原先預期的結果一致，但在性別上男女未必有明顯差異。. 28.

(39) 表 3-1-2 概數感能力的得分統計表參與者編號. 類別. 性別. 年級. 得分. G1. 資優生. 男. 四年級. 63. G2. 資優生. 男. 四年級. 54. G3. 資優生. 男. 四年級. 71. G4. 資優生. 女. 四年級. 60. G5. 資優生. 女. 四年級. 76. G6. 資優生. 女. 四年級. 71. N1. 普通生. 男. 四年級. 43. N2. 普通生. 男. 四年級. 64. N3. 普通生. 男. 四年級. 62. N4. 普通生. 女. 四年級. 30. N5. 普通生. 女. 四年級. 54. N6. 普通生. 女. 四年級. 59. 在表 3-1-3 中，資優生與普通生在數學成就上的表現情形，以四年級的定期評量考成績作為數學成就高低的依據，可發現不論資優生或是普通生在定期考的成績上沒有顯著的差異，在數學定期評量成績上分數普遍偏高，因此無法作為數學成就高低的判斷依據。. 29.

(40) 表 3-1-3 資優生與普通生數學定期評量成績統計表參與者編號. 類別. 性別. 年級. 成績. G1. 資優生. 男. 四年級. 98. G2. 資優生. 男. 四年級. 89. G3. 資優生. 男. 四年級. 99. G4. 資優生. 女. 四年級. 86. G5. 資優生. 女. 四年級. 95. G6. 資優生. 女. 四年級. 100. N1. 普通生. 男. 四年級. 99. N2. 普通生. 男. 四年級. 94. N3. 普通生. 男. 四年級. 97. N4. 普通生. 女. 四年級. 92. N5. 普通生. 女. 四年級. 91. N6. 普通生. 女. 四年級. 95. 肆、. 小結. 根據預先測試的結果及過去的研究比較，概數感能力在性別上沒有顯著差異與過去的研究結果相同，針對研究對象的類別資優生與普通生則與我們原先預期一致，資優生在概數感能力上優於普通生。. 在數學成就部分，原先以四年級上學期第二次評量成就作為數學成就高低的判斷，但經過預試的結果發現不論資優生或普通生普遍成績. 30.

(41) 都偏高，由於定期評量的內容為形成性的評量，考試內容有一定的範圍，與學生個人的精熟程度有關，無法確切表現出學生實際的數學能力，無法推論其概數感之間的相關性，因此，在數學成就的研究工具上，經過重新搜集數學成就相關測驗工具後，選用國民小學學業性向測驗，這套測驗中有兩個部份，分別為「語文推理」和「數量比較」。在「數量比較」這個部分，主要是以比較大小為主，內容涵蓋四到六年級關於數與量或面積大小等的量的比較，與概數感所評量的量的直覺大小較為類似，因此，在正式的研究部分將以「數量比較」取代學校定期評量的成績，作為數學成就高低的依據。. 31.

(42) 第二節. 研究設計. 本研究旨在台北市國小四年級資優生與普通生為研究對象，分別探討資優生與普通學生在概數感與數學成就之間的相關性。研究擬以調查法進行，以台北市國小四年級一般智能資優班學生及普通生作為研究對象，首先以概數感評量了解資優生與普通生在數感能力表現上的差異，再以國小數學學業性向測驗「數量比較」部分之得分，探討國小四年級資優生與普通生在數感能力上的差異及數學成就測與數學態度的相關性。. 主要研究階段如下：一、. 以調查法進行，以國小安置有資優班的班級學生為研究對象，. 對安置有資優生的普通班所有學生（含資優生）進行「國民小學學業性向測驗」的團測，再分別進行「概數感實驗評量」的個測。二、. 利用統計方法分析研究對象在概數感能力及數學成就上的表. 現及差異情形。三、. 進一步探討資優生與普通生在「概數感能力」與「數學成就」，. 之表現情形與相關性。四、. 分析性別在數感能力與數學成就之間的差異情形。. 32.

(43) 根據本研究之研究背景與動機、輔以文獻探討，本研究之設計如下圖（圖 3-2-1）所示之研究架構：研究對象：國小四年級學生類別： 1. 一般智能資優生 2. 普通生. 性別： 1. 男生 2. 女生. 預試階段修改工具數學定期評量成績. 研究工具：概數感實驗評量、國民小學學業性向測驗. 概數感能力. 數學成就. 資料分析 1. 敘述統計 2. 變異數分析 3. 相關分析. 圖 3-1-1 研究架構圖. 33.

(44) 第三節. 研究對象. 本研究以立意取樣方式，挑選台北市的四年級生就讀之在學學生，包含通過台北市鑑輔會所鑑定為一般智能資優班學生及普通班學生，男生與女生的比例約為 1: 1。參與研究對象總人數為 151 人，男生 77 人、女生 74 人。為了減少不同地區的社經地位及生活水平之誤差，本研究分別就臺北市東區、西區、南區、北區至少一所學校作為本次的研究對象。刪除一位學生在概數感實驗中無效作答，一位放棄正式題的施測，以及兩位僅完成團測未進行個測，實際有效樣本數共有 147 人，其中男生 73 人、女生 74 人；資優生 73 人、普通生 74 人，各區取樣學校及受試人數如表 3-2-1 所示。表 3-2-1 有效樣本人數分配表區域北區. 東區. 學校名稱. 士東國小. 光復國小. 年級. 資優班. 普通班. 總計. 四年級. 男生 8. 男生 8. 33 人. 女生 8. 女生 9. 四年級. 男生 9 女生 10. 東區. 福德國小. 36 人男生 14 女生 13. 西區. 北市大附小. 四年級. 34. 男生 13. 男生 6. 女生 8. 女生 4. 31 人.

(45) 區域. 學校名稱. 年級. 資優班. 普通班. 南區. 木柵國小. 四年級. 男生 6. 男生 3. 女生 6. 女生 7. 男生 4. 男生 3. 女生 2. 女生 6. 男生 40. 男生 33. 女生 34. 女生 39. 南區. 銘傳國小. 四年級. 總計. 35. 總計 37 人. 147 人.

(46) 第四節. 研究工具. 根據研究目的，本研究探討的向度所使用的研究工具需包含：概數感實驗評量測驗與國民小學學業性向測驗。以下分別說明所需研究工具內容。. 壹、. 概數感實驗評量. 一、. 概數感實驗設計. 本研究中所使用的概數感實驗評量類似(Halberda 等，2008)研究中所採用的作業。實驗目的為呈現黃、藍色兩種不同數量的圓點，在同面積、不同個數的情況下，請受試者判斷哪一種顏色的數量比較多，以此評量受試者對於非數字表徵的量感之估測能力（引自謝嘉恩， 2015）。二、. 實驗題型. 在圓點數量的部分，以 12、18、24 為比較基準，以差距 1、3、5 個圓點作為對比，圍成一個甜甜圈的形狀，共有 12 種組合方式，如 12-13、12-15、12-17、13-18、15-18、17-18、18-19、18-21、18-23、19-24、 21-24、23-24，如下圖 3-4-1（引自謝嘉恩，2015）。. 18. 12. 24. 5 3. 5 3. 1. 13. 3. 3. 1. 15. 17. 1. 19. 36. 21. 23.

(47) 三、. 實驗控制. 以下為實驗設計，分為數量、顏色控制、距離反應值、大小反應、面積控制等（引自謝嘉恩，2015）。 (一)圖形數量實驗設計採控制平衡，控制了顏色與四種旋轉位置。顏色的部分，有一半是黃點 12、18、24 比較差距 1、3、5 的藍點；另一半是藍點 12、18、24 比較差距 1、3、5 的黃點。由於圖形的排列並非完全隨機，因此，每一種比較組合有向右旋轉 90 度 3 次的相同圖片，共 4 張。因此，共有 12*2*4=96 次嘗試。（二）顏色控制為避免顏色本身的亮度，對受試者知覺產生影響，選擇較鮮艷的顏色，因此將畫面中的顏色亮度調整至相同，根據 HSL 的色調、飽和度、亮度依序為黃(41，255，100)、藍(170，255，100)、灰(170，0，100)，黃、藍互為後像之互補色。（三）距離反應值當刺激圖呈現如下圖 3-4-2，會因為兩個顏色的距離值產生影響，兩數量相距越大越容易判斷，例如 a 的黃藍色差 1 個圓點，應該會比 b 差 5 個，較難產生數量差異知覺。（四）大小反應當刺激圖呈現如下圖 3-4-2，由於大小反應量的量越大越難辨識， a 與 c 雖然都只差一個，但整體數量 a 只有 25 個圓點，c 卻有 47 個， c 應較 a 難以產生數量差異知覺。. 37.

(48) （五）面積控制在概數感實驗中，主要是針對數量多少的量感比較，為了避免呈現不同顏色的面積時，產生知覺判斷的影響，在材料的設計上，控制了黃色和藍色圓點面積的總和相等。. a. B12 Y13. c.. B23 Y24. b. B17 Y12. d.. B23 Y24. 圖 3-4-2 刺激反應圖. （六）時間控制在概數感實驗中，圖片出現的時間原先設定為電腦中央出現「+」凝視符號出現 1000 毫秒後，呈現圖片刺激物(200 毫秒)，經過預試後由於呈現圖片刺激物的時間過短，預試結果差異不大，因此在正式施測時將圖片刺激物出現時間增長為 300 毫秒。. 38.

(49) 四、. 實驗呈現方式. 所有的實驗都是以程式 E-Prime2.0 心理學實驗軟體進行撰寫，以 1024x768 16bit 的解析度在 14 吋的電腦螢幕上進行測驗及記錄數據。相關的測驗程序如下: 每一次嘗試，受試者會先看到凝視點 1000 毫秒的時間，隨後出現判斷圖片 300 毫秒，之後進入畫面全黑的間隔時間，持續 1600 到 2200 毫秒。測驗過程中，每個題目出現前會先呈現一個「+」字的凝視點符號提醒 1000 毫秒，告知受試者測驗圖片即將出現，當「+」凝視點符號消失後，之後會進入全黑畫面的間隔時間持續持續 1600 到 2200 毫秒，隨即會呈現第一張圖片，每一張圖片出現的時間為 300 毫秒，受試者必須以正確為前提下，立即做判斷是藍色圓點多還是黃色圓點多，藍色圓點多按 6 ;黃色圓點多按 9。每位學生先進行練習題，說明實驗進行的方式，在這個部分受試者可以知道自己的作答反應結果，並進行視野的調整以確保刺激圖可以完整出現在電腦螢幕上，並觀察環境因素對受試者的影響，是否太亮或太暗影響其作答。經過練習題後，將進入正式概數感評量的實驗，相關實驗程序如下: （一）根據學生背景變項，輸入編號。（二）進入實驗說明: （三）開始實驗: 1. 電腦中央出現「+」凝視符號出現 1000 毫秒後，呈現圖片刺激物(300 毫秒)。. 39.

(50) 2. 刺激物消失後，受試者立即判斷圓點是藍色多還是黃色多，並進行判斷，如果是藍色圓點較多就按「6」；反之如果是黃色的圓點較多就按「9」，每一題的反應時間為 1600~2200ms，反應時間過後，螢幕上會再次出現「+」凝視符號，新的刺激物便會再次出現，並進行下一題的題目。如圖 3-4-2 3. 受試者依序完成題目後，電腦會記錄下作答的反應及時間。. 圖 3-4-2 概數感實驗流程圖. 40.

(51) 五、. 概數感實驗計分方式. 採用以 E-Prime2.0 心理學實驗軟體，進行分析資優生與普通生及不同性別的學生在概數感實驗的反應情形，反應正確計為 1 分；反之錯誤反應或是未於時間內反應，則計為 0 分，依據其該實驗得分做為概數感能力高低之依據。. 41.

(52) （七）國小系列學業性向測驗. 一、測驗內容國小系列學業性向測驗由師大教育心理學系所編製之系列學驗性向測驗的一種，分為國小、國中、高中、大學四個水準，測驗內容包括「語文推理」與「數量比較」兩部分，試題均以單一選擇。在「數量比較」共有 60 題，信度方面，難度 P 值介於.16~.90 之間，平均數為 13.23，鑑別度介於 .08~ .76。此測驗的穩定系數介於 .77~ .92，在四年級數量比較 .85**內部一致性，數量比較部分之折半信度為 .82，數值均達 .01 顯著水準，本測驗題目具有相當的一致性。. 二、測驗方式「國民小學學業性向測驗」所適用對象為國小四、五、六年學生，是一種團體實施的紙筆測驗，全部測驗時間為 35 分鐘，語文推理 15 分鐘，數量比較 20 分鐘。本測驗的計分方式為受試者作達正確的題數，便是測驗的分數。. 三、計分方式「數量比較」共有 60 題，本測驗的計分方式為受試者作答正確的題數，正確為 1 分，答錯為 0 分，受試者正確作答的題數則是測驗的分數。因此，該正確作答題數越多，代表其數學成就越高。. 42.

(53) 第五節研究程序本研究的進行分為三個階段，分別為：準備階段、實施階段、資料分析及論文撰寫階段。壹、. 準備階段. 一、. 蒐集國內外相關文獻. 蒐集國內為關於國小資優生與普通生在數感能力之相關理論與實徵研究，做為本研究之理論基礎。研讀後與指導教授討論後，初步形成本研究之研究架構。. 二、. 撰寫研究計畫. 根據文獻探討擬定研究目的與問題，並確認研究架構與方法，與指導就受討論，撰寫論文研究計畫。. 三、. 工具選用確認. 在工具使用確認上，於文獻探討蒐集與檢視國內外適用於國小學生之國民小學學業性向測驗，確認其具備信效度且適用於本研究，再以聯繫「概數感實驗評量」之編定者之國內修訂者，取得工具之使用同意授權書。. 43.

(54) 貳、. 實施階段. 一、. 第一階段：樣本篩選階段. 以立意取樣方式選取台北市國小一般智能資優班(資優生)，及其所屬之普通班學生（普通生）為研究對象，以其國小四年級學生作為本次研究的對象。分別向先以電話聯繫說明研究主題與目的，並寄發實驗同意書及問卷電子檔，取得學校方面初步同意後，再以正式的公文與學校相關單位聯繫，並詳細說明研究所需徵求的對象條件，使其能認同本研究，並同意協助進行施測。. 二、. 第二階段：進行施測. 在選取的樣本確定之後，即開始進行測驗，測驗部分為團體測驗（數學成就測驗）; 個別施測（概數感實驗評量），以進行分析量化資料，之後將所有填答資料的編碼、輸入電腦並以統計軟體進行資料分析，歸納學生在兩項測驗中，以及各項分測驗中的得分分佈情形、差異情形與相關情形。. 三、. 資料處理分析階段. 就本研究施測之各項測驗之原始分數進行蒐集，分別「數能力」、「數學成就測驗」、」分析資優生與普通生之表現，之後再以 SPSS 統計套裝軟體，將所有的分數資料以及其類別、性別等輸入，再以進一步的統計資料處理分析。. 44.

(55) 四、. 資料分析與論文撰寫階段. 根據文獻探討及施測結果進行討論分析後，統計分析資料並針對研究問題進行討論，並將本次研究所得結果與國內外相關的研究進行分析比較，修飾論文內容，以增加論內容之完整性。五、. 資料分析與處理. 本研究所得的量化資料主要以統計軟體 SPSS 22.0 中文視窗版進行量化資料的統計分析。. （一）國小一般智能資優生與普通生在概數感能力上之表現. 1.. 以敘述統計分析資優生與普通生在「數感測驗」的得分情形之平均數、標準差。. 2.. 以Ｔ檢定，分析組別的同質性。. 3.. 以二因子變異數分析比較性別在概數感能力上的得分差異。. （二）國小一般智能資優生與國小普通生在數量比較上之表現. 1.. 以敘述統計分析資優生與普通生在「數量比較」上的得分情形之平均數、標準差。. 2.. 以二因子變異數分析比較性別在數量比較上的差異。. （三）資優生與普通生概數感能力與數學成就之相關情形. 以皮爾森積差相關分析概數感與數學成就之得分相關性。（四）概數感能力預測數學成就之組型. 以迴歸法探究概數感能力預測數學成就之組型。. 45.

(56) 第四章結果與討論為了解國小資優生與普通生概數感能力對數學成就的影響為何，本章將依序呈現國小資優班與普通班學生概數感能力與數學成就的結果，然後分析其彼此間的相關，並探討概數感能力對數學成就的預測性。本章節依據研究問題共分三節敘述。第一節主要探討全體學生在概數感的表現，包含：各分量表得分之人數分配、不同性別資優生與普通生之差異與交互作用考驗。第二節主要探討全體學生在數學成就上的表現。第三節主要探討不同類別與性別資優生與普通生在概述感評量以及數量比較得分之相關，以及概數感對數學成就之預測組型。. 第一節資優生與普通生在概數感評量中之表現本節主要探討資優生與普通生在「概數感評量」之表現情形。以下將就在「概數感評量」中的得分差異以及性別在評量上的得分差異與交互作用分項說明。. 壹、. 全體學生在概數感評量之得分情形. 為了瞭解資優生與普通生在概數感評量上的得分情形，表 4-1-1 為描述性資料，將列出資優生與普通生在「概數感評量」上的平均數與標準差。. 46.

(57) 在概數感評量的部分，由表 4-1-1 可知，全體的學生在「概數感評量」的平均數為 57.12，標準差為 9.95；最大值為 78，最小值為 24 資優生在概數感中的平均數(M=61.05)高於普通生(M=53.25) 。在「概數感實驗評量」中，每題皆為 1 分合計 96 分，最高分為 78 分，最低為 24，在這個部分差異性很大，由於題數較多需要且具有時間限制需要足夠的專心度，除了學生個別差異外，對於環境還有學生本身個別內在的差異，持續力與專注力亦有關。 4-1-1 全體學生在概數感之描述統計(N=147) 組別. Ｎ. min. max. M. SD. 資優生. 73. 24. 78. 60.76. 8.35. 普通生. 74. 30. 74. 53.25. 10.15. 全體. 147. 24. 78. 56.98. 10.00. 貳、. 全體學生在概數感之性別差異. 在「概數感實驗評量」中，不同性別的分析結果如下表 4-1-2，本研究中男生共 74 位；女生 73 位，男女比列接近 1:1。由表 4-1-2 及 4-1-3 可知，全體學生在概數感之性別差異，結果顯示同值性的差異為 F=0.393>0.05，未達顯著差異水準。但觀察平均數可知，國小四年級男生在概述感評量中的答題平均數（M=57.25）高於國小四年級女生的平均數（M=56.71）。. 47.

(58) 表 4-1-2 全體學生性別在概數感得分之描述統計(N=147) 性別. Ｎ. min. max. M. SD. 男生. 74. 24. 76. 57.25. 9.61. 女生. 73. 30. 78. 56.71. 10.45. 全體. 147. 57.25. 57. 56.98. 10.00. 表 4-1-3 全體學生性別在概數感得分之差異檢定性別男生. Ｎ 74. Ｍ 57.25. ＳＤ 9.61. Ｆ .393. 女生. 73. 56.71. 10.45. 48.

(59) 參、. 資優生與普通生在概數感得分之差異. 在概數感評量中，性別與類別間的交互作用與性別的主要作用未達顯著，但在學生類別的主要作用則達顯著（Ｆ值為 23.63，p <.001），顯示概數感評量總分得分具有類別間的差異。. 表 4-1-4 概數感得分之二因子變異數分析摘要表變異來源. SS. df. MS. Ｆ. 顯著性. 學生性別. .614. 1. .614. .007. .933. 學生類別. 2067.08. 1. 2067.08. 23.63***. .000. 性別 x 類別. 41.70. 1. 41.70. .477. .491. 誤差. 12508.928. 143. 87.475. 總和. 491999.00. 147. ***p<.001 為了暸解資優生與普通生在概數感的得分之表現差異，研究者利用變異數分析，分別比較資優生與普通生之間的表現差異，進一步瞭解在概數感在資優生與普通生的差異表現。表 4-1-5 和表 4-1-6 為全體學生在概數感的分的變異數分析考驗結果，內容顯示在 95%的信心水準下，資優生與普通生差異達顯著水準 (F=26.47，p<.000)，顯示概數感能力在資優生與普通生間平均數有所差異。比較平均數可知，資優生的平均數(M=61.05)高於普通生 (M=53.25)，在標準差的部分普通生(SD=10.15)大於資優生(SD= 8.09)。. 49.

(60) 表 4-1-5 兩組學生概數感變異數同值性檢定 Levene 統計. df1. df2. 顯著性. 5.09. 1. 145. .025. 表 4-1-6 兩組學生概數感得分變異數分析表組別. Ｎ. Ｍ. SD. 變異 SS df 來源資優生 73 61.05 8.09 組間 2334.64 1 組內 12239.90 145 普通生 74 53.25 10.15 總和 14474.54 146. MS 2234.64 84.41. F. *** 26.47. 顯著性 .000. ***p<.001. 為了暸解性別在概數感的得分之表現差異，研究者利用變異數分析，分別比較資優生與普通生之間的表現差異，進一步瞭解在概數感在資優生與普通生的差異表現。表 4-1-7 和表 4-1-8 為全體學生性別概數感的分的變異數分析考驗結果，內容顯示在 95%的信心水準下，資優生與普通生在性別差異未達顯著水準(F=.024，p>.05)，顯示概數感能力在性別皆未有差異。. 50.

(61) 表 4-1-7 性別在概數感變異數同值性檢定 Levene 統計. df1. df2. 顯著性. .465. 1. 145. .496. 表 4-1-8 性別在概數感得分變異數分析表組別. Ｎ. SD. 變異來源. 男生. 74 57.25 9.61. 組間組內總和. 女生. Ｍ. 73 56.71 10.45. SS. df. MS. 2.423 1 2.42 14472.12 145 99.80 1447.54 146. 51. Ｆ. 顯著性. .024. .976.

(62) 第二節全體學生在數學成就上之得分情形本節主要探討資優生與普通生在數學成就之表現情形，總共調查了 147 位學生，分別是 73 位資優生及 74 位普通生，使用國民小學學業性向測驗中的「數量比較」部分之得分，作為數學成就的判斷。以下就在全體學生在數量比較上的得分情形及不同性別在數學成就上的的分情形差異與交互作用進行說明。壹、. 全體學生在數學成就之得分情形. 由表 4-2-1 可知，資優生與普通生在「數學成就」的平均數為 56.98，標準差為 10；最大值為 53，最小值為 16；資優生在「數量比較」的平均數(M=41.80)高於普通生(M=34.85) ，顯示在資優生在數學成就的表現較普通生好。表 4-2-1 全體學生在數學成就之描述統計(N=147) 向度. 組別. Ｎ. min. max. M. SD. 數量. 資優生. 73. 19. 51. 41.80. 5.45. 比較. 普通生. 74. 16. 53. 34.85. 8.83. 全體. 147. 16. 53. 38.30. 10.00. 52.

(63) 貳、. 全體學生在數學成就之性別差異. 由表 4-2-2 可知，所有學生在數量比較的總分之性別差異結果顯同值性的差異為 F=0.801>0.05，未達顯著差異水準。表 4-2-2 全體學生性別在數學成就得分之差異檢定向度數量比較. 參、. 性別男生. Ｎ 74. Ｍ 39.91. ＳＤ 7.92. 女生. 73. 36.67. 8.03. Ｆ .801. 資優生與普通生在數量比較得分之差異. 在數量比較中，性別與類別間的交互作用與性別的主要作用未達顯著，但在學生性別（Ｆ值 4.86，p <.05）與類別（Ｆ值 31.08，p <.001）的主要作用則達顯著。顯示數量比較，性別方面男生高於女生，類別方面資優生高於普通生。表 4-2-3 數量比較得分之二因子變異數分析摘要表變異來源. SS. df. MS. Ｆ. 顯著性. 學生性別. 257.42. 1. 257.42. 4.86*. .029. 學生類別. 1645.31. 1. 1645.31. 31.08***. .000. 性別 x 類別. 10.32. 1. 10.326. .195. .659. 誤差. 7569.75. 143. 52.93. 總和. 225317.00. 147. *p<.05；***p<.001. 53.

(64) 為了暸解資優生與普通生在數量比較的得分之表現差異，研究者利用變異數分析，分別比較資優生與普通生之間的表現差異，進一步瞭解在概數感在資優生與普通生的差異表現。表 4-2-4 和表 4-2-5 為全體學生在數量比較得分的變異數分析考驗結果，內容顯示在 95%的信心水準下，資優生與普通生差異達顯著水準(F=32.9，p<.000)，顯示數量比較上在資優生與普通生間平均數有顯著差異。表 4-2-4 全體學生數量比較變異數同值性檢定 Levene 統計. df1. df2. 顯著性. 20.482. 1. 145. .000. 表 4-2-5 全體學生數量比較得分變異數分析表組別. Ｎ. 資優生普通生. 73 74. Ｍ. SD. 變異 SS 來源. 41.80 5.45 組間 34.85 8.83 組內總和. df. 1778.54 7836.68 9615.22. ***p<.000. 54. 1 145 146. MS. Ｆ. 1778.54 *** 54.04 32.9. Ｐ. .000.

(65) 為了暸解資優生與普通生在數量比較的得分之表現差異，研究者利用變異數分析，分別比較資優生與普通生之間的表現差異，進一步瞭解在概數感在資優生與普通生的差異表現。表 4-2-6 和表 4-2-7 為全體學生在數量比較得分的變異數分析考驗結果，內容顯示在 95%的信心水準下，資優生與普通生差異達顯著水準(F=6.09，p<.05)，顯示數量比較上在資優生與普通生間平均數有所差異。. 表 4-2-6 性別在數量比較變異數同值性檢定 Levene 統計. df1. df2. 顯著性. .063. 1. 145. .801. 表 4-2-7 性別在數量比較得分變異數分析表組別. Ｎ. 資優生普通生. 74 73. Ｍ. SD. 變異來源. 39.91 7.92 組間 36.67 8.03 組內總和. SS 387.61 9227.62 9615.22. *p<.05. 55. df 1 145 146. MS. Ｆ. 387.60 63.63 6.09*. Ｐ. .015.

(66) 第三節概數感與數量成就之相關本節以受試者概數感實驗評量的成績代表其概數感能力，以數量比較的成績代表數學成就的高低，分析概數感能力與數學成就的相關性。壹、. 概數感與數學成就之相關. 表 4-3-1 為概數感與數量比較相關係數，r= .383，p< .001 顯著水準下，兩者顯著相關，表示概數感與數學成就之間存有中度之正相關，概數感越高，數學成就也越高。 4-3-1 概數感與數量比較之相關係數向度. 數量. 數感. 數量. 1. .383**. 數感. .383**. 1. 註：相關性**p <0.01 貳、. 概數感對數學成就之預測組型. 利用迴歸分析的角度檢視概數感評量對數學成就之預測組型。從表 4-3-8 可得知，將概數感變項投入數學成就，即能使迴歸模式達到顯著水準（F= 25.58，p<.001），顯示數學成就可以被概數感解釋量為 15％。表 4-3-8 概數感對數學成就迴歸模式之變異數分析摘要表來源迴歸係數殘餘誤差總合. SS 2193.61 12430.35 14623.97. df 1 145 146. MS 2193.61 85.72. *p<.05; **p<.01;***p<.001. 56. F 25.58***. R 平方 .150.

(67) 參、. 綜合討論. 一、. 概數感與數學成就的學生組別差異達顯著水準. 在全體學生中，資優生與普通生在概數感表現及數量比較中資優生皆高於普通生且皆達到顯著差異水準。過去，未有相關研究針對資優生與普通生這兩個類別進行數感研究，但在研究結果中發現資優生與普通生間具有顯著的差異，顯示資優生在數的直覺上表現較普通生佳，因此在數學成就上亦高於普通生。另外，在概數感實驗進行中發現，資優生與普通生的作答方式不太相同，普通生會以直覺反應直接作答，而部分資優生反應當圖片消失時，他們會先將圖片記住，然後在腦袋中重複出現剛的畫面，因此有助於他們回顧圖片上的圓點數量，這個發現讓我聯想到由於國小資優生為一般智能資賦優異學生係指在記憶、理解、分析、綜合、推理、評鑑等方面，較同年齡具有卓越潛能或傑出表現者。資優生在進行數量的推估上，除了倚賴原有數的直覺外，優異的記憶力是否有助於資優進行概數感的判斷而具有相關性。. 二、. 概數感的性別差異未達顯著水準. 不論在概數感或是數學成就的性別比較中，在平均數上男生皆高於女生，但進行性別的差異比較發現，性別在概數感與數學成就兩者皆未達顯著水準。這樣的研究結果與于珮琪（2012）的研究結果一致。. 57.

(68) 三、. 概數感與數學成就之相關. 在 Halberda 等人（2008）也提出概數感能力和早期的數學能力之間具有相關性。 Butterworth（2010），認為群數感是概數感能力的一種表徵方式，是學習數學的基礎。因此，具有數感的人，對數於數所代表的意義、數的大小及日常生活常見的量的合理範圍，都具有直覺能力，能有效力的利用策略解決數學問題，而能在數學成就上表現較佳。而在概數感能力與之後數學能力的相關性研究中，可以發現概數感能力與長大後的數學能力有關，這樣的結果與本研究一致。. 58.