模型分析

如前所述，我們必須先了解簽訂不同最適保留產能𝑋𝑋_𝑏𝑏後在各種程度的災害、

斷鏈程度下製造商會處於甚麼情況有著什麼樣的利潤函數我們才能進一步在預 期的損失產能下以規劃求解求出最適合的最適保留產能量𝑋𝑋_𝑏𝑏。

因此我們先求出預期的損失產能 E(𝑋𝑋𝑚𝑚)如下:

圖 3-2 預期產能損失求法

接著我們必須了解災後簽訂不同程度的保留產能𝑋𝑋𝑏𝑏可能會衍生的各種情形。

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圖 3-3 簽訂不同𝑋𝑋𝑏𝑏可能造成的情形

如上圖，主要供應商和製造商原本的產能皆為 100%正常，接著在時間點 0 時主 要供應商發生事故產能因此損失了𝑋𝑋𝑠𝑠，基於供應商提供原料和成品的比例為 1:1 的假設製造商的產能也損失了同樣比例，以𝑋𝑋_𝑚𝑚標記，𝑇𝑇₁則是製造商開始使用備 援供應商產能的時間點，而𝑇𝑇2則為交貨的時間點，由上圖可以進一步看出若製造 商在期初和備援供應商購買的保留產能大於損失產能則回覆路徑為綠色，反之則 為紅色，若兩者一樣大則為藍色。以下我們將再以這三種情形做進一步的探討。

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3.2.1 情形 1. 1 > 𝑿𝑿𝒃𝒃 > 𝑿𝑿𝒎𝒎

圖 3-4 1>𝑋𝑋_𝑏𝑏>𝑋𝑋_𝑚𝑚

如上圖，此時製造商可以順利地滿足原本的下游批發商，這個部分的收入為 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑃𝑃₁，但 Xb > Xm 所以在滿足原本的批發商後還會有多餘的貨(𝑋𝑋_𝑏𝑏− 𝑋𝑋_𝑚𝑚)可以 用 P2 的價格出售，但只能賣掉α成，所以多賣商品部份的收入是𝛼𝛼 × (𝑋𝑋𝑏𝑏− 𝑋𝑋𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑃𝑃₂；接下來是成本的部分，製造商向主要供應商進貨的成本為(1 − 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶1，向備援供應商進貨的成本則為𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶2，以及期初支付的沉沒成 本𝑋𝑋_𝑏𝑏× 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑅𝑅，基於備援供應商分兩次交貨且先交付讓其回復原本產能量的假 設，我們會有𝑋𝑋𝑚𝑚× 𝑄𝑄𝑚𝑚的貨需要先存放(𝑋𝑋𝑏𝑏− 𝑋𝑋𝑚𝑚) ×^𝑇𝑇_𝑋𝑋¹²

𝑏𝑏的時間，因此這部分的存 貨成本為(𝑋𝑋𝑏𝑏− 𝑋𝑋𝑚𝑚) ×^𝑇𝑇_𝑋𝑋¹²

𝑏𝑏 × 𝑋𝑋𝑚𝑚× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶ℎ；另外沒賣掉的貨則必須存到下一次出 貨期因此這部分的存貨成本增項為(1 − 𝛼𝛼) × (𝑋𝑋𝑏𝑏− 𝑋𝑋𝑚𝑚) × 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝑇𝑇2× 𝐶𝐶ℎ，總結此 時的利潤函數為以下:

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P = 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝑃𝑃1

+𝛼𝛼 × (𝑋𝑋_𝑏𝑏− 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑃𝑃₂ −(1 − 𝑋𝑋𝑚𝑚) × 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶1

−𝑋𝑋_𝑏𝑏× 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝐶𝐶₂ −𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝑅𝑅 −(𝑋𝑋𝑏𝑏− 𝑋𝑋𝑚𝑚) ×𝑇𝑇₁₂

𝑋𝑋𝑏𝑏 × 𝑋𝑋𝑚𝑚× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶ℎ

−(1 − 𝛼𝛼) × (𝑋𝑋_𝑏𝑏− 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑇𝑇₂× 𝐶𝐶_ℎ (3-1) 但當 Xb>Xm 時需要特別注意 Xm=0 的情況，基於假設供應商會分兩次交貨當確 保製造商原本的產能回復後再送剩餘的原料，但此當 Xm=0 時製造商的產能則一 直處於完整狀態，故所有的貨都會在時間點 T2 才交付給製造商，也因此部會衍 生出上面公式倒數第二項”提早回復的部分存貨成本”，因此此時製造商的利潤 函數如下:

P = 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑃𝑃₁

+𝛼𝛼 × (𝑋𝑋𝑏𝑏− 𝑋𝑋𝑚𝑚) × 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝑃𝑃2

−(1 − 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝐶𝐶₁

−𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶2− 𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝑅𝑅

−(1 − 𝛼𝛼) × (𝑋𝑋_𝑏𝑏− 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑇𝑇₂× 𝐶𝐶_ℎ (3-2)

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3.2.2 情形 2. 𝑿𝑿𝒃𝒃= 𝑿𝑿𝒎𝒎

圖 3-5 𝑋𝑋_𝑏𝑏 = 𝑋𝑋_𝑚𝑚

若𝑋𝑋𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝑚𝑚時情況就會變得簡單許多，此時收入只有一筆即是約定好的 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑃𝑃₁，成本方面包含和主供應商進貨的成本(1 − 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝐶𝐶₁以及和備援供 應商進貨的成本𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶2再加上期初簽下保留產能契約時付出的𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶₂，此時的利潤函數如下:

P = 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝑃𝑃1

−(1 − 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝐶𝐶₁ −𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶2

−𝑋𝑋_𝑏𝑏× 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑅𝑅 (3-3)

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3.2.3 情形 3. 𝑿𝑿𝒃𝒃< 𝑿𝑿𝒎𝒎

圖 3-6 𝑋𝑋_𝑏𝑏<𝑋𝑋_𝑚𝑚

此時如上圖所示，製造商將連原本和下游批發商約定好的出貨量都無法滿足，

此時的營收將只剩下[(1 − 𝑋𝑋_𝑚𝑚) + 𝑋𝑋_𝑏𝑏] × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑃𝑃₁，和主要供應商以及備援供應商 進貨的成本分別為−(1 − 𝑋𝑋𝑚𝑚) × 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶1、−𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶2，簽訂保留產能契約的 沉沒成本為𝑋𝑋_𝑏𝑏× 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑅𝑅，但由於沒有依約定滿足下游供應商的訂單，因此必須 付出(𝑋𝑋𝑚𝑚− 𝑋𝑋𝑏𝑏) × 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐹𝐹的罰金，此時利潤函數如下:

P = [(1 − 𝑋𝑋_𝑚𝑚) + 𝑋𝑋_𝑏𝑏] × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑃𝑃₁ −(1 − 𝑋𝑋𝑚𝑚) × 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝐶𝐶1

−𝑋𝑋_𝑏𝑏× 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝐶𝐶₂ −𝑋𝑋𝑏𝑏× 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝑅𝑅

−(𝑋𝑋_𝑚𝑚− 𝑋𝑋_𝑏𝑏) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝐹𝐹 (3-4)

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3.2.4 小結

三種情形的預期利潤很難說誰一定好、誰一定壞，在此我們把重點放在情形 2 和情形 1，希望歸納出在甚麼樣的情況下該選擇情形 1 而在甚麼樣的情況下又該 選擇情形 2。我們找出相較於情形 1 相較於情形 2 而言多出的收入和成本如下:

α × (𝑋𝑋_𝑏𝑏− 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝑃𝑃₂− (𝑋𝑋_𝑏𝑏− 𝑋𝑋_𝑚𝑚) × 𝑄𝑄_𝑚𝑚× 𝐶𝐶₂− (𝑋𝑋_𝑏𝑏− 𝑋𝑋_𝑚𝑚) ×𝑇𝑇12

𝑋𝑋_𝑏𝑏 × 𝑋𝑋_𝑚𝑚× 𝑄𝑄_𝑚𝑚

× 𝐶𝐶ℎ − (1 − α) × (𝑋𝑋𝑏𝑏− 𝑋𝑋𝑚𝑚) × 𝑄𝑄𝑚𝑚× 𝑇𝑇2× 𝐶𝐶ℎ

若上式大於 0 我們就會選擇情形 1，反之選擇情形 2，而在經過一番研究後發 現影響上式是否大於 0 也就是情形 1 是否比較好最關鍵的變數是「多回復的產品 可以賣出的比例α」，經過整理後歸納出滿足以下條件時情形 1 的利潤會大於情形 2:

Proposition 1:

α >

𝑋𝑋𝑏𝑏 +𝑇𝑇₂×𝐶𝐶_ℎ

𝑃𝑃₂+𝑇𝑇₂×𝐶𝐶_ℎ 時，情形 1 的利潤會大於情形 2:

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