第五章 實證分析
5.1.1 模型參數估計與檢定
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第五章 實證分析
實證資料為 1999 年 1 月 1 日至 2012 年 12 月 31 日的道瓊工業指數和 S&P 500 指數的報酬率，利用最大概似估計法求得 BS 模型參數估計與 EM 演算法求得狀 態轉換模型、跳躍風險下狀態轉換模型與馬可夫調控跳躍過程模型的參數估計 值，並進行模型間的概似比檢定，比較各模型對於股價指數報酬率的相對合適 性。接著透過估計出的參數值近一步估計出各個模型的偏態、峰態以及波動叢聚 表現狀況，最後利用第四章導出的確定提撥制之退休金評價公式執行敏感度分 析。
5.1 實證分析
5.1.1 模型參數估計與檢定
BS 模型假定股價指數報酬率服從常態分配，平均數為µ ，標準差為σ ，因 此可直接求得參數之最大概似估計值。而狀態轉換模型、狀態轉換跳躍模型與馬 可夫調控跳躍過程模型，三種模型中包含的市場狀態和跳躍頻率皆為不可觀察資 料，亦即為遺失資料，在求算最大概似參數估計值與概似函數值時，若直接使用 可觀察資料及遺失資料的各種可能性而得到的不完整資料概似函數，則會使得計 算過於複雜，因此利用 EM 演算法取代之，並利用 SEM 演算法求得參數估計值 的標準誤。接著，再透過概似比檢定分別檢定(1)H ：股價指數報酬率為 BS 模0 型 v.s.H ：股價指數報酬率為狀態轉換模型，(2)1 H ：股價指數報酬率為狀態轉0 換模型 v.s.H ：股價指數報酬率為跳躍風險下狀態轉換模型，(3) 1 H ：股價指數0 報酬率為跳躍風險下狀態轉換模型 v.s.H ：股價指數報酬率為馬可夫調控跳躍過1 程模型。表 2 為道瓊工業指數和 S&P 500 指數在四種報酬率模型下的參數估計 與模型檢定結果。
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表 2：道瓊工業指數及 S&P 500 指數在四種模型中之參數估計與檢定結果
股價指數 模型 p 11 p 22 µ 1 µ 2 µ y σ 1 σ 2 σ y λ 1 λ 2 −2 logΛ
道瓊工業 指數
BSM 0.0001 0.0125
(0.0002) (0.0001)
RSM 0.9923 0.9822 0.0005 -0.0008 0.0078 0.0191 1150.15
*
(0.0033) (0.0016) (0.0002) (0.0005) (0.0012) (0.0015)
RSMJ 0.9929 0.9831 0.0005 -0.0008 -0.0003 0.0077 0.0190 0.0439 0.0070 34.09
*
(0.0020) (0.0042) (0.0005) (0.0013) (0.0103) (0.0001) (0.0002) (0.0263) (0.0026)
MMJDM 0.9919 0.9868 0.0005 -0.0005 1.37E-05 0.0072 0.0137 0.0264 0.0046 0.1700 68.38
*
(0.0023) (0.0034) (0.0002) (0.0005) (0.0005) (0.0002) (0.0005) (0.0031) (0.0035) (0.0543)S&P 500 指數
BSM 4.22E-05 0.0134 (0.0002) (0.0002)
RSM 0.9911 0.9806 0.0005 -0.0010 0.0082 0.0203 1172.31
*
(0.0025) (0.0039) (0.0002) (0.0006) (0.0005) (0.0007) RSMJ 0.9920 0.9822 0.0005 -0.0009 -0.0010 0.0081 0.0202 0.0482 0.0070 37.20*
(0.0024) (0.0053) (0.0002) (0.0013) (0.0108) (0.0002) (0.0003) (0.0102) (0.0026) MMJDM 0.9908 0.9874 0.0006 -0.0007 0.0002 0.0074 0.0141 0.0271 0.0028 0.1871 75.14
*
(0.0025) (0.0032) (0.0002) (0.0006) (0.0008) (0.0002) (0.0009) (0.0045) (0.0031) (0.0859)
1.
BSM為
B-
S模型、
RSM為狀態轉換模型、
RSMJ為跳躍風險下狀態轉換模型、
MMJDM為馬可夫調控跳躍過程模型。
2.
−2 logΛ為概似比檢定統計量之值，*表示在型Ⅰ誤差為
0.
05時該模型比前一個模型顯著。
3.
括弧內數值為估計參數的標準誤。
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接著，先對表 2 中道瓊工業指數報酬率的估計結果做說明。假定報酬率模型 為 BS 模型，則對應之常態分配平均數的最大概似估計值為 0.0001 ，標準差則 為 0.0125 。假定報酬率模型為狀態轉換模型且市場有兩種狀態，則以 EM 演算 法估計參數，結果顯示估計的狀態轉移機率pˆ11=0.9923和pˆ22=0.9822都很接近 1，表示兩種狀態間的轉換並不會頻繁發生，也就是說市場在某一狀態會維持一 段時間。此模型中的布朗運動項之參數是與市場狀態有關，由 EM 演算法可估計 出布朗運動項在狀態 1 的平均數及標準差分別為 0.0005 及 0.0078，而其在狀態 2 的平均數及標準差則分別為-0.0008 及 0.0191。上述的估計結果顯示狀態 1 為高 報酬及低波動，狀態 2 則為低(負)報酬及高波動。此外，高波動之下市場也較不 穩定。檢視已發生之重大事件，如網路泡沫化、美國 911 恐怖攻擊事件等與狀態 2 有關，均造成指數報酬率有較大的波動現象。
假定報酬率模型為跳躍風險下狀態轉換模型且市場有兩種狀態，則以 EM 演 算法估計參數，結果顯示估計的狀態轉移機率pˆ11 =0.9929和pˆ22 =0.9831都很接 近 1，表示兩種狀態間的轉換並不會頻繁發生，也就是說市場在某一狀態會維持 一段時間。此模型中的布朗運動項之參數是與市場狀態有關，由 EM 演算法可估 計出布朗運動項在狀態 1 的平均數及標準差分別為 0.0005 及 0.0077，而其在狀 態 2 的平均數及標準差則分別為-0.0008 及 0.0190。上述的估計結果顯示狀態 1 為高報酬及低波動，狀態 2 則為低(負)報酬及高波動，此性質與狀態轉換模型相 同。此模型的波動度是布朗運動項與跳躍項共同解釋，因此布朗運動項之標準差 有變小的趨勢。再由 EM 演算法可估計出跳躍項參數，而跳躍幅度項的平均數及 標準差分別為-0.0003 及 0.0439，估計結果顯示跳躍發生時報酬率的平均數為負 成長及波動度較大。跳躍頻率的參數估計結果為每日平均跳躍 0.0070 次。
最後，假定
報酬率模型為馬可夫調控跳躍過程模型且市場有兩種狀態，則以EM 演算法估計參數，結果顯示狀態轉移機率pˆ11=0.9919和pˆ22=0.9868依然很 接近 1，表示兩種狀態間的轉換並不會頻繁發生，也就是說市場在某一狀態會維 持一段時間。此模型中的布朗運動項及跳躍項的跳躍頻率之參數與市場狀態相 關，因此市場狀態可用布朗運動項的波動大小或跳躍頻率多寡來區分，由 EM 演 算法可估計出布朗運動項在狀態 1 的平均數及標準差分別為 0.0005 及 0.0072，
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且在狀態 1 時跳躍頻率參數估計為每日平均跳躍 0.0046 次；而在狀態 2 的平均 數及標準差則分別為-0.0005 及 0.0137，且在狀態 2 時跳躍頻率參數估計為為每 日平均跳躍 0.1700 次。上述的估計結果顯示狀態 1 為高報酬及低波動且報酬率 發生的跳躍頻率較少，狀態 2 則為低(負)報酬及高波動且報酬率發生的跳躍頻率 相較多。此外，高波動與跳躍頻率多之市場也較不穩定。接著，此模型與跳躍風 險下狀態轉換模型性質相同，波動度是由布朗運動項與跳躍項共同解釋，因此布 朗運動項之標準差有變小的趨勢。再由 EM 演算法估計出跳躍幅度項的平均數及 標準差分別為 0.00001 及 0.0264，估計結果顯示跳躍發生時報酬率的平均數為正 成長及波動度相較大。
表 2 中的最後一行表示概似比檢定的檢定統計量之值，其中*表示在顯著水 準為α
= 0.05
時，該模型比前一個模型之概似比函數估計值為大且檢定結果為顯 著。因此 1999 年 1 月 1 日至 2012 年 12 月 31 日道瓊工業指數報酬率的表現適用 於馬可夫調控跳躍過程模型描述。再來，對表 2 中 S&P 500 指數報酬率的估計結果做說明。假定報酬率模型為 BS 模型，則對應之常態分配平均數的最大概似估計值為 0.00004 ，標準差則為 0.0134 。假定報酬率模型為狀態轉換模型且市場有兩種狀態，則以 EM 演算法 估計參數，結果顯示估計的狀態轉移機率pˆ11=0.9911和pˆ22 =0.9806都很接近 1，
表示兩種狀態間的轉換並不會頻繁發生，也就是說市場在某一狀態會維持一段時 間。此模型中的布朗運動項之參數是與市場狀態有關，由 EM 演算法可估計出布 朗運動項在狀態 1 的平均數及標準差分別為 0.0005 及 0.0082，而其在狀態 2 的 平均數及標準差則分別為-0.0010 及 0.0203。上述的估計結果顯示狀態 1 為高報 酬及低波動，狀態 2 則為低(負)報酬及高波動。此外，高波動之下市場也較不穩 定。檢視已發生之重大事件，如網路泡沫化、美國 911 恐怖攻擊事件等與狀態 2 有關，均造成指數報酬率有較大的波動現象。
假定報酬率模型為跳躍風險下狀態轉換模型且市場有兩種狀態，則以 EM 演 算法估計參數，結果顯示估計的狀態轉移機率pˆ11=0.9920和pˆ22=0.9822都很接
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近 1，表示兩種狀態間的轉換並不會頻繁發生，也就是說市場在某一狀態會維持 一段時間。此模型中的布朗運動項之參數是與市場狀態有關，由 EM 演算法可估 計出布朗運動項在狀態 1 的平均數及標準差分別為 0.0005 及 0.0081，而其在狀 態 2 的平均數及標準差則分別為-0.0009 及 0.0202。上述的估計結果顯示狀態 1 為高報酬及低波動，狀態 2 則為低(負)報酬及高波動，此性質與狀態轉換模型相 同。此模型的波動度是布朗運動項與跳躍項共同解釋，因此布朗運動項之標準差 有變小的趨勢。再由 EM 演算法可估計出跳躍項參數，而跳躍幅度項的平均數及 標準差分別為-0.0010 及 0.0482，估計結果顯示跳躍發生時報酬率的平均數為負 成長及波動度較大。跳躍頻率估計結果為每日平均跳躍 0.0070 次。
最後，假定
報酬率模型為馬可夫調控跳躍過程模型且市場有兩種狀態，則以EM 演算法估計參數，結果顯示狀態轉移機率pˆ11 =0.9908和pˆ22=0.9874依然很 接近 1，表示兩種狀態間的轉換並不會頻繁發生，也就是說市場在某一狀態會維 持一段時間。此模型中的布朗運動項及跳躍項的跳躍頻率之參數與市場狀態相 關，因此市場狀態可用布朗運動項的波動大小或跳躍頻率多寡來區分，由 EM 演 算法可估計出布朗運動項在狀態 1 的平均數及標準差分別為 0.0006 及 0.0074，
且在狀態 1 時跳躍頻率參數估計為每日平均跳躍 0.0028 次；而其在狀態 2 的平 均數及標準差則分別為-0.0007 及 0.0141，且在狀態 2 時跳躍頻率參數估計為為 每日平均跳躍 0.1871 次。上述的估計結果顯示狀態 1 為高報酬及低波動且報酬 率發生的跳躍頻率較少，狀態 2 則為低(負)報酬及高波動且報酬率發生的跳躍頻 率相較多。此外，高波動與跳躍頻率多下之市場也較不穩定。接著，此模型與跳 躍風險下狀態轉換模型性質相同，波動度是由布朗運動項與跳躍項共同解釋，因 此布朗運動項之標準差有變小的趨勢。再由 EM 演算法估計出跳躍幅度項的平均 數及標準差分別為 0.0002 及 0.0271，估計結果顯示跳躍發生時報酬率的平均數 為正成長及波動度相較大。
表 2 中的最後一行表示概似比檢定的檢定統計量之值，其中*表示在顯著水 準為α