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第六章 結論
本論文提出以馬可夫調控跳躍過程模型作為股價指數報酬率的模型，並設定 市場處於兩種狀態之下，即狀態 1 與狀態 2，且布朗運動項及跳躍頻率會受到市 場狀態的影響。理論部分是藉由 Esscher 轉換法，分別推導出三種階層模型—狀 態轉換模型、跳躍風險下狀態轉換模型與馬可夫調控跳躍過程模型—之下，型 I 保證的確定提撥制退休金之評價公式，而型 II 保證之確定提撥制之退休金評價 結果則以蒙地卡羅法模擬；實證部分則以 1999 年 1 月 1 日至 2012 年 12 月 31 日 道瓊工業指數與 S&P 500 指數的報酬率資料，分別以最大概似估計法或 EM 演算 法得到各模型之參數估計值，並以概似比檢定比較模型對報酬率的適合性，檢定 結果可說明馬可夫調控跳躍過程模型是適用於描述報酬率資料。此模型仍可以描 述報酬率資料的不對稱、高狹峰性質，且利用估計出來的參數代入模型平方報酬 率的自我相關函數公式中，所得結果繪圖並與資料平方報酬率的自我相關函數圖 作比較，皆有隨著落遲時間增加有緩慢遞減的現象，這可說明馬可夫調控跳躍過 程模型也可以描述報酬率波動叢聚的特性。
由馬可夫調控跳躍過程模型對型 I 保證或型 II 保證下確定提撥制退休金的評 價進行敏感度分析的結果可知，當固定眾多不同的參數值，只調整下列其中一個 參數值：維持市場狀態 2 的轉移機率p 、布朗運動項標準差22 σ 或1 σ 、跳躍幅度2 項標準差σ 、跳躍頻率y λ 或1 λ ，其值越大時，對報酬率波動度的影響會越大，2 因此退休金保證價值會越高；相對的，當維持市場狀態 1 的轉移機率p 越大時，11 會因停留在狀態 1 的機率高而報酬率波動度較小，因此退休金保證價值會較低；
跳躍幅度項平均數µ 也會影響退休金保證價值，當參數為 0 時退休金保證價值y 會最低。而到期日時間越長時，則退休金保證價值也越高。
本論文的馬可夫調控跳躍過程模型是假定跳躍幅度與狀態互為獨立，然而由 表 12 與表 13，無論是道瓊工業指數或是 S&P 500 指數的報酬率，都顯示在 2000 年網路泡沫化、2001 年美國 911 恐怖攻擊事件、2003 年伊拉克戰爭、2008 年雷
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曼兄弟破產及美國總統大選，到 2010 年至 2012 年歐債危機等這些年，該年內漲 跌超過 2%的報酬率其平均值均為負且標準差也大。這種現象使我們猜測當市場 有重要訊息來臨時，報酬率不但會伴隨著較大的波動，並且報酬率的跳躍頻率較 多及跳躍的幅度也會受影響，因此未來可以探討以跳躍幅度與狀態相依之馬可夫 轉換跳躍過程模型來描述報酬率的動態過程。此外，本論文對於最低保證利率是 假定為固定，與實務上利率會變動的現象不符，因此，未來可以考慮利率為隨機 過程，而以 Vasicek 模型或 HJM 模型等作修正。最後，在定價過程中，本論文假 定市場狀態的馬可夫過程不隨測度轉換而變化，表示投資人因可預測未來時間的 市場狀況，而不會對於將來臨的市場狀態要求風險溢酬；然而，投資人並非總能 知道未來時間的市場狀態，因而可考慮 Elliott, Chan and Siu (2005) 將狀態轉換風 險納入定價過程的方法而對本論文目前推導的型 I 保證下確定提撥制退休金的評 價公式作修正。在實證部分，未來可加入基本模型(BS 模型與狀態轉換模型)的 確定提撥制退休金保證價值之比較，探討模型之假設對於退休金保證價值是否有 顯著影響。
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表 12：1999 年至 2012 年道瓊工業指數報酬率之統計
年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 total
交易天數 252 252 248 252 252 252 252 251 251 253 252 252 252 250 3521
平均 0.0009 -0.0003 -0.0003 -0.0007 0.0009 0.0001 0.0000 0.0006 0.0002 -0.0016 0.0007 0.0004 0.0002 0.0003 0.0001 標準差 0.0102 0.0131 0.0135 0.0160 0.0104 0.0068 0.0065 0.0062 0.0092 0.0238 0.0152 0.0102 0.0133 0.0074 0.0125
≧|±2%|天數 16 29 24 51 16 0 1 0 14 72 45 18 32 4 322
≧|±2%|平均 0.0054 -0.0066 -0.0020 -0.0002 0.0069 — 0.0204 — -0.0080 -0.0047 0.0023 -0.0031 -0.0055 -0.0003 -0.0019
≧|±2%|標準差 0.0229 0.0282 0.0333 0.0302 0.0263 — 0 — 0.0245 0.0419 0.0311 0.0277 0.0303 0.0264 0.0324
≧|±3%|天數 0 7 9 14 4 0 0 0 1 39 15 4 9 0 102
≧|±3%|平均 — -0.0076 -0.0075 0.0132 0.0163 — — — -0.0335 -0.0045 -0.0021 -0.0158 -0.0150 — -0.0030
≧|±3%|標準差 — 0.0431 0.0457 0.0409 0.0354 — — — 0.0000 0.0529 0.0426 0.0361 0.0417 — 0.0458
表 13：1999 年至 2012 年 S&P 500 指數報酬率之統計
年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 total
交易天數 252 252 248 252 252 252 252 251 251 253 252 252 252 250 3521
平均 0.0007 -0.0004 -0.0006 -0.0011 0.0009 0.0003 0.0001 0.0005 0.0001 -0.0019 0.0008 0.0005 0.0000 0.0005 0.0000 標準差 0.0114 0.0140 0.0136 0.0164 0.0107 0.0070 0.0065 0.0063 0.0101 0.0258 0.0172 0.0114 0.0147 0.0080 0.0134
≧|±2%|天數 23 37 26 51 15 0 0 2 18 72 55 22 35 6 362
≧|±2%|平均 0.0055 0.0002 -0.0018 -0.0016 0.0079 — — 0.0212 -0.0087 -0.0058 -0.0007 0.0010 -0.0059 -0.0006 -0.0017
≧|±2%|標準差 0.0239 0.0293 0.0313 0.0305 0.0268 — — 0.0002 0.0255 0.0459 0.0330 0.0294 0.0326 0.0254 0.0336
≧|±3%||天數 1 11 8 18 4 0 0 0 2 43 22 8 12 0 129
≧|±3%|平均 0.0347 0.0079 0.0009 0.0074 0.0164 — — — -0.0327 -0.0066 -0.0031 -0.0081 -0.0036 — -0.0015
≧|±3%|標準差 0.0000 0.0393 0.0445 0.0393 0.0348 — — — 0.0037 0.0562 0.0432 0.0363 0.0457 — 0.0461
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用拉格朗日乘數(Lagrange multiplier)求極值的方法，其中加上各機率總和為 1 的 限制式，求得起始機率估計值及狀態間轉移機率估計值為‧
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