財務模型

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2.2 財務模型

2.2.1 BS 模型與狀態轉換模型

Black and Scholes (1973) 使用幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion)描 述股價動態過程(BS 模型)，假定股價期望值與波動度皆為常數，並推導出歐式 選擇權評價公式，但由於模型簡化，因此無法解釋股價報酬率的不對稱高狹峰的 性質，也無法呈現許多實證中選擇權價格帶入隱含波動度，產生的在價內或價外 的波動度高、價平波動度低時，所繪出的波動度微笑曲線，以及也無法呈現波動 叢聚(Volatility Clustering)的現象。

Hamilton (1989) 觀察了 1952 年到 1984 年美國戰後 GNP(國民生產毛額)季資 料，發現 GNP 有時從正成長率轉為負成長率或從負成長率轉為正成長率，若將 GNP 的正成長視為景氣處於正常狀態，而 GNP 的負成長視為景氣處於衰退狀 態，則該期間的景氣循環有轉移的現象。然而，計量經濟學家表示這種狀態移轉 的現象不容易直接觀察出來，需藉由繪製機率圖形來推論景氣循環的現象。作者 於 是 在 BS 模 型 的 架 構 中 加 入 馬 可 夫 鏈 ， 而 提 出 馬 可 夫 轉 換 模 型 (Markov Switching Model)又可稱為狀態轉換模型(Regime-Switching Model)，並使用美國 第二大戰後 GNP 實際資料做驗證比較，由於馬可夫轉換模型與真實資料的自相 關較 ARIMA 模型與真實資料的自相關相近，可說明馬可夫自相關模型較適合描 述 GNP。

Schwert (1989) 觀察 1834 年至 1987 年期間股票市場的波動狀況，發現當股 價呈下跌時會產生較大的波動，例如股票市場在 1987 年發生大崩盤，其股價波 動情況較其他年來的高，因此認為 Hamilton (1989) 提出的馬可夫轉換模型可以 反映股票市場因景氣衰退或金融危機而波動情形，最後驗證景氣衰退時的股價波 動狀況比景氣擴張時大。

Schaller and Norden (1997) 建議對於股票市場的收益問題，可同時考慮 Hamilton (1989) 提出的景氣循環有馬可夫轉換的現象，以及 Turner (1989) 提出 的景氣循環會影響馬可夫轉換模型的平均數與變異數的現象。他們並利用 CRSP

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(Center for Research in Security Prices)市價加權指數作為研究資料，探討 1929 年 至 1989 年的經濟大蕭條、第二世界大戰及戰後等期間股票市場報酬率的情況。

其結果可說明股票市場報酬率會受到景氣循環的不同而改變，且可以將市場狀態 分成低報酬高波動及高報酬低波動的兩種狀態，藉由分類後的市場狀態可以短暫 的預測股票市場報酬率。

Hardy (2001) 首先使用 BS 模型來描述長期股票動態過程並推導出歐式選擇 權評價公式，但實證結果顯示 BS 模型無法捕捉極端價值的變動及參數的變異程 度，於是採用狀態轉換模型來描述長期股票動態過程，並以 1956 年至 1999 年 TSE 300 指數(Tornoto Stock Exchange 300 indices)和 S&P 500 指數(Standard and Poor's 500 Indices)為研究資料，透過最大概似估計法估計出參數後，再以概似比 檢定得到該模型相較於 BS 模型、AR(1)模型、ARCH(1)模型、GARCH(1,1)模型、

RSAR(1)模型(兩狀態的 AR(1))及三狀態轉換的馬可夫轉換模型，更適合描述長 期股票動態過程。此外，他並推導出狀態轉換模型下歐式賣權評價之封閉解。

Haldrup and Nielsen (2006) 利 用 ARFIMA (AutoRegressive Fractionally Integrated Moving Average)模型描述電價季節性及長記憶性的現象，並加入狀態 轉換的想法，說明電價的時間數列會依季節狀態而有所不同的趨勢。實證分析則 以北歐的電價為研究資料，透過概似比檢定顯示加入狀態轉換的 ARFIMA 模型 較適合描述電價動態過程；再利用蒙地卡羅法比較模型的預測能力，而加入狀態 轉換的 ARFIMA 模型對於電價有較佳的預測能力。

2.2.2 卜瓦松跳躍模型

雖然狀態轉換模型已被廣泛運用在財務模型裡，然而在重要訊息來臨前後一 段時間內，報酬率往往不但呈現較大的波動而且會有跳躍的現象，此時利用狀態 轉換模型無法捕捉報酬率的跳躍現象，因此以下文獻為模型假設考慮跳躍風險項 的研究。

Merton (1976) 提出跳躍擴散模型(Jump Diffusion Model)，將股價動態過程模

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型予以延伸，除了包含 BS 模型以描述股價正常變動外，並加入可描述重要訊息 所引起的股價跳躍過程之跳躍項。至於跳躍部分則是跳躍頻率與跳躍幅度兩種隨 機變數組成；作者並假定跳躍頻率服從卜瓦松過程，跳躍幅度服從對數常態分 配。此模型改善 BS 模型的缺失，亦即可以解釋股價報酬率不對稱、高狹峰及波 動度微笑的現象。

在跳躍擴散模型之下，Ramezani and Zeng (1999) 經由實證發現對於跳躍幅 度的分配，若假定其為雙指數分配會比對數常態分配更適合解釋股價資料。因 此，Kou (2002) 利用跳躍擴散模並假定跳躍幅度變數服從雙指數分配，而推導 出多種選擇權商品的評價公式，並說明此模型依然保有對股價報酬率之不對稱、

高狹峰及波動度微笑的現象。由於此模型假定跳躍項的跳躍頻率為卜瓦松過程，

雖然可得到簡單的封閉解公式，缺點則為在涵蓋重要訊息發生之時段與在任何其 它不重疊的時段上，事件的發生是互相獨立的，因此無法描述報酬率波動所存之 聚集現象，文獻上稱作波動叢聚。

Mandelbrot (1963) 發現股價報酬率呈現較大波動時會持續一段時間，相對 的，若其呈現較小波動時依然會持續一段時間，而 Ding, Granger and Engle (1993) 將此現象又稱長記憶性。觀察第一章圖 2 的道瓊工業指數報酬率動態圖，可以發 現報酬率的大波動易於接續在大波動之後發生，相對的，小波動也是。

Lin, Shyu and Wang (2013) 延續 Hamilton (1989) 提出的狀態轉換模型說明 股價有景氣循環的現象，並加入股價報酬率的跳躍現象，以補捉無法預期的事件 之影響，例如網路泡沫事件、金融風暴等。提出以跳躍風險下之狀態轉換模型來 描述股價報酬率，而此模型的跳躍頻率、跳躍幅度大小及市場狀態互相獨立，且 跳躍頻率服從卜瓦松過程。作者以 1999 年至 2010 年道瓊工業指數與 S&P 500 指數作為研究資料，利用 EM 演算法估計模型參數及 SEM 演算法估計參數估計 量的共變異數矩陣，並透過概似比檢定比較幾種模型的適合性。此外他們也說明 狀態轉換模型與跳躍風險下的狀態轉換模型均可描述報酬率的高峽峰、波動叢聚 及波動度微笑的現象。文中並導出歐式買權評價公式，並以敏感度分析探討模型 參數對評價公式結果的影響。

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Lin, Lin, and Chou (2013) 應用 Lin, Shyu and Wang (2013) 提出的跳躍風險 下狀態轉換模型在權益指數年金中，並推導出可解約參與型保單遞迴評價公式。

作者的實證分析顯示跳躍風險下狀態轉換模型比 BS 模型、狀態轉換模型還要適 合描述 S&P 500 指數，作者並以敏感度分析探討不同的參數對於參與型保單評價 公式的影響。最後，說明不同模型有不同的評價結果，建議選擇適當的模型有助 於計算參與型保單契約價值的精確性。

Lin, Hsu and Huang (2013) 延伸 Lin, Shyu and Wang (2013) 的跳躍風險下狀 態轉換模型，考慮跳躍幅度會受到市場狀態影響，提出跳躍相關風險下狀態轉換 模型，並利用 1999 年至 2010 年 S&P 500 指數、道瓊工業指數與日經 225 三檔作 研究資料，驗證跳躍相關風險下狀態轉換模型能解釋股價指數報酬率不對稱、高 狹峰與波動叢聚的現象。最後，使用概似比檢定結果顯示跳躍相關風險下狀態轉 換模型比跳躍風險下狀態轉換模型更適合描述股價指數報酬率。

2.2.3 馬可夫調控跳躍模型

當重要訊息來臨時，報酬率的表現除了波動幅度較大之外，跳躍頻率的多寡 也會受到市場訊息帶來的衝擊而被影響。2.2.2 節所介紹的文獻，皆假定跳躍頻 率與市場狀態獨立，本小節將回顧假定跳躍頻率與市場狀態為相依的相關文獻。

Elliot et al. (2007) 引入 Merton (1976) 的跳躍擴散模型，提出一般化的馬可 夫調控跳躍過程模型(Generalized Markov-Modulated Jump-Diffusion Model)。該模 型採用的連續時間之馬可夫過程可捕捉不同時間之下的市場狀態，而市場狀態會 影響跳躍頻率、利率、波動度及跳躍幅度大小，跳躍頻率則服從馬可夫調控卜瓦 松過程。由於不完整市場之下的平賭測度並非唯一，因而使用一般化狀態下的 Regime-Switching Esscher 轉換以決定等價的平賭測度並推導出歐式選擇權的評 價公式。

Bo et al. (2010) 敘述早期文獻採用的漂浮項及波動項為常數的幾何布朗運 動已無法描述近幾年貨幣市場的外匯表現，原因為其無法捕捉外匯的跳躍風險以

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及市場狀態會隨時而改變，導致以貨幣選擇權對外匯波動的風險之避險效果不 佳。因此，作者假定即期外匯的表現符合 Elliot et al. (2007) 提出的一般化馬可夫 調控跳躍過程模型，並分別推導出考慮或不考慮 Heston's 隨機波動條件的歐式買 權評價公式。最後，作者利用實證分析與模型比較說明容許跳躍風險的存在對於 選擇權之評價深具影響，並建議未來可考慮跳躍風險與 Siu et al. (2008) 提出的 二因子馬可夫調控模型相結合，可進而比較跳躍風險與長期波動對選擇權價格的 影響效果。

Charles, Fuh and Lin (2013) 提出只考慮兩種市場狀態的馬可夫調控跳躍擴 散模型(Markov-Modulated Jump Diffusion Model)，並假定市場狀態服從馬可夫過 程 ， 且 跳躍 過 程 的跳 躍 頻 率服 從 馬 可 夫 調 控卜瓦 松 過 程 (Markov-Modulated Poisson Process)，亦即市場狀態只會影響跳躍頻率，而正常波動項、跳躍幅度項 與市場狀態獨立。此模型除了可以描述股價報酬率的不對稱、高狹峰及波動度微 笑的現象，還可以解釋波動叢聚與長期記憶性的特性。最後，作者也利用 Lucas 的一般均衡架構而推導出歐式選擇權與期貨的評價公式。

Lin and Wu (2013) 擴展了 Charles, Fuh and Lin (2013) 提出的馬可夫調控跳 躍擴散模型，考慮跳躍幅度項與市場狀態為相依，且假定跳躍幅度的平均數為零 因而使報酬率產生對稱的現象。作者並介紹 EM 演算法與 Gibbs Sampler 演算法 以估計參數，並分別比較兩種演算法所求得的參數估計結果，以及使用 SEM 演 算法與 Gibbs Sampler 演算法對參數估計所求得之標準誤估計結果。實證分析使

Lin and Wu (2013) 擴展了 Charles, Fuh and Lin (2013) 提出的馬可夫調控跳 躍擴散模型，考慮跳躍幅度項與市場狀態為相依，且假定跳躍幅度的平均數為零 因而使報酬率產生對稱的現象。作者並介紹 EM 演算法與 Gibbs Sampler 演算法 以估計參數，並分別比較兩種演算法所求得的參數估計結果，以及使用 SEM 演 算法與 Gibbs Sampler 演算法對參數估計所求得之標準誤估計結果。實證分析使