「概念」(Concept)一詞的基本想法，最早是應用於哲學理論上，正
規化概念分析則是應用在概念式基礎數學及概念階層上，在FCA 之前，
「概念」這個想法只是存在人類心中(Tao, 2002)；而「概念分析」(Concept Analysis)，則是由 Birkhoff(1940)所提出，他定義出共同屬性之物件分群 方法，發展出物件與屬性之間的二元關係，並利用矩陣在原始關係中建 立出一個有意義的觀察。之後，Birkhoff 的概念分析結果則轉換到資料分 析上，於1982 年，由德國學者 Wille 提出一種以矩陣理論(Lattice Theory) 為基礎，將FCA 建構在 Galois Connection 的代數原理上，並用於資料分 析的數學方法(Wolff, 1993)。Guoqian(2003)也認為 FCA 主要是以矩陣理 論為基礎，進行資料分析的一種量化的方法，從資料集合中發現概念結 構的資料分析理論，且根據共有特性之物件的屬性做分群的動作。
Formica(2006)進一步指出，FCA 提供概念化的架構來建造(Structure)、分 析(Analyze)與視覺化(Visualize)資料，使這些資料更容易被理解，並且透 過概念矩陣(Concept Lattice)來定義物件(Object)與屬性(Attribute)之間的
二元關係，以找出具有相似屬性的物件群聚。本研究將其他專家學者對 正規化概念分析的觀點整理於表2-3 專家學者對 FCA 的觀點中。
表2-3 專家學者對 FCA 的觀點
學者 年代 內容
Ganter and Wille 1999 FCA 主要是使用在資料分析上，如調查及
處理明確的資料，這樣的資料是被建立在 人類認為有意義及可理解詮釋的「正規化 抽 象 概 念 」 (Formal Abstractions of Concepts)上。
Tam 2004 FCA 是一個使用在概念上的資料分析及知 識處理的一種數學方法。
Dau and Klinger 2005 FCA 主要的目的是它支援合理的溝通及知
識的呈現和處理。如同一個科學，來源是 發現在本研究的數學理解上，它包含有哲 學基礎及社會推論。
Zhang et al. 2005 FCA 是一種 Order-theoretic 方法，用於某 一種資料範疇的數學分析。
近年來與 FCA 相關的研究，常是應用於心理學、社會學、人類學、
醫學、生物學、語言學、電腦科學、數學、工業工程等不同領域上。如 Kangassalo(1992)表示 FCA 常被應用到概念建模(Conceptual Modeling) 上，用來處理知識取得、知識表示及知識組織。Dau and Klinger(2005)則 說明FCA 主要的目的是它支援合理的溝通，以及知識的呈現和處理，而 且這個目的是以「重建(Re-structuring)」的程序去實行。又如廖淑樺(2006) 文中提及Zhang et al.(2005)利用 FCA 的原理及相關演算法來設計並自動 化 產 生 網 頁 上 的 階 層 選 單 ， 此 方 法 稱 為 Concept Ananlysis for Web Navigatioin，簡稱 CAWN。Diaz-Agudo and Gonzalez-Calero(2001)則使用 Galois Lattices 及 FCA 來支援 Case Based Reasoning(CBR)之應用設計，以 挖掘出隱含在案例庫中的知識。Obitko et al.(2004)提出以 FCA 作為設計 本體論(Ontology)的方法，指出透過 FCA 可以在本體論(Ontology)中發現 必要的新概念及關係。
二、概念矩陣(Concept Lattice)
概念(Concept)主要由內文(Context)定義而成，內文是由三個元素所構 成，通常以(O, A, R)表示，其中 O 和 A 為集合，O 集合中的元素稱為物 件(Object)，A 集合中的元素稱為屬性(Attribute)，而 R 則為 O 與 A 所構 成之二元關係(Binary Relation)的組合，通常以 oRa，oO，aA 表示之，
其意義為物件o 擁有屬性 a，或屬性 a 依附於物件 o，關於物件與屬性的 定義，如公式(1)、(2)所示(Formica, 2006)。
對所有的EO 而言，可定義為：
E’= { aA∣oRa, for all oE } 表擁有 E 集合中物件之共通屬性…(1) 對所有的IA 而言，可定義為：
I’ = { oO∣oRa, for all aI } 表擁有 I 集合中所有屬性之物件…..(2)
一個概念(Concept)為一組 O 和 A 的配對，即為(O, A)。若(Oi, Ai)及(Oj, Aj)皆為一個內文(Context)的概念，且 OiOj或 AiAj，則(Oi, Ai)稱為(Oj, Aj) 的子概念(Subconcept)，可表示為(Oi, Ai)≦(Oj, Aj)，其之間符號「≦」的 關係稱為概念的層級性(Hierarchical Order)，以此層級性建構起來的概念 (Concept)集合，稱為概念矩陣(Concept Lattice)。
FCA 最大的特色是正規化概念集合可以用概念矩陣(Concept Lattice) 來圖形化(Priss, 2005)，FCA 的概念矩陣以表 2-4、圖 2-2 及圖 2-3 舉例說 明。在 FCA 的資料分析方法中，資料可稱為「內文」(Context)，通常是 由二維矩陣的交叉資料表所呈現，而在二維矩陣的交叉資料表中，首行 為正規化物件(Formal Objects)集合，首列為正規化屬性(Formal Attributes) 集合，由兩者所群聚形成一致的個體則稱為「概念」(Concept)，另外，
一般文獻中會加入“Formal”這形容詞，來強調「正規化內文」(Formal
Context)及「正規化概念」(Formal Concept)之正規化的觀念，如表 2-4 學 生選課的正規化概念表所示。首行的正規化物件集合，所代表的是所有 學生的集合；首列的正規化屬性集合，代表的是所有課程的集合，而表 格中有註記的「X」則是代表物件「學生」關聯著屬性「課程名稱」的關 係(物件 a 關聯著屬性 o 的關係)。以學生 S1 為例，即表示學生 S1 選擇的 兩門課是商用英文與行銷管理。另外，以學生 S2 為例，即表示學生 S2 選擇的三門課是商用英文、程式設計與電腦網路。
表2-4 學生選課正規化概念表
商用英文 程式設計 電腦網路 行銷管理
S1 X X S2 X X X S3 X X X S4 X X X
定義完所有的物件、屬性以及其二元關係後，便可由此二元關係建 構概念矩陣(Concept Lattice)，如圖 2-2 學生選課正規化概念矩陣圖所示。
在概念矩陣中的節點(Node)即是內文中所指的概念，圖形最上方的最大子 概念稱為上確界(Supremum)，可代表“Universal”的概念；圖形最下方的最 小子概念稱為下確界(Infilmum)，可代表“Null”或“Contradictory”的概念，
課程名稱 學生
而節點與節點間的直線(Line)則代表概念之間有繼承的關係存在，其中如 圖2-3 父節點(概念)A-子節點(概念)B 關係所示，物件是由下所繼承上來，
而屬性則是由上繼承下來，圖中範圍(Extension)指的是所有屬於這個概念 底下的物件集合，而意涵(Intention)指的是此概念中包含物件之所有屬性 的集合。以商用英文節點A 為例，可表示為{ (商用英文) (S1,S2,S3,S4) }，
而行銷管理節點B 可表示為{ (商用英文、行銷管理) (S1,S3,S4) }。然而，
在圖 2-3 的行銷管理節點 B 中並沒有標示屬性商用英文，這是因為基於 商用英文節點A 與行銷管理節點 B 中的直線為繼承關係，其屬性由上往 下繼承的因素，所以在圖中的行銷管理節點 B 才省略屬性商用英文的標 示。承上所述，上確界與下確界在概念矩陣裡是非常特殊的節點，在上 確界的範圍(Extension)裡，具有所有正規化物件，而意涵(Intention)裡，
則沒有任何的正規化屬性；在下確界的範圍(Extension)裡，沒有任何的正 規化物件，而意涵(Intention)裡，則有所有正規化屬性。
FCA 是一個共同屬性抽象化分類的概念，節點皆表示為共同屬性抽 象化的概念之一，差異是在大節點上，表是分類上被明確定義，而小節 點卻是不被考慮在原始分類上。也因此，在建置知識本體時，小空白圓 點則是可由建立者自行取決及命名，這也說明FCA 的矩陣是很清楚且富 彈性，可作為建置知識本體的技術(Tao, 2002)。
圖2-2 學生選課正規化概念矩陣圖
圖2-3 父節點(概念)A-子節點(概念)B 關係圖
在圖 2-2 學生選課正規化概念矩陣圖中，以節點 A 至節點 F 來代表 各層的每個子概念，最上層的最大子概念為節點A，第二層的子概念為 節點B 與節點 C，第三層中的子概念為節點 D 與節點 E，最下層的最小 子概念為節點F，而各層是以階層式序列的方式來排列，其又稱為部分序 列方式(Partial Order)(Tam, 2004)。另外，節點間(概念間)存在繼承的關 係，屬性是由上繼承下來，如屬性商用英文、程式設計、行銷管理及電
意涵(Intention)：
商用英文
範圍(Extension)：
S1,S2,S3,S4
意涵(Intention)：
商用英文、行銷管理
範圍(Extension)：
S1,S3,S4
父節點(概念)A
子節點(概念)B
腦網路是由上往下繼承；物件則是由下所繼承上來，如物件S1、S2、S3 及S4 是由下往上繼承。
首先，以「屬性」由上往下繼承的角度來觀看，從圖 2-2 可看出第一 層節點 A 的屬性「商用英文」為最多學生選擇的課程，此概念可表示為 { (商用英文) (S1,S2,S3,S4) }，前者是屬性以{ (商用英文) }表示，而後者 是物件以{ (S1,S2,S3,S4) }表示。在第二層中有兩個概念，分別是節點 B：
{ (商用英文、行銷管理) (S1,S3,S4) }與節點 C：{ (商用英文、電腦網路) (S2,S3,S4) }。其中，節點 B：{ (商用英文、行銷管理) (S1,S3,S4) }與節點 C：{ (商用英文、電腦網路) (S2,S3,S4) }中的屬性{ (商用英文) }是由第一 層中的節點A：{ (商用英文) (S1,S2,S3,S4) }所繼承下來。在第三層中也 有兩個概念，分別是節點D：{ (商用英文、行銷管理、電腦網路) (S3,S4) } 與節點E：{ (商用英文、程式設計、電腦網路) (S2) }。其中，節點 D：{ (商 用英文、行銷管理、電腦網路) (S3,S4) }的屬性{ (商用英文、行銷管理、
電腦網路) }是由第二層中的節點 B 與節點 C 的屬性所共同繼承下來，而 節點E：{ (商用英文、程式設計、電腦網路) (S2) }中的屬性{ (商用英文、
電腦網路) }是由第二層中的節點 C：{ (商用英文、電腦網路) (S2,S3,S4) } 所繼承下來。第四層的節點F：{ (商用英文、程式設計、行銷管理、電腦 網路) }的屬性是由第三層的節點 D：{ (商用英文、行銷管理、電腦網路) (S3,S4) }與 E：{ (商用英文、程式設計、電腦網路) (S2) }的屬性所共同繼
承下來。因此，觀察正規化概念矩陣圖最後一層的最小子概念，所有屬 性的集合將落於此層。
若以「物件」的角度來看，因為物件是由下往上的繼承關係，雖以 正規化概念矩陣圖將由下往上觀察。從圖 2-2 可看出最底層第四層節點 F：{ (商用英文、程式設計、行銷管理、電腦網路) }中沒有物件存在，表 示沒有學生同時選擇這四門課。在第三層的節點 D：{ (商用英文、行銷 管理、電腦網路) (S3,S4) }中，有兩個物件{ (S3,S4) }，表示只有兩位學生 同時選擇商用英文、行銷管理、電腦網路這三門課，而節點 E：{ (商用 英文、程式設計、電腦網路) (S2) }，只有一個物件{ (S2) }，表示只有一 位學生同時選擇商用英文、程式設計、電腦網路這三門課。在第二層的 節 點 B ： { ( 商 用 英 文 、 行 銷 管 理 ) (S1,S3,S4) } 中 ， 有 三 個 物 件 { (S1,S3,S4) }，其中，物件{ (S3,S4) }是由第三層的節點 D：{ (商用英文、
行銷管理、電腦網路) (S3,S4) }所繼承上來，表示有三位學生同時選擇商 用英文、行銷管理這兩門課，而在節點 C：{ (商用英文、電腦網路) (S2,S3,S4) }中，有三個物件{ (S2,S3,S4) }，其中，物件{ (S2) }是由第三 層的節點E：{ (商用英文、程式設計、電腦網路) (S2) }所繼承上來，表 示有三位學生同時選擇商用英文、電腦網路這兩門課。最後，回到第一 層 中 的 節 點 A ： { ( 商 用 英 文 ) (S1,S2,S3,S4) } 中 ， 有 四 個 物 件 { (S1,S2,S3,S4) }，其物件分別從第二層的節點 B：{ (商用英文、行銷管
理) (S1,S3,S4) }與節點 C：{ (商用英文、電腦網路) (S2,S3,S4) }中，共同 繼承上來。因此，觀察正規化概念矩陣圖最上層的最大子概念，所有物 件的集合將落於此層。
承上所述，FCA 是一個使用在概念上的資料分析及知識處理的一種 數學方法。這樣的數學方法能呈現概念間的相互關係，而且也能將複雜 大量的資料結構化，因此，本研究認為FCA 相當適合運用在協同式推薦 系統上，透過推薦系統將結構化的資訊適當地推薦給旅遊虛擬社群的成 員，而社群成員也能利用推薦系統找到符合需求的相關資訊。