第二章 Buck DC-DC Converter 之數學模型 6
2.2 考慮非理想 Buck DC-DC Converter 之狀態方程式
2.2.1 片段線性模型
所謂非理想之等效電路，就是考慮實際開關元件在導通時存在功率消耗，亦 稱之為片段線性等效電路，而被動元件則是與元件本身特性有關，考慮其非理想 的功率消耗。在Buck DC-DC Converter 中，主要電子元件之非理想特性簡述如下 [21]：
(a) MOS-FET：等效電路可視為一電壓控制開關，其狀態由閘-源極電壓控 制。當開關截止時(vGS < VGS(th))，阻抗無限大，以一單軸單輸出開關(SPST) 開路表示之。當開關導通時(vGS > VGS(th))，片段線性模型在源極(source) 與汲極(drain)間視為一等效電阻，以 rds(on)表示之。N-通道 MOS-FET 之等效 電路如圖 2.2.1(a)所示，轉移曲線如圖 2.2.1(b)所示。
圖2.2.1 N 通道 MOS-FET 片段線性模型
(b) Diode：如圖 2.2.2 所示，為二極體片段線性模型，考慮切入電壓 VDO，導
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通後電流-電壓曲線之斜率的倒數以一等效電阻 rD取代，如圖2.2.2(b)所 示。圖2.2.2(a)之等效電路包含一理想二極體，其目的在限制順偏時的電 流方向。
1
D
Slope
=r
圖2.2.2 二極體片段線性模型
(c) 電感：等效電路除了理想電感外，考慮繞線長短所造成的銅損，繞線長度 越長以及線徑越小，其等效串聯電阻(ESR，equivalent series resistance)值 也越大，換言之，系統的效率越差。
(d) 電容：實際的電容等效電路包含等效串聯電感(ESL)與等效串聯電阻 (ESR)，前者可利用電路布局降低其非理想特性，後者則與電容本身材質 與外觀設計有關。實務上輸出電壓的鏈波必須小於輸出電壓的 1%，其中 90~95%的鏈波來自於等效串聯電阻的非理想效應[22]，故設計上多採用具 有較低等效串連阻抗的電容，例如表貼多層陶瓷電容(MLCC)，或採用多 電容並聯以降低此一非理想效應。
若將片段線性模型取代圖一之被動元件，則成為非理想之電源轉換器等效電 路，如圖2.2.3 所示。
圖2.2.3 以非理想模型取代之 Buck DC-DC Converter
依據克西赫夫電壓定律(KVL，Kirchhoff’s voltage law)可知：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
根據電流定律(KCL，Kirchhoff’s current law)可知，
( ) ( ) ( )
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( )( ) ( ) ( )
0 1( )
2 2 0‐ 19 ‐
( )
(
A1v+A2 1−v)
x+(
b1v+b2(
1−v) )
=0 (22) AC Model:( )
(
1v 2 1 v)
⎡(
1 2)
( 1 2)⎤v(
1 2)
v= + − +⎣ − + − ⎦ + −
x A A x A A x b b A A x (23)
穩態輸出電壓與擾動分別為:
( )
( )
1o 1 2
V =cx c A= V +A 1−V − b (24)
Vo = cx (25)
圖2.2.6 為固定系統參數下方程式(22)與(24)系統穩態之數值模擬結果，直線 段構成的集合代表不同的責任週期與負載得到平衡點，而平面的位置代表固定輸 出5V，A 點與 B 點平面上兩平衡點，分別表示固定輸出電壓下不同負載(輸出電 流)與責任週期。
圖2.2.6 固定系統參數，方程式(21)之數值模擬結果
2.3 模型分析
則此子系統可視為兩線性非時變系統(Linear Time Invariant system，LTI system)，
滿足系統穩定的條件其系統極點必須位在S-domain 的左半平面[23]，分別為： (Bounded-input Bounded-output，BIBO)之穩定條件。
在討論Buck DC-DC Converter 的控制器設計中，如果僅考慮理想 Buck DC-DC Converter 的狀態平均模型，則在兩個子系統的狀態方程式之間存在
1 = 2
A A 使得狀態空間平均模型(21)式結果為線性模型。然而，若考慮非理想 Buck DC-DC converter，則A1≠ A ，使得狀態空間平均模型為 2
‐ 21 ‐
2.3.2 不確定量分析
‐ 23 ‐ uncertainty)，且預設負載值(Default value of the load)與系統極點有關。在設計實務 上，可以從電子產品的系統架構評估各電源所需之電源功率，所以負載的變動範 圍可以利用此評估步驟決定(33)式中R 之最大值與最小值，另一方面，狀態變數L
x 是有界的(bounded)，所以此一非匹配不確定量是有界的。 2
下一章將以(33)式所示之狀態方程式設計控制器，控制目標為在有界輸入 (bounded input, [0,1])將系統輸出電壓控制到期望值(desired voltage level)且不受負 載變化影響其閉迴路系統之穩定性。
第三章 Buck DC-DC Converter 之順滑控制器設計
在第二章中對整個Buck 直流轉換電路的數學模型有完整的建構，如方程式 (33)式所示，在本章中將討論順滑控制器之設計。第一節討論順滑控制基本理論 與設計步驟。第二節設計應用於Buck 直流轉換器之誤差積分型順滑控制。
下一章將依本章之控制器利用MATLAB/Simulink 做數值模擬，以及
MATLAB/Simulink 中的 SimPowerSystems 模擬控制器在考慮接近電路物理特性下 之模擬。
3.1 順滑模態控制理論介紹
可變結構系統(Variable Structure System, VSS) 是一種結構可以改變的系統，
包含兩個以上的子結構與切換條件(switching condition)，使得系統在符合條件下 呈現相對應的子結構。換言之，可變結構控制是先使受控系統產生兩個以上的子 結構，再利用刻意加入的切換條件達成控制目的的一種技術[25]。
根據文獻上的記錄，在1950 年代，前蘇聯就已經有學者與工程師將可變結 構系統應用在馬達控制上，並發現了一個重要的系統行為：順滑模態(sliding mode)，實際的高頻切換控制法則，使得系統的軌跡被控制到狀態空間中一個非 線性與設計者選定的平面上，並使系統軌跡維持在此平面上，稱之為切換平面 (switching surface)或順滑面(sliding surface)。被稱為切換平面是因為，當系統軌跡”
低於”此一平面，在控制路徑上會得到強迫系統”上升”回到平面的增益，反之，若 系統軌跡”高於”此一平面，控制路徑產生的增益強迫系統”下降”回到平面。簡而 言之，順滑模態控制是，先使受控系統產生兩個以上的子結構，再利用刻意加入
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過程稱為迫近模態（reaching mode），而當系統進入順滑平面後，必須確保軌跡朝
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( ) ( )
lim0 0
s s s
→ x x < (35)
不等式(35)稱之為順滑條件(Reaching and Sliding Condition)[26]代表順滑函數若滿 足此一條件，則系統軌跡在順滑平面附近將保證迫近順滑平面。任一系統的順滑
率，然而在實際的系統因為延遲或磁滯並無法實現，但仍在順滑平面上以較高的 頻率切換並朝向平衡點前進，這樣的切換現象(震盪現象)稱之為跳切(chattering)。
上述過程知道，系統的迫近模態是屬於連續性軌跡接近順滑平面，然而進入 順滑平面後，系統軌跡以不連續的切換條件連續的接近平衡點，換言之，如何證 明跳切現象會朝向平衡點前進?一個最早與直接的近似概念，Filippov 法(the method of Filippov)引入的等效控制概念(the method of equivalent control)可獲得合 理的解釋。
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會令ε → 使得系統軌跡一旦接觸了順滑平面就被限制在此平面上並朝向平衡點0
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考慮下列單輸入雙線性系統(bilinear system)之狀態方程式(state equation)：
u u
此必要條件，系統是可控的，令c∈R1 n× 為一行向量(row vector)使得順滑函數為
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故滿足迫近與順滑條件(Reaching and Sliding Condition)，系統軌跡在有限時間內 接觸到順滑層，當系統軌跡進入順滑層後，持續朝向順滑平面逼近。所以前述假
設C b+C N x ≠0成立，則選取此一控制法則，系統將實現順滑模態控制，也因此
在系統狀態空間存在區間使得此一假設成立，稱之為迫近與順滑區間(Reaching and Sliding Region, RAS-Region)，以二維相位平面(phase plane, 假設 n=2)為例並 假設C b+C N x >0，其迫近與順滑區間如圖3.1.6 所示。
3.2 設計降壓型直流轉換器(Buck DC-DC Converter)之順滑模態控制 值。此系統之雙線性項(bilinear term)是匹配於系統輸入矩陣 b ，且遠小於系統矩 陣A。
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能正確控制系統輸出，且不因負載變化影響控制器之穩定性。
3.2.1 步驟一：選擇順滑函數使得系統在順滑平面軌跡是穩定的
已知 b 是全秩矩陣(full rank)，且系統(61)式可控的，依據矩陣理論可以知道 一定會找到一個非奇異(nonsingular)轉換矩陣(Transformation Matrix)使得
0
因為雙線性項(Bilinear term)對系統輸入矩陣 b 而言是匹配的，所以該項可以表式 為
其中 1 11 12 可簡化為線性系統之可控性矩陣(controllability matrix)：
[ ]
rank rank rank H
H
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(
11 12)
1‐ 39 ‐
( ) ( ( ) )
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係數值遠小於β，故我們選用順滑層的概念，允許系統軌跡回到順滑層後在順滑 層內遊走。由(81)式可知，當順滑函數穩定時在順滑層內，因為c1 1x ≠0，使得順 滑函數值不為零，換言之，積分項讓系統軌跡回到順滑層後，積分值為定值且約 等於c x 。 1 1
3.2.3 步驟二：設計控制法則使得系統在有限時間內到達順滑平面
在3.2.1 的步驟一假設在順滑平面s
( )
x =0存在等效控制ueq使得(55)式成立，此時令控制器之控制法則為
(
1( ) )
1( (
out ref)
sat( ) )
u= − + f x − cAx+β V −V +ρ s (91)
其中ρ 為大於零之任意數。可得，當 s ≥ε時，
( ) ( ( ) ( ) )
(
out ref out ref sat)
0ss=s cAx+β V −V − cAx+β V −V +ρ s ≤ −ρ s < (92) 如前述，當系統未到達順滑層時滿足迫近與順滑條件(Reaching and Sliding Condition)，系統軌跡在有限時間內接觸到順滑層並持續維持在此範圍內。所以前
述假設C b+C N x ≠0成立，則選取此一控制法則，系統將實現順滑模態控制，也
因此在系統狀態空間存在區間使得此一假設成立，稱之為迫近與順滑區間 (Reaching and Sliding Region, RAS-Region)，以二維相位平面(phase plane, 假設 n=2)為例並假設C b+C N x >0，其迫近與順滑區間如圖3.2.2所示。
1 1 11
X b n
=−
圖3.2.2 灰色區間為 Buck 直流轉換器之迫近與順滑區間
相較於圖3.1.6，此一迫近與順滑區間的條件除了C b+C N x>0外，還必須考 慮電路本身之特性，即電感電流恆正與電流電壓恆正之條件，故迫近與順滑區間 限制在第一象限。
在本章中，我們簡述順滑控制理論與設計步驟，並在選取一順滑函數使系統 穩定後，加入誤差函數與誤差函數的積分，修正切換函數為飽和函數後，設計控 制法則，讓系統在有限時間內到達順滑層，並在順滑層內遊走。因為順滑函數與 系統狀態有關，並不保證系統軌跡進入順滑層後不會再離開順滑層，但是由方程 式(92)可知，一旦系統軌跡不在飽和層內，其軌跡移動方向將朝著順滑層前進。
在下一章中將對此系統與控制器進行相關模擬與討論。
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第四章 Buck DC-DC Converter 之系統設計與模擬
在本章的第一節，將討論此直流轉換電路之規格與元件設計，第二節利用數 值模擬的方式驗證控制器輸出責任週期在數學模型上計算的結果。第三節利用 Matlab/SimPowerSystems 軟體模擬加入脈波寬度調變後系統軌跡與狀態輸出。
4.1 系統規格與設計
在本章的模擬設計中，我們依據以下規格探討元件的選用，並討論元件參數 對系統之影響，並依據第三章所設計之控制法則設計控制器。
Parameters Symbol min Typ Max Unit Supply Voltage Vcc 12 V Operation Frequency fOSC 40 kHz Feedback Voltage Vfeb 1.25 V Output Ripple Voltage Vripple/Vout 1 % Static Drain‐Source On Resistance RDS(on) 0.22 0.27 Ω On Resistance of Diode Rdiode(on) 5 mΩ Voltage drop of Diode Vdiode 0.75 V
Load RLoad 5 30 Ω
Voltage drop during Load Change Vdrop 0.25 V Sliding Layer ε 10−3
4.1.1 電感設計
‐ 45 ‐ 來設計降壓型轉換器，其濾波器之自然頻率(natural frequency of low pass filter)較 低，但缺點是直流等效串聯電阻 (D.C. ESR)因為銅損增加而加大。
4.1.2 輸出電容設計 波均經由電容與地迴路(ground return path)回到電源端且電感的平均值均流向負 載端。電容的充電電荷量ΔQ 標示於圖廿一灰色區域，其數學表示式為：
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規格書做比較，找出適當的元件。如果電容器的ESR 值超過規格，就一般的電容 器的特性而言，同一耐壓下電容值越高，其ESR 越低，同一電容值的條件下，耐 壓越高，其ESR 越低。在實際的設計中，相較於電感的選擇，有更多條件必須被 考慮，例如額定電壓，ESR，突波電壓(surge voltage)，散逸因數，鏈波電壓，環
規格書做比較，找出適當的元件。如果電容器的ESR 值超過規格，就一般的電容 器的特性而言，同一耐壓下電容值越高，其ESR 越低，同一電容值的條件下，耐 壓越高，其ESR 越低。在實際的設計中，相較於電感的選擇，有更多條件必須被 考慮，例如額定電壓，ESR，突波電壓(surge voltage)，散逸因數，鏈波電壓，環