第三章 Buck DC-DC Converter 之順滑控制器設計 24
3.1.2 順滑函數之選擇－以單輸入雙線性系統為例
考慮下列單輸入雙線性系統(bilinear system)之狀態方程式(state equation)：
u u
此必要條件，系統是可控的，令c∈R1 n× 為一行向量(row vector)使得順滑函數為
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故滿足迫近與順滑條件(Reaching and Sliding Condition)，系統軌跡在有限時間內 接觸到順滑層，當系統軌跡進入順滑層後，持續朝向順滑平面逼近。所以前述假
設C b+C N x ≠0成立，則選取此一控制法則，系統將實現順滑模態控制，也因此
在系統狀態空間存在區間使得此一假設成立，稱之為迫近與順滑區間(Reaching and Sliding Region, RAS-Region)，以二維相位平面(phase plane, 假設 n=2)為例並 假設C b+C N x >0，其迫近與順滑區間如圖3.1.6 所示。
3.2 設計降壓型直流轉換器(Buck DC-DC Converter)之順滑模態控制 值。此系統之雙線性項(bilinear term)是匹配於系統輸入矩陣 b ，且遠小於系統矩 陣A。
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能正確控制系統輸出，且不因負載變化影響控制器之穩定性。
3.2.1 步驟一：選擇順滑函數使得系統在順滑平面軌跡是穩定的
已知 b 是全秩矩陣(full rank)，且系統(61)式可控的，依據矩陣理論可以知道 一定會找到一個非奇異(nonsingular)轉換矩陣(Transformation Matrix)使得
0
因為雙線性項(Bilinear term)對系統輸入矩陣 b 而言是匹配的，所以該項可以表式 為
其中 1 11 12 可簡化為線性系統之可控性矩陣(controllability matrix)：
[ ]
rank rank rank H
H
‐ 37 ‐
(
11 12)
1‐ 39 ‐
( ) ( ( ) )
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係數值遠小於β，故我們選用順滑層的概念，允許系統軌跡回到順滑層後在順滑 層內遊走。由(81)式可知，當順滑函數穩定時在順滑層內，因為c1 1x ≠0，使得順 滑函數值不為零，換言之，積分項讓系統軌跡回到順滑層後，積分值為定值且約 等於c x 。 1 1
3.2.3 步驟二：設計控制法則使得系統在有限時間內到達順滑平面
在3.2.1 的步驟一假設在順滑平面s
( )
x =0存在等效控制ueq使得(55)式成立，此時令控制器之控制法則為
(
1( ) )
1( (
out ref)
sat( ) )
u= − + f x − cAx+β V −V +ρ s (91)
其中ρ 為大於零之任意數。可得，當 s ≥ε時，
( ) ( ( ) ( ) )
(
out ref out ref sat)
0ss=s cAx+β V −V − cAx+β V −V +ρ s ≤ −ρ s < (92) 如前述，當系統未到達順滑層時滿足迫近與順滑條件(Reaching and Sliding Condition)，系統軌跡在有限時間內接觸到順滑層並持續維持在此範圍內。所以前
述假設C b+C N x ≠0成立，則選取此一控制法則，系統將實現順滑模態控制，也
因此在系統狀態空間存在區間使得此一假設成立，稱之為迫近與順滑區間 (Reaching and Sliding Region, RAS-Region)，以二維相位平面(phase plane, 假設 n=2)為例並假設C b+C N x >0，其迫近與順滑區間如圖3.2.2所示。
1 1 11
X b n
=−
圖3.2.2 灰色區間為 Buck 直流轉換器之迫近與順滑區間
相較於圖3.1.6，此一迫近與順滑區間的條件除了C b+C N x>0外，還必須考 慮電路本身之特性，即電感電流恆正與電流電壓恆正之條件，故迫近與順滑區間 限制在第一象限。
在本章中，我們簡述順滑控制理論與設計步驟，並在選取一順滑函數使系統 穩定後，加入誤差函數與誤差函數的積分，修正切換函數為飽和函數後，設計控 制法則，讓系統在有限時間內到達順滑層，並在順滑層內遊走。因為順滑函數與 系統狀態有關，並不保證系統軌跡進入順滑層後不會再離開順滑層，但是由方程 式(92)可知，一旦系統軌跡不在飽和層內，其軌跡移動方向將朝著順滑層前進。
在下一章中將對此系統與控制器進行相關模擬與討論。
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第四章 Buck DC-DC Converter 之系統設計與模擬
在本章的第一節，將討論此直流轉換電路之規格與元件設計，第二節利用數 值模擬的方式驗證控制器輸出責任週期在數學模型上計算的結果。第三節利用 Matlab/SimPowerSystems 軟體模擬加入脈波寬度調變後系統軌跡與狀態輸出。
4.1 系統規格與設計
在本章的模擬設計中，我們依據以下規格探討元件的選用，並討論元件參數 對系統之影響，並依據第三章所設計之控制法則設計控制器。
Parameters Symbol min Typ Max Unit Supply Voltage Vcc 12 V Operation Frequency fOSC 40 kHz Feedback Voltage Vfeb 1.25 V Output Ripple Voltage Vripple/Vout 1 % Static Drain‐Source On Resistance RDS(on) 0.22 0.27 Ω On Resistance of Diode Rdiode(on) 5 mΩ Voltage drop of Diode Vdiode 0.75 V
Load RLoad 5 30 Ω
Voltage drop during Load Change Vdrop 0.25 V Sliding Layer ε 10−3
4.1.1 電感設計
‐ 45 ‐ 來設計降壓型轉換器，其濾波器之自然頻率(natural frequency of low pass filter)較 低，但缺點是直流等效串聯電阻 (D.C. ESR)因為銅損增加而加大。
4.1.2 輸出電容設計 波均經由電容與地迴路(ground return path)回到電源端且電感的平均值均流向負 載端。電容的充電電荷量ΔQ 標示於圖廿一灰色區域，其數學表示式為：
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規格書做比較，找出適當的元件。如果電容器的ESR 值超過規格，就一般的電容 器的特性而言，同一耐壓下電容值越高，其ESR 越低，同一電容值的條件下，耐 壓越高，其ESR 越低。在實際的設計中，相較於電感的選擇，有更多條件必須被 考慮，例如額定電壓，ESR，突波電壓(surge voltage)，散逸因數，鏈波電壓，環 境溫度，機構設計等條件必須滿足方可使用。上述條件缺一不可，一但選擇的不 適當的電容值，造成的危險不僅是電路的損壞，還會造成生命財產上的威脅。
例如前述例子，電感選用300µH， 所以最小電容值為13µF，串聯等效電阻 必須小於0.2Ω。
4.1.3 順滑模態控制器設計
至此Buck 直流轉換器之電路參數已經獲得，整理如下：
Component Value Unit ESR Note inductance 680 μH 1.2Ω
Output capacitance 220 μF 0.117 表二 濾波器參數
將表一與表二之元件參數代入方程式(33)，可得 Buck 直流轉換器之模型。代 入(87)式可得順滑模態控制器之控制法則。然而控制器之輸出是圖 2.1.1 中開關元 件的導通責任週期，故輸出值限制在0~1 之間。如圖 4.1.4 所示，為數值模擬控 制器在系統穩態時輸出之範圍，斜面代表不同輸出電壓與輸出電流在此一系統之 責任週期，垂直於Xtwo之白色平面代表輸出電壓5V 時，與此一斜面之關係。
‐ 49 ‐
圖4.1.4 控制器輸出責任週期之範圍 控制法則為：
( )
1( (
out ref)
sgn( ) )
u= − cb cNx+ − cAx+β V −V +ρ s (102)
若控制器輸出限制在0~1 之間，則
(
cb cNx 與+) (
cAx+β(
Vout −Vref)
+ρsgn( )
s)
之比值必須在1 附近，在此一直流轉換器中，因為cNx與cAx之值很小，cb=1， 所以控制器的輸出可以被限制在0~1 之間。從圖中亦可看出，固定輸出電壓 5V 時，最大輸出電流發生在責任週期等於1 時，約莫在 4 安培處。當輸出電流缺近 於零時，責任週期並非如第二章中以傅立葉分析之(1)式所推算之理想值，原因是 因為系統存在非理想之損失，為得到固定之輸出電壓，故需要增加責任週期克服 線路上之損失。
4.2 數值模擬
本文的模擬分為兩部分，在數值模擬的部分即利用MATLAB 之數學方程式 模擬器之優點檢視第二章與第三章之模型與控制器，在第二部分保留第三章之控 制器，數學模型直接置換成SimPowerSystems 的內建模型。兩者的差異在於，第 一部分驗證有限輸入的條件下，利用片段線性模型建立的轉換器模型是否仍然能 夠被控制器成功的控制到期望狀態。在第二部分則加入脈波寬度調變控制以Sim- powerSystems 建立之模型，驗證開關元件的狀態對系統的影響。
模擬系統之方塊圖4.2.1 所示，完整系統方塊圖如附錄所示。
圖4.2.1 模擬系統方塊圖
系統分為三個主要方塊，在Buck Converter Module 方塊中建構轉換器之數學模 型，在SMVC1 Module 中則為順滑模態控制器，另外一個為模擬負載 Load Module。在模擬的系統中，我們建構固定電壓回授的方式使得控制器的控制目標 顧定再回授電壓，外部利用如圖4.2.2 所示之分壓電阻的方式提高輸出電壓準位的 設計方便性。換言之，改變輸出電壓值時，僅需更換分壓電阻值使得回授電壓固 定在一定值，例如1.25V，如方程式(103)所示。此方法為目前工業界多數電壓轉 換器之設計方法。此外，為了不使回授分壓電阻造成輸出電壓之負載效應，一般
‐ 51 ‐ out Feedback 1
V V R
圖4.2.3 高負載時系統狀態軌跡
圖4.2.4 未加入飽和函數之控制器輸出
‐ 53 ‐
圖4.2.5 順滑函數
圖4.2.5 所示為此控制器之順滑函數，其中順滑函數在系統啟動時已經在順滑 層中，因為選取順滑層，故順滑函數在順滑層內遊走而不會真的進入順滑平面，
也因此在[7]稱此控制器為類順滑模態控制器(Sliding-Mode-Like Controller)。
加入飽和函數的目的有二，其一是使得系統設計符合實際Buck 直流轉換器 之開關責任週期控制，另一是，當控制器輸出值大於1 時，讓轉換器的開關週期 為最大，小於零時則為最小。所以在後續的模擬中，在控制器的輸出端加入飽和 函數使得控制器的輸出符合實際Buck 直流轉換器之開關責任週期控制。
4.2.2 數值模擬，加入控制器輸出飽和函數
加入控制器輸出飽和函數後，系統軌跡如圖4.2.6 所示。系統啟動後朝平衡點 前進，當負載變化時進入下一個平衡點。輸出狀態如圖4.2.7 所示。
圖4.2.6 控制器加入飽和函數後之系統軌跡
圖4.2.7 狀態輸出
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在本模擬中，假設負載變化為 500mA，如圖 4.2.8 與 4.2.9 所示。
圖4.2.8 負載增加 500mA 時系統輸出之狀態
圖4.2.9 負載減少 500mA 時系統輸出之狀態
順滑函數的模擬結果如圖4.2.10(a)所示。順滑函數在系統啟動時已經在順滑 層中，然而因為加入控制器輸出飽和函數，其控制輸出在系統啟動時以最大責任 週期使系統輸出狀態值不斷上升，造成順滑函數脫離順滑層，如同第三章對飽和 函數的說明，一旦離開順滑層，將在有限時間內回到順滑層，如圖4.2.10(b)所示。
當負載增加，亦為著輸出電流增加，使得輸出電壓因為電容提供額外電流而下降，
順滑函數值在順滑層隨時間增加而遞減，如圖4.2.7 與圖 4.2.10(c)所示。
圖4.2.10 加入控制器飽和函數之順滑函數
在圖4.2.11 中，繪出控制器輸出，很明顯的可以看出，系統啟動時因為飽和 所以Buck 直流轉換器工作於最大責任週期。負載變化時，負載增加所以提高導 通週期，然而因為飽和函數所以Buck 直流轉換器工作於最大責任週期，負載減 少時，減少導通週期釋放電路中多餘的能量。
‐ 57 ‐
圖4.2.11 控制器輸出
在本節中，我們利用第二章中建立Buck 直流轉換器的數學模型做數值模擬，
可以驗證系統在負載變動時是否穩定，以及順滑函數與控制器加入飽和函數後對 系統之影響。然而在輸出狀態中，並無法確定系統在定頻切換時是否能夠正確控 制系統輸出狀態，特別是流經電感上的電流，並無法看出因為開關導通與截止造
可以驗證系統在負載變動時是否穩定，以及順滑函數與控制器加入飽和函數後對 系統之影響。然而在輸出狀態中，並無法確定系統在定頻切換時是否能夠正確控 制系統輸出狀態，特別是流經電感上的電流，並無法看出因為開關導通與截止造