物理模式與數學模式

本研究考慮之覆晶構裝模型尺寸如表 2-1，模型二分之一幾何圖 如圖 2-1，所用的晶片材料為砷化鎵(GaAs)，基板則為氮化鋁(AlN)，

在線路與凸塊上選用擁有較佳的電信與熱傳性質的純金當作材質，填 膠材料主要以環氧樹脂為主，模擬中所要用到的材料性質如表 2-2 所 示。整個分析流程有三個部份，其物理模式詳敘如下：

(一)計算熱循環試驗過程的塑性應變範圍

為了了解構裝體的破壞行為，我們套用可靠度試驗中之熱循環過 程中的溫度負載，其最高溫為150℃，最低溫為-50℃，首先從室溫25

℃利用50秒的時間將溫度升至最高溫150℃，然後給予50秒的時間維 持在高溫150℃，接著用100秒的時間讓其降至-50℃的低溫且維持低 溫50秒，最後再利用100秒的時間使溫度升至150℃，此為一個循環(如 圖2-2)，本文的升降溫速率皆相同，為2℃/秒，並採用兩個溫度循環，

以計算暫態溫度場。再由此溫度負載，並給定材料性質且設定對稱邊 界、拘束點和拘束面，來計算塑性應變範圍值。

(二) 計算暫態的晶片運作後溫度場

設定存在一外流場，其流場為層流且為自然對流，停滯壓力與外 界溫度皆固定，並將構裝體置於其中以計算構裝體運作後之熱傳分

析，以求得整個暫態的溫度場。

(三) 計算最終總應力值

將(二)所得之構裝體運作後的暫態溫度場代入ANSYS中進行熱固 耦合分析，同樣地給定初始溫度，材料性質，並設定對稱邊界、拘束 點以及拘束面，以計算最終總應變值。

此外，為使問題簡化，且不失其真實性，本研究分析時做了下列假設：

(1) 材料為均質(Homogeneous)且等向性(Isotropic) (2) 各材料層間為完美黏著

(3) 材料性質皆不隨溫度變化

(4) 工作流體為不可壓縮流(Incompressible)且流動模式為層流 (Laminar Flow)

(5) 除了凸塊跟線路部分的材料以外，其餘材料皆考慮為線彈性

2-2 熱傳數學模式

2-2-1 統御方程式

在計算流體力學部份，我們可以將物理現象區分為以下各個部份 來討論：流體區域(Fluid Domain)、固態區域(Solid Domain)與液-固交接區域(Interface between Fluid and Solid)以及熱源(Heat Source)處理方式。

2-2-1-1 流體區域 對流為低速流因此可忽略Φ[18]； 為熱源項(Source Term)，在本 研究中我們將熱源視為作用在平面上的熱通量，並以邊界條件解之，

故在能量方程式中並無熱源項；

h

Sh

τ^t表是因黏滯力所引起的應力張量 (Stress Tensor)，可表示如下式：

⎟

在液固界面區要維持能量守恆，亦即 對流係數(Coefficient of Convection)；

kf k_s h_coc

θf 流體溫度差; θ_s為固體 溫度差；θ_sf 為固體與流體間溫度差。

2-2-1-4 熱源處理

由於本文構裝體之熱源為在晶片下方的一長條型平面，其發熱面 積為222×43 ，總發熱量為0.04W，於是我們將熱源部份以邊界條 件處理，因此在式(2-3)之能量方程式中並無 項，而以熱通量(Heat

2-2-2 SIMPLE(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations)演算法

在求解不可壓縮流體的流動問題時，如果對所形成的包含速度分 量及壓力的代數方程仍採用直接求解的方法，則可以同時得出速度與 壓力的解。然而如何有效地去確定一個壓力場則是非常模糊的。不幸

的，沒有明顯的方程式可代替這種壓力場。於是所謂分離式的求解方 法應運而生，即先求解有關一個速度分量，而把其他作為常數，隨後 再逐一求解其它變量，而 SIMPLE 法就是一例，SIMPLE 法的基本思想 是，在流場疊代求解的任何一個層次上，速度場都必須滿足質量守恆

即 p=p*+p＇，u=u*+u＇，v=v*+v＇

帶入動量離散方程中得 將式(2-12)減去式(2-13)得

_{P E e} (2-14)

a_S =ρ_sdsΔx

a_P =a_E +a_W +a_N +a_S

x y u u y v v x

B ^P t ^P Δ Δ + _w − _e Δ + _s − _n Δ

Δ

= −

′ [( *) ( *) ] [( *) ( *) ]

0 ρ ρ ρ ρ ρ

ρ

當速度場 u*，v*趨近於正確值時，B＇將趨近於 0，即滿足質量守恆 方程式。

2-3 應力與應變數學模式

有限元素法的基本構想是將一個物體細分成各個節點和元素，每 一個節點可以建立它的力平衡方程式。再將這些方程式組合起來，即 可以組成如下的方程式：

[k]{d}={F} (2-19) 其中[k]稱為剛性矩陣，其意義為每單位的變位量所需要的力量，{d}

為位移向量，是元素節點上的自由度，{F}為負載向量，其物理意義 是作用在節點上面的力。我們可以替每一個元素發展其方程式，再將 這些方程式組合起來，就可寫成如(2-19)的方程式，因此將邊界條件 帶入，以求得位移向量，再透過應變-位移的關係式求得應變向量，

最後由應力-應變關係式求得應力場。

2-3-1 彈性線性材料

2-3-1-1 節點位移與應變之關係

如圖2-4(a)所示，考慮三角形元素，其三個節點編號分別為

i,j,k，元素內某點(x,y)之位移

u

={uˆ,vˆ}，所以uˆ、vˆ之位移函數為

將(2-23)與(2-24)式代入(2-20)及(2-21)式，整理可得

2

G

因此各方向的應變變為

當一材料承受應力而造成其主應力(Principle Normal Stress) 在線性極限(Proportion Limit)之前，其應力應變行為呈現完全線 性，及卸除負載使主應力回復為零，應變會回復到原點；若超過線性

等效應力超過降伏應力σ_y，即材料變形行為進入塑性變形區，此時材 料若再繼續受到連續變化的應力負載，則有兩種理論來定義其降伏應 力[20]；一種是等向強化準則(Isotropic Hardening Rule)，另ㄧ種 為隨動強化準則(Kinematic Hardening Rule)，這兩種理論的差別如 (圖2-6)所表現；當ㄧ材料進入塑性變形區經卸載後再承受一應力，

此時等向強化準則主張增加降伏面大小，但不改變降伏面位置來作應 對；而隨動強化準則主張不改變降伏面大小，僅改變降伏面位置的方 式來對應。

我們選用 ANSYS 內建經典的雙線性隨動硬化塑性(Bilinear Kinematic Hardening Plasticity ；BKIN)[20]理論來進行模擬分 析，該模型使用一個雙線性來表示應力－應變曲線，所以有二個斜率 分別為彈性斜率和塑性斜率，需要輸入的材料參數是降伏應力和切變 模數(Tangent Modulus)。

2-3-3 彈塑性構成式(Constitutive Equations)

在塑性變形階段，應力與應變關係是非線性，應變不僅和應力狀 態有關，而且還和變形歷史有關。為了考慮變形的歷史，應研究應力 和應變增量之間的關係，以這種關係為基礎的理論稱為增量理論，同 時也可以用速度的形式來表示。因此首先定義應變速度，即

x u_x

xx ∂

= &∂

&

ε (2-46)

式(2-46)~(2-48)可寫成

( ) 從塑性功增分(Plastic Work Increment)之原理可得

(

^{δ σ}

)

^{ε ε σ ε}

ε σ

其中dε 為等效塑性應變增分，式中的δ_ij乘上 會等於零，主要是根 據非壓縮條件(Incompressibility condition)，主要是在說明塑性 變形為某結晶面的滑移變形所形成，並不改變原子間隔，所以體積保 持一定。

p

dεij

將(2-52)式帶入(2-53)式得

dw^p =S_ijS_ijdλ = σ²dλ =σdε

H'= d 稱為加工硬化係數(Strainhardening Coefficient)

又因 降伏條件即是初期降服條件(Initial Yield Condition)。在此考慮 塑性變形後的某狀態，如圖 2-7 所示，初期降服曲面

F

，對於塑性變 形 後 有 新 的 降 服 曲 面

f

， 稱 後 續 降 伏 曲 面 (Subsequent Yield

Condition)。塑性變形繼續作用時，應力點經常在此時點的後續降伏

=0

∂ + ∂

∂

= ∂ _{ij k}

ij

f d f d

df ξ

σ ξ

σ _κ (2-60) 此稱為適應條件(Consistency Condition)。

在 1951 年 德 魯 克 (Drucker) 提 出 了 材 料 穩 定 性 的 公 設 (Drucker Postulate)，即任一應力增量都將引起正應變增量，應力增量和應變 增量的乘積將大於等於零，則會有下式成立

dσdε^p ≥0 (2-61) 考慮一應力循環且考慮為單軸負荷，如圖 2-8 所示，有一初始應力 加載至降伏點，其降服應力為

σ0

σ，再加載至σ +dσ，dσ 為應力增量，

將引起相對應的塑性應變增量 ，然後在卸載至初始應力 ，形成 一應力循環。圖中灰色部分代表應力所做的塑性功，因此可得到以下 不等式

dεp σ⁰

(σ −σ⁰)dε^p ≥0 (2-62) dσdε^p ≥0 (2-63) 若以向量形式來重寫(2-62)式，並假設他們之間夾一角度Ψ

σ −σ⁰ ⋅ dε^p cosΨ≥0 (2-64) 由上式可知道Ψ<90 度，其意義為塑性應變增量將會與 σ −σ⁰ 夾一 銳角，因此可以推塑性應變增量將會有以下關係

λ ε σf d d ^p

∂

= ∂ (2-65)

其中 dλ為正的純量值，且降伏函數

f

決定塑性應變增分向量的方

向，因此

f

又稱為塑性位勢(Plastic Potential)，而式(2-65)稱為 關聯流動法則(Associated Flow Rule)。

2-3-4 彈塑性應力-應變矩陣 由(2-66)~(2-68)的推導，可得

{ } [ ]({ } { }λ)

根據(2-69)~(2-71)式整理可得

將(2-72)式代入(2-69)式，可得

{σ_&}=[D^p]{ε_&} (2-73) (Newton-Raphson Method)非線性疊代方程來求解，首先定義一個殘 留向量(Residual Vector){R}

0

( )

⎟⎟⎠

(

−

)

+_L

將式(2-77)保留線性項可得並將式(2-75)帶入整理得

[K_i^T]

(

{Δd_i}

)

={F^a}−{F_i^r} (2-78)

至此完成第 次迴圈，接著重複相同步驟直到 疊代至 為 止。在這邊 ANSYS 對位移以及受力定義的收斂方式有

+1

i {F_i^r} {F^a}

{Δd_i} <ε_dd_ref (2-79) {R} <ε_RR_ref (2-80) 其中

• 為向量範數(Vector Norm)

εd、ε_R為容許誤差(Tolerance)

d_ref、R_ref為參考值(Reference Value) 而範數的計算有下列三種方法

1.無限範數 {R}_∞ =maxR

2.L1 範數 {^R}1 ⁼

∑

^R

3.L2 範數 ²

1 2

2 ( )

}

{^{R =}

∑

^R

無限範數是取其中絕對值最大值；L1 範數是取絕對值總和；L2 範數 是取平方 R 總合之平方根。本研究選用 L2 範數。

2-4 疲勞壽命數學模式

電子構裝可靠度研究領域中，學者研究出至少14種關於錫鉛凸塊 接點的疲勞模式，而依其不同之破壞資訊，可將這些疲勞模型分成五 類[22]：以應力為基礎(Stress-Based)、以塑性變形為基礎(Plastic

Strain-Based)、以潛變變形為基礎(Creep Strain-Based)、以能量為基 礎(Energy-Based)、以損壞為基礎(Damage-Based)等；在能量為基礎 的模型被提出前，塑性變形為基礎之疲勞模型最常被使用，而以應力 為基礎之疲勞模型較不常見也較不準確。對大部分金屬而言，當操作 時絕對溫度達其熔點的30~50%，會發生潛變，則須以潛變變形為基礎 之疲勞模型。以能量為基礎之疲勞模型為一較新之模型且準確性也大 於 前 三 者 ， 主 要 是 考 慮 到 應 力 與 應 變 之 遲 滯 能 量 (Stress-Strain Hysteresis Energy)，最後以損壞為基礎之破壞理論是以破壞力學 (Fracture Mechanics)或潛變為基礎，所衍伸出來的模型。

2-4-1 塑性變形為基礎之數學模式[23]

用於低週數疲勞(Low Cycle Fatigue)，所謂的低週數疲勞是指疲 勞壽命週期小於 50,000~100,000 循環(Cycle)。

對大部分的金屬在低週數疲勞而言，將其應變和壽命之關係繪製 於對數-對數座標紙上(如圖 2-12)，會呈現線性關係，因此 Manson 和 Coffin 由實驗推出經驗公式，如下式：

f

(

f ^c

p 2N

2^ε =ε^′

)

Δ （2-81）

其中Δε_p 2為塑性應變振幅；2N_f為平均壽命週次；ε′_f 為疲勞延性係 數；

c

為疲勞延性指數。後兩者為材料的疲勞性質，一般金屬之

c

值

大約在-0. 5到-0.7之間。所謂的塑性應變振幅就是指在某段時間 內，材料受到膨脹與壓縮所會產生的塑性應變值，然後將這兩個應變 值相減，就會得到塑性應變振幅，如圖2-13所示。最後可藉由此關係 式得到可靠度壽命N_f會與Δε_p成反比關係。

Manson和Coffin所推導出來的經驗公式，僅考慮塑性變形，彈性 變形之影響小到可以忽略，若需考慮彈性變形則Basquin提出的彈性 加塑性變形的經驗公式如下式(圖2-14)：

( )

^b+ε

f f

( )

f ^c

f N N

E 2 2

2

ε σ^′ _′

Δ =

（2-81）

其中Δε 2應變振幅；σ′_f 為疲勞強度係數；

b

為疲勞強度指數。

在文檔中 高頻覆晶構裝之熱傳遞及可靠度分析 (頁 25-48)