4.2 FEM Model 之建立
4.2.1 控制方程式
任何連續性材料的機械行為皆受特定物理定律所控制。其中包含質量守 恆、動量守恆、能量守恆等。當材料受到外力或位移時，材料內部每一點的應力 和應變必須滿足下列三個基本方程式：
1. 平衡方程式(Equilibrium Equation)：
在靜力平衡時，材料中的每一點之外力總合必須為零，才能使材料保持在
2. 諧合方程式(Compatibility Equation)：
材料在受外力時，應保持原本的連續狀態，否則材料會產生孔洞、破壞，
甚至斷裂，因此必須滿足諧合方程式。
圖4.3 Equilibrium Stress Components
)
3. 構成方程式(Constitutive Equation)：
構成方程式可以用來描述材料的本質特性與其機械行為。黏彈性材料特性 包含了彈性項與黏性項兩部份。當材料受負載時，彈性項能夠馬上發生應變以回 應外界的負載；而黏性項的應變則與時間有關。
黏彈性問題可很容易地利用黏彈性類比(Viscoelastic Analogy)來分析［7］。
這是將黏彈性材料的構成方程式以彈性材料來類比。令σij為應力張量(Stress Tensor)，εij是應變張量(Strain Tensor)。此時，剪應力可表示成：
σ 其中σ 為平均或水壓應力(hydrostatic stress)
)
ε 為體應變(volumetric strain)
33
=0
e：deviatoric part of strain ε ：volumetric part of strain
) (t
G ：shear relaxation kernel function )
(t
K ：bulk relaxation kernel function t ：current time
t′：pass time I ：unit tensor
4.2.2 模擬條件的設定
圖4.4 有限元素分析模型
分析時模型之幾何形狀如圖4.4 所示，一開始尺寸的設定為 L=110mm、
H=30mm、D=5mm 與 L=110mm、H=40mm、D=5mm 兩種。拋光時玻璃以如圖 4.4 中的點 1、2、3、4 所圍成之底面與平台接觸。應力分析之邊界條件則是設定 為點1 固定，點 2、3、4 由於固定在平台上，其移動自由度在 y 方向是被限制住 的。在熱分析時用直接負載法將熱通量施加在元素上，所以元素之網格尺寸(mesh size)決定需與火焰移動速度 V mm/sec 相同，接下來便可以四邊形網格分割。網 格尺寸與火焰移動速度的優點是可以利用調整網格尺寸的大小，改變模擬時火焰 之熱通量在玻璃模型上的移動速度。以六面體網格分割的好處則是讓網格的位置 及編號有規則，方便接下來撰寫ANSY 參數設計語言(APDL)。網格分割完成後 便要選擇元素種類(Element Type)。在應力分析時，本研究選用有黏彈性特徵的 3-D 20-Node Visco 89 元素，此元素除了可以輸入黏彈性的特徵之外，也可以輸 入溫度當作Body Load，符合本論文以分析流程。Visco 89 元素之形式如圖 4.5 所示。
火焰移動速度,V
圖4.5 Visco 89 Element [資料來源：Ansys Documentation]
由於本論文在分析時所施加在模型上施加的熱負載，是將實驗使用的火焰 轉換成分析時的熱通量分佈。在火焰拋光時的孔列式噴嘴熱源火焰如圖4.6 所 示。由圖中可以看出，火焰直接打在玻璃的區域為一接近長方形的範圍，在此區 域中之火焰為中央焰區。另外，除中央焰區之外，由於火焰打在玻璃之後，氣體 仍有動量而使火焰會往兩旁擴散開，此區為側向焰區。此區之特徵為火焰之外形 分佈呈現如倒三角形一般，且在出現在中央焰區的兩側，彼此對稱。針對此種熱 源，本研究假設其熱通量分佈如圖 4.7 所示。先將玻璃受火焰加熱的區域作適當 的劃分，並依每一區塊的溫度高低、火焰外形與對稱關係置入其熱通量的權重 值。如此便可以將火焰轉換成分析時要施加的熱通量。
圖4.6 孔列式噴嘴熱源形狀示意圖
圖4.7 孔列式噴嘴熱源與熱通量關係(Flame Type 2)
在拋光時，若針對孔列式噴嘴熱源可以作調整，便可以改變中央焰區或側 向焰區之大小與比例。若僅以單孔將混合氣體噴出，就可以產生局部加熱的點熱 源的效果。若以先前的形式推想，便可以將點熱源形式之熱通量分佈求出。點熱 源的分佈如圖4.8 所示。點熱源在模型的中央施加，火焰移動的方向如箭頭所示。
圖4.8 單孔式噴嘴熱通量分佈(Flame Type 1)
此外，若在噴嘴與玻璃間加裝擋板，則可減小玻璃在加熱時，被火焰加熱 的側向焰區。若在理想狀況下，則可將側向熱區整個遮住，只剩下中央焰區。由 於中央焰區的熱通量很均勻，所以在模擬時將熱負載作如圖4.9 之比例，將僅有 中央焰區之火焰轉換成分析時的熱通量。
圖4.9 加入遮罩之噴嘴熱通量(Flame Type 3)
接下來便可輸入材料特性。在進行分析之前需先對欲求解之物理問題作一 些假設，本研究以有限元素法分析火焰拋光時，對玻璃的特性作了如下列之假設：
1. 玻璃是均質性(Homogenous)的材料。
2. 玻璃是等向性(Isotropic)的材料。
3. 應力分析時不考慮材料本身的重量。
4. 在拋光過程中，玻璃不產生破裂、氣泡等缺陷。
5. 假設玻璃在加熱時不產生流動。
6. 不考慮黏彈性體之內部磨擦。
玻璃的特性如第二章中表2.1 所示。玻璃之黏彈性參數參考文獻［8］中之 G-11 玻璃的黏彈性係數，並以現有之資料(表 2.1)加以修正。其中 C1、C2可由第 3.3.3 節內所述之步驟求出。鈉鈣玻璃的假溫度值假設為轉移域(475~535 )℃ 之平 均溫度。綜合以上之結果可得黏彈性材料參數如表4.1。
表4.1 玻璃於 ANSYS 分析時之黏彈性材料參數 Coefficients of volume decay function Cfi 6-11
0.077 Relaxation time of Maxwell element τfi 16-21
0.008 Thermal expansion of glass in liquid state 26 3.43E-7
83E-7 Thermal expansion of glass in solid state 31-32
0.02E-7
4.3 玻璃內應力分析個案
在計算溫度場時，本研究是以暫態方式模擬玻璃從火焰開始接觸時由0 秒 至300 秒範圍內玻璃的溫度場。有了溫度場結果之後，再以此溫度場結果，將每 間隔 10 秒之溫度場取出。利用此溫度分析結果作為應力分析之邊界條件，並依 照玻璃放置的方法，如前節所述之方式給予模型適當之拘束作為應力分析之邊界 條件。如此，便可計算出熱應變，再將熱應變轉換成所需要之熱應力。
本研究進行模擬之目的為了解玻璃在加工過程中之破裂可能發生區域，所 以在檢視模擬結果時應以脆性材料破裂發生之觀點考量。玻璃的破裂起始點皆由 表面開始，且導致玻璃破裂的原因幾乎皆由張應力所引起。所以在探討應力分析 結果時，可以取不同時間點之應力分佈，檢視其最大主應力之張應力結果。將這 些時間點之最大主應力值與應力發生的位置比較，便可了解玻璃可能發生破裂的 區域及位置。
圖 4.10~12 為個案 1 狀況下，玻璃溫度與內應力分佈圖。由圖 4.10(b)中的 最大主應力可發現玻璃在第 20 秒時，最可能破裂的區域為左側邊緣的位置。到 第 40 秒時，X 方向的應力增加，而 Y 方向的應力減少。此時最可能破裂的區域 則為玻璃的上邊緣處。X 方向應力的最大值會隨火焰移動，且落後火焰位置約 10mm。最後，在第 110 秒時，火焰要離開玻璃時，最可能破裂之區域則移至右側 邊緣處。
圖 4.13~15 為個案 2 狀況下，玻璃之溫度與應力分佈狀況。由圖 4.13 可發 現，此時玻璃左側邊緣的 Y 方向應力值與玻璃上側邊緣的 X 方向應力值很接近，
所以此時玻璃在此兩處之破裂機率也是相近的。到了第 40 秒時，X 方向的應力 值只稍稍增加，而 Y 方向的應力則減至原先之一半。如此時玻璃發生破裂，則最 可能的破裂區域應為玻璃上側邊緣。最後，等到火焰要離開玻璃時的第 110 秒 時，X 方向的應力值還是呈現一較穩定的值，而 Y 方向應力則稍稍增加。此時之 最可能破裂區域則為玻璃末端的上邊緣處。
所以，在各時間點之應力分佈中發生最大應力值的區域便可知道此區為該 時間點下之最可能破裂區。最後，連接利用各時間點之最大應力值，便可知道最 大應力值在拋光時之變化曲線，由此曲線變化便可得知玻璃在拋光過程中之可能 破裂時間與位置。
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.10 個案 1 在第 20 秒之溫度與應力
Max.Value=1194 ℃
Max.Value=421 MPa
Max.Value=113 MPa
Max.Value=421 MPa
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.11 個案 1 在第 40 秒之溫度與應力
Max. Value=1202 ℃
Max. Value=211 MPa
Max. Value=211 MPa
Max. Value=206 MPa
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.12 個案 1 在第 110 秒之溫度與應力
Max. Value=1202 ℃
Max. Value=384 MPa
Max. Value=194 MPa
Max. Value=384 MPa
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.13 個案 2 在第 30 秒之溫度與應力
Max Value=1179 ℃
Max Value=162 MPa
Max Value=153 MPa
Max Value=146 MPa
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.14 個案 2 在第 40 秒之溫度與應力
Max. Value=1197 ℃
Max. Value=179 MPa
Max. Value=169 MPa
Max. Value=74 MPa
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.15 個案 2 在第 110 秒之溫度與應力
Max. Value=1204 ℃
Max. Value=178 MPa
Max. Value=163 MPa
Max. Value=99 MPa
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.16 個案 3 在第 20 秒之溫度與應力
Max. Value=1199℃
Max. Value=192 MPa
Max. Value=144 MPa
Max. Value=192 MPa
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.17 個案 3 在第 30 秒之溫度與應力
Max. Value=1209 ℃
Max. Value=195 MPa
Max. Value=176 MPa
Max. Value=152 MPa
(a) Temperature
(b) 1st Principle Stress
(c) X-direction Stress
(d) Y-direction Stress 圖4.18 個案 3 在第 110 秒之溫度與應力
Max. Value=1211 ℃
Max. Value=235 MPa
Max. Value=189 MPa
Max. Value=235 MPa
五、玻璃內部應力之量測［1~4］
5.1 玻璃應力量測的重要性
玻璃在火焰拋光過程中受到火焰加熱而升溫，升溫範圍可達 1200℃以上，
在加熱過程中，因玻璃的溫度已經高於玻璃的轉移溫度，所以玻璃在冷卻之後在 其內部會有殘留應力的產生。殘留應力為人為導入。此時，玻璃兩表面之殘留壓 應力是否能達到平衡，對玻璃的強度有明顯的影響。若殘留應力能達到平衡，不 但不會造成玻璃的強度減弱，反而能使玻璃達到「強化」的效果。若玻璃之內部 應力分佈不當，則玻璃為使其內部應力往平衡的方向發展，便會產生應變(如圖 5.1)。
(a)冷卻時之溫度分佈
(b)冷卻結束後之內應力分佈
(c)內應力與應變之平衡結果 圖5.1 玻璃內部應力與變形關係［1］
由此可知，玻璃內部應力的分佈對其強度有很重要的意義。為得知火焰拋 光後玻璃試片內部應力的分佈，便需要量測拋光後的玻璃內部應力。由於玻璃的 可透光性，目前已知的非破壞性檢驗量測玻璃應力方法中，以光彈法較為理想。
在工業上，量測玻璃應力常用「邊緣應力量測儀」與「表面應力量測儀」
兩種，邊緣應力量測儀可以量測玻璃在厚度方向上的應力分佈，而表面應力量測 儀則可以量測玻璃表面的應力值。本研究便與台灣玻璃工業公司商借此兩台應力
兩種，邊緣應力量測儀可以量測玻璃在厚度方向上的應力分佈，而表面應力量測 儀則可以量測玻璃表面的應力值。本研究便與台灣玻璃工業公司商借此兩台應力