第二章 第二章
第二章 理論基礎 理論基礎 理論基礎 理論基礎
2.1 水理水理水理部分水理部分部分 部分
本研究以靜水壓為主要假設之三維動量方程式為基礎，採水平垂直分離演算 概念，分為水平二維方程式與流速差異量方程式(洪聖翔，2011)，並考量高含砂 水流造成的密度差與流變關係，建構高含砂水流水理模式。為能適當表達天然河 道不規則的幾何形狀，模式在水平方向採用正交曲線座標(orthogonal curvilinear coordinate)系統，如圖 2.1 所示，在垂直方向則採用 σ 座標系統(Blumberg and Mellor, 1983)，如圖 2.2 所示，如此能將不規則的計算區域轉換至矩形計算區域 求解，且能便利地處理渠道的側壁、自由液面及底床邊界。
2.1.1 三維三維三維方程式三維方程式方程式方程式
基於不可壓縮流之假設下，對那威爾-史托克司(Navier-Stokes)方程式取時間 平均後，控制方程式水平方向以正交曲線座標系統、垂直方向為卡式座標表示如 下：
連續方程式 連續方程式 連續方程式 連續方程式
2 1 1 2
(h u) (h v) (h h w) 0
ξ η z
∂ + ∂ + ∂ =
∂ ∂ ∂ (2.1)
動量方程式 動量方程式 動量方程式 動量方程式
ξ 方向：
2 2
0 ( ) ( , , , )
再利用萊布尼茲法則(Leibuniz rule)對深度方向積分，加上水面與底床運動邊 界條件(kinematic boundary condition)，並取深度平均，可得水平二維水理控制方 程式：
2 力；Tij為有效剪應力項(effective shear stress term)，包含層流剪應力(laminar shear stress)、紊流擴散(turbulent diffusion)與延散效應(dispersion)。
2.1.3 流速差異量方程式流速差異量方程式流速差異量方程式 流速差異量方程式
Horizontal Diffusion i
D D
Horizontal Diffusion i
D D
1 1 2 2
Horizontal Diffusion in T T T
Dh h
1 2 1
Horizontal Diffusion i T T T
Dh h
( )
牛頓兩種流體特性之主控參數，採用 O'Brien et al.(1993)提出之多項式流變關係計 算高含砂水流情況下之流變關係參數。流變關係主要作用於於二維水深平均動量=多項式流變關係之層流阻力係數，為底床糙度函數(O'Brien et al.,1993)。
紊流黏滯係數
Jobson and Sayre(1970) (type-II) ：
* (1 )
t U D
υ κ= σ −σ (2.29)
上列υt即為υH = +υ υl t與υV = +υ υl t中之υt。兩式所依據的假設，是水深遠小於渠
式(2.2)與式(2.3)之層流剪應力與紊流擴散效應採用 Boussinesq 之渦流黏性理 論簡化為：
2.1.5 邊界條件邊界條件邊界條件 邊界條件
而底床則採用 French (1986)之壁函數(wall function)經驗式：
( )
30 2床格網之厚度；ks為粗糙高度。
2.2 沉滓運移沉滓運移沉滓運移部分沉滓運移部分部分部分
沉滓運移部分在懸浮載、底床載分開求解概念下，求解懸浮載之質量傳輸 (mass transport)方程式、作用層連續方程式(active-layer continuity equation)、底床 連續方程式(bed-layer continuity equation)(謝德勇，2002)，其中懸浮載之質量傳輸 為三維控制方程式。由於本研究模式各項變數之間的空間關係較為複雜，包含懸 浮載(suspended load)濃度、懸浮載底床濃度、懸浮載向上與向下通量、底床載(bed load)、作用層(active layer)等，將各變數於深度方向之關係表示於圖 2.4。本研究 將沉滓運移計算分為懸浮載與底床載兩部分，以底床高程zb為分界。懸浮載運移
上式移流項部分藉由 sigma 座標轉換後，產生ω速度項，係以式(2.17)求解。 表粒徑懸浮載源(source of suspended load)。
2.2.2 高含砂水流高含砂水流高含砂水流與紊流高含砂水流與紊流與紊流輔助與紊流輔助輔助輔助關係式關係式關係式關係式
落淤速度落淤速度 落淤速度落淤速度
落淤速度(falling velocity)是沉滓在底床交換、流體中垂直方向移流之重要物 理機制，在分析高含砂水流懸浮載運移機制上，是本研究不可或缺之參數，常以 經驗公式推估之。一般而言，清水流中的沉滓落淤速度主要變數為粒徑 Dm，van Rijn(1984)蒐集整理不同粒徑區間(Dm)之落淤速度(wf)計算式如下：
( )
沉滓的群體沉降速度，Richardson and Zaki(1954)提出落淤速度之修正方法：(1 )
例較高的河川恐有適用性的問題。為能夠讓模式較能夠較合理反應天然河川之輸 砂行為，本研究蒐集高含砂水流條件下適用之底床載經驗公式，以利解析高含砂 水流底床載效應。
針對高含砂水流下情況下發展的底床載運移經驗式較少，目前僅蒐集到 Rickenmann (1991)提出相關經驗式，其底床載公式如下：
3 3.1 0.5 1.1
坡度包含陡坡(5%-20%)與 Meyer-Peter Muller 之緩坡數據。所採用粒徑數據，以 中值粒徑範圍而言，包含 Meyer-Peter Muller 之 0.4 mm 至 29 mm、Smart(1984)
砂能力概念，計算交換機制，
8 0.375 0.375
fh U
作用層源係由於母層(active stratum)頂面之升降而產生，當其下降時，
(1 ) [( ) ( )]
探討不同紊流擴散係數計算式對高含砂水流之影響，茲列出於文獻常見之經驗公 式如下：
van Rijn(1984)的拋物線-常數(parabolic-constant)分布:
*
van Rijn(1984)拋物線(parabolic)分布:
* (1 )
Rijn,1985)，此時則採用 Neumann 邊界條件，
Ca e在本研究引用莊巧巧(2011)之研究，其採用水利署(2008)、水利署(2011) 實驗數據，修正 Wright and Parker (2004)之經驗式，得到近底床濃度之經驗公式 如下：
2.04
, 2.04
0.0044 0.3
0.3 0.0044
u
3. 所採用之零方程紊流模式之主要假設是在渠寬遠大於水深、垂向流速分布 符合對數分布的情況，本研究假設其適用於高含砂水流流場與濃度計算。
4. 作用層源為沿用清水流情況下的計算方式，仍假設適用於高含砂水流當中。
5. 泥砂運移仍以連續方程式計算，忽略泥砂與水流的動量交換。
2.
(洪聖翔, 2011)
圖 2.1 正交曲線座標轉換示意圖
(洪聖翔, 2011)
圖 2.2 σ 座標轉換示意圖
y
x
η
ξ 正交曲線座標轉換
u為時間平均流速；u為水深平均流速；uɶ為流速差異量
圖 2.3 水深方向流速剖面示意圖
uɶ
uɶ u = + u ɶ u
u
z
圖 2.4 動床模式之懸浮載、作用層變數配置示意圖
( 1 ~ )
m
m M
β =
( 1 ~ )
s m
m M
β =
bm
q
u C
sm
E D
smD
Wan and Wang(1994)
圖 2.5 落淤速度修正係數與顆粒雷諾數關係圖 體積濃度(-)
0.01 0.1 1
指數m
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
particle size = 0.061mm particle size = 0.087mm