理論架構

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第三章 分析模型

第一節 理論架構

一、 隨機邊界法

（一） 基本模型

考慮一傳統縱橫資料計量經濟模型：

( ^; )

^vit

it it

y = f x

β

e

（3-1）

其中，i=1,2,…,N，t=1,2,…,T，y 為可觀察應變數，_it ^f

( )

 通常是生產函數、成本函 數或利潤函數，它是一個確定邊界（deterministic frontier），x 代表自變數，_it β 為待 估參數向量，亦稱為技術參數，e 代表自然指數，v 為隨機干擾項，可利用普通最_it 小平方法（ordinary least square，OLS），即可估計出參數向量β 。

在 單 一 投 入 與 單 一 產 出 生 產 函 數 的 假 設 下 ， 要 求

^{df x} ( ) ^{dx > 0}

^{以 及}

( )

2 2

0

d f x dx < ¹，建構出之生產函數邊界為「在該技術狀態下，不同投入數量所得 之最大生產量」。但是，在生產過程中若發生管理無效率（managerial inefficiency）， 導致實際生產量低於邊界產量，（3-1）式無法解釋此現象。可從（3-1）式減去一非 負隨機變數u ，以反映這種生產無效率，即 _it

1 嚴格而言，生產函數必須滿足四個性質：（1）非負性：f(x)為有限、非負之實數（2）弱必要性：

產出至少必須利用一個投入要素（3）x 為非遞減（單調性）：投入增加則產出必增加（4）凹向

（concave）x：產出隨投入以遞減速率增加。參見 Coelli、Rao、O’Donnell 與

Battese（2005）12-‧ 國

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( ^; )

^{vit uit}

it it

y = f x

β

e

⁻ （3-2）

（3-2）式即為隨機邊界生產模型，隨機干擾項v 與非負隨機項_it u 在文獻上合稱組_it 合誤差（composed error），通常假設兩者相互獨立，如圖 3-1 所示。

資料來源：本研究建構。

圖 3-1 隨機生產邊界

另外一個研究上常用的模型為成本函數（cost function），將迴歸模型（3-1）式 加入一非負干擾項u 並改寫為 _it

( ^; )

^{vit uit}

it it

y = f x

β

e

⁺ （3-3）

即為隨機成本邊界模型。其經濟意義為所觀察到的實際成本值均落於成本邊界函

0

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數

f x (

it

^;

β 上方，換言之，實際成本為最低的成本

) f x (

it

^;

β 再加上一干擾項

)

u ，如_it 圖 3-2 所示。

資料來源：本研究建構。

圖 3-2 隨機成本邊界

上述模型之估計，實證上會採用無分配法（distribution-free approach）與最大 概似估計法（maximum likelihood estimation），兩者之差異，僅在對於無效率項u_it 是否給予機率分配假設。常用的無分配法有修正的普通最小平方法（corrected ordinary least square，COLS）、修正的平均絕對離差（corrected mean absolute deviation，

CMAD）以及 Berger 與 Humphrey（1991）的厚邊界法（thick frontier approach，

TFA）等。

在最大概似估計法中，常用的無效率項分配假設有半常態分配、截斷常態分配、

0

‧

指數分配以及伽瑪分配（gamma distribution）等。

技術效率（technical efficiency，TE）的估計為利用隨機邊界法重要之結果，可

2 參見 Kumbhakar、Wang 與 Horncastle（2015）Appendix B。

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Stevenson（1980）提出截斷常態分配隨機邊界模型，為允許無效率項u 之分_it 配具有非零的平均數，即

( )

. . .

, 2 i i d

it u

u  N⁺ µ σ （3-6）

其中，

N

⁺

(

µ σ

^,

u²

)

為平均數µ 與變異數σ 之常態分配，並於 0 及以下部分截斷，即_u² 僅容許u_it ≥ 。值得注意的是，若令0 µ

= 0

，則該分配將變為半常態分配。截斷常 態分配在不同參數下之關係如圖 3-3 所示。

資料來源：本研究建構。

圖 3-3 截斷常態分配機率密度函數圖

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態分配，並假設無效率項之平均數µ 為外生變數（exogenous variables）的線性函_it 數，即

3 參見 Kumbhakar、Wang 與 Horncastle（2015）Appendix A。

‧

二、 共同邊界模型（meta-frontier model）

Hayami（1969）以及 Hayami 與 Ruttan（1970，1971）首次提出共同生產函數

（metaproduction function），其概念在於不同群組中的生產者，但由於某些因素的 限制（如：法規、環境、生產資源、相對投入價格等），只能採用該群組的生產技 術進行生產，而無法採用最佳生產技術－－共同生產邊界，群組生產邊界與共同生 產邊界之差距，稱為技術缺口（technology gap），由 Battese 與 Rao（2002）以及 Battese 、Rao 與 O’Donnell（2004）提出，透過群組技術效率與技術缺口比率

（technology gap ratio，TGR）的估計，獲得共同邊界技術效率（metafrontier technical efficiency，MTE）估計值，進而可以從事不同群組廠商生產效率之比較。

‧

‧

資料來源：Huang、Huang 與 Liu（2014）。

圖 3-4 共同邊界生產模型

整體而言，要找出共同生產邊界，其前置作業是要估計出各生產群組的生產邊 界，才能據以估計出 TGR 與 MTE。Battese、Rao 與 O’Donnell（2004）以及 O’Donnell、

Rao 與 Battese（2008）建議採用混合式兩階段估計法，第一階段針對每個群組，運 用隨機邊界法分別估計各群組特定生產邊界，第二階段將所有群組資料合併，改用

其中，「min」表極小化（minimize），「s.t.」表受限於（subject to）。式中採用估計

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的群組邊界

^ln f ^ˆ

t^j

( x

jit

^;

β 來代替真實的群組邊界，此外函數皆已取自然對數。為節

)

省篇幅，不列出極小化共同生產邊界與群組特定邊界平方和模型，有興趣的讀者請 參考 Battese、Rao 與 O’Donnell（2004）以及 O’Donnell、Rao 與 Battese（2008）。

採用數理規劃法所得之共同生產函數有存在三個缺點，第一、因其第二階段採 用數理規劃法，故所得之係數估計值不具有統計性質，雖然 Battese、Rao 與 O’Donnell（2004）提出以模擬（simulation）或拔靴法（bootstrap）得到係數估計值 的標準差，其統計性質仍然未知，無法進行顯著性檢定與區間推定。第二、數理規 劃法無法將隨機干擾項納入模型，找到的生產邊界屬於確定性邊界，故其估計結果 易受隨機因素影響。第三、不同群組廠商面臨不同的經營環境，數理規劃法無法考 慮外生環境因素對廠商生產效率的影響，處在優良環境與不良環境下的廠商一視 同仁，導致其估計結果不能正確反映各廠商的經營績效。

為了改善前述混合法之缺陷，Huang、Huang 與 Liu（2014）提出新的方法估 計共同生產邊界，主要差別在第二階段不採用數理規劃法，仍使用隨機邊界法估計 隨機共同生產邊界，上述混合法之缺點全部解決。

已知群組隨機邊界與共同邊界之關係為

( ) ( )

ln f

_t^j

x

_jit

;

β

= ln f

_t^M

x

_jit

;

β

− u

^M_jit （3-16）

因為群組隨機邊界未知，當我們估計第一階段的群組隨機邊界後，兩者之差異可表 為

( ) ( )

ˆ ˆ

ln f

_t^j

x

_jit

;

β

− ln f

_t^j

x

_jit

;

β

=

ε_jit

−

ε_jit

≡ v

^M_jit （3-17）

將（3-17）式代入（3-16）式，得到

( ) ( )

ln f ˆ

_t^j

x

_jit

;

β

= ln f

_t^M

x

_jit

;

β

+ v

^M_jit

− u

^M_jit （3-18）

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上式左方應變數為群組邊界估計值，

^ln f

t^M

( x

jit

^;

β 為共同邊界函數，

)

v^M_jit−u^M_jit構成 組合誤差項，故（3-18）式成為第二階段共同隨機邊界迴歸式，可利用最大概似法 估計之。

因為v 含有估計群組邊界的殘差^M_jit ε ，故僅可假設

ˆ

_jit v 服從平均數為 0 之漸進^M_jit 常態分配，其變異數不是常數，故不具有相同分配。另外，利用該法所得之估計式 又稱準最大概似（quasi-maximum-likelihood，QML）估計式，但所得之標準誤應以 White（1982）提出的「三明治」（sandwich-form）估計式估計，否則會得到有偏誤 的標準誤⁴。

簡 而 言 之 ， 兩 階 段 隨 機 邊 界 法 是 利 用 第 一 階 段 群 組 隨 機 邊 界 估 計 值

( )

ln f ˆ

_t^j

x

_jit

;

β ，做為第二階段的應變數，並成功地解決全部數理規劃法的問題。

在文檔中 金融監理制度對商業銀行利潤效率之影響--亞洲12國之實證分析 - 政大學術集成 (頁 17-27)