第三章 申請入學與考試分發的模型
第一節 申請入學
欲參加申請入學的學生必須要參加由大學入學考試中心舉行的學科能力測 驗，在考試過後，向其所欲申請的校系提出申請，每人至多可以申請五個校系。
台灣的申請入學和 1962 年由 Gale and Shapley 提出的大學入學許可問題類似。在 大學入學許可問題中，校系和學生都是行為者，他們各自有對於對方的偏好，因 此這是一個兩方的配適市場。本文中用大學來表示校系。
6如原住民、僑生、退伍軍人等。
一個大學入學許可問題包含：
兩方配適問題的結果被稱為配對。一個配對 : Sµ → 是一個函數，從學生C 的集合對應到大學的集合，沒有大學被分配超過其招生名額的學生。令 ( )µ s 表示 在一組配對µ下分配給 s 的學校，µ−1( )c 是一組學生的集合，其中的每個學生在
µ下被分配到大學 c。
在兩方的配適中，如果 1. )cPsµ(s 且µ−1( )c < qc；或
2. )cPsµ(s 且sPcs′ ，s′∈µ−1( )c 。
也就是如果學生 s 比較偏好大學 c 勝過在配對µ下分配給 s 的大學，且大學 c 尚 未額滿；或學生 s 比較偏好大學 c 勝過在配對µ下分配給 s 的大學，且大學 c 至 少偏好 s 於一個在µ下被分配到大學 c 的學生。如符合上述情況則可說一對 學 生－學校 (s, c)封鎖(block)一組配對。
定義一：若不存在一對學生－學校封鎖一組配對則該配對是穩定的。
Alcalde and Barberà(1994)證明了 Gale and Shapley 提出的學生最適穩定機制 不僅是穩定的，還可以防止策略的使用。當一個分配機制可以防止策略使用，表 示沒有任何一方可以藉由不實提報偏好而獲利。
學 生 最 適 穩 定 機 制 由 以 下 的 遞 延 接 受 演 算 法 (Gale-Shapley deferred acceptance algorithm)導出：
步驟 1：每個學生向他們的第一志願提出申請。校方依照他們的偏好順序，依序 指派席次給學生，將招生名額內的學生放入準錄取名單，其他學生則被拒絕。
步驟 k：每個在上一個步驟中被拒絕的學生繼續向他們下一個志願提出申請，校 方根據他們的偏好次序，將暫時錄取的學生和新申請的學生一起考慮，依序給予 席次，將招生名額內的學生放入準錄取名單，其他的學生則被拒絕。
當每個學生都在準錄取的名單上或是被每間大學拒絕，這個系統就結束。學校給 那些暫時錄取的學生入學許可，穩定的分配也達成。
台灣的學生根據個人的偏好排列所有的學校，學生就其符合申請資格且可以 接受的學校提出申請，在申請入學這個方案中，每個人至多申請五個學校。大學 考慮所有提出申請的學生，每間大學對於學生有一個偏好的排序，先刪去無論如 何都不會接受的學生，若剩餘的人數小於招生名額 q，則將所有剩餘的學生列入 正取名單，若剩餘的人數大於招生名額 q，則將排名前 q 名的學生列入正取，其 餘放入備取名單。
台灣的學生必須在偏好清單中，至多選出五個學校參與申請入學。我們可以 將學生提出申請的學校，視為由學生提出的偏好，其中當然也包括不進入大學這 個選項。某學生 s 的偏好可以是c P c P c ，也就是在這個階段，1 s 2 s 0 c 、1 c 是唯二他2 可以接受的學校。學校方面針對提出申請的學生，利用該校的偏好對學生排序。
可以預見地，學生有相當的誘因不依照他們的偏好去提出申請，因為學生可以接 受的校系很可能超過五個，要從可以接受的校系中選出五個，他們可能會選擇他 們認為比較有勝算的學校，也就是他們認為自己在某校會有比較好的排名，而申 請某校。例如學生認為和其他參加申請的學生相比，其在口試時有比較大的機會 可以勝出。因為是兩方的模型，學校方面也可以策略性地提出偏好7。Roth 指出 當大學的偏好是對應的，沒有任何穩定的配適過程使得真實提報偏好對大學來說 是佔優策略。
7Ergin and Sönmez(2006)證明了在兩方的 Boston 機制，學校依照真實的偏好來排列學生，是佔優 策略。而 Boston 機制和申請入學問題的主要差異在於，在學校選擇問題(school choice problem) 中，學校對於學生有一嚴格的優先順序(priority)而非偏好(preference)。優先順序通常受到法律的 限制，比如說是否住在學區內、是否有兄姐已在該校就讀。且學生對志願的排序會影響到被學校 率取的機會，而在申請入學則不存在這個問題。
(一) 94 學年度以前的機制
排在大學的偏好清單的第一位的學生是正取，後面依序為備取。由學生和大學的
單，s 會被2 c 拒絕，2 s 會被5 c 拒絕。此時4 s 已經被所有他提出申請的學校拒絕，2 的配對。Gale and Shapley 證明出學生最適穩定機制對學生來說至少和其他穩定 機制一樣好，Ergin(2002)間接證明了在考慮兩方的福利的情況下，兩方的配適任
向正取的學校報到，使得申請入學的機制無法順利進展。為解決這樣的窘境，我 們建議在出現循環時使用首位交易循環機制。
首位交易循環機制的運作方式如下：
步驟 1：指派一個計數器(counter)給每個學校，計數器追蹤該校有多少剩餘的席 次。一開始設定計數器相當於該校的容量。每個學生根據自己的偏好，向他最喜 歡的學校提出申請，每個學校向其最偏好的學生提出邀約。因為學生人數和學校 數都是有限的，因此最少存在一個循環。每個在循環中的學生被分配到他提出的 學校後移除，並且將該校的計數器減去 1，如果計數器已經為 0，則將該校移除。
步驟 k：每個剩餘的學生向剩下的學校中他最喜歡的學校提出申請；剩下的學校 向其最偏好的學生提出邀約。至少存在一個循環。每個在循環中的學生被分配到 他提出的學校，然後被移除。在循環中的學校的計數器減去 1，如果計數器歸零，
也將該校移除。
當每個學生都被分配到席次時，首位交易循環機制結束。
在上例中存在唯一的循環為：
依照首位交易循環機制，將c1分配給s1，將c 分配給2 s ，2 s1和s 都被分到他們最2 喜歡的學校。首位交易循環機制可以解決學生裹足不前的窘境，Abdulkadiroğlu and Sönmez(2003)指出首位交易循環機制雖然可以防止策略的使用，也可以達到
s1
c1
s2
c2
效率，但卻不是穩定的機制。由本例所引發的配對是穩定的，然而首位交易循環
設 ˆc 是正取學校中i s 最喜歡的，也就是說對於所有提出申請的學生，i s 排名前i
(二) 95 學年度後的機制
一志願。假如s1提出的志願僅c1一所大學，則c 產生了缺額，而2 s 是候補第一位，2 s 會被分到2 c ，此時2 c1也產生了缺額，因此將s1分配到c1。由上例可以了解到申 請入學所採用的機制存在著被操縱的可能。
(證畢)
在申請入學的第一階段中，大學藉由放榜的過程提出偏好，學生則提出可接 受的學校。在第二階段填寫志願的同時，學生顯示了對有錄取機會的學校的偏 好。大學在放榜的同時形同對學生提出邀約，由學生決定是否接受，錄取生若同 時錄取多所大學，且其正取志願序在備取的大學之前，則接受他最偏好的大學的 邀約，拒絕其他學校。若該錄取生的備取志願序在正取的大學之前，則暫時接受 正取大學中最偏好的一間，拒絕其他正取學校，直到該錄取生較偏好的備取大學 詢問其是否入學，此時該錄取生拒絕暫時接受的正取學校，接受較偏好的備取學 校的邀約；或是直到該備取學校額滿，他接受他最喜歡的正取學校的邀約。當大 學補足名額或是被所有的學生拒絕，此一過程結束。台灣的申請入學機制和由大 學提出邀約的遞延接受系統相同。在兩方的配適市場中，只要是穩定的配適結果 即可達到效率，因此台灣的申請入學新制是穩定的、效率的，但是存在著被操縱 的可能。
和過去的制度相較之下，如果學生最偏好的學校是正取的大學則沒有差異，
學生會去就讀該正取大學；如果學生比較偏好其獲得備取的大學，則新制使學生 不必犧牲就讀備取學校的機會以換取正取學校的入學資格，故 95 學年度以後使 用的機制會帶來穩定的結果。