台灣的大學入學制度經濟分析

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(1)國立中山大學經濟學研究所碩士論文. 台灣的大學入學制度經濟分析. 研究生：黃詩婷撰指導教授：劉楚俊博士. 中華民國九十六年六月.

(2) 謝. 辭. 這篇謝辭的開始象徵著兩年的碩士班生涯已經接近尾聲，兩年前獨自來到西灣，如今帶著滿滿的行囊和這裡道別。碩士論文得以完成，首先感謝我的指導教授劉楚俊老師這兩年來的細心指導，在論文的寫作過程中培養我獨立思考的能力以及嚴謹的研究態度。接著要感謝的是口試委員之一的童永年老師，由於老師的建議，我才能堂堂跨出論文寫作的第一步，也謝謝老師願意在課餘時間和我一起討論，每次的討論都使我獲益良多。因為我的個性比較容易緊張，在相處的過程中感謝以上兩位老師諸多的擔待以及包容。也感謝另一位口試委員陳思慎老師，在口試時給予寶貴的建議，使得本研究能夠更臻完備。. 在西子灣邊的歲月雖然短暫，卻留下了許多美好的回憶。在繁重的課業之中，因為有各位同學的陪伴，研究所的生活才能夠多采多姿。感謝奕瑄、鈺雯和宜璇這兩年的陪伴，因為你們，一個人來到高雄的我才不感到孤單寂寞。在論文遇到瓶頸的時候，感謝有冬威和瑪莎給我建議、聽我發牢騷。在這一年中，我也要感謝志同道合的好朋友俐君，總是為我加油打氣。此外，謝謝所秘秀燕姐和育萍姐的幫忙，我的碩士班生涯才能夠順利且圓滿的畫下句點。. 在這邊我還要感謝草屯扶輪社和中華扶輪教育基金會，因為草屯社各位 uncle 和 aunty 的推薦，我才能夠有機會獲得中華扶輪教育基金會獎學金，在沒有後顧之憂的情況下完成論文。因為扶輪，讓我的視野和心胸更加開闊。. 最後，我要謝謝博文從大學時代陪我這樣一路走來，在我低落的時候為我加油打氣，在我迷航的時候不假辭色的將我拉回正軌。最後的最後，我要感謝父母對我悉心的栽培和支持，也感謝我的姊姊和妹妹一路相挺、一起吃喝玩樂，因為有親情的支持，努力獲得的一切更有意義！. I.

(3) Abstract This paper extends respectively Gale-Shapley’s model and Balinski-Sönmez’s model to analyze the college admission problem and the student placement problem in the case of Taiwan.. Given the assumption that time is not considered as a critical. dimension of this issue, it is argued that Taiwan’s admission mechanism is in accordance with the criterion of the student optimal stable mechanism with number restriction.. As well, the outcome of Taiwan’s admission mechanism exhibits. features which are similar to that of the student optimal stable matching with number restriction. However, with regard to Taiwan’s student placement mechanism, it is demonstrated that inefficiency may prevail.. Keywords: college admissions problem, student placement problem, matching. II.

(4) 摘. 要. 本文的目的在於建立模型來說明台灣的大學入學制度現況，並加以研究分析。研究方法主要採用 Gale and Shapley 建立之大學入學許可問題，以及 Balinski and Sönmez 提出的學生配置問題，加以修正以貼近台灣的現實狀況，分別為申請入學問題和考試分發問題。結果發現：1. 在 94 學年度以前的機制下，不考慮時間限制的申請入學可能會產生循環的問題，我們建議使用首位交易循環機制來解決這個窘境。2. 在 94 學年度以前的機制下，不考慮時間限制且不存在循環的申請入學所產生的配對和學生最適穩定配對相同。3. 95 學年度之後的申請入學機制有可能被學生操縱。4. 在 95 學年度之後的機制下，甄選入學所產生的配對和大學最適穩定配對相同。5. 考試分發的機制和土耳其的大學入學機制相同，雖然是公平的，但是考慮學生單方的福利，考試分發的結果不是效率的。關鍵字：大學入學許可問題、學生配置問題、配適. III.

(5) 目錄. 第一章. 頁次. 緒論…………………………………………………………………….….1. 第一節. 研究動機………………………………………………………….….1. 第二節. 研究目的與方法………………………………………………….….1. 第二章. 文獻回顧……………………………………………………………….….3. 第三章. 申請入學與考試分發的模型……………………………………………..6. 第一節. 申請入學……………………………………………………………..8. 第二節. 考試分發……………………………………………………………20. 第四章. 結論與建議………………………………………………………………28. 參考文獻………………………………………………………………………….….30. IV.

(6) 第一章. 緒論. 第一節研究動機教育問題向來受到台灣民眾的重視，大學教育雖然不是義務教育，但是大學教育對於國家人才的養成以及學生的自我實現都是重要的一環。近年來，每年有超過十萬名的考生希望進入大學就讀，除了透過考試分發進入大學，也可以參加學校推薦和申請入學。 94 學年度的入學方案為大學多元入學改進方案，有 83,320 人參加個人申請，71,730 人參加學校推薦，考試分發則有 99,900 人參加，其中個人申請的錄取率為 14.59%，學校推薦的錄取率為 9.82%，而考試分發的錄取率則為 89.08%1，顯示大多數的考生依然是透過考試分發進入大學就讀。既然每年都有超過十萬人透過大學入學機制進入大學，我們想要了解這個機制是怎麼運作的，以及這個機制是不是公平的，其所引發的賽局存不存在一個佔優策略均衡，其所導致的結果是不是效率的，甚至有沒有什麼樣的方法可以使現行的機制達到柏瑞圖改進。本文主要以 96 學年度的大學入學機制為分析的對象，並且嘗試將本研究的結論延伸至其他升學考試。. 第二節研究目的與方法本文討論的主題是申請入學和考試分發。申請入學方面，主要參考 Gale and Shapley(1962)的大學入學許可問題。大學入學許可問題是一個兩方的配適問題 (two-sided matching problems)，也就是學生和大學兩方對於彼此都有各自的偏好，透過遞延接受的過程(deferred-acceptance procedure)所產生的配對(matching). 1. 資料來源：教育部統計處，教育統計摘要(95 年版)。 1.

(7) 是穩定的(stable)2配對。然而 Gale and Shapley 並沒有對申請的大學數量作一個限制，而在現實上台灣的學生至多可以申請五個校系。在分發入學方面，則是參考 Balinski and Sönmez(1999)對於土耳其大學入學機制的研究，他們將此問題稱為學生配置問題(the student placement problem)。學生配置問題是一個單方的配適問題，只有學生對學校有偏好，學校是學生消費的標的物(object)。土耳其的學生必須在考試前交出志願表，台灣的學生則是在考完試、收到成績單後才填志願，這是台灣和土耳其的制度的明顯差異之處。 Roth(1982a, 1985, 1989a)在 80 年代針對兩方的配適問題做了相當多的研究，除了兩方配適問題中最原始的婚姻問題，還包括大學入學許可問題和美國的實習醫生和醫院的配適問題。他認為婚姻的配適問題不等同於大學入學許可問題，並且利用賽局理論，對於模型和市場雙方的策略做了相當多的討論。本文的研究目的在於建立模型來說明台灣的大學入學制度的現況，並加以研究分析。研究方法主要採用 Gale and Shapley 建立之大學入學許可問題，以及 Balinski and Sönmez 提出的學生配置問題，並且加以修正以貼近台灣的現實狀況，分別為申請入學問題和考試分發問題。更進一步地，針對兩種機制的性質和優缺點、學生和大學的策略使用進行討論，以冀對配適市場有更全面性的了解。本文的章節安排如下，第一章為緒論，第二章為文獻回顧，第三章是模型，第四章為結論與建議。. 2. 當一個配對是穩定的，則表示該配對不會被任何一對行為者和個人封鎖。稍後在模型部分會做完整的定義。 2.

(8) 第二章. 文獻回顧. 近年來大學的入學管道逐漸朝向多元化的目標邁進。主要的入學管道除了沿用自聯考時代的考試分發，還包括推薦甄試和申請入學，而實施的細則每年略有不同。本研究以 96 學年度的大學入學方案作為模型設定的基礎。模型的設定主要參考大學入學許可問題和學生配置問題，故在進入模型的討論之前，先回顧相關主題的文獻，以助於了解整個模型的來龍去脈。. 配適問題自從 Gale and Shapley 發表了”College Admissions and the Stability of Marriage”一文後，引起了相當廣泛的討論。他們將兩方的配適問題從婚姻市場延伸至大學的入學許可問題。他們證明穩定的婚姻必定存在，並將以上的結果拓展至大學入學許可問題。此外，他們發現在遞延接受的系統下，每個申請者至少和在其他穩定的配對下一樣好。如果由申請者向大學提出申請，則遞延接受系統所產生的穩定配對對申請者來說是最適，稱為學生最適穩定配對(the student optimal stable matching)；相對地，若是由學校對學生提出邀約，則遞延接受系統所產生的穩定配對對大學來說是最適，稱為大學最適穩定配對(the college optimal stable matching)。. 爾後，在配適問題中，加入了賽局理論來討論兩方的策略。Roth(1982a)提出了配適市場中的不可能定理(the impossibility theorem)，不存在穩定配適機制使提報真實偏好對於任何行為者(agent)來說是佔優策略(the dominant strategy)。以婚姻市場來說，由男性求婚的穩定配對機制對所有的男性來說，提報真實偏好是佔優策略(對女方來說則否)。相對地，由女性提出求婚的穩定配對機制，提報真實偏好對女性來說是佔優策略。Gale and Sotomayor(1985b)發現當偏好是嚴格的且使用由男性求婚的穩定配對機制時，若存在超過一個穩定配對，對某些女性來說有誘因去誤報偏好。另外，Roth(1989a)證明在偏好的訊息不完全時，由男性求婚. 3.

(9) 的穩定配對機制可能會被男性集體操縱。他還證明在偏好的訊息不完全時，當使用由男性提出求婚的穩定配對機制，對所有的男生來說提報真實偏好是佔優策略，而任何沒有將真正的第一志願提報為第一志願的策略對女性來說是劣策略。. Roth(1985)指出大學入學許可問題不等同於婚姻問題，他有兩點重要的發現。其一為在大學入學許可問題中，每個學生皆偏好學生最適穩定結果於其他穩定結果，但是對應的結果並不成立，也就是說當大學的偏好是對應的(responsive preference)3，大學最適穩定結果對大學來說不再優於其他穩定配對。其二為在配適過程中，學生最適穩定結果使得真實提報偏好對於所有學生為佔優策略，但是當大學的偏好是對應的，沒有任何穩定的配適過程使得真實提報偏好對大學來說是佔優策略。婚姻問題是一個一對一的配適問題，而大學入學許可問題則是一個多對一的配適問題。Roth 在配適問題的貢獻，讓我們將婚姻問題的結論引用至大學入學問題時，擁有一個標準，不是所有由婚姻問題衍生出的定理都可以直接套用到大學入學許可問題。另外，Roth and Sotomayor(1989)證明當大學和學生對彼此都有嚴格的偏好，則大學對於那些在穩定配對之下可能被分配該校的學生集團有嚴格的偏好。. 然而兩方的配適問題不僅被運用在大學入學許可問題的討論，Roth(1984a) 發現美國的實習醫生和醫院的分配自 1951 年就使用 Gale-Shapley 的遞延接受系統。學生最適穩定配對在 1998 年美國的醫院-實習醫生市場的重新設計上扮演重要的角色(Roth(2002), Roth and Peranson (1999))。. Balinski and Sönmez 探討的對象是土耳其的大學入學制度，土耳其的大學入學制度是中央集權的。他們將土耳其的大學入學問題定義為學生配置問題，其和大學入學許可問題的主要差異在於：在學生配置問題中，大學是被消費的目標 3. 在配對 µ 中，我們以大學比較偏好的學生去置換 µ ′ 中大學不那麼偏好的學生，若大學對於分配. 結果偏好 µ 勝於 µ ′ ，則此偏好是對應的。 4.

(10) 物，而在大學入學許可問題中，學校是對學生有偏好的行為者。土耳其所採用的機制稱為多類別序列獨裁機制(multi-category serial dictatorship)，存在著許多缺陷。雖然該機制是公平的，但其既不能防止策略的使用，也不符合柏瑞圖效率 (Pareto efficiency)。他們對學生配置問題提出了另一個機制作為選擇，學生最適穩定機制，並且證明學生最適穩定機制是唯一的次佳機制。. 進入 21 世紀後，配適問題的討論範圍拓展到學校選擇(school choice)問題上，是針對美國公立學校作為討論的對象。Abdulkadiroğlu and Sönmez(2003)由機制設計的角度討論學校選擇問題。學校選擇問題和學生配置問題都是單方的配適問題，在學校選擇問題中，學校是要被消費的目標物而非行為者。在文中他們討論了兩種入學機制，分別是 Boston 機制和 Columbus 機制，然而這兩種機制都不令人滿意，所以他們另外提出兩個機制作為選擇，分別是學生最適穩定機制和首位交易循環機制(the top trading cycles mechanism)。兩種機制都可以防止策略的使用，但是學生最適穩定機制必須在穩定性和柏瑞圖效率作一個抉擇，而首位交易循環機制雖然是效率的，卻不是穩定的。此外，Abdulkadiroğlu, Sönmez and Roth(2005)參與了 2003 年至 2004 年紐約市立高中的配適機制設計，他們設計的新制執行的第一年，只有往年的百分之十的學生被分配到不在他們偏好清單上的學校。. Ergin and Sönmez(2006)討論了學校選擇問題中 Boston 機制下的賽局。因為學生提報的偏好順序會影響錄取的機率，所以家長和學生有誘因將比較有機會進入的學校提報為第一志願。他們提出由 Boston 機制引發的偏好顯示賽局的納許均衡結果(Nash equilibrium outcome)是穩定的。若學生真實提報偏好，Boston 機制的結果是效率的，但是真實提報偏好對學生來說卻很少是最好的選擇。因此，效率的損失是可以預見的，他們建議改用學生最適穩定機制以增加效率。. 5.

(11) 第三章申請入學與考試分發的模型在台灣的大學入學許可問題中，學生必須依序作幾個選擇。首先選擇參加學校推薦或是個人申請，或者兩者都參加，也可以兩種都不參加。如果獲得錄取須在期限內決定接受或是放棄。放棄或是沒有被錄取的學生可以和其他沒有參加甄選入學的學生一起參加考試分發。. 台灣的大學入學問題，可以分成兩個方案來討論。第一個方案稱為甄選入學，分為由學校方面提出人選的學校推薦和個人提出的申請入學。第二個方案為考試分發入學。. 學生考量自身的條件和在各方案的優勢及劣勢，自行選擇參與的方案。由學校提出人選的學校推薦方面，每個校系對於學生有不同的資格限制，如成績等等，由學校推薦合適的人選參加，但每個學生至多被推薦到一個校系。個人申請入學方面，每個學生至多可申請五個校系，大學可自行規定每個學生可以申請該校的一個系或者可以申請複數的科系。考生如果有意參加甄選入學，必須參加由大學入學考試中心舉行的學科能力測驗，推薦甄試須在參加考試前向學校提出，申請入學則是在考試後才提出。如果考生同時參加學校推薦和個人申請，針對同一大學校系只能擇一參加。. 學生如果沒有參加甄選入學，或是在甄選入學階段未被任何學校接受，可選擇參加指定科目考試(以下簡稱指考)。和傳統的聯考一樣，學生在接到成績單之後，上網登記分發志願，根據各校系的計分方式，依分數的高低決定是否錄取。. 6.

(12) 以下分別介紹各種入學方案的實施規則： (一)甄選入學 1. 學校推薦如果學生想要獲得學校推薦，除須符合該校系的資格外，還必須和其他符合資格且希望被推薦至相同校系的學生競爭。依照學校規模大小，每個學校對於每個校系可以推薦二到三名學生。每個學生就其欲就讀的校系，向學校提出志願，提出志願的學生必須符合其所提出的校系的推薦資格。假設該校針對單一校系可以推薦三個學生，若是該校希望獲得推薦的人數超過三名，通常比較學生的在學成績以為篩選標準，推薦成績最優秀的三名學生。針對同一校系，學生不能重複參加學校推薦和個人申請，必須擇一參加。. 2. 申請入學申請入學的資格為參加學科能力測驗且成績符合下列規定：(1)無一科為零級分，(2)校系要求之術科成績不得為零分。每個學生不能申請超過五個校系，且各大學得限制考生只能申請該校的一學系。. 不管是學校推薦或是個人申請，大學校系分成兩階段篩選學生。第一階段以學科能力測驗、術科考試來篩選。第一階段分為兩個步驟，一為檢定篩選，達到檢定篩選4的學生才能參加之後的倍率篩選5。通過第一階段的篩選，始能參加第二階段的指定項目甄試。各校系根據甄選總成績，訂定最低錄取標準，招生名額內為正取生，其餘為備取，若未達最低錄取標準，雖有名額依然不予錄取。個人申請和學校推薦的名額不得相互流用，若有不足額或放棄入學後的缺額，則納入分發入學的名額。. 4. 如校系訂有學科測驗檢定科目(含總級分)或術科檢定項目者，依其檢定標準先行篩選。檢定標準分為頂標、前標、均標、後標、底標等五種。 5 係指以某一學科(術科)或某幾學科(術科)之測驗級分數(含總級分)或分數，由倍率高者篩選至倍率低者，以篩選出某倍於預定招生名額之學生人數，參加指定項目甄試。 7.

(13) 95 學年度開始，參加甄選入學的學生在各校放榜後，如果有獲得正取或備取資格，必須於網路登記志願序，接受統一分發，每一錄取生至多分發一校系。. (二)分發入學有意參加分發入學的學生必須參加指考，符合報考資格的學生才能夠參加考試。接到成績單之後，學生必須在指定時間內上網登記志願，填寫志願後由大學考試入學分發委員會統一辦理分發。為簡單起見，我們不考慮特種生6的情況。每個學生至多可以填寫 100 個志願，依校系檢定(未達標準不予分發)以及指定科目考試和術科考試之採計及加權決定錄取的學生。. 推薦甄試需要取得學校推薦，並且在學科能力測驗前提出。如果學生偏好某校系，即使無法獲得學校推薦，也可以自行申請入學，因此我們的模型中暫時忽略學校推薦此一入學管道，我們將台灣的大學入學許可問題分為兩部分來談：申請入學和考試分發。. 第一節申請入學欲參加申請入學的學生必須要參加由大學入學考試中心舉行的學科能力測驗，在考試過後，向其所欲申請的校系提出申請，每人至多可以申請五個校系。台灣的申請入學和 1962 年由 Gale and Shapley 提出的大學入學許可問題類似。在大學入學許可問題中，校系和學生都是行為者，他們各自有對於對方的偏好，因此這是一個兩方的配適市場。本文中用大學來表示校系。. 6. 如原住民、僑生、退伍軍人等。 8.

(14) 一個大學入學許可問題包含： 1. 一個學生的集合 S = {s1 ,..., sn } ； 2. 一個大學的集合 C = {c1 ,..., cm } ；. {. }. 3. 一個名額的向量 q = qc1 ,..., qcm ； 4. 一組嚴格的學生偏好清單 PS = ( Ps1 ,..., Psm ) ， Psi 是學生 si 對大學的偏好關係，其中包含 no-college 這個選項；. 5. 一組嚴格的大學偏好清單 PC = ( Pc1 ,..., Pcn ) ，其中 Pci 是學校 ci 對學生的偏好關係，其中包含 no-student 這個選項。每個學生對 {C ∪ {c0 }} 有嚴格的偏好， c0 表示不進入大學的選擇。令 Rs 表示對學生來說至少一樣好的關係。也就是. cRs c ' ↔ cPs c′ 或 c ~ c′ ， ∀ c, c ' ∈ C ∪ {c0 } 。令 P− c = ( Pc )c∈C \{c} ， ∀ c ∈ C 。. 相對來說，每個大學對 {S ∪ {s0 }} 有嚴格的偏好，s0 表示不接受學生的選項。令 Rc 表示對大學來說至少一樣好的關係。也就是. sRc s ' ↔ sPc s′ 或 s ~ s′ ， ∀ s, s ' ∈ S ∪ {s0 } 。令 P− s = ( Ps ) s∈S \{s} ， ∀ s ∈ S 。. S 和 C 是固定的， ( PS , PC , q) 定義了大學入學許可問題。. 9.

(15) 兩方配適問題的結果被稱為配對。一個配對 µ : S → C 是一個函數，從學生的集合對應到大學的集合，沒有大學被分配超過其招生名額的學生。令 µ ( s ) 表示在一組配對 µ 下分配給 s 的學校， µ −1 (c) 是一組學生的集合，其中的每個學生在. µ 下被分配到大學 c。. 在兩方的配適中，如果. 1. cPs µ (s ) 且 µ −1 (c) < qc；或 2. cPs µ (s ) 且 sPc s ′ ， s ′ ∈ µ −1 (c) 。也就是如果學生 s 比較偏好大學 c 勝過在配對 µ 下分配給 s 的大學，且大學 c 尚未額滿；或學生 s 比較偏好大學 c 勝過在配對 µ 下分配給 s 的大學，且大學 c 至少偏好 s 於一個在 µ 下被分配到大學 c 的學生。如符合上述情況則可說一對學生－學校 (s, c)封鎖(block)一組配對。. 定義一：若不存在一對學生－學校封鎖一組配對則該配對是穩定的。. Alcalde and Barberà(1994)證明了 Gale and Shapley 提出的學生最適穩定機制不僅是穩定的，還可以防止策略的使用。當一個分配機制可以防止策略使用，表示沒有任何一方可以藉由不實提報偏好而獲利。. 學生最適穩定機制由以下的遞延接受演算法 (Gale-Shapley deferred. acceptance algorithm)導出：步驟 1：每個學生向他們的第一志願提出申請。校方依照他們的偏好順序，依序指派席次給學生，將招生名額內的學生放入準錄取名單，其他學生則被拒絕。步驟 k：每個在上一個步驟中被拒絕的學生繼續向他們下一個志願提出申請，校方根據他們的偏好次序，將暫時錄取的學生和新申請的學生一起考慮，依序給予席次，將招生名額內的學生放入準錄取名單，其他的學生則被拒絕。. 10.

(16) 當每個學生都在準錄取的名單上或是被每間大學拒絕，這個系統就結束。學校給那些暫時錄取的學生入學許可，穩定的分配也達成。. 台灣的學生根據個人的偏好排列所有的學校，學生就其符合申請資格且可以接受的學校提出申請，在申請入學這個方案中，每個人至多申請五個學校。大學考慮所有提出申請的學生，每間大學對於學生有一個偏好的排序，先刪去無論如何都不會接受的學生，若剩餘的人數小於招生名額 q，則將所有剩餘的學生列入正取名單，若剩餘的人數大於招生名額 q，則將排名前 q 名的學生列入正取，其餘放入備取名單。. 台灣的學生必須在偏好清單中，至多選出五個學校參與申請入學。我們可以將學生提出申請的學校，視為由學生提出的偏好，其中當然也包括不進入大學這個選項。某學生 s 的偏好可以是 c1 Ps c2 Ps c0 ，也就是在這個階段， c1 、 c2 是唯二他可以接受的學校。學校方面針對提出申請的學生，利用該校的偏好對學生排序。可以預見地，學生有相當的誘因不依照他們的偏好去提出申請，因為學生可以接受的校系很可能超過五個，要從可以接受的校系中選出五個，他們可能會選擇他們認為比較有勝算的學校，也就是他們認為自己在某校會有比較好的排名，而申請某校。例如學生認為和其他參加申請的學生相比，其在口試時有比較大的機會可以勝出。因為是兩方的模型，學校方面也可以策略性地提出偏好7。Roth 指出當大學的偏好是對應的，沒有任何穩定的配適過程使得真實提報偏好對大學來說是佔優策略。. 7. Ergin and Sönmez(2006)證明了在兩方的 Boston 機制，學校依照真實的偏好來排列學生，是佔優策略。而 Boston 機制和申請入學問題的主要差異在於，在學校選擇問題(school choice problem) 中，學校對於學生有一嚴格的優先順序(priority)而非偏好(preference)。優先順序通常受到法律的限制，比如說是否住在學區內、是否有兄姐已在該校就讀。且學生對志願的排序會影響到被學校率取的機會，而在申請入學則不存在這個問題。 11.

(17) (一) 94 學年度以前的機制學生在提出申請時，是個別對學校提出申請的，因此將哪間學校視為第一志願並不會影響錄取的機會，錄取與否是取決於大學方面對學生的偏好順序，和學生在正取和備取學校中所做的抉擇，學生必須在規定時間內完成報到。申請入學的機制乍看之下似乎和 Gale and Shapley 的學生最適穩定機制截然不同，但是他們實質上是相同的。假設沒有時間限制，申請入學的機制運作如下：在學生提出申請之後，學校經過一定程序的甄選之後放榜，此時學生可以觀察到學校的偏好，學生就有機會錄取的學校做選擇，所謂有機會錄取的學校是指至少有備取資格，直到所有沒有被配對的學生被所有備取的學校拒絕，這個過程結束。. 在 94 學年度以前，學生必須自行衡量在備取學校的錄取機會，為了保有入學資格，學生可能會被迫放棄比較沒有機會錄取的備取大學，去選擇不是那麼喜歡的正取學校，所以分發入學可能導致不穩定的結果。以下，我們設定一個簡化的例子。. 以下，我們假設有五個學生，和四間大學，每間大學有一個入學名額，而每個學生至多可以申請三家學校。也就是 S = {s1 , s 2 , s3 , s 4 , s 5 }， C = {c1 , c 2 , c3 , c 4 } ，. {. }. q = {q1 , q2 , q3 , q4 } = {1,1,1,1} 。學生的偏好清單 PS = Ps1 , Ps2 , Ps3 , Ps4 , Ps5 和大學的偏. {. }. 好清單 PC = Pc1 , Pc2 , Pc3 , Pc4 如. c1 Ps1 c2 Ps1 c3. s1 Pc1 s2 Pc1 s0 Pc1 s3 Pc1 s5. c1 Ps2 c2 Ps2 c0. s1 Pc2 s3 Pc2 s2 Pc2 s0 Pc2 s4. c2 Ps3 c1 Ps3 c4. s1 Pc3 s4 Pc3 s0 Pc3 s5. c2 Ps4 c3 Ps4 c0. s3 Pc4 s0 Pc4 s5. c1 Ps5 c4 Ps5 c3 12.

(18) 排在大學的偏好清單的第一位的學生是正取，後面依序為備取。由學生和大學的偏好中，我們可以發現 s1 同時被 c1 、 c2 和 c3 列為正取， s3 則被 c4 列為正取。假設學生的策略是，有正取的學校就去就讀正取的學校，如果被多間大學錄取，則選擇其中他最喜歡的一間去就讀，則結果為： ⎧ s1 s2 s3 s4 s5 ⎫ ⎬ ⎩c1 c2 c4 c3 c0 ⎭. µA = ⎨. 由於 s3 比較偏好 c2 勝於在 µ A 下被分配到的 c4 ，且 c2 也偏好 s3 勝於 s2 ，我們可以說 µ A 被 ( s3 , c2 ) 封鎖了，所以 µ A 是不穩定的。此時， s3 有誘因去偏離這個策略，因為他如果等待 c2 的候補機會，則會被分配到他比較喜歡的 c2 。因此有正取的學校就去就讀正取的學校這個策略並不是納許均衡策略。. 如果不存在時間的限制，s3 不需要急著接受 c4 的入學許可以確保自己的入學資格。他會等待 c2 的候補，因為他知道 s1 有可能會放棄 c2 的正取。在本例中， s1 會選擇就讀 c1 ，因此對 s3 來說「等待」這個策略弱優於「馬上接受」。若 s3 選擇等待，此時的配對結果為 ⎧ s1 s2 s3 s4 s5 ⎫ ⎬ ⎩c1 c0 c2 c3 c0 ⎭. µ A′ = ⎨. 因為 s3 選擇等待間接造成 s2 沒有被任何學校錄取和 c4 沒有收到任何他可以接受的學生，故 µ A ' R{S} / s2 µ A ，相對地， µ A′ R{C} / c4 µ A 。雖然 µ A′ 對 µ A 來說並非柏瑞圖改善，但 µ A′ 是一個穩定的結果。. 學生最適穩定機制的配對結果可由學生提出的遞延接受的演算法獲得。首先每個學生向他們的第一志願提出申請，其中 s1 、 s2 、 s5 的第一志願都是 c1 ，因為在 c1 的偏好清單中 s1 排第一位， s1 被放入準錄取名單。類似地， s3 被放入 c2 的準錄取名單。接著，其他學生向他們的第二志願提出申請， s4 被放入 c3 的準錄取名. 13.

(19) 單， s2 會被 c2 拒絕， s5 會被 c4 拒絕。此時 s2 已經被所有他提出申請的學校拒絕，故 s2 最終沒有被分配到任何一間學校。而 s5 繼續向他們的第三志願提出申請，因為 s5 不在 c3 可以接受的學生之中，他會被拒絕。此時 s5 被所有的學校拒絕，分配學生的系統到此結束，配對的結果為： ⎧ s1 s2 s3 s4 s5 ⎫ ⎬ ⎩c1 c0 c2 c3 c0 ⎭. µS = ⎨. 我們可以觀察到配對結果 µ S 和 µ A′ 是相同的。. 由申請入學引發的配對有很多可能的結果，視申請的學生的決定而產生不同的配對。Gale and Shapley 證明出學生最適穩定機制對學生來說至少和其他穩定機制一樣好，Ergin(2002)間接證明了在考慮兩方的福利的情況下，兩方的配適任何穩定的配對都符合柏瑞圖效率。舉例來說，若是配對結果由大學最適穩定配對移到另一個配對(不必是學生最適穩定配對)，雖然學生會比較喜歡新的配對，但是大學會覺得新的配對使他們的效用下降。在上例中，同時考慮學生和大學雙方的福利，若 s3 選擇等待 c2 的備取，其結果和學生最適穩定機制的結果相同，也就是這個結果不僅是穩定的且具有效率。. 儘管放寬了時間限制，台灣的申請入學機制仍然存在些許的問題：當循環. (cycle)8出現時，申請入學機制的運作將會停擺。我們用一個簡單的例子來說明當循環出現時會產生的問題。我們假設有兩個學生分別是 s1 和 s2 ，兩間大學為 c1 和 c2 ，每間大學有一個入學名額， s1 和 s2 皆申請了 c1 和 c2 ，其中 c1 Ps1 c2 、 c2 Ps2 c1 ，而 s2 Pc1 s1 ， s1 Pc2 s2 。換言之， c1 錄取了 s2 並將 s1 列為候補； c2 則錄取 s1 且將 s2 列為候補。在偏好為個人訊息時，雙方都會去等待候補的機會，然而因為沒有人會. 8. 循環是指不同的學校和不同的學生的一個排序的清單( c1 , s1 , c2 ,..., ck , sk )，其中 c1 最偏好 s1，s1. 最偏好 c2 ，而 sk 最偏好 c1 。 14.

(20) 向正取的學校報到，使得申請入學的機制無法順利進展。為解決這樣的窘境，我們建議在出現循環時使用首位交易循環機制。. 首位交易循環機制的運作方式如下：步驟 1：指派一個計數器(counter)給每個學校，計數器追蹤該校有多少剩餘的席次。一開始設定計數器相當於該校的容量。每個學生根據自己的偏好，向他最喜歡的學校提出申請，每個學校向其最偏好的學生提出邀約。因為學生人數和學校數都是有限的，因此最少存在一個循環。每個在循環中的學生被分配到他提出的學校後移除，並且將該校的計數器減去 1，如果計數器已經為 0，則將該校移除。步驟 k：每個剩餘的學生向剩下的學校中他最喜歡的學校提出申請；剩下的學校向其最偏好的學生提出邀約。至少存在一個循環。每個在循環中的學生被分配到他提出的學校，然後被移除。在循環中的學校的計數器減去 1，如果計數器歸零，也將該校移除。當每個學生都被分配到席次時，首位交易循環機制結束。. 在上例中存在唯一的循環為：. c2. s1. s2. c1. 依照首位交易循環機制，將 c1 分配給 s1 ，將 c2 分配給 s2 ， s1 和 s2 都被分到他們最喜歡的學校。首位交易循環機制可以解決學生裹足不前的窘境，Abdulkadiroğlu. and Sönmez(2003)指出首位交易循環機制雖然可以防止策略的使用，也可以達到 15.

(21) 效率，但卻不是穩定的機制。由本例所引發的配對是穩定的，然而首位交易循環機制可能會導致不穩定的結果。. 定理一：若不存在時間的限制且不存在循環，由申請入學所引發的配對和學生最適穩定配對是相同的。. 證明：我們只考慮學生提出的申請(不管其真正的偏好清單為何)，假設所有學生除了知道自己的偏好，也知道可以由接受正備取的過程中知道其他人的偏好。因為學校會公開放榜，所以所有的學生都知道學校公佈的偏好清單。放榜之後，學生知道自己是否被錄取、是否在備取名單上，同時也知道其他申請者的狀況。我們假設所有的學校一起放榜，因此不存在因為時間的差異的造成的誤判。令 cî 表示所有正取學校中 si 最喜歡的一所， ci 表示所有備的上的大學中 si 最喜歡的。如果. cî Psi ci，si 會接受 cî 的入學機會；反之若 ci Psi cî，則 si 會等後候補的機會。令 µ ( si ) 表示在學生最適機制中， si 被分配到的學校。. 先考慮 cî Psi ci 的狀況。 cî 是正取學校中 si 最喜歡的，表示在所有申請人中，. si 排名在前 qcî 。即使有人放棄而加入候補人選，那些新加入的人的名次必在 si 之後。其他情況不變下，在學生最適穩定機制中，學生依照偏好向學校提出申請。如果他不是被分到 cî 而是被分到他更偏好的學校 ci′ ，表示他還沒有向 cî 提出申請就被 ci′ 接受了，所以他沒有機會向 cî 提出申請，也就是在所有 ci′ 申請者中， si 排名前 qc ′ ，那麼 ci′ 應該是 si 可以錄取的學校最喜歡的一所，也就是說 cî 不是 si 在可 i. 以錄取的大學中最偏好的大學。若是 si 被分到他比較不喜歡的 ci′′，表示他在過程結束前被 cî 拒絕或是在向 cî 提出申請時沒有被放入準錄取名單。因為我們前面假. 16.

(22) 設 cî 是正取學校中 si 最喜歡的，也就是說對於所有提出申請的學生， si 排名前. qcî，所以 si 一定會被放入準錄取名單，且最後一定會被錄取！也就是 µ ( si ) = cî。. 再來考慮 ci Psi cî 的情形。因為 ci 是 si 能夠備取上的學校中最喜歡的一所，表示扣除了那些放棄正取以及不參與備取的人後， si 排名在前 qci 名。類似地，給定其他情況不變下，我們假設在學生最適穩定機制中， si 被分配到他比較偏好的. ci′ ，也就是說，表示 si 還沒有向 ci 提出申請就被 ci′ 接受了，也就是在所有 ci′ 申請者中， si 排名前 qc ′ ，那麼 ci′ 應該是 si 可以錄取的學校最喜歡的一所，也就是說 cî i. 不是 si 在可以錄取的大學中最偏好的大學，這樣違反我們先前的設定。若是 si 被分到他比較不喜歡的 ci′′，表示他在過程結束前被 ci 拒絕或是在向 ci 提出申請時沒有被放入準錄取名單。因為 si 沒有被 ci 錄取，所以表示在申請人當中至少有 qci 個人排名在 si 前面。而對這些錄取者來說，因為是在學生最適穩定配對下，這樣的結果對學生來說已經是穩定配對中最好的，也就是說他們沒有去就讀更好的學校的機會。那些放棄正取和備取的人，因為可以就讀比較前面的志願的學校，才會放棄 ci 。給定這樣的情況，這些人沒有機會向 ci 提出申請。所以如果 si 被分到他比較不喜歡的 ci′′ ，表示 ci 不是他備的上的學校。因此， µ ( si ) = ci 。. (證畢). 由前文可以了解到，94 學年度之前的機制的主要問題在於可能會導致不穩定的結果，不穩定的起因在於沒有足夠的時間讓考生做決策。如果能夠有一段「夠長」的時間讓考生觀察其他學生的選擇，去等待備取的機會，便能減少考生在正取和備取中的誤判。. 17.

(23) (二) 95 學年度後的機制 95 學年度開始，參加甄選入學的學生在各校放榜後，如果有得到正取或備取資格，必須上網填志願才能獲得入學許可。學生根據自己的偏好排列正取及備取的學校，上網提出志願。以下，我們將提出申請視為申請入學的第一階段，將填寫志願視為申請入學的第二階段。第二階段的運作方式如下：錄取單一學校的學生，正取生確定可以分發至該大學，備取生則在該校的正取生分發後如有缺額依序遞補；錄取生若同時錄取多所大學，如其正取志願序在備取的大學之前，則取其正取大學最優先志願分發，若其備取志願序在正取的大學之前，當該備取學校的正取生分發完畢後，如有缺額依序遞補，若該大學分發人數達招生名額，則不予分發至該大學。. 定理二：95 學年度後所採用的申請入學機制存在被操縱的可能。. 證明：我們假設有兩個學生分別為 s1 和 s2 ，兩間大學為 c1 和 c2 ，每間大學各有一個入學名額， s1 和 s2 皆申請了 c1 和 c2 ，其中 c1 Ps1 c2 、 c2 Ps2 c1 ，而 s2 Pc1 s1 ， s1 Pc2 s2 。換言之， c1 錄取了 s2 並將 s1 列為候補； c2 則錄取 s1 ，將 s2 列為候補。如果 s1 和 s2 皆依照真實的偏好來填寫志願， s1 會將備取的 c1 列為第一志願，正取的 c2 列為第二志願； s2 會將備取的 c2 列為第一志願，正取的 c1 列為第二志願。. 統一分發的過程是先將正取生分配完畢後再分配備取生。我們推測分發委員會將 s1 分配到 c2 ，並將 s2 分配到 c1 。因為 s1 和 s2 皆把真正的第二志願納入志願表當中，也就是對 s1 來說， c2 是可以接受的，對 s2 而言， c1 是可以接受的。根據. Roth(1989a)證明的結果，在由大學提出邀約的遞延接受系統中，學生真實提出第一志願是佔優策略，學生有可能虛報第二志願之後的偏好。在本例中，若是 s1 或. s2 在志願表中僅填寫真正的第一志願，則毫無疑問的，兩人都會被分配他們的第. 18.

(24) 一志願。假如 s1 提出的志願僅 c1 一所大學，則 c2 產生了缺額，而 s2 是候補第一位，. s2 會被分到 c2 ，此時 c1 也產生了缺額，因此將 s1 分配到 c1 。由上例可以了解到申請入學所採用的機制存在著被操縱的可能。. (證畢). 在申請入學的第一階段中，大學藉由放榜的過程提出偏好，學生則提出可接受的學校。在第二階段填寫志願的同時，學生顯示了對有錄取機會的學校的偏好。大學在放榜的同時形同對學生提出邀約，由學生決定是否接受，錄取生若同時錄取多所大學，且其正取志願序在備取的大學之前，則接受他最偏好的大學的邀約，拒絕其他學校。若該錄取生的備取志願序在正取的大學之前，則暫時接受正取大學中最偏好的一間，拒絕其他正取學校，直到該錄取生較偏好的備取大學詢問其是否入學，此時該錄取生拒絕暫時接受的正取學校，接受較偏好的備取學校的邀約；或是直到該備取學校額滿，他接受他最喜歡的正取學校的邀約。當大學補足名額或是被所有的學生拒絕，此一過程結束。台灣的申請入學機制和由大學提出邀約的遞延接受系統相同。在兩方的配適市場中，只要是穩定的配適結果即可達到效率，因此台灣的申請入學新制是穩定的、效率的，但是存在著被操縱的可能。. 和過去的制度相較之下，如果學生最偏好的學校是正取的大學則沒有差異，學生會去就讀該正取大學；如果學生比較偏好其獲得備取的大學，則新制使學生不必犧牲就讀備取學校的機會以換取正取學校的入學資格，故 95 學年度以後使用的機制會帶來穩定的結果。. 19.

(25) 第二節考試分發台灣的學生若是在甄選入學中落榜，或者是沒有參加甄選入學，想要進入大學的最後一個機會就是參加分發入學。欲參加分發入學的學生必須參加指考。指考包含若干個科目，例如國文、數學、英文、歷史等等。每個大學對學生的能力有不同的要求，他們利用學測的校系檢定和指考中各個科目成績的加權總和作為排列學生的標準。如果未通過校系檢定，則不會予以分發。以台大財務金融學系為例，該系要求學測的社會科和自然科都要達到均標，然後以國文成績和英文成績乘以 1.5 和數學成績乘上 2 的總分作為錄取的順序。若是遇上平手的狀況，依序比較數學成績、英文成績和國文成績，如果比較以上成績都無法分出高下而使錄取人數超出招生名額時，則增額錄取。因為平手的狀況不易出現，且即使平手，考生的權益也不會受損，因此我們假設不存在平手的情形。. 和 Gale and Shapley 的大學入學許可問題最大的差異在於：大學入學許可問題是一個兩方的配適市場，大學和學生都是行為者，而在台灣的分發入學中，只有學生一方是行為者，學生的考試成績和對學校的偏好決定了他們的錄取學校。. 台灣的分發入學和土耳其近期使用的多類別序列獨裁機制類似。土耳其的大學入學許可問題是中央集權的。大學是一種公共財，在分配學生的過程中沒有發言的權利。官方單位提供一個標準化的考試，包含了許多個科目，如數學、科學等等，不同的科系對學生有不同的要求，利用不同的科目的成績組合作為排列學生的標準，例如電機系利用數學和科學的成績去排列學生。每個大學依據其要求的成績獨立地排列學生，沒有任何學生被分配到一間以上的大學。每間大學有固定的招生名額，是事先決定的，以上所描述的特性都和台灣的分發入學雷同。台灣的分發入學和土耳其的多類別序列獨裁機制有一個明顯的不同之處在於：土耳其的學生必須在測驗之前送出他們的偏好給主管機關，而台灣的學生則是在考試. 20.

(26) 結束且收到成績單之後才送出志願表。使用於土耳其的機制雖然是公平的，但是並未達到柏瑞圖效率，也不能防止策略使用。那麼台灣的考試分發的情況又是如何？. 以下我們假借土耳其的學生配置問題的模型，來描述台灣的考試分發入學。. 1. 一個學生的集合 S = {s1 ,..., sn } ； 2. 一個大學的集合 C = {c1 ,..., cm } ；. {. }. 3. 一個名額的向量 q = qc1 ,..., qcm ； 4. 一組嚴格的學生偏好清單 PS = ( Ps1 ,..., Psn ) ， Psi 是學生 si 對大學的偏好關係，其中包含 no-college 這個選項；. 5. 一個考試科目的集合 T = {t1 ,..., tk } ； 6. 一個學生考試成績的清單 f = ( f s1 ,..., f sn ) 其中 f si = ( f sti1 ,..., f stik ) 是一個表示學生 si 在各種科目的考試成績的向量；. 7. 一個函數 t : C → T ，其中 t (c) 是大學 c 要求的科目。每個學生對 {C ∪ {c0 }} 有嚴格的偏好， c0 表示不進入大學的選擇。令 Rs 表示對學生來說至少一樣好的關係，也就是. cRs c ' ↔ cPs c′ 或 c ~ c′ ， ∀ c, c ' ∈ C ∪ {c0 } 。令 P− s = ( Ps ) s∈S \{s} ， ∀ s ∈ S 。. 假設在任何科目的成績都不存在平手，也就是. f sti ≠ f stj ， ∀t ∈ T ， si , s j ∈ S , si ≠ s j 。上面的假設隱含考試成績引發了一個對於學生的嚴格的排列。在本文中，S、C、. T、 t 是固定的，偏好、考試成績和名額定義了一個考試分發問題 ( PS , f , q) 。 21.

(27) 定義二9：若是沒有學生被分到比沒被分到任何學校更差的學校，則我們稱一組配對 µ 是個別理性的(individually rational)。也就是 µ 是個別理性的，若. µ ( s) Rs c0 ， ∀s ∈ S 。定義三：若有一個學生偏好大學 c 勝於分配給他的學校，而大學 c 的席次已經被填滿，則該分配 µ 是不浪費的(non-wasteful)。也就是說， µ 是不浪費的，若. cPs µ ( s ) 隱含 µ −1 (c) = qc ， ∀c ∈ C 。. 定義四：若沒有學生偏好 µ 勝於η ，且最少有一個學生喜歡η 勝於 µ ，則我們說η 柏瑞圖優於(Pareto dominate) µ 。η 柏瑞圖優於 µ 若. η ( si ) Rs µ ( si ) ,∀si ∈ S 且η ( s j ) Ps µ ( s j ) for some s j ∈ S 。 j. i. 在這個模型中，柏瑞圖效率隱含個別理性和不浪費。. 接下來的公平性的限制對於一個可接受的機制來說是必要的：分數比較高的學生應該被分配到他們比較偏好的學校。舉例來說，若是一個學生被分配到他的第三志願，且他的第一志願 c 是數學類的，他的第二志願 c 是科學類的。則沒有數學成績比他低的學生被分到 c，沒有科學成績比他低的學生被分到 c 。定義五：Balinski and Sönmez 對公平有以下的定義，一組配對 µ 是公平的若且唯若存在一組最低錄取分數 f* = ( f c1 ,..., f cm ) 滿足以下條件：. 1. µ ( s ) = c 隱含 f st ( c ) ≥ f c ， 2. f st ( c ) ≥ f c 隱含 µ ( s ) Rs c ， ∀s ∈ S and ∀c ∈ C 。. 9. 定義二至定義四使用 Balinski and Sönmez 在“A Tale of Two Mechanisms: Student Placement”一文的定義。 22.

(28) 在台灣的分發入學放榜的同時也會公佈各校的最低錄取分數，因此若是分發入學的結果是不公平的，可以輕易被學生發現，此時學生可以提出重新分發的要求。若是某種機制永遠選擇公平的配對則該種分配機制是公平的。公平對考試分發入學來說是最基本的要求。. 我們回到土耳其的學生配置問題和大學入學許可問題的討論。在大學許可問題中，除了學生，學校也是行為者，他們對學生有偏好，他們在表示偏好時，也可能使用策略。在學生配置問題中，大學只是學生消費的標的物，學生是唯一的行為者，也是唯一的策略使用者10。而柏瑞圖效率的定義視大學是否是行為者而定，這不表示在大學許可問題中的發現和學生配置問題不相關，相對地，他們在學生配置問題依然扮演關鍵的角色。我們將學生配置問題和大學入學許可問的關係延伸至台灣的分發入學，藉由以考試成績 t(c)為基礎的偏好關係 PC ，將分發入學問題 ( PS , f , q) 改寫為準大學入學許可問題 (associated college admission. problem ( PS , PC , q ) )。也就是， ∀ c ∈ C ， PC 可以定義如下： sPc s ↔ ft (sc ) > ft (sc ) ， ∀ s, s ∈ S 且. sPc s0 ， ∀ s ∈ S 其中 s0 表示 no-student 這個選項。. Balinski and Sönmez 證明了一個配對在配置問題是個別理性的、公平的且不浪費的唯有它在準大學入學許可問題中是穩定的。他們推論出兩個重要的衍生定理：. 1. 在大學入學許可問題中，若所有學校擁有相同的偏好，則存在唯一的穩定均衡。. 10. 大學在分配過程中雖然沒有干預的權利，但是可以透過採計的科目和加權的比例以及各方案入學的名額來反應他的偏好。 23.

(29) 2. 在配置問題中，柏瑞圖效率隱含個別理性和不浪費。. 在大學入學許可問題中，存在一個配對是最受到學生偏愛的，而這個配對對大學來說是最差的配對，我們稱之為學生最適穩定配對。反之，也有一個配對是最受到大學喜愛的，我們稱它為大學最適穩定配對。令 µ S ( PS , PC , q) 表示在大學入學許可問題中的學生最適穩定配對， µ C ( PS , PC , q) 表示大學最適穩定配對。學生最適機制在準大學入學許可問題中選擇了學生最適穩定配對。類似地大學最適機制在準大學入學許可問題中選擇了大學最適穩定配對。. 因為在現實中的土耳其大學入學許可問題中，公平是重要的限制，所以很自然的推測他所使用的機制也是公平的，我們稱此機制為多類別序列獨裁機制。令暫時的配置(tentative placement)為一個對應(correspondence) ν : S → C ∪ {c0 } ，沒有一間大學被分到比他的名額還多的學生。和配對不同，一個暫時的配置允許學生被分到多於一個的大學，一個暫時的配置不必要是一個配對(但是一個配對必然也是一個暫時的配置)。每一個分類 t 有一個總量的限制 q t = ∑ c {qc : t (c) = t}。. 多類別序列獨裁機制由下面迴歸的演算法(recursive algorithm)獲得，應用至各學生配置問題 ( PS , f , q) 。步驟 1、 ( PS1 , f , q ) = ( PS , f , q ) 。步驟 k、給定 ( PSk , f , q) ，. 1. 考慮一個分類 t 和一個在此分類由考試分數排列的名次。分配在分類 t 中的大學( c ∈ C : t (c) = t )給(最多 q t )有使用分類 t 的學生。也就是分配分類 t 中分數最高的學生至他的第一志願，接著分配分數次高的學生至剩餘的席次中該學生的第一志願，然後依序分配學生。在其他的分類重複相同的步驟。分配 c0 給所有沒有被. 24.

(30) 分配到大學的學生。以上的步驟形成了一個暫時的配置，因為有學生可能被分到一個以上的席次，稱之為暫訂的配置ν k 。. 2. 對於所有學生 s 由 Psk 建立一個偏好關係 Psk +1 。如果 s 沒有被分到任何學校，則 Psk +1 = Psk 。若 s 被分到一個或一個以上的學校，則藉由將 c0 排在 Psk 中最好的學校之後來定義 Psk +1 ，也就是在新的偏好關係中，對該名學生來說只有一個大學是可以接受的。大學對學生的排名沒有改變。令 PSk +1 = ( Ps1k +1 ,..., Pskn +1 ) 為新的偏好清單。當沒有學生被分到一個以上的學校，這個過程結束。多類別序列獨裁機制選擇這個最後的暫時配置，成為一個配對。將多類別序列獨裁機制表示為 ϕ D 。. Balinski and Sönmez 證明了土耳其的大學入學使用的機制和大學最適穩定機制是相同的。台灣的分發入學的結果也可以由同樣的過程獲得，不同的是台灣的考生在填寫志願的時候擁有較多的資訊。考試分發入學的結果和大學最適穩定配對的結果相同。. 至於分發入學的機制是否可以防止策略的使用，我們先看以下的例子。. 令 S = {s1 , s2 } ， C = {c1 , c2 } ， q = (qc1 , qc2 ) = (1,1) ， T = {t1 , t2 } ， t (c1 ) = t1 + t2 ，. t (c2 ) = t1 ，偏好清單 PS = ( Ps1 , Ps2 ) 和測驗成績 f = ( f s1 , f s2 ) 如下： c2 Ps1 c1 Ps1 c0. f s1 = ( f s1t1 , f s1t2 ) = (80,90). c1 Ps2 c2 Ps2 c0. f s2 = ( f st21 , f st22 ) = (90, 75). c1 依照 t (c1 ) = t1 + t2 來排列學生，所以 s1 排在 s2 前面；c2 只有採計 t1，則 s2 排在 s1 之前。依照分發的規則，結果為： ⎧ s1 s2 ⎫ ⎬ ⎩c1 c2 ⎭. µD = ⎨. 25.

(31) 另外，大學最適穩定配對為： ⎧ s1 s2 ⎫ ⎬ ⎩c1 c2 ⎭. µC = ⎨ 學生最適穩定配對為：. ⎧ s1 s2 ⎫ ⎬ ⎩c2 c1 ⎭. µS = ⎨. 若 s1 更改他填寫的志願，將他的志願改成錯誤的 c2 Ps1 c0 。在 c2 的排名中， s2 還是排在 s1 之前。此時， s2 在 c1 的排名是第一位(因為只有 s2 將 c1 列入志願表)。因為 s2 將 c1 列在第一志願，所以結果會變成： ⎧ s1 s2 ⎫ ⎬ ⎩c2 c1 ⎭. µ D′ = ⎨. 也就是因為 s1 的不實提報偏好，反而使兩個學生的效用都提高了， s1 成功的操縱配對的結果。. Balinski and Sönmez 認為土耳其的大學入學使用的機制既不能防止策略的使用也不是效率的。他們提出例子(和上例類似)來說明多類別序列獨裁機制是可以被操縱的，但是若學生不知道其他人的成績，也不知道其他人的偏好，此時學生無從計算如何提出志願才能夠增加效用。. 土耳其的學生在考試之前就必須送出志願表，所以學生在選填志願的時候不知道自己的考試成績，更別提及其他人的考試成績。而台灣的學生在選填志願時擁有比較多的資訊，考生除了清楚自己的考試成績，還擁有一些統計資料，如各種組合的成績人數累計表、去年各校系的錄取最低成績等等，學生可以從成績人數累計表去推算自己在某種成績組合中的排名，他們所不知道的是其他考生的偏好。因此，這是一個不完全訊息的賽局。. 26.

(32) Roth 認為兩方的配適問題中不完全訊息的賽局和傳統的不完全訊息的賽局的不同之處在於：學生知道自己被分到某個學校的效用是多少，儘管他不知道學校是什麼類型(type)的。然而考試分發問題並不是一個兩方的配適問題，由於學校不是行為者，自然沒有學校是什麼類型的問題，何況學生並不需要知道學校的類型。決定配對的結果是參與人的行動而非類型。. 由於考生至多可以提出一百個志願，因此不妨假設每個人權衡自己的考試成績後，考生可以接受的校系不超過一百個。也就是說，所有考生可以接受的學校都可以提出，不像在申請入學時，考生需要在可以接受的校系中作出取捨。. 我們之前提到土耳其的大學入學使用的機制和大學最適穩定機制是相同的，也推論台灣的分發入學和大學最適穩定機制是相同的，不同的是考生所擁有的資訊。由於分發入學是一個單方的配適，因此我們不需要去考慮大學方面的策略，僅需考慮學生提出志願的策略11。. 我們再回到上例，探討分發入學是否符合效率。在這個模型之中，不需要考慮到大學方面的福利，僅需考量學生的福利。由上例可以發現若將兩學生分發到他們的第一志願，結果不但是公平的，且柏瑞圖優於 µ D 。因為分發入學的所引發的配對和大學最適穩定配對相同，是所有穩定配對中學生最不喜歡的，除非學生最適穩定配對和大學最適穩定配對相同，否則分發入學所導致的配對結果必然存在效率的損失。因此，台灣的考試分發入學機制是公平的，但是可能會被操縱且不具效率。. 11. Roth(1989)證明由男方提出的穩定機制在不完全訊息下的配適問題中，男方的佔優策略是提出真實的偏好，而任何由女方提出策略是劣策略，如果她所提出的第一志願不是真實的第一志願。 27.

(33) 第四章. 結論與建議. 本文修改 Gale and Shapley 的模型為申請入學建立的模型，採用 Balinski and. Sönmez 為土耳其的大學入學所建立的模型來說明考試分發的實際情況，並獲得以下結論：. 1. 在 94 學年度以前的機制下，若不考慮時間限制，可能會產生循環的問題，我們建議使用首位交易循環機制來解決這個窘境。. 2. 在 94 學年度以前的機制下，若不考慮時間限制且不存在循環問題，申請入學所產生的配對和學生最適穩定配對相同。也就是申請入學所引發的配對具有學生最適穩定的性質，其結果是穩定的，且在考量校方和學生的福利下具有效率。. 3. 在 95 學年度之後的機制有可能被學生操縱。. 4. 在 95 學年度之後的機制下，申請入學所產生的配對和大學最適穩定配對相同。也就是申請入學所引發的配對具有大學最適穩定的性質，其結果是穩定的，且同時考量校方和學生的福利時，該配對符合柏瑞圖效率。. 5. 考試分發的機制和土耳其的大學入學機制相同，是公平的，但是可能會被學生操縱。由考試分發所引發的賽局是不完全訊息的賽局。因為考試分發的機制和大學最適穩定機制相同，考慮學生單方的福利，考試分發的結果不是效率的。. 本文未對學校推薦部分提出一個模型來解釋，因為其運作的方式和申請入學類似，其主要差異在於參加學校推薦時還不知道學科能力測驗的成績，只能根據對學科能力測驗成績的期望值來決定參加哪個學校的推薦甄試，也就是在做決策時兩者擁有的資訊是不相同的。因為針對同一校系學校推薦和申請入學只能則擇. 28.

(34) 一參加，所以學生在參加學校推薦時，除了需要對自己的成績有一個合理的預測，還要考慮針對同一校系參加申請入學是否比較有利。若給定學生提出的偏好，學校推薦和申請入學無明顯的相異之處。在 95 學年度後的新制下，參加甄選入學的學生無論是經由學校推薦或是個人申請錄取大學，都必須上網填寫志願序，接受統一分發。也就是在進入第二階段的填寫志願序時，兩種方案並沒有差別。所以甄選入學機制所引發的配對具有大學最適穩定配對的性質，結果是穩定的，且考量校方和學生的福利下具有效率。. 從本文的研究結果也可以解釋各校的研究所招生考試日期為何越來越早。各校為了招收到優秀的學生，紛紛將入學考試的日期提早。若是給予學生足夠長的時間去考慮是否接受入學許可，各校競相提早入學考試的歪風應可獲得抑制。. 學生在面對各種升學管道時，應該是具有前瞻性的，會同時考慮哪一種升學管道對自己比較有利，並由獲得的資訊(如考試成績)去修正自己的策略，所以之後可以藉由多期的賽局理論去分析學生的策略和均衡的結果。也可以延伸大學入學問題的結果去探討高中入學的機制和學生可能採用的策略。. 29.

(35) 參考文獻一、中文文獻大學招生委員會聯合會大學甄選入學委員會編，96 學年度大學甄選入學招生簡. 章彙編，嘉義：大學甄選入學委員會，2006 年。大學招生委員會聯合會大學考試入學分發委員會編，96 學年度大學入學考試入. 學分發招生簡章，台南：大學考試入學分發委員會，2006 年。黃詩婷、劉楚俊，台灣大學入學制度效率判準的評估，高雄：2007 年海峽兩岸經濟、產業、環境與管理青年論壇，2007 年。. 二、英文文獻 Abdulkadiroğlu, A. and T. Sönmez (2003), “School Choice: A Mechanism Design Approach”, American Economic Review, Vol. 93, No.3, pp. 729-747. Abdulkadiroğlu, A., Pathak, Parag A. and Alvin E. Roth (2005), “The New York City High School Match”, American Economic Review, Papers and Proceedings. Alcalde, J. and S. Barberà (1994), “Top Dominance and the Possibility of Strategy-Proof Solutions to Matching Problems”, Economic Theory, Vol. 4, No.3, pp. 417-435. Balinski, M. and T. Sönmez (1999), “A Tale of Two Mechanisms: Student Placement”, Journal of Economic Theory, 84, pp. 73-94. Ergin, Haluk I. (2002), “Efficient Resource Allocation on the Basis of Priorities”, Econometrica, Vol. 70, No. 6, pp. 2489-2497. Ergin, Haluk I. and T. Sönmez (2006), “Games of School Choice under the Boston Mechanism”, Journal of Public Economics, 90, pp. 215-237.. 30.

(36) Gale, D. and Lloyd S. Shapley (1962), “College Admissions and the Stability of Marriage”, The American Mathematical Monthly, Vol. 69, pp. 9-15. Gale, D. and Marilda A. Sotomayor (1985b), “Ms Machiavelli and the Stable Matching Problem”, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 4, pp. 261-268. Roth, Alvin E. (1982a), “The Economics of Matching: Stability and Incentives”, Mathematics of Operations Research, Vol. 7, No. 4, pp. 617-628. Roth, Alvin E. (1984a), “The Evolution of the Labor Market for Medical Interns and Residents: A Case Study in Game Theory”, The Journal of Political Economy, Vol. 92, No. 6, pp. 991-1016. Roth, Alvin E. (1985), “The College Admissions Problem Is Not Equivalent to the Marriage Problem”, Journal of Economic Theory, 36, pp. 277-288. Roth, Alvin E. (1989a), “Two Sided Matching with Incomplete Information about Others’ Preferences”, Games and Economic Behavior, Vol.1, pp. 191-209. Roth, Alvin E. and Marilda. A. Sotomayor (1989), “The College Admissions Problem Revisited”, Econometrica, Vol. 57, No. 3, pp. 559-570. Roth, Alvin E. and Marilda A. Sotomayor (1990), Two-sided matching: A Study in Game-Theoretic Modeling and Analysis, New York: Cambridge University Press. Roth, Alvin E. and E. Peranson (1999), “The Redesign of the Matching for American Physician: Some Engineering Aspects of Economic Design”, American Economic Review, Vol. 89, No. 4, pp. 748-780. Roth, Alvin E. (2002), “The Economist as Engineer: Game Theory, Experimentation, and Computation as Tools for Design Economics”, Econometrica, Vol. 70, No. 4, pp. 1341-1378.. 31.

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