第三章 申請入學與考試分發的模型
第二節 考試分發
台灣的學生若是在甄選入學中落榜，或者是沒有參加甄選入學，想要進入大 學的最後一個機會就是參加分發入學。欲參加分發入學的學生必須參加指考。指 考包含若干個科目，例如國文、數學、英文、歷史等等。每個大學對學生的能力 有不同的要求，他們利用學測的校系檢定和指考中各個科目成績的加權總和作為 排列學生的標準。如果未通過校系檢定，則不會予以分發。以台大財務金融學系 為例，該系要求學測的社會科和自然科都要達到均標，然後以國文成績和英文成 績乘以 1.5 和數學成績乘上 2 的總分作為錄取的順序。若是遇上平手的狀況，依 序比較數學成績、英文成績和國文成績，如果比較以上成績都無法分出高下而使 錄取人數超出招生名額時，則增額錄取。因為平手的狀況不易出現，且即使平手，
考生的權益也不會受損，因此我們假設不存在平手的情形。
和 Gale and Shapley 的大學入學許可問題最大的差異在於：大學入學許可問 題是一個兩方的配適市場，大學和學生都是行為者，而在台灣的分發入學中，只 有學生一方是行為者，學生的考試成績和對學校的偏好決定了他們的錄取學校。
台灣的分發入學和土耳其近期使用的多類別序列獨裁機制類似。土耳其的大 學入學許可問題是中央集權的。大學是一種公共財，在分配學生的過程中沒有發 言的權利。官方單位提供一個標準化的考試，包含了許多個科目，如數學、科學 等等，不同的科系對學生有不同的要求，利用不同的科目的成績組合作為排列學 生的標準，例如電機系利用數學和科學的成績去排列學生。每個大學依據其要求 的成績獨立地排列學生，沒有任何學生被分配到一間以上的大學。每間大學有固 定的招生名額，是事先決定的，以上所描述的特性都和台灣的分發入學雷同。台 灣的分發入學和土耳其的多類別序列獨裁機制有一個明顯的不同之處在於：土耳 其的學生必須在測驗之前送出他們的偏好給主管機關，而台灣的學生則是在考試
結束且收到成績單之後才送出志願表。使用於土耳其的機制雖然是公平的，但是
定義二9：若是沒有學生被分到比沒被分到任何學校更差的學校，則我們稱
9定義二至定義四使用 Balinski and Sönmez 在“A Tale of Two Mechanisms: Student Placement”一文 的定義。
在台灣的分發入學放榜的同時也會公佈各校的最低錄取分數，因此若是分發 入學的結果是不公平的，可以輕易被學生發現，此時學生可以提出重新分發的要 求。若是某種機制永遠選擇公平的配對則該種分配機制是公平的。公平對考試分 發入學來說是最基本的要求。
我們回到土耳其的學生配置問題和大學入學許可問題的討論。在大學許可問 題中，除了學生，學校也是行為者，他們對學生有偏好，他們在表示偏好時，也 可能使用策略。在學生配置問題中，大學只是學生消費的標的物，學生是唯一的 行為者，也是唯一的策略使用者10。而柏瑞圖效率的定義視大學是否是行為者而 定，這不表示在大學許可問題中的發現和學生配置問題不相關，相對地，他們在 學生配置問題依然扮演關鍵的角色。我們將學生配置問題和大學入學許可問的關 係延伸至台灣的分發入學，藉由以考試成績 t(c)為基礎的偏好關係P ，將分發入C 學 問 題 ( , , )P f q 改 寫 為 準 大 學 入 學 許 可 問 題 (associated college admission S problem (P P q )。也就是， S, C, ) ∀c∈C，P 可以定義如下： C
sP sc ↔ ft c( )s > ft c( )s ，∀ ,s s∈S 且
0
sP s ，c ∀ s∈S 其中s 表示 no-student 這個選項。 0
Balinski and Sönmez 證明了一個配對在配置問題是個別理性的、公平的且不 浪費的唯有它在準大學入學許可問題中是穩定的。他們推論出兩個重要的衍生定 理：
1. 在大學入學許可問題中，若所有學校擁有相同的偏好，則存在唯一的穩 定均衡。
10大學在分配過程中雖然沒有干預的權利，但是可以透過採計的科目和加權的比例以及各方案入 學的名額來反應他的偏好。
2. 在配置問題中，柏瑞圖效率隱含個別理性和不浪費。
在大學入學許可問題中，存在一個配對是最受到學生偏愛的，而這個配對對 大學來說是最差的配對，我們稱之為學生最適穩定配對。反之，也有一個配對是 最受到大學喜愛的，我們稱它為大學最適穩定配對。令µS(P P qS, C, )表示在大學
入學許可問題中的學生最適穩定配對，µC(P P qS, C, )表示大學最適穩定配對。學 生最適機制在準大學入學許可問題中選擇了學生最適穩定配對。類似地大學最適 機制在準大學入學許可問題中選擇了大學最適穩定配對。
因為在現實中的土耳其大學入學許可問題中，公平是重要的限制，所以很自 然的推測他所使用的機制也是公平的，我們稱此機制為多類別序列獨裁機制。令 暫時的配置(tentative placement)為一個對應(correspondence) ν : S → ∪C
{ }
c0 ，沒 有一間大學被分到比他的名額還多的學生。和配對不同，一個暫時的配置允許學 生被分到多於一個的大學，一個暫時的配置不必要是一個配對(但是一個配對必 然也是一個暫時的配置)。每一個分類 t 有一個總量的限制qt =∑
c{
qc: ( )t c =t}
。多類別序列獨裁機制由下面迴歸的演算法(recursive algorithm)獲得，應用至 各學生配置問題 ( , , )P f q 。 S
步驟 1、(P f qS1, , )=(P f qS, , )。
步驟 k、給定 (PSk, , )f q ，
1. 考慮一個分類 t 和一個在此分類由考試分數排列的名次。分配在分類 t 中的大 學(c∈C t c: ( )= )給(最多t q )有使用分類 t 的學生。也就是分配分類 t 中分數最高t 的學生至他的第一志願，接著分配分數次高的學生至剩餘的席次中該學生的第一 志願，然後依序分配學生。在其他的分類重複相同的步驟。分配c 給所有沒有被0
分配到大學的學生。以上的步驟形成了一個暫時的配置，因為有學生可能被分到 Balinski and Sönmez 證明了土耳其的大學入學使用的機制和大學最適穩定機制 是相同的。台灣的分發入學的結果也可以由同樣的過程獲得，不同的是台灣的考
另外，大學最適穩定配對為：
Balinski and Sönmez 認為土耳其的大學入學使用的機制既不能防止策略的 使用也不是效率的。他們提出例子(和上例類似)來說明多類別序列獨裁機制是可
Roth 認為兩方的配適問題中不完全訊息的賽局和傳統的不完全訊息的賽局 的不同之處在於：學生知道自己被分到某個學校的效用是多少，儘管他不知道學 校是什麼類型(type)的。然而考試分發問題並不是一個兩方的配適問題，由於學 校不是行為者，自然沒有學校是什麼類型的問題，何況學生並不需要知道學校的 類型。決定配對的結果是參與人的行動而非類型。
由於考生至多可以提出一百個志願，因此不妨假設每個人權衡自己的考試成 績後，考生可以接受的校系不超過一百個。也就是說，所有考生可以接受的學校 都可以提出，不像在申請入學時，考生需要在可以接受的校系中作出取捨。
我們之前提到土耳其的大學入學使用的機制和大學最適穩定機制是相同 的，也推論台灣的分發入學和大學最適穩定機制是相同的，不同的是考生所擁有 的資訊。由於分發入學是一個單方的配適，因此我們不需要去考慮大學方面的策 略，僅需考慮學生提出志願的策略11。
我們再回到上例，探討分發入學是否符合效率。在這個模型之中，不需要考 慮到大學方面的福利，僅需考量學生的福利。由上例可以發現若將兩學生分發到 他們的第一志願，結果不但是公平的，且柏瑞圖優於µD。因為分發入學的所引 發的配對和大學最適穩定配對相同，是所有穩定配對中學生最不喜歡的，除非學 生最適穩定配對和大學最適穩定配對相同，否則分發入學所導致的配對結果必然 存在效率的損失。因此，台灣的考試分發入學機制是公平的，但是可能會被操縱 且不具效率。
11Roth(1989)證明由男方提出的穩定機制在不完全訊息下的配適問題中，男方的佔優策略是提出 真實的偏好，而任何由女方提出策略是劣策略，如果她所提出的第一志願不是真實的第一志願。