4. 數值結果
4.2 百慕達利率交換選擇權…
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4.2 百慕達利率交換選擇權
延續4.1.1模型校準的結果，此章節將進行百慕達利率交換選擇權的評價，待 評價的百慕達利率交換選擇權的商品內容為，名目本金1000，可履約時間點的相 關資訊為1年後有權利進入10年期的利率交換、2年後有權利進入9年期的利率交 換、……、9年後有權利進入2年期利率交換、10年後有權利進入1年期利率交換，
若進入利率交換後為付固定利率方，交換立率的履約價格有價內(3.5%)、價平 (4.5%)與價外(5.5%)三種，蒙地卡羅模擬路徑數為5000次。
表4.2.1中，括號外面的數字為蒙地卡羅法的商品價格，括號內為商品價格 的標準差。
96.00%
97.00%
98.00%
99.00%
100.00%
101.00%
102.00%
103.00%
104.00%
105.00%
106.00%
107.00%
Strike=3.5(ITM) Strike=4.5(ATM) Strike=5.5(OTM) 圖4.2.1百慕達利率交換選擇權價格
Formulation1 Formulation2 Formulation3 Formulation4
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此篇論文得到與英文文獻[12]類似的結果，百慕達利率交換選擇權的價格在 不同模型下的差異約在0~6%。價外選擇權價格差異較大的原因為，標的資產價 格在履約價之內或外的差別較大，因此不同模型模擬路徑的差異就造成了價外選 擇權價格變動影響較大。而公式1、2得到的價格幾乎都比公式3、4大，這是因為 波動度型式的關係，由於3與4是簡單假設波動度型式，因此比起3與4，1與2更能 捕捉到市場波動度的變化，因此波動度較大，商品價格也就較大，而相關係數模 型的設定方面就比較沒有這種趨勢，此結論與英文文獻[12]相同，波動度型式選 取的重要性比相關係數型式選取的重要性來得重要。
就模型選擇的建議上，若只考慮經濟解釋與統計精準而言，此篇論文建議模 型1，其波動度型式與相關係數型式就經濟意義上都較能貼近市場資料，而校準 結果也顯示公式1的總平方誤差和為最小，但值得一提的是校準與評價時間，公 式1的校準時間約為公式2的1.5倍，而公式1與2的時間都比3與4高上許多。
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第五章 敏感度分析與風險值實證
此章延續第四章所算出來的百慕達利率交換選擇權的價格進行風險管理分 析，5.1 節將使用相同於第四節的資料進行敏感度分析與避險探討，敏感度分析 的部分將會把實際的值計算出來，而避險的部分將只介紹如何利用其他金融商 品進行避險管理；5.2 節將使用相同於第四節的資料進行風險值的計算，如 3.8 節所述，此節使用歷史模擬法來計算百慕達利率交換選擇權之風險值(Value at Rsik)。
5.1 敏感度分析與避險探討
此章節將進行百慕達利率交換選擇權的敏感度分析，百慕達利率交換選擇權 的商品內容為，名目本金1000，可履約時間點的相關資訊為1年後有權利進入10 年期的利率交換、2年後有權利進入9年期的利率交換、……、9年後有權利進入2 年期利率交換、10年後有權利進入1年期利率交換，若進入利率交換後為付固定 利率方，交換立率的履約價格有價內(3.5%)、價平(4.5%)與價外(5.5%)三種，蒙 地卡羅模擬路徑數為5000次。
如 3.7 節所述，此篇論文讓所有在結束日期前的遠期利率都上升 10BP(Basic Point)，計算它的價格變化，結果如下表所示：
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探討價格變動的原因主要有二，一為遠期利率上升會使得殖利率曲線整體 的向上移動，因此會影響評價過程的折現步驟，若其他條件不變，則折現後的 現值會降低；二為因為此百慕達利率交換選擇權若履約進入利率交換是付固定 利率方，因此在履約價格固定下，若整體遠期利率變高會使此商品更有機會進 入價內，因此商品的價格會提高。綜合兩個因素，從表 5.1.1 的結果來看，不論 是價內、價平或價外，第二原因的影響來得比第一原因的影響大，造成價格都 往上漲，但是價內(K=3.5%)的漲幅較價平(K=4.5%)的漲幅大，而價平(K=4.5%) 的漲幅又比價外(K=5.5%)的漲幅大。需要注意的是此處只分析的商品是履約後 進入利率交換後是付固定利率方，因此第二原因才讓商品價格上漲，弱勢進入 付浮動方，則會使得商品價格下跌，而下跌的幅度則需要進一步計算，但是方 法卻都相同。
波動度的敏感度分析方面，因為此篇論文為市場利率模型，因此可以準確 計算每個交換利率波動度變動對百慕達利率交換選擇權價格變化的影響，如 3.7 節所述的方法，下表則為實際值的計算，衡量在歐式利率交換選擇權的波動度 改變 1%下，百慕達利率交換選擇權的價格變動：
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從上表可以看出各個隱含波動度變動 1%後對百慕達利交換選擇權價格的 影響都在 0.1 上下，但是卻沒有發現一個趨勢，下表為讓所有遠期利率同時變 動 1%的價格變動結果：
就金融機構發行此商品而言，若要達到無風險則有兩個風險需要規避，其 一為波動度風險，此部分可就表 5.1.2 來做，首先計算對角線上的各個歐式利率 交換選擇權的 Vega 值，算出後便能與表 5.1.2 相對應，利用這 10 個歐式利率交 換選擇權做反向的部位，其各個數量為使得發行出去的百慕達利率交換選擇權 之 Vega 值等於歐式利率交換選擇權的 Vega 值，如此便能避掉波動度風險；此 時金融機構的部位內已經有用來避波動度風險的歐式利率交換選擇權投資組合，
而這些用來避險的工具本身也會受遠期利率的變動影響，因此計算完這組投資 組合受遠期利率變動影響的總值後，再根據表 5.1.1，利用最近期開始的利率交 換來補上其中的差距，如此便能完成遠期利率變動的風險，實務上，避險方可 以參考本身對未來遠期利率走勢的看法，計算個別或數個遠期利率變動造成的 影響，然後在公司的目標與願意承擔的風險下規避其認為該避的風險，而不必 像此篇論文一樣假設平行移動，這也是為什麼對金融機構來說，交易員對未來 經濟情勢的看法很重要的原因。
5.2 風險值
百慕達利率交換選擇權的商品的契約內容與 5.1 節的敘述都相同，評價日
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為 2004 年 8 月 11 日，因此就歷史模擬法的數量，採用 2004 年 8 月 11 日之前 221 天(排除假日)的歐式利率交換市場波動矩陣與遠期利率資料，進行 221 次校 準與評價，得到 221 筆的價格與 220 筆的利潤與損失(Profit & Loss, P&L)，而 後進行排序(Rank)便能得到相對應的風險值，如下表所示，表 5.2.1 為價格變動 的次數分配表，表 5.2.2 為報酬率的次數分配表：
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風險值的計算，便能根據上表選擇一定的信賴水準來得到，如下圖所示，
同時表 5.2.1 則列出實際數值的結果：
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第六章 結論
隨著金融商品日新月異，有浮動利率的公司債出現，若此公司債又有提早 贖回的性質，則發行公司債的公司用來避險的工具將不是普通的利率交換，而 是可取消利率交換，此篇論文便是為了解決可取消利率交換的評價問題與金融 機構隨之而來的風險管理問題。此商品其實可以拆解成普通的利率交換加上一 個百慕達利率交換選擇權，在契約訂定日時，利率交換基本上是不需要付費，
因此其商品價格決定於百慕達利率交換選擇權，而此商品因為有提早履約的特 性，造成其封閉解不存在，必須仰賴數值方法來求解，此篇論文即以 Longstaff and Schwartz(2001) 的 最 小 平 方 蒙 地 卡 羅 法 來 評 價 ， 選 擇 的 利 率 模 型 為 BGM(1997)的市場利率模型。
市 場 利 率 模 型 的 波 動 度 與 相 關 係 數 結 構 則 參 考 Brigo 與 Steffen Hippler(2008)的模型假設共分成 4 組來評價，而模型的參數有別於歷史估計法，
此篇論文利用 Rebonato’s Formula 來校準歐式利率交換選擇權的市場報價，使 用的校準方法則為 Lvov(2005)的對角遞迴校準。較多參數的模型其校準後的配 適程度較好，由於公式 1 與 2 的波動度期間結構比公式 3 與 4 的結果貼近市場，
且公式 1 與 2 的價格都比公式 3 與 4 大，因此波動度的參數型式選擇是很重要 的因素之一，貼近市場的型式較能反映出真實市場的價格；而相關係數參數型 式的選取則較沒有此現象。若單考慮數學上的配適程度與參數的經濟意義，則 公式 1 是最好的，但其耗費較長的電腦運算時間是實務上運用時需要考慮的一 點。
而在算得百慕達利率交換選擇權的價格後，只要再加上利率交換的價格，
便能得到可取消利率交換的理論價格，由於利率交換的價格非常好計算，整個 可取消利率交換的評價重點便是在百慕達利率交換選擇權的評價上。
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此商品的價格變動因素還是以標的資產利率交換的報價為主要因素，交換 利率的波動度影響則是其次，就金融機構的避險方法而言，可以使用終止日與 百慕達利率交換選擇權相同的歐式利率交換選擇權來避波動度風險，其數量則 取決於各自 Vega 值的平衡，而後再利用最近到期的利率交換來避利率風險。最 後此篇論文透過理論方法說明與市場資料，進一步探討敏感度分析且採用歷史 模擬法估計了商品的風險值與條件風險值。
對於後續的研究發展與建議，若能在利率模型中加入跳躍過程(Jump Model)，相信更能捕捉到市場上的利率變動情況，而其造成的價格差異也有待 進一步的探討或者能探討不同期間與不同到期日的百慕達利率交換選擇權投資 組合的風險值。另一方向可考慮利用其他利率的無套利模型來評價，而由於此 百慕達利率交換選擇權的價格受數個遠期利率的影響，因此預期單因子的無套 利模型，像是 Hull and White 單因子模型的評價結果可能沒有二因子的無套利 模型，像是 G2++模型來得好，而其差異也有待進一步探討，甚至是眾多利率 模型對百慕達利率交換選擇權的評價結果差異也很值得一探究竟。上述為模型
對於後續的研究發展與建議，若能在利率模型中加入跳躍過程(Jump Model)，相信更能捕捉到市場上的利率變動情況，而其造成的價格差異也有待 進一步的探討或者能探討不同期間與不同到期日的百慕達利率交換選擇權投資 組合的風險值。另一方向可考慮利用其他利率的無套利模型來評價，而由於此 百慕達利率交換選擇權的價格受數個遠期利率的影響，因此預期單因子的無套 利模型，像是 Hull and White 單因子模型的評價結果可能沒有二因子的無套利 模型，像是 G2++模型來得好，而其差異也有待進一步探討，甚至是眾多利率 模型對百慕達利率交換選擇權的評價結果差異也很值得一探究竟。上述為模型