研究方法

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的時候無法從市場上直接觀察到需要使用的變數，都必須再經過一個調整，或是 使用代理變數來做；BGM(1997)為了修正上述的缺點而使用市場上觀察得到的倫 敦拆款利率(LIBOR)來建模，使得觀察到的變數可以符合模型所需，更加貼近市 場情況，也因為其所使用的利率變數名稱，因而其模型也稱為市場利率模型。

2.2 研究方法

因為BGM(1997)的模型屬於多因子的利率模型，所用來搭配進行評價的數值 方法通常為蒙地卡羅法，但單純的蒙地卡羅法並無法處理有提前履約性質的商品，

因而許多學者提出了多種不同的方法來解決此問題，以下將簡介這些方法，並且 深入探討其中的最小平方蒙地卡羅法。

Broadie and Glasserman(1997)將蒙地卡羅法與樹狀方法結合，稱為隨機網狀 模型(Stochastic Mesh)，此模型因為有樹狀方法的加入因而可以處理提前履約的 問題，此外也解決了當資產的動態過程為非馬可夫過程而導致節點數位呈現幾何 成長的問題。但在Pedersen(1999)的研究中卻發現，Broadie and Glasserman(1997) 的方法在處理高維度的模型時，所耗費的時間仍然相當長，因此並不適合屬於多 因子模型的市場利率模型。

Carr and Yang(1997)引用Barraquand and Martineau(1995)的觀念，並結合市場 利率模型與馬可夫鍊近似解(Markov Chain Approximation)來處理提前履約的問 題。而Andersen(1999)則結合蒙地卡羅法與布林函數(Boolean Function)來處理提 前履約的問題。但在Ahsan(2001)的研究中發現，Andersen(1999)的方法在使用單 因子利率模型時可以快速準確地求出選擇權價格，但當處理的是多因子利率模型 時，效果並沒有Longstaff and Schwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅法來得好。

Longstaff and Schwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅法是結合蒙地卡羅法與最

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小平方估計法。單純的蒙地卡羅無法解決提前履約的關鍵點在於繼續持有的價值 取決於當時候市場情況，可以想成是條件期望值(Conditional Expectation)的概念。

在實際上，當投資人在時間點t的時候並無法知道時間點t以後的資產價格，但是 蒙地卡羅法是屬於由後往前推的方法，整條路徑會先模擬出來，但是若使用時間 t以後的模擬價格當作投資人是否提前履約的判斷依據，則和實際上投資人知道 的訊息並不相符，這種先模擬出整條路徑再決定最佳履約點所評價出來的價格只 能說是此商品的價格上限，並不是理論價格，因而可以發現蒙地卡羅法在處理提 前履約問題的時候所面臨的困難點是在決定繼續持有價值。

Longstaff and Schwartz(2001)則是使用回歸的方法來求得此繼續持有價值，

利用蒙地卡羅法模擬出多條路徑，及其所對應的(x,y)，其中x代表當期價內的股 價，y代表價內節點的下一期現金流量的折現，將這些樣本利用最小平方法求回 歸式後，重新帶入x所得到的估計值y當作繼續持有價值，來判斷是否提前履約，

其理論觀念在於回歸的估計值代表的是期望值，因此符合投資人以現有的資訊來 決定是否提前履約的情況。

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BGM(1997)的市場利率模型；3.2 介紹利率交換與利率交換選擇權；3.3 介紹最 小平方蒙地卡羅法；3.4 與 3.5 介紹校準參數的方法；3.6 介紹敏感度分析的作 法；3.7 介紹風險值計算的方法。

3.1 市場利率模型(LIBOR Market Model)

BGM(1997)模型以倫敦同業拆款利率為利率的動態過程，以L(t,t_i)表示，其

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換選擇權。首先考慮一個利率交換(Interest rate swap)，根據英文文獻[4]的定義，

給定償付日期(payment date)T_i， i1,...,與名目本金(nominal value)N ，令 discounted payoff)可以被表達成下式：

(3.2.1) 兩面，但對於前者的投資人來說，這個契約通常稱為payer swap。對後者的投資 人來說，這個契約通常稱為receiver swap。

接下來將介紹歐式利率交換選擇權(European swaption)，我們將以payer swap 的角度來看。同樣根據英文文獻[4]的定義，給定償付日期T_i， i1,...,、

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償付(time-t discounted payoff)可以被表達成下式：

(3.2.3) 文文獻[4]其公式稱為布雷克公式(Black’s Formula)，而此公式也是市場上用來評 價歐式利率交換選擇權的實務公式。其證明過程是使用



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合其他數值方法來評價，下一節將介紹Longstaff and Schwartz(2001)提出的最小 平方蒙地卡羅法。

3.3 最小平方蒙地卡羅法

此章節將介紹Longstaff and Schwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅法在市場利 率模型上評價百慕達利率交換選擇權的演算法(Algorithm)。

首先考慮百慕達利率交換選擇權的評價。延續3.2節的符號定義，在時間點T_i 為terminal measure，而在此測度下利率的動態過程將如(3.1.9)式的上面兩列，而 百慕達利率交換選擇權在時間點0的價值可表達為： V_Bermudan^LMM



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或者立即履約，履約價值(Exercise value)即為接下來的償付折現，如(3.3.1)所示；

反之，繼續持有價值(Continuous value)可表達為下式：

(3.3.3) 著選擇價內路徑(In the money sample)為樣本數，應變數為履約價值，自變數為前 一期的交換利率，便能跑出一條如下的回歸式：

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3.4 Rebonato’s formula

測度轉換後的市場利率模型動態過程已在3.1節介紹，用來評價百慕達利率

 的型式，歐式利率交換選擇權的波動度可以下式Rebonato’s formula逼近：



_{ }



bonato i

ds

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關係數的形式(Instantaneous volatility and correlation functions)，()與()，就能 進行利率的路徑模擬。然而如同英文文獻[4]與[12]所述，由於市場上觀察到的波 動度圖形與相關係數圖形的特殊結構，因此在設定他們的函數時就變得困難，參 考英文文獻[4]、[5]、[11]與[12]，以下將先介紹文獻上常使用的函數型式及原因，

若要探討全部影響因子，可參考英文文獻[11]。

就市場上觀察到的波動度期間結構，常常會有圓丘型(humped)的形狀，(3.5.1) 式便能夠捕捉到此一現象，此為廣被使用的時間無關(time homogeneous)的型式，

為了能夠更貼近市場觀察到的資料，(3.5.2)式便根據(3.5.1)式做了些維修改。

(3.5.1)

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3.6 參數校準

通常有兩種方式可以得到模型參數的值，一為使用歷史資料來做統計估計，

此種方法的概念是利用過去的資料代表未來的經濟情況，因此使用過去的資料估 計出模型參數來模擬未來的走勢；二為校準，此種方法的概念是利用當下觀察到 的市場資料，像是資產價格，因此模型參數的值是讓模型所算出來的價格剛好等 於觀察到的市場價格，而這組模型參數便稱為校準出來的模型參數。第二個方法 之優點為，校準出來的模型參數能夠反映現在的市場經濟情勢，而不是使用過去 的資料來估計未來。本篇論文便是使用校準的方法來決定模型參數。

如同英文文獻[11]指出，通常使用歐式利率交換選擇權來做百慕達利率交換 選擇權的避險，因此選擇歐市利率交換選擇權的價格來校準能適當地反映進行風 險管理避險的結果，此篇論文參考英文文獻[5]的校準方法。如同3.5節的模型參 數設定，要校準的參數有、與，此處的希臘字母為向量，除非向量中的數 只有一個，此時當作純量。

英文文獻[5]的校準方法的想法為，在給定歐式利率交換選擇權的市場波動 度、  的初始值與的初始值下，讓 是可變動的，選擇 的值使得模型算出 來的歐式利率交換選擇權波動度剛好等於市場波動度，需要注意的是，此處的歐 式利率交換選擇權是選擇契約終止日與待評價的百慕達利率交換選擇權相同的 歐式利率交換選擇權，也就是波動度矩陣中左下到右上的對角線。在給定新的

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下，再讓 與是可變動的，選擇 與使得模型波動度與市場波動度的誤差平 方和最小，需要注意的是，此處用來讓誤差平方和最小的歐式利率交換選擇權的 波動度是所有契約終止日小於待評價的百慕達利率交換選擇權的，也就是剛剛所 述的對角線之上的。得到新的 與後，再重複計算出新的，得到新的後 ， 再重新算出新的 與，如此反覆做下去，直到最佳參數值出現，或者反覆次數 超過最大迴圈次數，整個過程都使用Rebonato’s formula來計算市場利率模型下的 歐式利率交換選擇權波動度。

詳細計算過程如下，此處引用英文論文[5]的波動度舉陣與初始遠期利率當 作例子解說，如下，表格表示價平歐式利率交換選擇權的市場波動度，最上面的 年表示選擇權的到期日，最左邊的年表示標的資產，也就是利率交換，的期間，

待評價百慕達利率交換選擇權的履約時間點為1年後、2年後、…、10年後，總長 度為11年。

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開始，12.4%，記作^~_，令它等於Rebonato’s formula算出來的波動度，可以得到

。

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calibration, DRC)，為英文文獻[10]內所提出來的校準方法，詳細內容可參考此篇 論文。

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率變動影響，因此使用上會先避Vega風險再避剩下來的Delta風險。

在第三節的介紹中，百慕達利率交換選擇權的評價過程，使用到歐式利率交

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個Delta，但是由於單一利率交換商品的報價是由數個遠期利率決定，因此單一 利率交換商品就能反應數個遠期利率變動的影響，參考英文文獻[4]，通常只用 最近到期的利率交換來避險。

3.8 風險值

英文文獻[9]中對風險值，簡稱VaR，定義為在一特定期間(T)內，在給定的 信賴水準()下，當市場發生不利變動時，預期潛在的最大損失之金額估計值。

用數學式表達如下：

(3.8.1) 1

)

Pr(W VaR  

其中， W 為投資組合損益，正值代表收益，負值代表損失。

為信賴水準。

風 險 值 VaR 的 估 計 方 法 一 般 主 要 有 三 種 ， 一 為 變 異 數 - 共 變 異 數 法

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(Variance-covariance approach)、二為歷史模擬法(Historical simulation approach)與 三為蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation approach)。由於此篇論文的模型為 多因子模型，使用變異數-共變異數法或蒙地卡羅模擬法將會比較複雜，因此此 篇論文使用歷史模擬法來估計百慕達利率交換選擇權的風險值，但是因為此商品 屬於店頭市場商品，並沒有市場報價，因此無法直接使用市場上的價格觀測值計 算，此處採用的方法為，根據過去某段時間的N筆每日歐式利率交換選擇權市場 波動度與期初遠期利率資料，做N次模型校準與評價，便能得到N筆百慕達利率 交換選擇權價格，再從小到大排序便能估計出日風險值(Daily VaR)，如下方流程 圖所示。

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第四章 數值結果

此章節將延續第三章的研究方法，利用Rebonato’s formula 來校準利率市場 模型的波動度與相關係數參數。而後，利用校準得到的參數搭配蒙地卡羅模擬

此章節將延續第三章的研究方法，利用Rebonato’s formula 來校準利率市場 模型的波動度與相關係數參數。而後，利用校準得到的參數搭配蒙地卡羅模擬

在文檔中 LMM利率模型下可取消利率交換評價與風險管理 - 政大學術集成 (頁 13-0)