3. 模型設定
3.8 風險值
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個Delta，但是由於單一利率交換商品的報價是由數個遠期利率決定，因此單一 利率交換商品就能反應數個遠期利率變動的影響，參考英文文獻[4]，通常只用 最近到期的利率交換來避險。
3.8 風險值
英文文獻[9]中對風險值，簡稱VaR，定義為在一特定期間(T)內，在給定的 信賴水準()下，當市場發生不利變動時，預期潛在的最大損失之金額估計值。
用數學式表達如下：
(3.8.1) 1
)
Pr(W VaR
其中， W 為投資組合損益，正值代表收益，負值代表損失。
為信賴水準。
風 險 值 VaR 的 估 計 方 法 一 般 主 要 有 三 種 ， 一 為 變 異 數 - 共 變 異 數 法
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(Variance-covariance approach)、二為歷史模擬法(Historical simulation approach)與 三為蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation approach)。由於此篇論文的模型為 多因子模型，使用變異數-共變異數法或蒙地卡羅模擬法將會比較複雜，因此此 篇論文使用歷史模擬法來估計百慕達利率交換選擇權的風險值，但是因為此商品 屬於店頭市場商品，並沒有市場報價，因此無法直接使用市場上的價格觀測值計 算，此處採用的方法為，根據過去某段時間的N筆每日歐式利率交換選擇權市場 波動度與期初遠期利率資料，做N次模型校準與評價，便能得到N筆百慕達利率 交換選擇權價格，再從小到大排序便能估計出日風險值(Daily VaR)，如下方流程 圖所示。
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第四章 數值結果
此章節將延續第三章的研究方法，利用Rebonato’s formula 來校準利率市場 模型的波動度與相關係數參數。而後，利用校準得到的參數搭配蒙地卡羅模擬 法來進行評價。4.1 節將先評價歐式利率交換選擇權的價格，與用 Rebonato’s formula 得到的波動度帶入 Black formula 的結果做比較。4.2 節將評價此論文的 主軸商品，百慕達利率交換選擇權，並且把 4 個不同參數結構模型的價格做比 較。
4.1 歐式利率交換選擇權
延續3.5節模型設定與3.6節的校準方法，為了確認校準與評價結果正確，此 篇論文參考英文文獻[4]的市場資料來校準與評價，歐洲市場價平歐式利率交換 選擇權波動度市場報價與遠期利率皆為2004年8月11日的資料，如前面表3.6.1與 3.6.2所示，歐式利率交換選擇權的為1x10，2x9，…，10x1型式，進入利率交換 後為付固定利率方，交換利率的履約價有價內(3.5%)、價平(4.5%)與價外(5.5%) 三種。
首先，使用校準出來的4種模型計算Rebonato’s formula，並且與市場上觀察 到的波動度，3.6.1做比較，計算總平方誤差和，可以發現公式1的總平方誤差和 最小，這是由於公式1的波動度型式與相關係數型式的經濟變數較多，較能夠抓 到市場上的波動度結構與相關係數結構，因此配適得較好，反之公式4由於波動 度型式簡單到無法抓到圓丘型的特徵，相關係數型式也只與遠期利率間的距離有 關，因此配適得較差。
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N
i
Market N
i
Market n
Calibratio
Errors of
Sum Total
1
2 1
)2
(
下圖為使用校準出來的參數，利用Matlab所畫出的遠期利率相關係數結構圖 與波動度期間結構圖。
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接下來，先進行歐式利率交換選擇權的價格試算，除了4種公式的價格計算 外，使用Rebonato’s formula 算出波動度後代入Black formula得到的價格當作參 考基準來比較，歐式利率交換選擇權的名目本金皆為1，蒙地卡羅法的模擬路徑 數為10000條，價格單位為萬分之一。
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各模型所算出來的價格離Black公式算出來的價格並無太大差異，因此此篇 論文建議採用公式1，這是由於其總誤差平方和最小，並且其波動度型式與相關 係數型式的設定都有其經濟上的意義，並不是只為了增加配適度而加入的參數。
此外值得一提的為參數校準與路徑模擬時間，此篇論文使用Matlab校準與評價，
而由於公式1的參數形式較為複雜，整個流程的時間比公式4的時間長上許多。對 實務上的使用者而言，需考慮配適度與評價所需時間來進行模型使用抉擇。
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4.2 百慕達利率交換選擇權
延續4.1.1模型校準的結果，此章節將進行百慕達利率交換選擇權的評價，待 評價的百慕達利率交換選擇權的商品內容為，名目本金1000，可履約時間點的相 關資訊為1年後有權利進入10年期的利率交換、2年後有權利進入9年期的利率交 換、……、9年後有權利進入2年期利率交換、10年後有權利進入1年期利率交換，
若進入利率交換後為付固定利率方，交換立率的履約價格有價內(3.5%)、價平 (4.5%)與價外(5.5%)三種，蒙地卡羅模擬路徑數為5000次。
表4.2.1中，括號外面的數字為蒙地卡羅法的商品價格，括號內為商品價格 的標準差。
96.00%
97.00%
98.00%
99.00%
100.00%
101.00%
102.00%
103.00%
104.00%
105.00%
106.00%
107.00%
Strike=3.5(ITM) Strike=4.5(ATM) Strike=5.5(OTM) 圖4.2.1百慕達利率交換選擇權價格
Formulation1 Formulation2 Formulation3 Formulation4
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此篇論文得到與英文文獻[12]類似的結果，百慕達利率交換選擇權的價格在 不同模型下的差異約在0~6%。價外選擇權價格差異較大的原因為，標的資產價 格在履約價之內或外的差別較大，因此不同模型模擬路徑的差異就造成了價外選 擇權價格變動影響較大。而公式1、2得到的價格幾乎都比公式3、4大，這是因為 波動度型式的關係，由於3與4是簡單假設波動度型式，因此比起3與4，1與2更能 捕捉到市場波動度的變化，因此波動度較大，商品價格也就較大，而相關係數模 型的設定方面就比較沒有這種趨勢，此結論與英文文獻[12]相同，波動度型式選 取的重要性比相關係數型式選取的重要性來得重要。
就模型選擇的建議上，若只考慮經濟解釋與統計精準而言，此篇論文建議模 型1，其波動度型式與相關係數型式就經濟意義上都較能貼近市場資料，而校準 結果也顯示公式1的總平方誤差和為最小，但值得一提的是校準與評價時間，公 式1的校準時間約為公式2的1.5倍，而公式1與2的時間都比3與4高上許多。
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第五章 敏感度分析與風險值實證
此章延續第四章所算出來的百慕達利率交換選擇權的價格進行風險管理分 析，5.1 節將使用相同於第四節的資料進行敏感度分析與避險探討，敏感度分析 的部分將會把實際的值計算出來，而避險的部分將只介紹如何利用其他金融商 品進行避險管理；5.2 節將使用相同於第四節的資料進行風險值的計算，如 3.8 節所述，此節使用歷史模擬法來計算百慕達利率交換選擇權之風險值(Value at Rsik)。
5.1 敏感度分析與避險探討
此章節將進行百慕達利率交換選擇權的敏感度分析，百慕達利率交換選擇權 的商品內容為，名目本金1000，可履約時間點的相關資訊為1年後有權利進入10 年期的利率交換、2年後有權利進入9年期的利率交換、……、9年後有權利進入2 年期利率交換、10年後有權利進入1年期利率交換，若進入利率交換後為付固定 利率方，交換立率的履約價格有價內(3.5%)、價平(4.5%)與價外(5.5%)三種，蒙 地卡羅模擬路徑數為5000次。
如 3.7 節所述，此篇論文讓所有在結束日期前的遠期利率都上升 10BP(Basic Point)，計算它的價格變化，結果如下表所示：
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探討價格變動的原因主要有二，一為遠期利率上升會使得殖利率曲線整體 的向上移動，因此會影響評價過程的折現步驟，若其他條件不變，則折現後的 現值會降低；二為因為此百慕達利率交換選擇權若履約進入利率交換是付固定 利率方，因此在履約價格固定下，若整體遠期利率變高會使此商品更有機會進 入價內，因此商品的價格會提高。綜合兩個因素，從表 5.1.1 的結果來看，不論 是價內、價平或價外，第二原因的影響來得比第一原因的影響大，造成價格都 往上漲，但是價內(K=3.5%)的漲幅較價平(K=4.5%)的漲幅大，而價平(K=4.5%) 的漲幅又比價外(K=5.5%)的漲幅大。需要注意的是此處只分析的商品是履約後 進入利率交換後是付固定利率方，因此第二原因才讓商品價格上漲，弱勢進入 付浮動方，則會使得商品價格下跌，而下跌的幅度則需要進一步計算，但是方 法卻都相同。
波動度的敏感度分析方面，因為此篇論文為市場利率模型，因此可以準確 計算每個交換利率波動度變動對百慕達利率交換選擇權價格變化的影響，如 3.7 節所述的方法，下表則為實際值的計算，衡量在歐式利率交換選擇權的波動度 改變 1%下，百慕達利率交換選擇權的價格變動：
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從上表可以看出各個隱含波動度變動 1%後對百慕達利交換選擇權價格的 影響都在 0.1 上下，但是卻沒有發現一個趨勢，下表為讓所有遠期利率同時變 動 1%的價格變動結果：
就金融機構發行此商品而言，若要達到無風險則有兩個風險需要規避，其 一為波動度風險，此部分可就表 5.1.2 來做，首先計算對角線上的各個歐式利率 交換選擇權的 Vega 值，算出後便能與表 5.1.2 相對應，利用這 10 個歐式利率交 換選擇權做反向的部位，其各個數量為使得發行出去的百慕達利率交換選擇權 之 Vega 值等於歐式利率交換選擇權的 Vega 值，如此便能避掉波動度風險；此 時金融機構的部位內已經有用來避波動度風險的歐式利率交換選擇權投資組合，
而這些用來避險的工具本身也會受遠期利率的變動影響，因此計算完這組投資 組合受遠期利率變動影響的總值後，再根據表 5.1.1，利用最近期開始的利率交 換來補上其中的差距，如此便能完成遠期利率變動的風險，實務上，避險方可 以參考本身對未來遠期利率走勢的看法，計算個別或數個遠期利率變動造成的 影響，然後在公司的目標與願意承擔的風險下規避其認為該避的風險，而不必 像此篇論文一樣假設平行移動，這也是為什麼對金融機構來說，交易員對未來 經濟情勢的看法很重要的原因。
5.2 風險值
百慕達利率交換選擇權的商品的契約內容與 5.1 節的敘述都相同，評價日
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為 2004 年 8 月 11 日，因此就歷史模擬法的數量，採用 2004 年 8 月 11 日之前
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