LMM利率模型下可取消利率交換評價與風險管理 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學金融學系研究所碩士學位論文. LMM 利率模型下可取消利率交換評價與風險管理. 政治大. 立 and Risk Management under LIBOR Cancelable Swap Pricing ‧. ‧ 國. 學. Market Model. n. er. io. sit. y. Nat. al. i Un. Ch. v. e n g c h i 教授指導教授：廖四郎研究生：廖家揚撰. 中. 華. 民國. 一. 百零. 四. 年六. 月.

(2) 謝辭歷經兩年的光陰，總算完成這篇碩士論文，而我的碩士生涯也告一段落，即將離開熟悉的校園，先踏入軍中生活，再踏入職場，而將面對的是一個嶄新的世界。算算我在政大才待了兩年就要離開政大，離開我懷念的商學院圖書館、中正圖書館與政大後山。. 首先要感謝的就是我的指導教授廖四郎老師，老師在財務工程領域的專業與做研究的精神與方法深深影響我許多，老師在課堂上對我們論文報告的指點，. 政治大. 這件事無形中讓我了解到做研究的方法與態度，而我最喜歡的就是老師常說的”. 立. 兩句話把它的精髓說完”與”把聽眾當成小學生，然後要講到他懂”。這都讓我體. ‧ 國. 學. 悟到最深澳的知識是要能夠做到幾句話就把它講完，最厲害的講者能講到連完全都不懂的人也能懂。也要謝謝老師常常與我們分享人生的體悟與道理，我非. ‧. 常珍惜這些機會，因為有些事情是要活過一輩子才有辦法體會與領悟的，而在. y. Nat. io. sit. 我還年輕的時候就聽到這些道理，即便不能完全體會與領悟，至少讓我往後在. n. al. er. 做決定的時候能想到老師說過的話，讓自己做一個不後悔的決定。. Ch. engchi. i Un. v. 最後要感謝三重扶輪母社與中華扶輪教育基金會給予我的獎學金，讓我在碩二期間能專心地從事碩士論文研究，而不用擔心求學期間所需的生活費，也感謝每次發放獎學金時，三重扶輪社都會邀請我們三重扶輪社的獎學生一塊聚在一起吃個飯，讓我們熟悉彼此，也能聽到一場自己專業知識以外的知識。. 其實真正要感謝的人實在太多了，雖然無法一一提名，但我仍要說句”謝謝大家長久以來的照顧”，因為有你們才有現在的我。往後，我期許自己在未來的人生旅途上能不斷成長，能善用過去所學，輔以經驗累積，為更多需要得到協助的人貢獻一己之力。.

(3) LMM 利率模型下可取消利率交換評價與風險管理學生：廖家揚. 指導教授：廖四郎. 教授. 國立政治大學金融學系. 摘要許多公司在發行公司債的時候，會給此公司債一個可提前贖回的特性，此種公司債稱為可贖回公司債(Callable Bond)，用來規避利率變動風險的金融商品也與我們熟知的利率交換不同，稱為可取消利率交換(Cancelable Swap)。其實. 政治大率交換，由於利率交換之評價較簡單也有市場一致的評價方法，因此百慕達利立. 可取消利率交換可以拆解成百慕達利率交換選擇權(Bermudan Swaption)加上利. ‧ 國. 學. 率交換選擇權便成為評價的重點。. ‧. 評價的部分，由於百慕達式的商品有提前履約的特性，造成其封閉解不存. sit. y. Nat. 在，因此需要利用其他的近似解或是數值方法來求它的價格。由於本文採用. io. er. BGM(1997)的市場利率模型(Libor Market Model)，其高維度的性質導致數狀方法與有限差分法使用起來較無效率，因此本文選擇使用蒙地卡羅法做為評價的. n. al. 方法，同時利用 Longstaff. iv n C and hSchwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅法(Least engchi U. Squares Monte Carlo Method)來解決提前履約的問題。. 最後，本文將採用 2 種利率波動度假設與 2 種不同利率間相關係數的假設，共 4 種組合，在歐式利率交換選擇權的市場波動度下進行校準，使用校準出來的參數進行評價來得到 4 種價格。再進行商品的敏感度分析(Sensitivity Analysis) 和風險值(Value at Risk)的計算。. 關鍵詞：可取消利率交換、百慕達利率交換選擇權、市場利率模型、最小平方蒙地卡羅法、敏感度分析、風險值。.

(4) Cancelable Swap Pricing and Risk Management under LIBOR Market Model. Student: Chia-Yang, Liao. Advisor: Szu-Lang, Liao. Submitted to Department of Money and Banking Collage of Commerce National Chengchi University. Abstract There are some corporate bonds which can be called back at specified time. Those. 政治大. bonds are called Callable Bond. The hedging instruments for those bonds are called. 立. Cancelable Swap. In fact, Cancelable Swap consist of Bermudan Swaption and. ‧ 國. 學. Swap. The pricing of Swap is easy, so the pricing of Bermudan Swaption is the important point of this paper.. ‧ sit. y. Nat. The closed form solution of those products don’t exist due to the unknown strike. n. al. er. io. time. And, the Libor Market Model is high dimension, leading to the inefficiency of. v. Tree Method and Finite Difference Method. Therefore, we used Least Squares. Ch. engchi. i Un. Monte Carlo Method published by Longstaff and Schwartz(2001).. Finally, we used two volatility models and two correlation coefficient models. We did calibration with the market price of European Swaption and then priced Bermudan Swaption. Moreover, we also calculated Sensitivity Analysis and Value at Risk.. Keywords：Cancellable Swap; Bermudan Swaption; Libor Market Model; Least Squares Monte Carlo Method; Sensitivity Analysis; Value at Risk...

(5) 目錄 1. 緒論……………………………………………………………………………….1 2. 文獻回顧…………………………………………………………………………5 2.1 利率模型…………………………………………………………………..5 2.2 研究方法……………….………………………………………………….7 3. 模型設定………………………..………..………………………………………9 3.1 市場利率模型………………………………………………….………..…9 3.2 利率交換與利率交換選擇權……………………….……………………12 3.3 最小平方蒙地卡羅法...……………………………….…………………14 3.4 Rebonato’s formula………………………………………………………16 3.5 參數模型設定…………………………………………………………….17. 政治大 3.6 參數校準……………………………………………………….…………19 立 3.7 敏感度分析與避險探討………………………………………………….22. ‧ 國. 學. 3.8 風險值…………………………………………………………………….24 4. 數值結果………………………………………………………..………………27. ‧. 4.1 歐式利率交換選擇權…………………………………………………….27 4.2 百慕達利率交換選擇權….………………………………………...……31. y. Nat. sit. 5. 敏感度分析與風險值實證………………………………………………3 3. al. iv n C hengchi U 結論……………………………………………………………………...………38 n. 6.. er. io. 5.1 敏感度分析與避險分析…………………………………….……………34 5.2 風險值實證…………………………………………………….…………37. 參考文獻……………………………………………………………………………40 中文文獻………………………………………………………………………40 英文文獻………………………………………………………………………40.

(6) 表目錄表 3-5-1 模型參數型式………………………………………………………..……19 表 3-6-1 歐式利率交換選擇權市場波動度矩陣…………………………………..21 表 3-6-2 市場遠期利率……………………………………………………………..21 表 4-1-1 相對總誤差平方和………………………………………………………..28 表 4-1-2 價內歐式利率交換選擇權價格…………………………………………..30 表 4-1-3 價平歐式利率交換選擇權價格…………………………………………..30 表 4-1-4 價外歐式利率交換選擇權價格…………………………………………..31 表 4-2-1 百慕達歐式利率交換選擇權價格…………………………….………….32 表 5-1-1 交換利率的敏感度分析…………………………………………………..35 表 5-1-2 波動度的敏感度分析……………………………………………………..36 表 5-2-1 Value at Risk 與 Expected Shortfall 計算……………………………..…...39. 立. 政治大圖目錄. ‧. ‧ 國. 學. 圖 1-1 歐式利率交換選擇權示意圖………………...………………………………1 圖 1-2 固定交換期間的百慕達利率交換選擇權示意圖…………………………...1 圖 1-3 固定商品到期日的百慕達利率交換選擇權示意…………………………...1 圖 1-4 商品與現金流示意圖………………………………………………………...2 圖 3-8-1 風險值計算流程圖……………………………………………………......26 圖 4-1-1 遠期利率相關係數結構圖………………………………………………..29. sit. y. Nat. n. al. er. io. 圖 4-1-2 遠期利率波動度期間結構圖…………….……………………………….29 圖 4-2-1 百慕達歐式利率交換選擇權價格…………………………….………….32 圖 5-2-1 價格變動次數分配圖(每日價格變動)…………………………………...37 圖 5-2-2 報酬率次數分配圖(每日報酬率)……………………………………...…38. Ch. engchi. i Un. v.

(7) 第一章緒論. 在介紹可取消利率交換之前，要先介紹另外一項金融商品，百慕達利率交換選擇權。首先，利率交換選擇權(Swaption)是一個利率交換加上一個選擇權，選擇權的買方可以決定是否要執行該利率交換契約。若此履約時間點為固定日期，則稱為歐式利率交換選擇權(European Swaption)，圖 1-1 為歐式利率交換選擇權示意圖。若在履約時間點之前有數個時間點可以進行履約，則此商品稱為百慕達利率交換選擇權，若履約後的利率交換期間長度是固定的，則可稱為固定交換期間的百慕達利率交換選擇權(Constant Maturity Bermudan Swaption,. 治政 Bermudan CMS)，如圖 1-2 所示；而若是履約後的利率交換到期日是固定的，大立則可稱為固定商品到期日的百慕達利率交換選擇權(Bermudan Swaption)，如圖 ‧ 國. 單一履約時間點. ‧ y. Nat. n. al. er. io. 圖 1-1 歐式利率交換選擇權示意圖. 成交. 數個履約時間點. sit. 成交. 學. 1-3 所示。. Ch. i Un. v. 履約後的利率交換到期日不確定但交換期間長度固定. engchi. 圖 1-2 固定交換期間的百慕達利率交換選擇權示意圖. 成交. 數個履約時間點. 履約後的利率交換到期日確定但交換期間長度不固定. 圖 1-3 固定商品到期日的百慕達利率交換選擇權示意圖. 1. 履約後的利率交換到期日.

(8) 後面將會提到，此篇論文處理的是像圖 1-3 的固定商品到期日的百慕達利率交換選擇權，接下來將介紹可取消利率交換的市場需求來源。隨著金融市場的多元化和不同需求的投資人。許多公司在發行公司債的時候是以浮動利率的方式發行，此時若公司不想要承受利率波動的風險，則可以藉由與金融機構承作利率交換，變為固定利率的支付方來避掉支付浮動的風險。然後若此公司債又有可提前贖回的特定，則單純的利率交換並無法完成此避險動作，萬一公司提早贖回了公司債，則公司債的現金流消失，但是與金融機構承作的利率交換現金流仍然存在，因此似乎也要在贖回的同一時間點取消掉利率交換，如此便能達成發行此可贖回公司債的避險。因而金融機構在市場上就有可取消利率交. 治政換的需求，圖 1-4 為發行公司債的公司現金流示意圖。大立. 承作可取消利率交換 (公司 A 有權利取消). 浮動利率. 浮動利率公司 A. Nat. 固定利率. io. 圖 1-4 商品與現金流示意圖. n. al. Ch. sit. y. 期初債券市價. 利率交換發行商. er. 投資人. ‧. ‧ 國. 學. 公司 A 發行浮動利率公司債. i Un. v. 以此例來說，可取消利率交換為公司 A 支付固定利率給金融商品發行商，. engchi. 而金融商品發行商支付浮動利率給公司 A，公司 A 的取消此利率交換的權利可以以另外一種等價的角度來看，它等價於公司 A 在取消的時間點是和發行商新作了一個公司 A 在接下來支付浮動利率，發行商支付固定利率，稱為反向的利率交換，如此一來，在取消之後的現金流量就彼此抵消了。因此以財務工程評價的角度來看，必須把商品盡可能地拆解成簡單商品，而取消的權利等價於重新承做剩下期間的反向利率交換。也就是說，可取消利率交換等於利率交換加上固定商品到期日的百慕達利率交換選擇權。. 由於百慕達利率交換選擇權屬於利率型衍生性商品，因此在評價過程中必. 2.

(9) 須先選定一種利率模型，而現存的利率模型主要分為兩大類，第一類是均衡模型(Affines Models)，像是 Vasicek(1977)與 Cox-Ingersoll-Ross(CIR,1985)，兩者都假設短期利率(Short Rate)符合均數複歸，前者利率可為負；後者利率恆正。第二類是無套利模型(Arbitrage Free Models)，像是 Ho-Lee(1986)、Hull and White(1990)與 Heath-Jarrow-Morton(HJM,1992)，這類模型是利用市場上觀察到的利率期間結構來決定其模型參數，解決了均衡模型沒有辦法產生市場上的利率期間結構問題。而上所述的模型全部都是以瞬間利率為出發點，但是市場上卻無法觀察到這些瞬間利率，因此使用過程中必須經過一些調整或使用代理變數，難免會出現誤差。因而 Brace-Gatarek-Musiela(BGM,1997)的模型使用市場. 治政上觀察得到的倫敦銀行同業拆款利率(LIBOR)為變數，解決了上述問題，也因大立為其變數的使用，而有人稱之為市場利率模型。 ‧ 國. 學. 接下來則面臨評價過程的問題，首先若是歐式的選擇權，基本上可以推出. ‧. 一個封閉解(Closed Form Solution)，但是百慕達式的選擇權因為有許多履約時間. y. Nat. io. sit. 點，因而在評價的時候面臨了履約時間點的問題，文獻上常用二元樹(Binomial. n. al. er. Tree)、三元樹(Trinomial Tree)、有限差分法(Finite Difference Method)與蒙地卡. Ch. 羅法(Monte Carlo Method)來當作解決辦法。. engchi. i Un. v. 二元樹(Binomial Tree)、三元樹(Trinomial Tree)與有限差分法(Finite Difference Method)比較適用於低維度的問題上，若是使用在像是市場利率模型 (LIBOR Market Model)，則會使得評價耗時許多，使得效率低許多，因而蒙地卡羅法(Monte Carlo Method)將會是個不錯的選擇。. 使用蒙地卡羅法(Monte Carlo Method)通常會遇到兩個問題，第一個問題是收斂速度慢，需要許多樣本數才能收斂到理論值，此問題可以透過反向變異法 (Antithetic)或是控制變異法(Control Variate)來提升收斂的速度。而第二個問題則是提早履約的問題，蒙地卡羅法是把整條路徑模擬出來，因此我們知道整個過 3.

(10) 程的價格變化，但是實際上投資人在不確定未來的價格下，無法得知最佳履約時間點，許多學者對此問題提出了不同的解決方法，而此篇論文選擇 Longstaff and Schwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅法來解決提前履約的問題。. 因此，此篇論文結合 BGM 的市場利率模型與 Longstaff and Schwartz(2001) 的最小平方蒙地卡羅法來評價百慕達利率交換選擇權，再加上利率交換(Swap) 的價格即可得到可取消利率交換的價格。本論文的架構如下，第一章緒論，介紹可取消利率交換、百慕達利率交換選擇權與用來評價的方法；第二章為文獻回顧，介紹不同利率模型以及評價方法；第三章為模型設定、評價方法與風險. 政治大. 管理，介紹市場利率模型與其參數結構的設定、最小平方蒙地卡羅法的演算法. 立. 與參數校準(Calibration)的方法與敏感度分析和風險值的計算方法；第四章為百. ‧ 國. 學. 慕達利率交換選擇權的定價，將利用校準後的參數進行評價；第五章為敏感度分析和風險值的計算。第六章為結論與後續研究建議。. ‧ sit. y. Nat. 此篇論文在 Brigo 與 Steffen Hippler(2008)的波動度與相關係數結構函數下，. n. al. er. io. 利用 BGM 的市場利率模型與 Longstaff and Schwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅. i Un. v. 法來評價百慕達利率交換選擇權，並且進一步說明敏感度分析與風險值的方法. Ch. engchi. 並且提供實證的數值資料，以提供金融機構發行此衍生性商品時的風險管理方法。. 4.

(11) 第二章文獻回顧. 2.1 利率模型. 利率模型的發展中，早期的利率模型以短期利率模型(Short Rate Model)為主，而其中又分為兩類，先以均衡模型為主(affines models)，1986年後則有了無套利模型(arbitrage free models)。最早的利率模型可以追朔到Merton(1970)，屬於均衡模型的一種，其中漂浮項(drift term)與擴散項(diffusion term)均為單一固定變數，不會隨著時間變動而更改，但是實際上，此兩個變數應該會隨著市場況的不同而. 政治大. 不斷地改變，因此此模型的設定與市場現況不符合，因而也很少被後人使用。. 立. ‧ 國. 學. 均衡模型中，Vasicek(1977)為廣被後人使用的利率模型之一，其短期利率的. ‧. 動態過程為一Ornstein-Uhlenbeck Process(O-U process)，此動態過程的特點是短期. sit. y. Nat. 利率會有均數複歸(mean reversion)的現象，而且設定利率波動度為固定值，使得. n. al. er. io. 利率為常態分配，因此計算上會較為簡單，但也產生了一個與市場不符的缺點，即是利率可能是負值。. Ch. engchi. i Un. v. CIR(1985)改進了Vasicek(1977)利率可能為負的這一特點，改使用  r 為擴散項，表示下一期的利率波動度會受到這一期的利率高低影響，即當這一期的利率愈高，下一期的利率波動度愈大，反之，當這一期的利率愈低，下一期的利率波動度愈小，因而使得利率最低為零，但由於其使用  r 為擴散項造成利率變動為非中央的卡方分配(non-central Chi-square)，因此計算上較為複雜。. 而均衡模型最主要的缺點是模型中的參數在期初給定的固定值後即無法變動，但是實際上模型參數應該會隨著市場情況變動而更改，因此假設變數為固定. 5.

(12) 值與市場情況不符合，因此1986年之後開始有了無套利模型的研究。Ho-Lee(1986) 為早期無套利模型的代表。其模型的假設均與Merton(1970)相同，不同之處在於其漂浮項與擴散項為時間的函數，因此其值會隨著時間的變動而更改，又稱為延伸的Merton模型(Extended Merton Model)，但其缺點為利率變動並沒有均數複歸的現象。. Hull and White(1990)進一步修正了Ho-Lee(1986)模型的問題，加入了均數複歸的性質，而因為其除了漂浮項與擴散項為時間的函數外，其餘假設均與 Vasicek(1977)相同，因此也稱為延伸的Vasicek模型(Extended Vasicek Model)。後. 政治大. 來他們又發展了Hull and White利率三元樹(1994)，此模型為實務上最廣受好評的. 立. 一種方法。. ‧ 國. 學. HJM(1992)則是發展了瞬間遠期利率(Instantaneous Forward Rate)模型，屬於. ‧. 無套利模型的一種，其和上述所介紹的模型最大不同之處在於其利率變數為遠期. sit. y. Nat. 利率，以 f (t , T ) 來表示，t為觀察時間點，T代表選其利率的到期日，因此當 T  t. n. al. er. io. 時，則 f (t , t )  r (t ) ，瞬間遠期利率等於即期利率，在此模型架構下，若再加上. i Un. v. 各種對於利率波動度的設定將使得早期的短期利率模型皆為HJM(1992)的特殊. Ch. engchi. 型態，像是當  HJM   時，即波動度為固定的情況下，HJM(1992)的模型將變成 Ho-Lee(1986)；當  HJM   exp[  (T  t )] 時，其中  為均數複歸的速度，HJM(1992) 的模型將變成Hull and White(1990)的模型。但是HJM(1992)模型中的瞬間遠期利率不屬於馬可夫過程(Markov chain process)，也就是下一期的值不只受當期值的影響，還受上一期、上上一期……的影響，因此當使用樹狀方法的時候將導致節點無法重合，使得評價過程耗時久無效率，因此其模型適合搭配蒙地卡羅法來評價。. 上述不論是短期利率模型或是遠期利率模型都是建立在瞬間利率變數上，但是市場上觀察得到的利率變數都是屬於間斷型的利率，因此造成在使用這些模型 6.

(13) 的時候無法從市場上直接觀察到需要使用的變數，都必須再經過一個調整，或是使用代理變數來做；BGM(1997)為了修正上述的缺點而使用市場上觀察得到的倫敦拆款利率(LIBOR)來建模，使得觀察到的變數可以符合模型所需，更加貼近市場情況，也因為其所使用的利率變數名稱，因而其模型也稱為市場利率模型。. 2.2 研究方法. 因為BGM(1997)的模型屬於多因子的利率模型，所用來搭配進行評價的數值方法通常為蒙地卡羅法，但單純的蒙地卡羅法並無法處理有提前履約性質的商品，. 政治大深入探討其中的最小平方蒙地卡羅法。立. 因而許多學者提出了多種不同的方法來解決此問題，以下將簡介這些方法，並且. ‧ 國. 學. Broadie and Glasserman(1997)將蒙地卡羅法與樹狀方法結合，稱為隨機網狀. ‧. 模型(Stochastic Mesh)，此模型因為有樹狀方法的加入因而可以處理提前履約的. sit. y. Nat. 問題，此外也解決了當資產的動態過程為非馬可夫過程而導致節點數位呈現幾何. io. er. 成長的問題。但在Pedersen(1999)的研究中卻發現，Broadie and Glasserman(1997) 的方法在處理高維度的模型時，所耗費的時間仍然相當長，因此並不適合屬於多. n. al. 因子模型的市場利率模型。. Ch. engchi. i Un. v. Carr and Yang(1997)引用Barraquand and Martineau(1995)的觀念，並結合市場利率模型與馬可夫鍊近似解(Markov Chain Approximation)來處理提前履約的問題。而Andersen(1999)則結合蒙地卡羅法與布林函數(Boolean Function)來處理提前履約的問題。但在Ahsan(2001)的研究中發現，Andersen(1999)的方法在使用單因子利率模型時可以快速準確地求出選擇權價格，但當處理的是多因子利率模型時，效果並沒有Longstaff and Schwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅法來得好。. Longstaff and Schwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅法是結合蒙地卡羅法與最. 7.

(14) 小平方估計法。單純的蒙地卡羅無法解決提前履約的關鍵點在於繼續持有的價值取決於當時候市場情況，可以想成是條件期望值(Conditional Expectation)的概念。在實際上，當投資人在時間點t的時候並無法知道時間點t以後的資產價格，但是蒙地卡羅法是屬於由後往前推的方法，整條路徑會先模擬出來，但是若使用時間 t以後的模擬價格當作投資人是否提前履約的判斷依據，則和實際上投資人知道的訊息並不相符，這種先模擬出整條路徑再決定最佳履約點所評價出來的價格只能說是此商品的價格上限，並不是理論價格，因而可以發現蒙地卡羅法在處理提前履約問題的時候所面臨的困難點是在決定繼續持有價值。. 政治大. Longstaff and Schwartz(2001)則是使用回歸的方法來求得此繼續持有價值，. 立. 利用蒙地卡羅法模擬出多條路徑，及其所對應的(x,y)，其中x代表當期價內的股. ‧ 國. 學. 價，y代表價內節點的下一期現金流量的折現，將這些樣本利用最小平方法求回歸式後，重新帶入x所得到的估計值y當作繼續持有價值，來判斷是否提前履約，. ‧. 其理論觀念在於回歸的估計值代表的是期望值，因此符合投資人以現有的資訊來. y. Nat. n. er. io. al. sit. 決定是否提前履約的情況。. Ch. engchi. 8. i Un. v.

(15) 第三章模型設定. 本章將介紹所使用的利率模型、評價方法與風險管理的方法。3.1 介紹 BGM(1997)的市場利率模型；3.2 介紹利率交換與利率交換選擇權；3.3 介紹最小平方蒙地卡羅法；3.4 與 3.5 介紹校準參數的方法；3.6 介紹敏感度分析的作法；3.7 介紹風險值計算的方法。. 3.1 市場利率模型(LIBOR Market Model). 政治大中 t 為觀測時間點， t 表示此遠期利率是從 t 作用到 t 。在無套利的條件下遠期立 BGM(1997)模型以倫敦同業拆款利率為利率的動態過程，以 L(t , t i ) 表示，其 i. i. i 1. ‧ 國. 學. 利率和債券價格之間的關係為：. P(t , t i 1 ) P(t , t i ). (3.1.1). er. . sit. P(t , t i 1 )  P(t , t i ). io. al. n. 其中， L(t , t i 1. y. Nat.  L(t , t i 1 ) P(t , t i ) . ‧. 1   L(t , t i 1 ) . ni C th 到 t 的遠期利率。 ) 為在t時間點時， U engchi i 1. v. i. P(t , ti 1 ) 為在t時間點時，到期日為 t i 1 的債券價格。. P(t , t i ) 為在t時間點時，到期日為 t i 的債券價格。.  為時間差。根據(3.1.1)式 L(t , ti 1 ) P(t , ti ) 為一可交易資產，因而若此資產在以 P(t , t i ) 為計價單位的測度下，通常稱為 Q i 測度( Q i Measure) ，要是平賭過程(Martingale)，因此，可將遠期利率的動態過程表示為 9.

(16) dL(t , t i 1 )   (t , t i 1 ) L(t , t i 1 )dz. (3.1.2). 若以相同方法推導，可以發現 L(t , t i ) 在 Q i 測度下並不是平賭過程，然而由於評價過程中會同時用到不同到期日的遠期利率，因此必須把這些利率動態過程換到同一個測度下，因此就面臨類似上述需要找出 L(t , t i ) 在 Q i 測度下的動態過程之問題。. 方法如下，參考英文文獻[4]，不同測度間的轉換並不會影響到擴散項，只會影響到飄移項，而根據英文文獻[4]的證明，其轉換間的飄移項的關係如下：. 立. 政治大. Xt )) Ut. (3.1.3). 學. ‧ 國.  tU dt   tS dt  (d ln X t )(d ln(. ‧. 其中， tU dt 為新測度(U Measure)之飄移項， tS dt 為原始測度(S Mearsure)之飄移. io. sit. y. Nat. 項， X t 為標的資產， U t 為新測度之計價單位， S t 為原始測度之計價單位。. n. al. er. 因此，對於我們的利率模型而言，根據(3.1.3)測度轉換公式， L(t , t k ) 在 Q i 測度下的漂移項為. Ch.  (t , t k )  0dt  d ln L(t , t k )d ln(. engchi. i Un. v. P(, t i ) ) P(, t k ). (3.1.4). 當k>i的時候，. ln(. P(, t i ) )  ln( P(, t k ). i. 1. )    ln(1  L(t , t j )). i.  (1  L(t , t. j. )). j  k 1. j  k 1. 帶回(3.1.4)，得. 10. (3.1.5).

(17) i.  (t , t k )  d ln L(t , t k )  ln(1  L(t , t j )) j  k 1. . . i.  1  L(t , t. j  k 1. . j. ). d ln L(t , t k )dL(t , t j ).  k , j  (t , t j ) (t , t k ) L(t , t j ) 1  L(t , t j ) j  k 1 i. . (3.1.6). 當k<i的時候，. ln(. i P(, t i ) )  ln(  (1  L(t , t j )))  P(, t k ) j  k 1. 帶回(3.1.4)，得. j  k 1. j. )). 政治大. i.  (t , t k )  d ln L(t , t k )  ln(1  L(t , t j )) j  k 1. . j  k 1. 1  L(t , t j ). ‧. i. . d ln L(t , t k )dL(t , t j ). n 因此整理後可得到下式. sit. (3.1.8). er. io. al. y. Nat.  k , j  (t , t j ) (t , t k ) L(t , t j ) 1  L(t , t j ) j  k 1 i. . (3.1.7). 學. ‧ 國. 立. i.  ln(1  L(t, t. Ch. engchi.  i  kj  (t , t k ) (t , t j ) L(t , t j )   1  L(t , t j ) j  k 1    (t , t k )   0 i  kj  (t , t k ) (t , t j ) L(t , t j )    1  L(t , t j )   j  k 1. i Un. v. , k i , k i. (3.1.9). , k i. 如此便能在同一測度下進行多期的利率路徑模擬，進而進行衍生性商品評價。. 11.

(18) 3.2 交換利率與利率交換選擇權. 此節將先介紹何謂交換利率，再介紹歐式利率交換選擇權與百慕達式利率交換選擇權。首先考慮一個利率交換(Interest rate swap)，根據英文文獻[4]的定義，給定償付日期(payment date) Ti ， i    1,...,  與名目本金(nominal value) N ，令.  i  Ti  Ti 1 ，則在 Ti 時間點時，利率交換的浮動方(floating leg)需要給固定方 (fixed leg) N i Li (Ti 1 ) 的金額，相反地，固定方(fixed leg)需要給浮動方(floating leg). N i K 的金額，當作彼此的交換。 Li (Ti 1 ) 的值是在時間 Ti 1 的時候確定。. 政治大 discounted payoff)可以被表達成下式：立  P(t, T ) ( L (T. t  1. i. i. i 1. i. 學. . N. ‧ 國. 因此對於支付固定方的投資人，在 t 時間點時，他的未來折現償付(time-t. )  K). (3.2.1). ‧ sit. y. Nat. 而交換利率(Swap Rate)，記做 S (t )，定義為使得(3.2.1)式的值等於零的 K 值，. n. al. er. io. 因此可以得到交換利率(Swap Rate)的公式如下：. S (t ) . Ch. P(t , T )  P(t , T ) .   P(t , T ). i  1. i. engchi. i Un. v. (3.2.2). i. (3.2.1)式的償付是對於支付固定方收取浮動方的投資人，反之，弱勢對於支付浮動方收取固定方的投資人，則會變成 K  Li (Ti 1 ) 。雖然是同一個契約，一體兩面，但對於前者的投資人來說，這個契約通常稱為payer swap。對後者的投資人來說，這個契約通常稱為receiver swap。. 接下來將介紹歐式利率交換選擇權(European swaption)，我們將以payer swap 的角度來看。同樣根據英文文獻[4]的定義，給定償付日期 Ti ， i    1,...,  、. 12.

(19) 名目本金 N 、交換利率 K 與時間點 t ，令  i  Ti  Ti 1 ，payer swaption是一個履約時間點為 T ，標的資產為交換利率為 K 的選擇權。因此，在 t 時間點的未來折現償付(time-t discounted payoff)可以被表達成下式： . P(t , T ) N (  P(T , Ti ) i ( Li (T )  K )) . (3.2.3). t  1. 此商品因為是歐式商品，履約時間點只有一個，可以推出其封閉解，根據英文文獻[4]其公式稱為布雷克公式(Black’s Formula)，而此公式也是市場上用來評 . 價歐式利率交換選擇權的實務公式。其證明過程是使用.  P(, T ) i. 治政然後在此測度下計算期望折現，可以得到如下的公式：大立. t  1. ‧ 國. 學 t  1. (3.2.4). Nat. y. ‧. V. 為計價單位，. . (t , S ; K , N , ˆ )  S N ((d1 )  K(d 2 ))   i P(t , Ti ). Blaxk swaption. i. io. sit. 然而如同英文文獻[1]指出，市場上所使用的這個公式是在假設交換利率為. n. al. er. 對數常態分配(log-normal)下的結果，而本篇論文所使用的模型為市場利率模型，. Ch. i Un. v. 其假設LIBOR為對數常態分配(log-normal)並無法得到此封閉解。我們會在數值. engchi. 結果章節中發現，使用市場利率模型配合蒙地卡羅法所得到的歐式利率交換選擇權與(3.2.4)的封閉解的結果相當靠近，而英文文獻[1]也指出這兩個結果會逼近。. 最後介紹百慕達式利率交換選擇權，以下以及本篇論文所提的類型皆為固定商品到期日的百慕達利率交換選擇權。同樣根據英文文獻[4]的定義，給定償付日期 Ti ， i    1,...,  、名目本金 N 、交換利率 K 與時間點 t ，令  i  Ti  Ti 1 ，百慕達式利率交換選擇權為一選擇權，其履約時間點為 Ti ， i   ,...,   1 ，標的資產為 T 時間點到期的利率交換，在任何時間點 Tk ， k  { ,...,   1} ，契約持有人有權利獲得下列的折現償付： 13.

(20) . N (  P(Tk , Ti ) i ( Li (T )  K )) . (3.2.5). t  k 1. 在本篇論文中所要評價的商品便是上面所介紹的此類固定商品到期日的百慕達利率交換選擇權，因為其具有提前履約的特性，不具有封閉解，因此需要配合其他數值方法來評價，下一節將介紹Longstaff and Schwartz(2001)提出的最小平方蒙地卡羅法。. 3.3 最小平方蒙地卡羅法. 政治大率模型上評價百慕達利率交換選擇權的演算法(Algorithm)。立. 此章節將介紹Longstaff and Schwartz(2001)的最小平方蒙地卡羅法在市場利. ‧ 國. 學. 首先考慮百慕達利率交換選擇權的評價。延續3.2節的符號定義，在時間點 Ti. y. Nat. . ‧. 時， i   ，百慕達利率交換選擇權的投資人有權利得到下列的折現價值：. sit. A(Ti )  N (  P(Ti , Tk ) k ( Lk (Ti )  K )) . io. n. al. (3.3.1). er. k i 1. Ch. i Un. v. 由於此百慕達利率交換選擇權的到期日為 T ，適合用來評價此商品的測度. engchi. 為以到期日為 T 的零息債券(Zero Coupon Bond)當作計價單位的測度，此測度稱為terminal measure，而在此測度下利率的動態過程將如(3.1.9)式的上面兩列，而百慕達利率交換選擇權在時間點0的價值可表達為：. LMM VBermudan (0, L; K , N ) . P(0, T )  sup E  [  . A( ) L 1 (0)  L 1 ,..., L (0)  L ] P( , T ). T 為所有可履約的時間集合. 14. (3.3.2).

(21) 此式表達此商品的價值為投資人在可取得的資訊下進行最佳化決策，以下將 LMM 以 V ( L(t )) 為 VBermudan (0, L(t ); K , N ) 的簡短記號。假設在 Ti 時間點之前的可履約時. 間點投資人都沒進行履約，在 Ti 時間點時，投資人必須決定是否繼續持有此商品或者立即履約，履約價值(Exercise value)即為接下來的償付折現，如(3.3.1)所示；反之，繼續持有價值(Continuous value)可表達為下式：. C ( L(Ti ))  P(Ti , Ti 1 ) E[V ( L(Ti 1 )) | L(Ti )]. (3.3.3). 因此，透過比較履約價值與繼續持有價值，便能判斷百慕達利率選擇權是否. 政治大. 提早履約，若繼續持有，則價值為蒙地卡羅法中實現的下一期償付的折現值，而. 立. 非下一期的期望配適值的折現值。. ‧ 國. 學. 此為一由後往前推方法(backward method)，在時間點 T 1 時，商品價值即為. ‧. 下一期的償付折現，而在其他時間點時，如果在沒有知道未來的利率走勢下，我. y. Nat. io. sit. 們預估出了繼續持有價值，則當履約價值大於繼續持有價值時，商品就會被履約，. er. 否則就繼續持有，而繼續持有價值的估算便是此章的重點。. n. al. Ch. engchi. i Un. v. 如同(3.3.3)式所示，繼續持有價值是取決於現在的資訊 L(Ti ) ，也就是在此資訊下對未來做一個期望預估，我們將選擇使用回歸來計算此繼續持有價值，並且選擇交換利率作為自變數，這是由於交換利率涵蓋了整個利率期間結構的資訊。先使用(3.1.9)式模擬出n條例率路徑，然後依據(3.3.4)計算到期前一期的價值，接著選擇價內路徑(In the money sample)為樣本數，應變數為履約價值，自變數為前一期的交換利率，便能跑出一條如下的回歸式：. . . . . C ( L(T j ))     S (T j )   S 2 (T j )   S 3 (T j ). (3.3.6). 估出後，再把自變數帶入此條回估式所得到的 C ( L(Ti )) 便為繼續持有價值， 15.

(22) 接著便能根據(3.3.5)式算出前一期的契約價值，如此不斷往前重複計算便能得到時間點0的契約價值。如同英文文獻[7]所指出，此繼續持有價值會受到自變數的選擇多寡影響，此處選擇三項自變數是因為有些商品的價值不是隨著利率升高而不斷降低，有時候還會有轉折，因此三次方項可以捕捉到此現象，又能保持估計上的效率性。. 3.4 Rebonato’s formula. 測度轉換後的市場利率模型動態過程已在3.1節介紹，用來評價百慕達利率. 政治大模型的波動度和相關係數參數，  () 與  () ，便能進行評價，在利用歐式利率交立交換選擇權的最小平方蒙地卡羅法也在3.3節介紹，剩下的只要決定好市場利率. ‧ 國. 學. 換選擇權的市場報價進行模型校準(Calibration)時，如同3.2節所述，歐式利率交換選擇權在市場利率模型下並沒有封閉解，因此理論上必須使用蒙地卡羅法來進. ‧. 行校準，但實務上若使用此方法將導致校準時間非常久，因此我們需要的是一個. sit. y. Nat. 能快速進行校準的方法。英文文獻[4]與[11]指出，在市場利率模型下，給定  () 與. er. io.  () 的型式，歐式利率交換選擇權的波動度可以下式Rebonato’s formula逼近：. al. n. iv n C  (0) (h 0) L (0) L (0)  i U e n g c h   (s)  S (0) . ˆ Re bonato(0) 2 . i. j. i , j  1. i 其中  i (0) . i.   (1  . j  1. . k. i. . 1 j L j (0)). 1 k   k  1 j  1 (1   j L j (0)). j. 2. ij. T. 0. i. j. ( s)ds. (3.4.1). ， S (0) 如(3.2.2)的定義，建議詳細的推導. 過程可參考英文文獻[1]。. (3.4.1)式的優點為等號右邊所有的變數都可以在時間點0的時候觀察到，因此不需要進行利率路徑模擬便可得到 ˆ Rebonato(0) ，其作用有二，一為以此值. ˆ Rebonato(0) 代入(3.2.4)可得到歐式利率交換選擇權的近似值；二為可利用市場上 16.

(23) 觀察到的歐式利率交換選擇權反推波動度，然後以此公式反推波動度和相關係數參數，也就是利用歐式利率交換選擇權進行利率市場模型的校準。. 3.5 參數模型設定. 如同3.4節一開始所述，使用利率市場模型時，一但決定好瞬間波動度與相關係數的形式(Instantaneous volatility and correlation functions)， () 與  () ，就能進行利率的路徑模擬。然而如同英文文獻[4]與[12]所述，由於市場上觀察到的波動度圖形與相關係數圖形的特殊結構，因此在設定他們的函數時就變得困難，參. 政治大若要探討全部影響因子，可參考英文文獻[11]。立. 考英文文獻[4]、[5]、[11]與[12]，以下將先介紹文獻上常使用的函數型式及原因，. ‧ 國. 學. 就市場上觀察到的波動度期間結構，常常會有圓丘型(humped)的形狀，(3.5.1). ‧. 式便能夠捕捉到此一現象，此為廣被使用的時間無關(time homogeneous)的型式，. n. al. Ch. engchi. 令 t  0 ，(3.5.1)對 Ti 1 微分後，可以找出當 Ti 1 . 4. er. io. i 1 t ) 3.  i (t )  v(Ti 1  t;  )  ((Ti 1  t ) 1   2 )e (T. sit. y. Nat. 為了能夠更貼近市場觀察到的資料，(3.5.2)式便根據(3.5.1)式做了些維修改。. i Un. v. (3.5.1).  1   3 2 時，有最大值，  3 1. 其中，  皆為常數且都有經濟意義，  1 為為一非負常數確保極端值為最大值，.  2   4 為到期日很短的瞬間波動度，  3 為一調整項決定圓丘的彎曲程度與  4 為到期日很遠的瞬間波動度。. i 1 t ) 3.  i (t )   i v(Ti 1  t;  )   i [((Ti 1  t ) 1   2 )e (T. 4 ]. (3.5.2). 其中，  的經濟意義與(3.5.1)式中的意義相同， i 為一調整項，讓模型變成時間 17.

(24) 相關的型式且增加配適程度。. 而就市場觀察到的相關係數結構，一個明顯的現象是距離較近的兩個遠期利率之間的相關係數較高，反之，距離較遠的兩個遠期利率之間的相關係數較低，此為其中的一個現象，第二個現象為最近期的遠期利率與最後一期的遠期利率間的相關係數應為正，第三個現象為當任意的兩個遠期利率之間的時間距離相同時，到期日愈遠的那一組相關係數應愈大。而(3.5.3)能捕捉到第一與第二個現象，i 與j相差愈多，則相關係數愈小。.  ij  exp(  | i  j |). 立. 政治大. (3.5.3). ‧ 國. 學. 但是此一型式只考慮了差距，無法捕捉到不同時間點的影響，像i=5與i=7之間的相關係數與i=7與i=9之間的相關係數在(3.5.3)式之下是相同的，但是實際上. ‧. 後者的相關係數應該要比較大，以捕捉第三個現象，因此一個較複雜的參數型式. y. sit. io.  2. er. |i j| i 2  j 2  ij  3Mi  3Mj  3i  3 j  2M 2  M  4  ( ln  3  1 M 1 ( M  2)( M  3). al. n.  ij  exp[ . Nat. (3.5.4)便產生了。. i2  j2. i n C U  ij  Mi  Mjhe 3in  3 j  3h g c Mi  2 )]. v. 2. ( M  2)( M  3). (3.5.4). 其中，  3 為控制最近期的遠期利率與最後一期的遠期利率間的相關係數為正， 1 與  2 決定 1, 2 與  n 1,n 的不同，市場上的現象通常為  n1,n  1, 2 。. 參考英文文獻[12]，此篇論文使用此2種波動度型式與2種相關係數型式，共 4種組合來進行評價，因此會得到4個百慕達利率交換選擇權的價格，四組型式如下表所示，此論文將會對評價結果做一解釋。. 18.

(25) 3.6 參數校準. 通常有兩種方式可以得到模型參數的值，一為使用歷史資料來做統計估計，此種方法的概念是利用過去的資料代表未來的經濟情況，因此使用過去的資料估. 治政計出模型參數來模擬未來的走勢；二為校準，此種方法的概念是利用當下觀察到大立的市場資料，像是資產價格，因此模型參數的值是讓模型所算出來的價格剛好等 ‧ 國. 學. 於觀察到的市場價格，而這組模型參數便稱為校準出來的模型參數。第二個方法. ‧. 之優點為，校準出來的模型參數能夠反映現在的市場經濟情勢，而不是使用過去. io. sit. y. Nat. 的資料來估計未來。本篇論文便是使用校準的方法來決定模型參數。. n. al. er. 如同英文文獻[11]指出，通常使用歐式利率交換選擇權來做百慕達利率交換. Ch. i Un. v. 選擇權的避險，因此選擇歐市利率交換選擇權的價格來校準能適當地反映進行風. engchi. 險管理避險的結果，此篇論文參考英文文獻[5]的校準方法。如同3.5節的模型參數設定，要校準的參數有 、  與  ，此處的希臘字母為向量，除非向量中的數只有一個，此時當作純量。. 英文文獻[5]的校準方法的想法為，在給定歐式利率交換選擇權的市場波動度、  的初始值與  的初始值下，讓 是可變動的，選擇 的值使得模型算出來的歐式利率交換選擇權波動度剛好等於市場波動度，需要注意的是，此處的歐式利率交換選擇權是選擇契約終止日與待評價的百慕達利率交換選擇權相同的歐式利率交換選擇權，也就是波動度矩陣中左下到右上的對角線。在給定新的. 19.

(26) 下，再讓  與  是可變動的，選擇  與  使得模型波動度與市場波動度的誤差平方和最小，需要注意的是，此處用來讓誤差平方和最小的歐式利率交換選擇權的波動度是所有契約終止日小於待評價的百慕達利率交換選擇權的，也就是剛剛所述的對角線之上的。得到新的  與  後，再重複計算出新的 ，得到新的後 ，再重新算出新的  與  ，如此反覆做下去，直到最佳參數值出現，或者反覆次數超過最大迴圈次數，整個過程都使用Rebonato’s formula來計算市場利率模型下的歐式利率交換選擇權波動度。. 詳細計算過程如下，此處引用英文論文[5]的波動度舉陣與初始遠期利率當. 政治大. 作例子解說，如下，表格表示價平歐式利率交換選擇權的市場波動度，最上面的. 立. 年表示選擇權的到期日，最左邊的年表示標的資產，也就是利率交換，的期間，. ‧ 國. 學. 待評價百慕達利率交換選擇權的履約時間點為1年後、2年後、…、10年後，總長. ‧. io. sit. y. Nat. n. al. er. 度為11年。. Ch. engchi. 20. i Un. v.

(27) 政治大. 雖然此篇論文的參數模型設定有四種，但是校準的過程都是一樣的，差別只. 立. 在於校準時間的長短。第一步，給定  與  的初始值，選擇 的值使得Rebonato’s. ‧ 國. 學. formula算出來的波動度剛好等於市場波動度，第一步中只使用到對角線的波動度，也就是圖中的粗黑體字，詳述過程如下，從到期日10年與期間1年的波動度. ‧. 開始，12.4%，記作 ~ ，令它等於Rebonato’s formula算出來的波動度，可以得到. iv n ~ UT. n. al. er. io. sit. y. Nat. 。. Ch. engchi. T 1 1 ~2   2  v(T 1  s;  ) 2 ds     0 T 1. 2. . T 1. . 0.  1. v(T 1  s;  ) 2 ds. 再來換求  1 ，使用到期日9年與期間2年的波動度，12.2%，記作 ~ 1 ，令它等於Rebonato’s formula算出來的波動度，可以得到  1 。. ~2 1 . 1 T 2. . . i , j  1. i (0) j (0) Li (0) L j (0)  ij S  2  (0). 2. T  2.  i j  . 0. 21. v(T j  s;  )v(Ti  s;  )ds.

(28) . ~2 1 S  2  (0) 2 T 2 T  2. . 0. v(T j  s;  )v(Ti  s;  )ds. . . i (0) j (0) Li (0) L j (0)  ij. i , j  1. S  2  (0) 2. .  i j. 由於  已經求出，根據上式可以得到  1。如此繼續往下做便可得到  2 、.   3 、…，當所有的 i 都求出後，第一步驟便完成。第二步驟便是在給定第一步驟求出的 i 下，利用最小平方誤差求新的  與  ，所使用的波動度為圖中的粗黑體字的上方所有值，也就是求如下的最佳化式。. min | ~   ( ,  ; ) | 2  ,. 立. 政治大. 其中 ~ 為市場波動度，  ( ,  ; ) 為Rebonato’s formula計算的波動度。. ‧ 國. 學. 求出新的  與  後，再重覆做第一步驟與第二步驟，直到算出最佳值或者次. ‧. 數超過最大迴圈次數。此校準方法稱為對角遞迴校準 (diagonal recursive. y. Nat. n. al. er. io. 論文。. sit. calibration, DRC)，為英文文獻[10]內所提出來的校準方法，詳細內容可參考此篇. 3.7 敏感度分析與避險. Ch. engchi. i Un. v. 在衍生性金融商品中，敏感度分析指的是當決定此衍生性金融商品的經濟變數發生變動時，衍生性金融商品價格的相對變動。以數學式子表達，假設. f ( x1 , x2 ,..., xn ) 為衍生性金融商品價格， x1 , x2 ,..., xn 為影響衍生性金融商品價格的經濟變數，則第i個經濟變數變動對價格的影響可以偏微分表達. f ( x1 , x 2 ,..., x n ) xi 而若此金融商品價格沒有封閉解，則可用間斷型的方法來求第i個經濟變數 22.

(29) 變動對價格的影響，如下式：. f ( x1 , x2 ,..., xi ,..., xn ) f ( x1 , x2 ,..., xi  xi ,..., xn )  f ( x1 , x2 ,..., xi ,..., xn )  xi xi 此篇論文因為是使用蒙地卡羅模擬法求解商品價格，因此也是使用上述間斷型的方法來做敏感度分析。. 參考英文文獻[5]，受遠期利率變動影響的稱為Delta風險；受歐式利率交換選擇權隱含波動度變動影響的稱為Vega風險，在避險方面，使用下一期開始的利. 政治大率交換選擇權的投資組合來避Vega風險，也就是使用3.6節中表(3.6.1)內的粗體字立率交換來避Delta風險；使用契約終止日和百慕達利率交換選擇權相同的歐式利. ‧ 國. 學. 的歐式利率交換選擇權來避Vega風險。因為歐式利率交換選擇權的價格也會受利率變動影響，因此使用上會先避Vega風險再避剩下來的Delta風險。. ‧. sit. y. Nat. 在第三節的介紹中，百慕達利率交換選擇權的評價過程，使用到歐式利率交. io. er. 換選擇權的市場波動度與市場遠期利率來校準模型並且評價。而舉3.6節中所提的百慕達利率交換選擇權為例子，因為其標的資產為利率交換，因此會有數個遠. al. n. iv n C 期利率會影響其價格；且數個歐式利率交換選擇權的波動度變動也會使得其價格 hengchi U 變動。. 為配合評價過程，此篇論文的敏感度分析做法為，當歐式利率交換選擇權的市場波動度發生變動的時候，像是上升1%，重新校準後對評價結果的影響，像是3.6節中百慕達利率交換選擇權的例子，理論上可以算出10個Vega，如下表；而遠期利率方面的影響，此篇論文是計算當某個、部分或全部交換利率發生變動的時候，像是上升1BP時，重新校準後對評價結果的影響。而為了避此風險，在避險工具的價格變動方面也是計算遠期利率變動造成的價格變動量，如此，便可避掉Delta風險，像是3.6節中百慕達利率交換選擇權的例子，理論上可以算出10 23.

(30) 個Delta，但是由於單一利率交換商品的報價是由數個遠期利率決定，因此單一利率交換商品就能反應數個遠期利率變動的影響，參考英文文獻[4]，通常只用最近到期的利率交換來避險。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. al. er. io. sit. y. Nat. 3.8 風險值. Ch. i Un. v. 英文文獻[9]中對風險值，簡稱VaR，定義為在一特定期間(T)內，在給定的. engchi. 信賴水準(  )下，當市場發生不利變動時，預期潛在的最大損失之金額估計值。用數學式表達如下： Pr(W  VaR)  1  . (3.8.1). 其中， W 為投資組合損益，正值代表收益，負值代表損失。.  為信賴水準。. 風險值 VaR 的估計方法一般主要有三種，一為變異數 - 共變異數法. 24.

(31) (Variance-covariance approach)、二為歷史模擬法(Historical simulation approach)與三為蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation approach)。由於此篇論文的模型為多因子模型，使用變異數-共變異數法或蒙地卡羅模擬法將會比較複雜，因此此篇論文使用歷史模擬法來估計百慕達利率交換選擇權的風險值，但是因為此商品屬於店頭市場商品，並沒有市場報價，因此無法直接使用市場上的價格觀測值計算，此處採用的方法為，根據過去某段時間的N筆每日歐式利率交換選擇權市場波動度與期初遠期利率資料，做N次模型校準與評價，便能得到N筆百慕達利率交換選擇權價格，再從小到大排序便能估計出日風險值(Daily VaR)，如下方流程圖所示。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 25. i Un. v.

(32) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 26. i Un. v.

(33) 第四章數值結果. 此章節將延續第三章的研究方法，利用 Rebonato’s formula 來校準利率市場模型的波動度與相關係數參數。而後，利用校準得到的參數搭配蒙地卡羅模擬法來進行評價。4.1 節將先評價歐式利率交換選擇權的價格，與用 Rebonato’s formula 得到的波動度帶入 Black formula 的結果做比較。4.2 節將評價此論文的主軸商品，百慕達利率交換選擇權，並且把 4 個不同參數結構模型的價格做比較。. 4.1 歐式利率交換選擇權. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 延續3.5節模型設定與3.6節的校準方法，為了確認校準與評價結果正確，此. ‧. 篇論文參考英文文獻[4]的市場資料來校準與評價，歐洲市場價平歐式利率交換. sit. y. Nat. 選擇權波動度市場報價與遠期利率皆為2004年8月11日的資料，如前面表3.6.1與. io. er. 3.6.2所示，歐式利率交換選擇權的為1x10，2x9，…，10x1型式，進入利率交換後為付固定利率方，交換利率的履約價有價內(3.5%)、價平(4.5%)與價外(5.5%). n. al. 三種。. Ch. engchi. i Un. v. 首先，使用校準出來的4種模型計算Rebonato’s formula，並且與市場上觀察到的波動度，3.6.1做比較，計算總平方誤差和，可以發現公式1的總平方誤差和最小，這是由於公式1的波動度型式與相關係數型式的經濟變數較多，較能夠抓到市場上的波動度結構與相關係數結構，因此配適得較好，反之公式4由於波動度型式簡單到無法抓到圓丘型的特徵，相關係數型式也只與遠期利率間的距離有關，因此配適得較差。. 27.

(34) N. Total Sum of Errors .  ( i 1. Calibration.   Market ) 2. N.  i 1. 2 Market. 政治大下圖為使用校準出來的參數，利用Matlab所畫出的遠期利率相關係數結構圖立 ‧. ‧ 國. 學. 與波動度期間結構圖。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 28. i Un. v.

(35) 政治大接下來，先進行歐式利率交換選擇權的價格試算，除了4種公式的價格計算立. ‧ 國. 學. 外，使用Rebonato’s formula 算出波動度後代入Black formula得到的價格當作參考基準來比較，歐式利率交換選擇權的名目本金皆為1，蒙地卡羅法的模擬路徑. ‧. 數為10000條，價格單位為萬分之一。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 29. i Un. v.

(36) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 各模型所算出來的價格離Black公式算出來的價格並無太大差異，因此此篇論文建議採用公式1，這是由於其總誤差平方和最小，並且其波動度型式與相關係數型式的設定都有其經濟上的意義，並不是只為了增加配適度而加入的參數。此外值得一提的為參數校準與路徑模擬時間，此篇論文使用Matlab校準與評價，而由於公式1的參數形式較為複雜，整個流程的時間比公式4的時間長上許多。對實務上的使用者而言，需考慮配適度與評價所需時間來進行模型使用抉擇。 30.

(37) 4.2 百慕達利率交換選擇權. 延續4.1.1模型校準的結果，此章節將進行百慕達利率交換選擇權的評價，待評價的百慕達利率交換選擇權的商品內容為，名目本金1000，可履約時間點的相關資訊為1年後有權利進入10年期的利率交換、2年後有權利進入9年期的利率交換、……、9年後有權利進入2年期利率交換、10年後有權利進入1年期利率交換，若進入利率交換後為付固定利率方，交換立率的履約價格有價內(3.5%)、價平 (4.5%)與價外(5.5%)三種，蒙地卡羅模擬路徑數為5000次。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. al. n. 的標準差。. er. io. 表4.2.1中，括號外面的數字為蒙地卡羅法的商品價格，括號內為商品價格. Ch. engchi. i Un. v. 圖4.2.1百慕達利率交換選擇權價格 Formulation1. 107.00% 106.00% 105.00% 104.00% 103.00% 102.00% 101.00% 100.00% 99.00% 98.00% 97.00% 96.00%. Formulation2 Formulation3 Formulation4. Strike=3.5(ITM) Strike=4.5(ATM) Strike=5.5(OTM) 31.

(38) 此篇論文得到與英文文獻[12]類似的結果，百慕達利率交換選擇權的價格在不同模型下的差異約在0~6%。價外選擇權價格差異較大的原因為，標的資產價格在履約價之內或外的差別較大，因此不同模型模擬路徑的差異就造成了價外選擇權價格變動影響較大。而公式1、2得到的價格幾乎都比公式3、4大，這是因為波動度型式的關係，由於3與4是簡單假設波動度型式，因此比起3與4，1與2更能捕捉到市場波動度的變化，因此波動度較大，商品價格也就較大，而相關係數模型的設定方面就比較沒有這種趨勢，此結論與英文文獻[12]相同，波動度型式選取的重要性比相關係數型式選取的重要性來得重要。. 政治大. 就模型選擇的建議上，若只考慮經濟解釋與統計精準而言，此篇論文建議模. 立. 型1，其波動度型式與相關係數型式就經濟意義上都較能貼近市場資料，而校準. ‧ 國. 學. 結果也顯示公式1的總平方誤差和為最小，但值得一提的是校準與評價時間，公式1的校準時間約為公式2的1.5倍，而公式1與2的時間都比3與4高上許多。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 32. i Un. v.

(39) 第五章敏感度分析與風險值實證. 此章延續第四章所算出來的百慕達利率交換選擇權的價格進行風險管理分析，5.1 節將使用相同於第四節的資料進行敏感度分析與避險探討，敏感度分析的部分將會把實際的值計算出來，而避險的部分將只介紹如何利用其他金融商品進行避險管理；5.2 節將使用相同於第四節的資料進行風險值的計算，如 3.8 節所述，此節使用歷史模擬法來計算百慕達利率交換選擇權之風險值(Value at Rsik)。. 立. 5.1 敏感度分析與避險探討. 政治大. ‧ 國. 學. 此章節將進行百慕達利率交換選擇權的敏感度分析，百慕達利率交換選擇權. ‧. 的商品內容為，名目本金1000，可履約時間點的相關資訊為1年後有權利進入10. sit. y. Nat. 年期的利率交換、2年後有權利進入9年期的利率交換、……、9年後有權利進入2. io. er. 年期利率交換、10年後有權利進入1年期利率交換，若進入利率交換後為付固定利率方，交換立率的履約價格有價內(3.5%)、價平(4.5%)與價外(5.5%)三種，蒙. n. al. 地卡羅模擬路徑數為5000次。C h. engchi. i Un. v. 如 3.7 節所述，此篇論文讓所有在結束日期前的遠期利率都上升 10BP(Basic Point)，計算它的價格變化，結果如下表所示：. 33.

(40) 探討價格變動的原因主要有二，一為遠期利率上升會使得殖利率曲線整體的向上移動，因此會影響評價過程的折現步驟，若其他條件不變，則折現後的現值會降低；二為因為此百慕達利率交換選擇權若履約進入利率交換是付固定利率方，因此在履約價格固定下，若整體遠期利率變高會使此商品更有機會進入價內，因此商品的價格會提高。綜合兩個因素，從表 5.1.1 的結果來看，不論是價內、價平或價外，第二原因的影響來得比第一原因的影響大，造成價格都往上漲，但是價內(K=3.5%)的漲幅較價平(K=4.5%)的漲幅大，而價平(K=4.5%) 的漲幅又比價外(K=5.5%)的漲幅大。需要注意的是此處只分析的商品是履約後進入利率交換後是付固定利率方，因此第二原因才讓商品價格上漲，弱勢進入. 治政付浮動方，則會使得商品價格下跌，而下跌的幅度則需要進一步計算，但是方大立法卻都相同。 ‧ 國. 學. 波動度的敏感度分析方面，因為此篇論文為市場利率模型，因此可以準確. ‧. 計算每個交換利率波動度變動對百慕達利率交換選擇權價格變化的影響，如 3.7. y. Nat. n. al. Ch. engchi. 34. er. io. 改變 1%下，百慕達利率交換選擇權的價格變動：. sit. 節所述的方法，下表則為實際值的計算，衡量在歐式利率交換選擇權的波動度. i Un. v.

(41) 從上表可以看出各個隱含波動度變動 1%後對百慕達利交換選擇權價格的影響都在 0.1 上下，但是卻沒有發現一個趨勢，下表為讓所有遠期利率同時變動 1%的價格變動結果：. 政治大. 立. 就金融機構發行此商品而言，若要達到無風險則有兩個風險需要規避，其. ‧ 國. 學. 一為波動度風險，此部分可就表 5.1.2 來做，首先計算對角線上的各個歐式利率交換選擇權的 Vega 值，算出後便能與表 5.1.2 相對應，利用這 10 個歐式利率交. ‧. 換選擇權做反向的部位，其各個數量為使得發行出去的百慕達利率交換選擇權. y. Nat. io. sit. 之 Vega 值等於歐式利率交換選擇權的 Vega 值，如此便能避掉波動度風險；此. n. al. er. 時金融機構的部位內已經有用來避波動度風險的歐式利率交換選擇權投資組合，. Ch. i Un. v. 而這些用來避險的工具本身也會受遠期利率的變動影響，因此計算完這組投資. engchi. 組合受遠期利率變動影響的總值後，再根據表 5.1.1，利用最近期開始的利率交換來補上其中的差距，如此便能完成遠期利率變動的風險，實務上，避險方可以參考本身對未來遠期利率走勢的看法，計算個別或數個遠期利率變動造成的影響，然後在公司的目標與願意承擔的風險下規避其認為該避的風險，而不必像此篇論文一樣假設平行移動，這也是為什麼對金融機構來說，交易員對未來經濟情勢的看法很重要的原因。. 5.2 風險值. 百慕達利率交換選擇權的商品的契約內容與 5.1 節的敘述都相同，評價日 35.

(42) 為 2004 年 8 月 11 日，因此就歷史模擬法的數量，採用 2004 年 8 月 11 日之前 221 天(排除假日)的歐式利率交換市場波動矩陣與遠期利率資料，進行 221 次校準與評價，得到 221 筆的價格與 220 筆的利潤與損失(Profit & Loss, P&L)，而後進行排序(Rank)便能得到相對應的風險值，如下表所示，表 5.2.1 為價格變動的次數分配表，表 5.2.2 為報酬率的次數分配表：. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 36. i Un. v.

(43) 風險值的計算，便能根據上表選擇一定的信賴水準來得到，如下圖所示，同時表 5.2.1 則列出實際數值的結果：. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 37. i Un. v.

(44) 第六章結論. 隨著金融商品日新月異，有浮動利率的公司債出現，若此公司債又有提早贖回的性質，則發行公司債的公司用來避險的工具將不是普通的利率交換，而是可取消利率交換，此篇論文便是為了解決可取消利率交換的評價問題與金融機構隨之而來的風險管理問題。此商品其實可以拆解成普通的利率交換加上一個百慕達利率交換選擇權，在契約訂定日時，利率交換基本上是不需要付費，因此其商品價格決定於百慕達利率交換選擇權，而此商品因為有提早履約的特性，造成其封閉解不存在，必須仰賴數值方法來求解，此篇論文即以 Longstaff. 治政 and Schwartz(2001) 的最小平方蒙地卡羅法來評大價，選擇的利率模型為立 BGM(1997)的市場利率模型。 ‧ 國. 學. 市場利率模型的波動度與相關係數結構則參考 Brigo 與 Steffen. ‧. Hippler(2008)的模型假設共分成 4 組來評價，而模型的參數有別於歷史估計法，. y. Nat. io. sit. 此篇論文利用 Rebonato’s Formula 來校準歐式利率交換選擇權的市場報價，使. n. al. er. 用的校準方法則為 Lvov(2005)的對角遞迴校準。較多參數的模型其校準後的配. Ch. i Un. v. 適程度較好，由於公式 1 與 2 的波動度期間結構比公式 3 與 4 的結果貼近市場，. engchi. 且公式 1 與 2 的價格都比公式 3 與 4 大，因此波動度的參數型式選擇是很重要的因素之一，貼近市場的型式較能反映出真實市場的價格；而相關係數參數型式的選取則較沒有此現象。若單考慮數學上的配適程度與參數的經濟意義，則公式 1 是最好的，但其耗費較長的電腦運算時間是實務上運用時需要考慮的一點。. 而在算得百慕達利率交換選擇權的價格後，只要再加上利率交換的價格，便能得到可取消利率交換的理論價格，由於利率交換的價格非常好計算，整個可取消利率交換的評價重點便是在百慕達利率交換選擇權的評價上。. 38.

(45) 此商品的價格變動因素還是以標的資產利率交換的報價為主要因素，交換利率的波動度影響則是其次，就金融機構的避險方法而言，可以使用終止日與百慕達利率交換選擇權相同的歐式利率交換選擇權來避波動度風險，其數量則取決於各自 Vega 值的平衡，而後再利用最近到期的利率交換來避利率風險。最後此篇論文透過理論方法說明與市場資料，進一步探討敏感度分析且採用歷史模擬法估計了商品的風險值與條件風險值。. 對於後續的研究發展與建議，若能在利率模型中加入跳躍過程(Jump Model)，相信更能捕捉到市場上的利率變動情況，而其造成的價格差異也有待. 政治大. 進一步的探討或者能探討不同期間與不同到期日的百慕達利率交換選擇權投資. 立. 組合的風險值。另一方向可考慮利用其他利率的無套利模型來評價，而由於此. ‧ 國. 學. 百慕達利率交換選擇權的價格受數個遠期利率的影響，因此預期單因子的無套利模型，像是 Hull and White 單因子模型的評價結果可能沒有二因子的無套利. ‧. 模型，像是 G2++模型來得好，而其差異也有待進一步探討，甚至是眾多利率. y. Nat. io. sit. 模型對百慕達利率交換選擇權的評價結果差異也很值得一探究竟。上述為模型. n. al. er. 修改的方向，而另一方向為敏感度分析的計算方法，若評價方法像此篇論文一. Ch. i Un. v. 樣是用蒙地卡羅法，則其敏感度分析會面臨精準度與效率性的問題，如何計算. engchi. 才能達到最合適、精準且有效率的方法有待進一步的探討，這一部分可以參考 D. Lvov(2005)的論文內容以得到進一步的問題了解。. 39.

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