假設空間中有兩個物體，物體 1 與物體 2 分別固聯於座標系
1( , , )1 1 1
S X Y Z 與S X Y Z2( 2, , )2 2 ，如圖2-2 所示。Z1 軸與 Z2 軸分別為物體 1 與物體 2 之旋轉軸，其旋轉之角速度分別為ω1與ω2 ，γ為兩旋轉軸 之交錯角，而 C 則為其最短距離，P 點為物體 1 與物體 2 之瞬時接觸 點。因此，瞬時接觸點P 在物體 1 上之速度V 可由下式求得： 1
V1 = ×ω1 R1 (2.4) 其中R1 乃是由物體 1 旋轉軸上任一點指向接觸點 P 之位置向量。
而瞬時接觸點P 在物體 2 上之速度 V2 則可由下式求得：
V2 =ω2×R2
其中R2 乃是由物體 2 旋轉軸上任一點指向接觸點 P 之位置向量。
最後物體1 與物體 2 之相對速度可求得如下：
V(12) = −V V1 2 =(ω1×R1) (− ω2×R2) (2.5) 2.3 嚙合方程式
若考慮空間中有兩個相互嚙合運動的曲面Σ1和Σ2，如圖 2.3 所 示。P 點為此兩嚙合運動曲面Σ1和Σ2之共切點(Common Tangent)，同時 也是兩曲面之瞬時接觸點。共切點 P 在兩曲面上有共同之法向量 (Common Normal Vector)N；V(12)則為曲面Σ1和Σ2在P 點的相對速度。
曲面於嚙合時，兩曲面間既不分離，也不嵌入對方，故兩曲面之共同 法向量方向，其相對速度V(12)為零，是以接觸之兩曲面其相對速度必落 在共同切平面(Common Tangent Plane)T 之上，故此共同法向量 N 必與 共切面T 相互垂直。
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圖 2.2 空間物體之相對運動
圖 2.3 空間嚙合曲面之關係
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根據上述的現象可以得到以下的結論：
兩嚙合運動曲面間的相對速度 V(12)與共同法向量 N 和共同接觸點 P 處必相互垂直。所以下式亦必成立：
=0
N V× (12) (2.6)
方程式(2.6)亦即齒輪原理中討論共軛運動對嚙合運動條件之嚙合 方程式。
2.4 餘擺線之運動定義
過切現象的發生與齒條刀的滾齒中心距離有關，當切深適當時，
我們可以得到，齒輪正確的齒厚、根徑、外徑和合乎要求的漸開線起 始徑，但滾齒中心距離有所變動，即造齒輪精度的不穩定，尤其當滾 齒中心距離變小即造成過切；齒條刀滾齒加工時，即刀具沿著一直線 運動，被切齒輪旋轉而創成出齒形，而此動作即是循著餘擺線的路徑。
餘擺線，顧名思義與擺線(Cycloid)相類似。當半徑為 a 的圓沿著 x 軸直線滾動時，圓周邊上一點”P”的路徑軌跡即為擺線曲線；若”P” 點 移至距離圓心b 長度時，所產生的路徑軌跡即為餘擺線曲線，如圖 2.4 所示。a>b 或 a<b 所產生的餘擺線曲線型式不相同，而擺線曲線為餘擺 線a = b 時的特例。
餘擺線的曲線方程式為：
sin
x a= θ −b θ cos
y a b= − θ
(2.7) 擺線的曲線方程式為(當 a = b 時)：
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sin x a= θ −a θ
cos
y a a= − θ
(2.8) 式中θ為圓滾動的角度。
圖 2.4 餘擺線曲線示意圖
(a) a=1, b=2
(b) a=2, b=1
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2.5 過切原理
齒輪的轉位，又稱做移位或變位。齒輪轉位，簡單地說就是利用 基準刀具切削齒輪時，刀具切深或切淺(相對於齒輪的基準節圓)的一種 方式，切削出來的齒輪彼此可以互相嚙合，如圖2.5 所示。
齒輪轉位的目的：
(1) 調整中心距
A. 兩固定軸裝上一或數對齒輪對 B. 中心距變動(非標準中心距) (2) 防止過切
(3) 改善齒輪強度
(4) 其他(改變齒輪的接觸率、滑動率…)
至於齒輪過切(Undercut)，意指兩齒輪嚙合時，其一齒輪齒頂超越 配對齒輪的基圓之內，嚙合不順暢，擠壓變形，傳動時產生噪音；此 時若嚙合的對象改為刀具，則干涉的部位即被切除，此即造成所謂之 過切。
圖2.6 為一齒條刀具創成齒輪之示意圖，瞬時旋轉中心為 I 點，
OI v
v(2) = (1) =
ω
× (2.9)或
ω
) 2
v(
OI= (2.10) 對齒輪而言，過點 I 的圓即為節圓(Pitch circle)；對齒條刀具而言，過 點I 的線即為節線(Pitch line)。當齒條齒頂被切齒輪的基圓時即造成過 切，如圖2.7 所示。
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圖 2.5 基本齒條刀轉位切製齒輪圖[45]
圖 2.6 齒條刀具切製齒輪示意圖[45]
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圖 2.7 齒條刀切製齒輪之過切示意圖[45]
圖 2.8 不同之轉位量與過切的關係[45]
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圖 2.9 齒條刀創成齒輪之座標轉換
圖 2.10 齒條刀與被切齒輪之示意圖(未創成時)
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P 點座標(座標系 0)
0
cos( ) sin( ) sin( ) cos( )
r r
r r
θ θ θ
θ θ θ
⎡ − ⎤
= ⎢⎣ + ⎥⎦ P
cos( ) sin( ) 0 sin( ) cos( ) 0
0 0 1
θ θ
θ θ
⎡ − ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
M
齒條創程後的座標(座標系 0)
[ ][ ] [ ]
0 = M R 1+ P 0
R
0:齒條創程座標點(座標系0)
R
1:齒條座標(座標系1)
R
圖 2.11 齒條刀與被切齒輪之示意圖(創成時)
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第3章 齒輪刀具之基本介紹
3.1 前言
齒輪刀具泛指，滾齒刀、鉋齒刀、成形銑刀、刮齒刀、拉刀以及 特殊場合應用的栓槽滾刀、鏈輪滾刀、鋸片滾刀、削鉛筆刀、切粒刀 等等，這些刀具廣泛應用於各式各樣之傳動零件和特殊滾刀的製造。
齒輪刀具雖有這些類別，但本文主要以滾齒刀、刮齒刀以及特殊刀刃 的負向角刀具為探討之對象。
齒條可分為標準齒條與特殊齒條，所謂特殊齒條即指非標準齒條 而言，其有著瘤頭和齒頂倒角以及非標準齒厚等之齒條尺寸設計，而 標準齒條即對應標準齒輪(無轉位、標準齒深和無放刮放磨等設計)。
滾齒刀和刮齒刀雖然是齒輪製造業最常使用的刀具之一，但大部 份的使用者對其不甚了解，透過這兩種刀具生產的重點製程，可對本 文研究有更進一步的認識。
齒輪的機製加工方式，簡單的可分為前加工與精加工；滾齒、鉋 齒、成形銑製等屬於前加工(雖然滾、鉋齒也可做精加工，但一般而言 仍以前加工為主)，所製之產品精度較低，也稱為粗加工；另外刮齒加 工(Shaving)、珩齒加工(Honing)、磨齒加工(Grinding)等則屬於後加工，
產品精度要求較高，所以亦稱精加工。
目前齒輪的精加工方式，主要以刮齒與磨齒為主，由於刮齒效率 高，成本低，廣泛應用於齒輪之大量生產，所以產量最大的汽機車用 齒輪，目前仍以刮齒加工為主。
刮齒加工方式依動力區分為：動力刮齒與從動性刮齒；所謂的動 力刮齒即刀具軸與齒輪軸均能自主轉動，刮齒時可因各自獨立的傳動 條件，可以調整加工參數，以得到齒輪之齒形與導程精度的控制。至 於從動性刮齒，刮齒時僅刀具軸有旋轉動力，以轉動的刀具軸帶動齒
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輪，藉刮齒刀齒腹部份的開槽之刃口，因相互嚙合時的刮擦動作，刮 削齒輪齒面而複製與刮齒刀齒面相同的一種加工。
至於刮齒刀的型式，則以刮齒機的機構區分，可分為，直進式 (Plunge Type)、下過式(Underpass Type)、軸向式，一般稱為傳統式 (Conventional Type)以及對角式(Diagonal Type)等四種刮齒刀。
齒輪的加工過程中，若齒條刀具的齒頂超越被切齒輪的基圓之 下，即造成所謂的過切(Undercut)，這種在齒輪根部份的過切現象，如 圖3.1 所示，將造成齒輪根部強度降低，所以一般的概念，工程師會採 用各種辦法，來避免齒輪過切的發生。然而在本文中，卻反方向利用 過切的特性，應用於刮齒刀讓槽型式的創新設計。
滾齒時的過切原理廣泛應用於放刮與放磨齒輪的前加工；假設吾 人設計一滾切後的齒形，任一側齒形整段漸開線產生過切時，此即稱 之為完全過切(Fully Undercutting)。
齒形若發生完全過切時，齒形之一側漸開線，因過切而完全被切 除，並於齒頂相交，因而形成刃口，如圖 3.2 所示。刃口型式有別於 正壓力角之刀刃，故稱之為負向角刀具，常見於削鉛筆刀、紡紗用切 粒與鈎紗刀具以及鋸片滾刀等。
滾齒刀容屑槽的製造，習用技術主要以成型側銑刀加工為主，雖 然機台與刀具容易準備，操作亦簡單，但加工耗時與滾切ZK 型蝸桿銑 製時，因銑刀外徑改變造成齒形上下端因干涉而被切除之缺點[26]，而 且滾刀材料不斷推陳出新，銑製的加工方式面臨挑戰，除了刀具磨耗 快速之外，生產中常因刀具磨損未能即時更換而這成刀具爆裂而傷及 工件之狀況。
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圖 3.1 齒輪根部過切圖
完全過切之 刀具路徑 外徑
原齒輪齒形 最終齒形
圖 3.2 完全過切齒形
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滾齒刀容屑槽並非對稱齒形，通常不考慮使用滾切加工，但本文 利用推導而得之齒條製作滾齒刀，以創新的滾製方式克服此加工瓶頸。
3.2 齒條刀之定義
當漸開線齒輪齒數為無窮多齒，節圓直徑為無窮大時，漸開線齒 形變成直邊齒形，因此以齒條齒形表示齒輪基本齒形，稱為基準齒條 齒形(Standard Basic Rack Tooth Profile)。基準齒條齒空部份作為刀具之 刃口，如圖 3.3 所示，此即稱基本齒條形刀具，齒輪滾齒設備即以此刀 具作為切齒依據。
齒輪的滾齒原理即是齒條與齒輪的嚙合原理，所以滾齒刀屬於齒 條型創成刀具，滾齒刀的齒條為梯形，可切製出漸開線齒形的齒輪，
所以選擇適當的齒條齒形，則可創成出方栓槽、鏈輪、棘輪，花鍵或 其他的特殊齒形；所以吾人設計滾齒刀時，首先需決定的部份，即是 齒條尺寸的確定；一般漸開線齒輪，梯形的齒條齒厚，可以容易從齒 輪的弧齒厚輪推導而得，但針對較特殊的齒形，如栓槽，鏈輪，大過 切量的齒形時，則需利用座標轉換、嚙合方程式與運動方程式等數學 模式推導齒條刀，本文即以推導而得之各式齒條刀應用於刮齒刀讓 槽，負向角刀具以及滾齒刀容屑槽等新製程的開發，先以實做驗證，
最終應用於生產製程上。
3.3 滾齒刀瘤頭之設計
當刮齒或磨齒時，滾刀的瘤頭設計，如圖3.4 所示，通常是需要的，
其目的在齒輪齒根造成適當的過切量以確保刮、磨加工可順利執行；
但瘤頭滾刀造成齒根的過切，特別針對少齒數齒輪時，因自然過切現 象，將更嚴重，是以有特別需求時方設計瘤頭，而且由實際觀察而知，
瘤頭刀加工時比無瘤頭刀更易磨耗，刀具壽命降低。
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圖 3.3 基本齒條齒形
圖 3.4 瘤頭滾刀之齒形設計
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法向模數 ： Mn 法向壓力角： αc 齒數 ： Z 螺旋角 ：β 齒厚 ：Son 外徑 ：OD 根徑 ：RD 節圓徑 ：
cos( ) PD MZ
= β
齒條基本計算公式
SW =M⋅ −π Son 2 / ) (PD RD HKW = −
( ) / 2 0.25 H = OD RD− + M
α:壓力角 ρ:齒頂R
齒輪放刮(磨)量
ε:瘤頭量 = + 0.004 2
μ:瘤頭長度
5 δ:瘤頭角度,一般設定為3.5 或 λ：瘤頭高=ρ× (1- sin(α ))c
cos( ) sin( )
ξ μ ε α δ
= + δ −
：瘤頭總長 :
SW 齒條節線位置齒厚 HKW:齒條節線位置齒冠高 H:齒條全齒深
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3.4 滾齒刀生產流程簡介
齒輪滾刀是加工正齒輪與螺旋齒輪最常用的一種刀具，滾齒刀因 法向齒形為被切齒輪所需的基本齒條，故屬於齒條型創成刀具，結構 上如同蝸桿，在軸向開槽以產生刀刃並製作刀具所需之各加工隙角，
如此即成滾齒刀。
滾齒刀的製造程序，大致上區分為熱處理前(簡稱前段加工)與之後 (簡稱後段加工)兩部份，其中前段加工材料尚未硬化，屬於軟材加工模 式，程序包括，外形車製、齒形加工、容屑槽成形、齒形鏟製等。而 後段加工材料已經硬化，屬於硬材加工模式，程序包括，內外輪磨、
滾刀刃口磨銳及最終齒形輪磨等。
前段加工中，以容屑槽加工與齒形鏟製，屬於較關鍵的製程，而 後段製程則以滾刀刃口磨銳及最終齒形輪磨為重點，以下就針對四種 加工程序作簡單說明：
3.4.1 容屑槽加工：
容屑槽的主要功用在於形成滾齒刀的切削刃口以及滾齒時做排屑 用，如圖3.5，容屑槽有螺旋溝槽與直溝槽兩種型式。
容屑槽的主要功用在於形成滾齒刀的切削刃口以及滾齒時做排屑 用，如圖3.5，容屑槽有螺旋溝槽與直溝槽兩種型式。