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選擇股票公司的個數,根據隨機矩陣理論描述的 Wishart matrix 特徵值分布,當 N → ∞,T → ∞,Q = NT 有限且大於 1 時,若先將數列作歸一化則其變異數 σ2

Figure 3.3: 從圖3.3(a)可以發現有少數的特徵值非常大,遠離大部份的特徵值;

圖3.3(b)的波動具有方向性(同號),表示股市運作是群體性且會有互相的連動關

Eigenvector Distribution ∆t=360Sec

Eigenvector Component

Probability Distribution

The largest 100th largest 200th largest 300th largest 345th largest

(a) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345

Eigenvector Distribution ∆t=3600Sec

Eigenvector Component

Probability Distribution

The largest 100th largest 200th largest 300th largest 345th largest

(b) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345

Eigenvector Distribution ∆t=18000Sec

Eigenvector Component

Probability Distribution

The largest 100th largest 200th largest 300th largest 345th largest

(c) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345

Eigenvector Distribution ∆t=36000Sec

Eigenvector Component

Probability Distribution

The largest 100th largest 200th largest 300th largest 345th largest

(d) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345

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圖3.2與圖3.3(a)是以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算 標的所計算出來的特徵值機率密度分佈圖,可以從圖中觀察出特徵值的分佈特性:

一群連續分佈的特徵值(圖3.2)與擁有極值的特徵值(圖3.3(a)的紅圈)。從之前 的研究論文得知,最大的特徵值擁有稱為市場模式的性質,其所對應的特徵向量 均為同號,會有這樣的現象是因為股票市場的運作並非隨機,但我們的研究結果

(圖3.3(b))與之前的文獻稍有不同,其中最大的特徵值所對應的大部分特徵向量 同號(並非如先前的研究所說的完全同號),這可能是因為資料長度所造成的結 果,我的研究資料長度為一個月(而文獻中的資料長度為一年),資料的記錄時間 不夠長的話,比較容易顯現出隨機的性質,所以造成最大特徵值所對應的少部分 特徵向量有異號的現象產生。

為了進一步印證市場模式,我們以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司 股票股價為計算標的,分別在 360 秒(10 個資料點)、3, 600 秒(100 個資料點)、

18,000 秒(500 個資料點)、36, 000 秒(1, 000 個資料點)的時間間隔(∆t)下做 相關係數對稱矩陣計算,然後將所得的特徵值所對應的特徵向量做機率密度分 佈,特地選取第一大(1st)、第一百大(100th)、第兩百大(200th)、第三百大

(300th)、第三四五大(345th、最小)的特徵值所對應的特徵向量做機率密度分佈 後繪製成圖形做比較,計算結果如圖3.4所示,其中有兩個發現,其一是第一大的 特徵值所對應的特徵向量做機率密度分度所得到的圖形,不論在哪個時間尺度下 皆幾乎完全以零為分界線偏向正或負,這印證了最大特徵值確實擁有市場模式的 性質;其二是其他四個(100th、200th、300th、345th)特徵值所對應的特徵向量 做機率密度分度所得到的圖形,不論在哪個時間尺度下皆幾乎完全以零為對稱軸 呈現對稱的現象,可以推斷除了最大的特徵值所對應的特徵向量有方向性外,其 他特徵值所對應的特徵向量似乎是隨機的。

3.3 卡忽南 -拉維展開式(Karhunun-Loeve Expansion)

時間序列 K-L 展開方程式如下:

0 2000 4000 6000 8000 10000

−4 值(1st largest eigenvalue)及所對應的特徵向量(空間部分)做 K-L 展開後獲得的 時間部分 bj(t) 繪製成圖。

我們將選取四個不同的時間尺度將原本數據做 K-L 轉換,分別以 360 秒(10 個 資料點)、3, 600 秒(100 個資料點)、18, 000 秒(500 個資料點)、36, 000 秒(1, 000 個資料點)的時間尺度下做相關係數對稱矩陣計算,然後將對數報酬矩陣 Sl(t)、

第一大的特徵值(1st largest eigenvalue)及所對應的特徵向量(空間部分)做 K-L 展開獲得的時間部分 bj(t) 繪製成圖形(如圖3.5所示),可以發現在時間尺度從小 變大的過程中,持續性時間扮演的越來越重要的角色,小的時間尺度點與點之間

Switch Time Fluctuation

∆t=3.6*102s

Switch Time Fluctuation

∆t=3.6*102s

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得的時間部分 bj(t) 根據2.6節的方法做 ts運算,然後將每個特徵值所對應的 ts繪 製成圖(順序是按照特徵值由大到小排列),從圖中有兩個發現,其一不論在哪 個時間尺度下,最大的 ts 都是由前三大的特徵值所計算出來(圖3.6的左邊),其 二隨著時間尺度的變大,ts 的值也會有顯著的增加,也對應到上一節所說的時間 部分會隨著時間尺度的增加更具有持續性時間的特性,下一章節我們會針對空間 部分也就是特徵向量做進一步的研究。

Figure 3.7: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的,且在 360 秒、3, 600 秒、7, 200 秒、36, 000 秒的時間尺度下,將計算所得的每個特徵值與所 對應的持續性時間 ts作圖。

圖3.7以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的,在四個不 同的時間尺度下,將計算所得的每個特徵值與所對應的持續性時間 ts 作圖,可 以發現相關矩陣的特徵值在小的時間尺度(360 秒、3, 600 秒、7, 200 秒)時隨著 Switch Time 呈線性增加(物質系統的特徵能量也跟頻率成正比關係),當時間尺 度大的時候則呈現不同的統計性質(36, 000 秒),會有這樣的結果是因為當多變量 統計分佈為高斯分佈特時徵值會跟 ts呈線性關係,而這個部分我們會在附錄的地 方做進一步的解說。

3.5 參與率(participation ratio N

p

在固態物理中應用參與率來計算有多少粒子比例的粒子被激發,在這邊我們引

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15

Np D i stri b u ti o n

Np

ProbabilityDistribution

∆t = 3. 6 ∗ 102s N¯p= 0 . 2 9 6 5

∆t = 3. 6 ∗ 103s N¯p= 0 . 2 9 3 2

∆t = 3. 6 ∗ 104s N¯p= 0 . 2 4 9 9

Figure 3.10: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的,且在 360 秒(綠線)、3, 600 秒(藍線)、36, 000 秒(紅線)的時間尺度下,將計算所得 的每個特徵值所對應的參與率 Np 做機率密度分佈圖。

若我們對每個特徵值所對應的參與率 Np 做機率密度分佈的計算,以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的,分別在 360 秒(10 個資料 點)、3, 600 秒(100 個資料點)、36, 000 秒(1, 000 個資料點)的時間尺度下做相 關係數對稱矩陣計算,再將每個特徵值所對應的特徵向量做參與率 Np 運算後做 成機率密度分佈圖(如圖3.10),可以從三個時間尺度下的參與率 Np 機率密度分 佈圖發現一個特點,就是不論時間尺度如何變化特徵值對應的參與率 Np 大部份 都落在 100∼ 120 左右(隨機矩陣理論預測的參與率 Np ∼ N/3 = 115),這也代表 著除了少數幾個特徵值外, 其餘特徵模式的參與率皆符合隨機矩陣理論預測,我 們就是要特別針對那少數幾個造成參與率 Np 不符合理論預測的特徵值進行研究,

分析這些特徵值對應的空間部分與時間部分有何關聯性。

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