針對股市靜態與動態統計物理量之關聯性研究 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學理學院應用物理研究所碩士論文 Graduate Institute of Applied Physics College of Science. National Chengchi University Master Thesis. 治. ‧. ‧ 國. 學. 政針對股市靜態與動態統計物理量之關聯性研究大立 Relation between static and dynamic statistical quantities for a collection of stocks. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 王帥文. S. W. Wang. 指導教授：馬文忠博士 Advisor: W. J. Ma, Ph.D.. 中華民國一零三年六月 June, 2014.

(2) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i Un. v.

(3) 中文摘要本論文在分析 S&P500 指數其中交易最為頻繁的 345 家公司在 1996 年各月份的股票數據，相關係數與時間尺度間的關聯已經被證實出來，而我們利用 K − L 展開來分解股價對數報酬的時間序列，特徵成份的. 政治大. 時間部分基底對時間尺度有顯著的依賴特性。我們對每個特徵成份計. 立. 算持續性時間的量（switch time）和參與率（participation ratio），並仔. ‧ 國. 學. 細分析它們與特徵值之間的關聯，做為特徵成份分類的參考，而在較小的時間尺度底下大部份的特徵成份的特徵值與持續性時間呈線性關. ‧. 係。這些訊息可以用來補充先前對股市對數報酬率所呈現粒子特性所. n. al. er. io. sit. y. Nat. 做的分析 [1] [2] [3]。. Ch. engchi. i. i Un. v.

(4) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ii. i Un. v.

(5) Abstract We study the collective fluctuation properties of 345 stocks listed in S&P 500 for each month over the year 1996. The time scale dependence of the cross-correlation has been analyzed with details. In decomposing the time. 政治大. series of log-returns into eigenmodes in the Karhunun-Loeve expansion, the. 立. time-wise bases show prominent time-scale dependent features among those. ‧ 國. 學. modes. We quantify the temporal persistence for each eigenmode by calculating ’switch time’ of fluctuation. We also evaluate participation ratio for each. ‧. eigenmode. We carry out a detailed analysis of the relations between partici-. sit. y. Nat. pation ratio, eigenvalue and switch time. The results are used to classify the. io. al. er. eigenmodes. It is found a linear relation between eigenvalue and switch time. n. for most eigenmodes at smaller time scales. Such information can be used to. Ch. i Un. v. complement the analysis of mean square log-return of the collection of stocks,. engchi. where the analogy to particle motion has been revealed [1] [2] [3].. iii.

(6) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iv. i Un. v.

(7) Contents 中文摘要. i. Abstract. 立. Contents. ‧ 國. sit. n. al. er. io. 2 理論背景與方法. y. Nat. 1 序論. v. ‧. List of Tables. iii. 學. List of Figures. 政治大. Ch. n U engchi. iv. vii xiii 1 5. 隨機行走（random walk）、布朗運動與擴散運動 . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.1. 隨機行走（random walk）與布朗運動 . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.2. 一維隨機行走 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.3. 布朗運動：愛因斯坦的觀點 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 隨機矩陣理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. Wishart matrix 特徵值分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.3. 相關係數對稱矩陣 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.4. 卡忽南 -拉維展開式（Karhunun-Loeve Expansion） . . . . . . . . . .. 13. 2.5. 參與率（participation ratio Np ） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.6. 持續性時間 ts （Switch Time） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.1. 2.2. 2.2.1. 3 實證分析. 19 v.

(8) 基本定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 3.1.1. 股價對數報酬（log-return） . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 3.1.2. 股價對數報酬之相關函數（Correlation function） . . . . . . .. 21. 3.1.3. 股價對數報酬的交叉相關矩陣 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.2. 相關矩陣特徵值分佈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 3.3. 卡忽南 -拉維展開式（Karhunun-Loeve Expansion） . . . . . . . . . .. 26. 3.4. 持續性時間 ts （Switch Time） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 3.5. 參與率（participation ratio Np ） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.6. 綜合討論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 4 總結. 立. Appendix A. 47 53. ‧. ‧ 國. 學 y. Nat. io. sit. Bibliography. 政治大. n. al. er. 3.1. Ch. engchi. vi. i Un. v. 59.

(9) List of Figures. 2.1. N = 345，T = 5000 時在不同時間序列變異數下的特徵值的分佈。 .. 11. 2.2. σ 2 = 1 時在不同時間序列 Q（= T /N ）下的特徵值的分佈。 . . . . .. 11. 2.3. 圖上方計算對數報酬的方式為 non-overlapping 且時間尺度 ∆t = 5. 立. 政治大. 分鐘；圖下方計算對數報酬的方式為 overlapping 且時間尺度. ‧ 國. 2.4. 學. ∆t = 5 分鐘。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為標的，以時間尺. ‧. 度 ∆t = 3.6 × 104 sec 下，所得的計算結果在不同的特徵向量模式所. y. sit. 15. er. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為標的所計. io. 2.5. Nat. 對應的參與率 Np 值。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. al. 算的特徵值 λ 與 Participation Ratio 作圖，而隨機矩陣理論預測. n. iv n C Il ∼ 1/3 = 0.33333，大部份的特徵值所對應的參與率 Np 符合理論 hengchi U. 預測。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. 16. 此組圖用來解釋持續性時間 ts 的計算方式，可以分為兩種情況，情況一為沒有值為零的點出現，如圖 2.6(a) 與圖 2.6(b) 所示；情況二為有值為零的點出現，如圖 2.6(c) 與圖 2.6(d) 所示。 . . . . . . . . .. 17. 3.1. 數據處理流程圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.2. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的所得的特徵值分佈與隨機矩陣理論下的特徵值分佈比較圖。 . . . . . .. 3.3. 23. 從圖 3.3(a) 可以發現有少數的特徵值非常大，遠離大部份的特徵值；圖 3.3(b) 的波動具有方向性（同號），表示股市運作是群體性且會有互相的連動關係。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii. 24.

(10) 3.4. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別在 360 秒（10 個資料點）、3, 600 秒（100 個資料點）、18,000 秒（500 個資料點）、36, 000 秒（1, 000 個資料點）的時間間隔（∆t）下做相關係數對稱矩陣計算，然後將所得的特徵值所對應的特徵向量做機率密度分佈，其中特地選取第一大（1st）、第一百大（100th）、第兩百大（200th）、第三百大（300th）、第三四五大（345th、最小）的特徵值所對應的特徵向量做機率密度分佈。 . . . . . . . . . . . . .. 3.5. 24. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別以 360 秒（黑線）、3, 600 秒（綠線）、18, 000 秒（藍線）、. 政治大. 36, 000 秒（紅線）的時間尺度下做相關係數對稱矩陣計算，然後將. 立. 對數報酬矩陣 Sl (t)、第一大的特徵值（1st largest eigenvalue）及所. ‧ 國. 學. 對應的特徵向量（空間部分）做 K-L 展開後獲得的時間部分 bj (t) 繪製成圖。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ‧. 3.6. 26. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，分別. y. Nat. sit. 在 360 秒（綠線）、3, 600 秒（藍線）、36, 000 秒（紅線）的時間尺. n. al. er. io. 度（∆t）下做相關係數對稱矩陣計算，將特徵值經過 K-L 展開後獲. i Un. v. 得的時間部分 bl (t) 根據 2.6 節的方法做持續性時間 ts 運算，然後將. Ch. engchi. 每個特徵值所對應的持續性時間 ts 繪製成圖（順序是按照特徵值由大到小排列，而圖 3.6(a) 是全部特徵值所對應的持續性時間 ts 作圖的結果，圖 3.6(b) 為前五十大特徵值所對應的持續性時間 ts 作圖的結果。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. 27. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒、3, 600 秒、7, 200 秒、36, 000 秒的時間尺度下，將計算所得的每個特徵值與所對應的持續性時間 ts 作圖。 . . . . . . . . . . . .. 3.8. 28. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒、3, 600 秒、7, 200 秒、36, 000 秒的時間尺度下，將計算所得的每個特徵值做機率密度分佈。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii. 29.

(11) 3.9. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別在 360 秒（綠線）、3, 600 秒（藍線）、36, 000 秒（紅線）的時間尺度下做相關係數對稱矩陣計算，再將每個特徵值所對應的特徵向量做參與率 Np 的計算，然後將每個特徵值所對應的 Np 繪製成圖（順序是按照特徵值由大到小排列，而圖 3.9(a) 是全部特徵值所對應的參與率 Np 作圖的結果，圖 3.9(b) 為前五十大特徵值所對應的參與率 Np 作圖的結果。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.10 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒（綠線）、3, 600 秒（藍線）、36, 000 秒（紅線）的時間尺. 政治大. 度下，將計算所得的每個特徵值所對應的參與率 Np 做機率密度分. 立. 佈圖。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. ‧ 國. 學. 3.11 以 1996 年 1 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在. ‧. 360 秒（綠圈）、3, 600 秒（紅圈）、36, 000 秒（藍圈）的時間尺度下 32. er. io. sit. y. Nat. 計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 。 . . . . . . . . . . . . . . . .. al. 3.12 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在. n. iv n C 360 秒（綠圈）、3, 600 秒（紅圈） 000 秒（藍圈）的時間尺度下 h e n 、36, gchi U. 計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 。 . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.13 以 1996 年 1 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，用所計算出來的特徵值機率密度ρ(λ) 與特徵值為變數的參與率I(λ) 來將特徵值分區段，一共分為四個區段（由於版面問題在圖中只顯示三個，分別是 1、2、3 區三個區段）。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.14 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，用所計算出來的特徵值機率密度ρ(λ) 與特徵值為變數的參與率I(λ) 來將特徵值分區段，一共分為四個區段（由於版面問題在圖中只顯示三個，分別是 1、2、3 區三個區段）。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix. 34.

(12) 3.15 以 1996 年 1 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 360 秒（綠色）、3, 600 秒（紅色）、36, 000 秒（藍色）的時間尺度下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 作圖，且以圓圈、十字、點、星星分別表示區段 1、2、3、4 內的特徵值所對應的參與率 Np 與持續性時間 ts 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.16 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 360 秒（綠色）、3, 600 秒（紅色）、36, 000 秒（藍色）的時間尺度下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 作圖，且以圓圈、十字、. 政治大與持續性時間 t 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 立. 點、星星分別表示區段 1、2、3、4 內的特徵值所對應的參與率 Np s. 36. ‧ 國. 學. 3.17 以 1996 年 3 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在. ‧. 360 秒（綠色）、3, 600 秒（紅色）、36, 000 秒（藍色）的時間尺度下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 作圖，且以圓圈、十字、. y. Nat. sit. 點、星星分別表示區段 1、2、3、4 內的特徵值所對應的參與率 Np. n. al. er. io. 與持續性時間 ts 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ch. engchi. i Un. 37. v. 3.18 以 1996 年 4 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 360 秒（綠色）、3, 600 秒（紅色）、36, 000 秒（藍色）的時間尺度下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 作圖，且以圓圈、十字、點、星星分別表示區段 1、2、3、4 內的特徵值所對應的參與率 Np 與持續性時間 ts 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.19 以 1996 年 5 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 360 秒（綠色）、3, 600 秒（紅色）、36, 000 秒（藍色）的時間尺度下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 作圖，且以圓圈、十字、點、星星分別表示區段 1、2、3、4 內的特徵值所對應的參與率 Np 與持續性時間 ts 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x. 39.

(13) 3.20 以 1996 年 6 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 360 秒（綠色）、3, 600 秒（紅色）、36, 000 秒（藍色）的時間尺度下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 作圖，且以圓圈、十字、點、星星分別表示區段 1、2、3、4 內的特徵值所對應的參與率 Np 與持續性時間 ts 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.21 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，造成最小四個參與率的特徵值所對應的特徵向量與前四大特徵值所對應的特徵向量作圖。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.22 為圖 3.21(a) 與圖 3.21(e) 重新按照特徵向量由小至大繪製後的結果，. 治政大量，粉紅色線是全部特徵向量的平均值正負兩個標準差，綠線是平立均值正負一個標準差內的點所計算出來的最適曲線。 . . . . . . . . . 紅色圈圈是最小的十個特徵向量，青色圈圈則是最大的十個特徵向. 43. ‧ 國. 學. 3.23 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，所獲. ‧. 得的前 50 小特徵特徵向量以下敘方法計算出來的比值。 . . . . . . .. 44. 3.24 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，所獲. Nat. sit. io. 45. al. er. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在. n. 4.1. y. 得的前 50 大特徵特徵向量以下敘方法計算出來的比值。 . . . . . . .. Ch. i Un. v. 360 秒（綠色）、3, 600 秒（紅色）、36, 000 秒（藍色）的時間尺度. engchi. 下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 作圖，且以圓圈、十字、點、星星分別表示區段 1、2、3、4 內的特徵值所對應的參與率 Np 與持續性時間 ts 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. 48. 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，造成前 4 小參與率的特徵值所對應的特徵向量作圖，可以發現少數特徵向量相對有著極端值（極大、極小）。 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.3. 隨機產生的 Random Potential 作圖，圖中 E1 、E2 、E3 分別代表三個不同的特徵能量，而圖中的 x0 則為 404.18bohr。 . . . . . . . . . .. 4.4. 4.5. 48. 49. 特徵能量為 0.2363hartree、1.2882hartree、2.1598hartree 時所對應的波函數作圖。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 將解得到的特徵能量與 Np 作圖。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. xi.

(14) 4.6. 特徵能量與所對應的波函數的波長平方倒數作圖。 . . . . . . . . . .. 51. A.1 以 1996 年 1 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 36, 000 秒的 ∆t 下將造成最小 Np 的特徵值所對應的特徵向量作圖，且找出特徵向量中正的最大四個（紅色）與負的最小四個（綠色）分量的公司。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. A.2 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 36, 000 秒的 ∆t 下將造成最小 Np 的特徵值所對應的特徵向量作圖，且找出特徵向量中正的最大四個（紅色）與負的最小四個（綠色）分量的公司。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 政治大 36, 000 秒的 ∆t 下將造成最小 N 的特徵值所對應的特徵向量作圖，立. A.3 以 1996 年 3 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 p. ‧ 國. 學. 且找出特徵向量中正的最大四個（紅色）與負的最小四個（綠色）分量的公司。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. ‧. A.4 以 1996 年 4 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在. y. Nat. 36, 000 秒的 ∆t 下將造成最小 Np 的特徵值所對應的特徵向量作圖，. sit. 且找出特徵向量中正的最大四個（紅色）與負的最小四個（綠色）. n. al. er. io. 分量的公司。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i Un. 56. v. A.5 以 1996 年 5 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在. Ch. engchi. 36, 000 秒的 ∆t 下將造成最小 Np 的特徵值所對應的特徵向量作圖，且找出特徵向量中正的最大四個（紅色）與負的最小四個（綠色）分量的公司。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. A.6 以 1996 年 6 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在 36, 000 秒的 ∆t 下將造成最小 Np 的特徵值所對應的特徵向量作圖，且找出特徵向量中正的最大四個（紅色）與負的最小四個（綠色）分量的公司。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xii. 57.

(15) List of Tables. 3.1. 1996 年 1 月計算所得的前四小參與率 Np 、前四大持續性時間 ts 的值及其所對應的第幾位特徵值（特徵值按大小排列）與平均的參與. 政治大. 率、持續性時間。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 立. 1996 年 2 月計算所得的前四小參與率 Np 、前四大持續性時間 ts 的. 學. ‧ 國. 3.2. 35. 值及其所對應的第幾位特徵值（特徵值按大小排列）與平均的參與率、持續性時間。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ‧. 3.3. 36. 1996 年 3 月計算所得的前四小參與率 Np 、前四大持續性時間 ts 的. y. Nat. sit. 及其所對應的第幾位特徵值（特徵值按大小排列）與平均的參與. n. al. er. io. 率、持續性時間。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ch. i Un. 37. v. 1996 年 4 月計算所得的前四小參與率 Np 、前四大持續性時間 ts 的. engchi. 值及其所對應的第幾位特徵值（特徵值按大小排列）與平均的參與率、持續性時間。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 38. 1996 年 5 月計算所得的前四小參與率 Np 、前四大持續性時間 ts 的值及其所對應的第幾位特徵值（特徵值按大小排列）與平均的參與率、持續性時間。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.6. 39. 1996 年 6 月計算所得的前四小參與率 Np 、前四大持續性時間 ts 的值及其所對應的第幾位特徵值（特徵值按大小排列）與平均的參與率、持續性時間。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.1. 40. 特徵能量為 0.2363hartree、2.1598hartree、30.14hartree 時所對應的波函數做傅立葉轉換後所得的最大振幅對應的波數 k 換算成波長 λ。 51 xiii.

(16) A.1 將 1996 年 1 月至 6 月份的股價資料在時間尺度 ∆t = 3.6 × 104 sec 下計算所得前十小的參與率 Np 與所對應的第幾位特徵值。 . . . . .. 53. A.2 將 1996 年 1 月至 6 月份的股價資料在時間尺度 ∆t = 3.6 × 104 sec 下計算所得前十大的持續性時間 ts 與所對應的第幾位特徵值。 . . .. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. xiv. i Un. v. 54.

(17) Chapter 1 序論政治大. 很多人會認為物理與經濟是完全獨立運作的兩門學科，但實際上卻有著相當多. 立. 的關聯與應用，早期的經濟研究，僅有少數的科學家參與其中，但是最近的二十. ‧ 國. 學. 年左右，越來越多的科學研究學者陸續加入經濟的研究行列中，ㄧ般來說，研究經濟物理的主題可分成兩部分：第ㄧ部分是建立模型來模擬真實的金融指數或暫. ‧. 時不管金融指數用虛構的模型來近似真實市場的投資行為，寡勝賽局模型就是透. sit. y. Nat. 過對局者的思維所建立的模型，第二部份是分析已大量累積的金融數據，從工業. io. er. 革命後人類的經濟發展速度很快，人與人之間的交易次數頻繁，貨幣的流通從區域變成全球性，不同國家之間的金融或貨物市場的關連性越來越大，且由於電腦. n. al. Ch. i Un. v. 與網路的出現無意間成為經濟系統中的放大者，最近 30 年電腦處理速度已經增加. engchi. 了將近 5 個數量級，交易的範圍速度更廣更快，也更利於收集大量的金融數據，使物理學家可以嘗試著找出經濟發展的規則，在歷史上很多經濟問題也需要透過物理的理論與觀念來做進一步的解釋與建構模型，比較廣為人知的應用就是利用隨機行走 (random walk) 的概念來描述價格的起伏不定，猶如一個醉漢行走或是像布朗觀察花粉發現的不規則運動。金融市場是一種複雜系統，可透過連續的紀錄來了解其性質，由所得的時間序列來描述其特徵，複雜系統則具備如下特性：（1）具有多數量組成成分的系統（2）不可預測、不可化約、非線性，很多領域都屬於複雜系統，包括數學、物理、生物、經濟、電腦、政治、社會…等等，對各種不同的複雜系統而言，可能有一些共通性，希望可以藉由其共通性來解決不同領域中的問題。早在一百年前科學家已經將研究的觸角延伸到了經濟學（economics）的領域 1.

(18) 了，例如在 1900 年間的法國數學家 Louis Bachelier 提出了一個模型的假設，即是一種完全獨立且前後步無關聯和完全相同的隨機行走的過程，其分佈為數學上的高斯分佈（identically distributed (i.i.d.) Gaussian）[4]，19 世紀的義大利經濟學家 Pareto 研究了個人收入的統計分佈，發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入，而個人所得的分佈可以用指數率（power-law）分佈來假設，在 1963 年 Mandelbrot 和 Eugene Fama 針對棉花的資料價格做分析，觀察到了棉花價格的漲落與 Levy 的分布吻合，代表在統計分析圖上為一個指數律（power-law）分布，稱之為肥厚尾巴（fat tail），還有很多現象也呈現了指數率，例如：（1）人類居住地的分佈 ( 城市與鄉鎮的數目對比，城市數目極少，而鄉鎮很多)、（2）網路 TCP 封包的檔案大小 ( 多數封包是小檔案，僅有少數為大檔案)、（3）投資股市的個體戶獲益 ( 賺大. 治政錢的僅為少數人…) 等等，在 1966 年 King 發現在不同的股票價格變化有高度的相大立關性，若再長時間區間下相關性更高 [5]，1977∼1979 年間，Epps 針對 4 間公司的 ‧ 國. 學. 對數報酬相關係數做研究，發現有 Epp’s 效應，即股價與股價之間的相關性隨時間間隔 ∆t 增加而增加。. ‧. 在較早的時期，由於運算能力、價格資料記錄的難易問題，故大多是在探討單. y. Nat. sit. 一資產價格本身的性質，直到最近經濟學家 Engle 才把針對不同資產間的價格變. n. al. er. io. 動、相關性做為未來研究方向 [6]，在探討多資產的問題時會碰到很多的困難，例. i Un. v. 如隨著資產項目的增加，必須要有更強大的計算能力來處理資料，也需要有多變. Ch. engchi. 量統計上的新說法來供應更多的線索。剛好物理學上的多體物理系統可以被用來解決這樣的問題，對於多體物理系統，考慮整體運動且加上由許多群體模式疊加而成的起伏是最有效掌握系統的方式。在金融市場中可藉由計算相關係數矩陣的特徵值與所對應的特徵向量來分析資產價格的起伏變動，每一特徵向量則含有一種由個別資產 (股票) 的價格變動所共同構成的模式，而造成整體變動起伏的原因之一 [7] [8] [9] [10]。在 1995 年 H. E. Stanley 和 R.N. Mantegna 對於世界上主要的股票市場和一些已被報告出來的個別公司股值之價格分布的變易量作分析研究，他們將已發展出一些分析大量數據的方法，用來分辨複雜系統（complexity）的特性。1999 年 Laloux 等人發表 Noise Dressing of Financial Correlation Matrices [8] 此篇論文，其計算 1991∼1996 年美國股市 S&P500 中的 406 家公司在時間尺度為一天的相關 2.

(19) 係數矩陣, 而同年，Plerou 等人發表 Universal and Nonuniversal Properties of Cross Correlations in Financial Time Series 這篇論文 [9]，其計算 1994∼1995 年價格變動最大的 1000 家公司在時間尺度為 30 分鐘的相關係數矩陣, 其兩個團隊均發現在相關係數矩陣的特徵值分布中，最大的特徵值均比在股票隨機行走模型下的預測還要大很多。而其相關係數矩陣中最大特徵值的特徵向量在整個股票市場中具有相同的趨勢，我們亦稱為是「市場模式」(market mode)。上述這些結果與單純的隨機行走模型的預測不相符，因此從中我們可以得知股票跟股票之間不是毫無關係的個體，而是一個具有彼此相互關聯的群體。經過多年的努力，物理學家在經濟領域有了不少的進展與成果，但由於經濟這. 政治大利用現有的理論做進一步的延伸與推廣，例如布朗運動、氣體分子動力論、描述立個領域牽扯的變數非常的多元且各個變數間互相影響，因此物理學家非常努力的. ‧ 國. 學. 粒子運動軌跡的朗之萬理論…等，對經濟領域的現象或結果提出一套假說，並且積極的研究數據並將結果加以分析與歸納，期盼可以發現新的現象並加以解釋其. ‧. 背後成因且建構一套合乎理論的數學模型，例如 B-S 模型對於期貨與選擇權的定價理論，就是由布朗運動理論推廣而得。. sit. y. Nat. io. er. 而本論文研究的是標準普爾 500（S&P500）指數中交易最為頻繁的 345 間公司時間序列的統計性質，主要的研究方向有二，其一是觀察參與率 (Np ) 和持續性時. n. al. Ch. i Un. v. 間 ts 在長時距與短時距時有何變化，且變化是否有其規律性，即參與率 Np 與持. engchi. 續性時間 ts 是否有類似 Epps 的效應（隨著時間尺度變大而有規律的變大），其二為針對造成極端值參與率 Np（相對小）、持續性時間 ts（相對大）的特徵值進行分析，而參與率 Np 可以測試該特徵向量分量的分佈，在此特徵向量中若有少數公司分量的絕對值較大時，Np 值會較小，因為特徵向量中其他較多公司的分量絕對值會較小，表示並沒有參與這個特徵模式，所以稱為 participation ration，反之若較多公司參與此特徵模式則此值 Np 會變大，如同第一特徵向量一般（最大特徵值所對應的特徵向量）。論文分成四個章節，第一個章節是序論，主要介紹經濟物理的來龍去脈，使讀者可以更加了解整個歷史脈絡，第二章對理論背景與方法做介紹，會介紹一些統計理論, 包括 K-L expansion、Number of participating stock （參與率 Np ）[11]、Switch time（持續性時間 ts ）、隨機矩陣 [12]、相關矩陣 [11]，以及簡短介紹物理上隨機行走與布朗運動與擴散運動，第三章是實證分析，研究成 3.

(20) 果都會在這一個章節做呈現，主要是不同的時間尺度下參與率 Np 與持續性時間 ts 有何差異性，且將參與率 Np 與 ts 在對數尺度 (log 10) 下作圖來做進一步的分析與研究，第四章是討論的部分，我們對以上所討論的幾個主題做簡單的結論建議與外來研究方向。.. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 4. i Un. v.

(21) Chapter 2 理論背景與方法政治大. 本章節將針對論文中會使用到的理論做介紹，包括隨機矩陣理論，相關矩陣，. 立. K-L 展開 (Karhunen- Loeve Expansion)，參與率 Np (number of participating stock)，. ‧. ‧ 國. 學. ts （switch time），以及簡短介紹物理上隨機行走與布朗運動與擴散運動。. 2.1 隨機行走（random walk）、布朗運動與擴散運動. y. Nat. io. sit. 這一小節我們將對於布朗運動做簡單的介紹與分析。許多科學領域都會應用到. n. al. er. 布朗運動 (random walk) 與擴散運動的概念來做進一步的衍生，在物理領域中則是非常重要的基本觀念。. 2.1.1. Ch. engchi. i Un. v. 隨機行走（random walk）與布朗運動. 遠從第一次世界大戰前的 1900 年代，法國的物理學家 Louis Bachelier 已經將物理理論應用於財務分析。任合資產的價格波動以及它們的基本因素結構都是隨機變化不受外力影響，相當類似於物理學中的布朗運動。Louis Bachelier 透過對巴黎股市的研究寫成學術論文，其要點包括：提出有效率市場（Efficent Market）、股價是隨機特性等先進觀念，即任合資產的價格波動以及它們的基本因素結構都是隨機變化不受外力影響，相當類似於物理學中的布朗運動，此想法在財務學界延用至今，且對經濟學有很大的貢獻。在西元 1827 年英國植物學羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動， 5.

(22) 這些小的顆粒為液體的分子所包圍，由於液體分子的熱運動，小顆粒受到來自各個方向液體分子的碰撞，布朗粒子受到不平衡的衝撞，而作沿沖量較大方向的運動。又因為這種不平衡的衝撞，使布朗微粒得到的沖量不斷改變方向。所以布朗微粒作無規則的運動。溫度越高，布朗運動越劇烈。它間接顯示了物質分子處於永恆的、無規則的運動之中。但是，布朗運動並不限於上述懸浮在液體或氣體中的布朗微粒，一切很小的物體受到周圍介質分子的撞擊，也會在其平衡位置附近不停地做微小的無規則顫動。例如，靈敏電流計上的小鏡以及其他儀器上懸掛的細絲，都會受到周圍空氣分子的碰撞而產生無規則的扭擺或顫動。[13] [14] 科學家發現布朗運動具有下列的特性：（1）溫度的改變會影響布朗運動。（2）. 政治大. 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如. 立. 此。（3）粒子的運動沒有固定的軌跡，其運動軌跡呈鋸齒狀。（4）粒子的成分及. ‧. ‧ 國. 學. 密度對其運動沒有影響。（5）粒子的運動永不停止。[15] [16]. n. al. er. io. 一維隨機行走. sit. y. Nat. 2.1.2. Ch. engchi. i Un. v. 一開始我們先思考這樣的一個問題，在一維空間下經過一段長時間之後，布朗粒子離開起始位置後的平均位置 (位移期望值) 與均方位移 (Mean Square Displacement)，即簡單的一維隨機行走問題。現在我們假設一個物體在直線上做隨機行走運動，每步有 p 的機率向右走 L 單位長度且有 q（=1 − p）的機率向左走 L 單位長度，且每一步 ξi 均為完全獨立不受前後步的影響的運動，故每單步的平均位移為 E(ξi ) = pL + q(−L) = (p − q)L. (2.1). 其二階原動差（second moment）為. E(ξi 2 ) = pL2 + q(−L)2 = L2 6. (2.2).

(23) 故變異數為. V ar(ξi ) = E(ξi 2 ) − (E(ξi ))2 = L2 − ((p − q)L)2 = L2 (1 − p2 + 2pq − q 2 ) = L2 {(1 + p)(1 − p) + 2pq − q 2 } = L2 {(1 + p)q + 2pq − q 2 } = 4pqL2. (2.3). 政治大. 若 t 步後，其位置為 Xt =ξ1 +ξ2 +· · · · ·+ξt ，t 步後的平均位移與變異數為. 立. E(Xt ) = E(ξ1 ) + E(ξ2 ) + · · · · · + E(ξt ) = tE(ξi ) = (p − q)tL. ‧ 國. 學. V ar(Xt ) = V ar(ξ1 ) + V ar(ξ2 ) + · · · · · + V ar(ξt ) = tV ar(ξi ) = 4pqtL2. (2.4) (2.5). ‧. io. sit. p=q. E(Xt ) = (p − q)tL −−→ 0. er. Nat. y. 若機率 p = q 時，t 步後的平均位移與變異數為. n. p=q tL2 v aV lar(Xt) = 4pqtL2 −−→ ni Ch U engchi 2. (2.6) (2.7). 我們可以發現，當 p = q 時，E(ξt ) ∝ t1. 2.1.3. 布朗運動：愛因斯坦的觀點. 愛因斯坦的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據亞佛加德定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為 22.414 升，其中包含的原子的數目被稱為亞佛加德數。由氣體的摩爾質量除以亞佛加德數等同原子量。愛因斯坦論點的第一部分是確定布朗粒子在給定的時間內傳播距離。古典力學無法確定這個距離，因為一個布朗粒子受到每秒大約 1021 劇烈碰撞。因此 7.

(24) 愛因斯坦考慮布朗粒子的集體運動。他表明，如果 ρ(x, t) 是布朗粒子的密度，在位子 x 與時間 t，則 ρ 滿足擴散方程： ∂ρ ∂ 2ρ =D 2 ∂t ∂x. (2.8). 其中 D 為質量擴散係數，若 D 為常數，解可為平面波形式： P (x, t) = eikx Pe (k, t). (2.9). 將式2.9帶入擴散方程式，可得. 政治大. ∂ Pe (k, t) = −Dk 2 Pe (k, t) ∂t. 立. Pe (k, t) = Pe (k, 0)e−Dk. 2t. (2.11). ‧. ‧ 國. 學. 其解為. (2.10). n. al. 將式2.11帶入將式2.12可得. Ch. engchi. sit. io. 1 ∫ P (x, t) = dkeikt Pe (k, t) 2π. er. Nat. y. 利用反傅立葉（inverse Fourier transform），可得一般解為. i Un. (2.12). v. 1 ∫ 2 P (x, t) = dkeikt e−Dk t Pe (k, 0) 2π. (2.13). 利用初始條件，當 t = 0 時，所有粒子均為在 x = 0 處，即. P (x, 0) = ∆(x − 0). 8. (2.14).

(25) 則擴散方程在初始條件下的解為 Pe (k, 0) =. ∫. dxe. −ikx. ∫. P (x, 0) =. dxe−ikx ∆(x) = 1. −x2 1 ∫ 1 2 =⇒P (x, t) = dkeikt e−Dk t = √ e 4Dt 2π 4πDt. (2.15). 式2.15表明，顆粒的機率密度分布是與 t 為變數的高斯分布，隨著 t 的增加，顆粒逐漸擴散至兩邊。而其平均位移 (The mean displacement) 為 ∫. E(x) =. V ar(x) = E(x2 ) − E(x)2 = 2Dt √. t ∆t. ∝. √. (2.17). N ，其中 t 為總時間，∆t 為每一步的時. ‧. σ(t) ∝. 學. ‧ 國. 立. x2 ，可得 2∆t. (2.16). 政治大. 變異數 (The variance) 為. 式2.17的 D =. dx · x · P (x, t) = 0. t 間間隔， ∆t 即為走 N 步之意，由此可得二階原動差 (second moment) 的表示式：. n. al. (2.18). er. io. sit. y. Nat. E(x2 ) = 2Dt. Ch. i Un. v. 由上敘兩種假設推導都可以得到一個共同的結論，即是 E(x2 ) ∝ t1 ，意味著其均. engchi. 方位移 (mean square displacement) 與時間的一次方成正比。. 2.2 隨機矩陣理論在數理統計學的範疇，含有至少一個元素為隨機變數的矩陣則稱為隨機矩陣，並由 Hsu 和 Wishart 等人提出了相關的隨機矩陣概念並加以深入研究。 Eugene Wigner 在對複雜系統的光譜進行解釋時遇到了難題的背景下將隨機矩陣理論發展起來。由於當時的理論發展無法得知不同原子不同能級間的交互作用，雖然可測得原子間不同能級的光譜線但難度卻極其的高，所以無法以現有的模型做更進一步的解釋。在最小哈密頓量的假設條件下，一個實對稱矩陣若擁有完全獨立且隨機的兩樣給定條件下，運用此種方法將可以得到不同原子不同能階交互 9.

(26) 作用間普適性的預期結果，所有可能的相互作用形式的平均結果跟預期相當一致。即在複雜系統當中，系統的微觀狀態是完全隨機，但可以透過隨機矩陣的方式來表達系統的哈密頓量。 V.Plerou 和 H.E.Stanley 將隨機矩陣的理論方法應用於金融市場中不同股票價格變動的橫向相關性研究，將金融市場的數據用這種方法分析時，股價變動的相關性將很明顯的表現出來，不同股票板塊內部的運動可以透過相關性來做進一步的說明。. 學. ‧ 國. 2.2.1. 政治大 Wishart matrix 立特徵值分布. 假設一 T × N 維的隨機矩陣 C，其中 T 為股價報酬時間序列的長度且 N 為. y. io. ρ(λ) =. Q 2πσ 2. al. n. 其中. sit. √. Ch. λmax min. =σ. (λmax − λ) · (λmin − λ) λ. e(n g c h i√. 2. er. 滿足下面的形式. 有限且大於 1 時，隨機矩陣的特徵值 λ 分布函數 ρ(λ). T N. Nat. N → ∞，T → ∞，Q =. ‧. 選擇股票公司的個數，根據隨機矩陣理論描述的 Wishart matrix 特徵值分布，當. i Un. 1 1 1+ ±2 Q Q. v. (2.19). ). (2.20). 從式3.7和式3.8可以得到特徵值分佈的幾個特點：1. 特徵值分佈與原始數列的變異數有關。2. 特徵值分佈與時間長度（Q = T /N ）有關。3. 特徵值得上下限可以從 Q 和變異數得到。 Stanley 等人運用相關的概念將 N 支具有時間序列長度為 T 的股票矩陣 M 代替原先的隨機矩陣 C。若對矩陣 M 進行歸一化後再做轉置，可以得到一個相關係數矩陣 R。若對 R 矩陣進行特徵值函數的分析，可以發現大部份的特徵值都會落在 λmin 與 λmax 內的隨機區域內，只有少部分的特徵值會落在 λmin 與 λmax 之外。透過完全隨機矩陣與利用隨機矩陣理論的分析方法所得到的股票收益相關矩陣之間的差異，可以反映出很多真實市場中的信息。 10.

(27) Eigenvalues distribution of different time series variance 6 2 σ =0.15 2 5 σ =0.25 σ2=0.35 ρ(λ). 4. σ2=0.45 σ2=0.55. 3. σ2=0.65. 2. σ2=0.75. 1. σ2=0.95. σ2=0.85. 0 0. 0.5. 1 λ. 1.5. 2. Figure 2.1: N = 345，T = 5000 時在不同時間序列變異數下的特徵值的分佈。. 政治大. Eigenvalues distribution of different Q(=T/N). 立. 1.4. Q=3 Q=6 Q=9 Q=12 Q=15 Q=18 Q=21 Q=24 Q=27. ρ(λ). 1. 0.8 0.6. y. Nat. n. a0.5l. er. io. 0 0. sit. 0.4 0.2. ‧. ‧ 國. 學. 1.2. Ch. 1. λ. 1.5. engchi. i Un 2. v. 2.5. Figure 2.2: σ = 1 時在不同時間序列 Q（= T /N ）下的特徵值的分佈。 2. 2.3 相關係數對稱矩陣為了探討價格之間的互動性，必需先計算不同公司間股票價格報酬率的相關係數。因此我們先定義對數報酬 Gi (t)，可以下面式子表示 Gi (t) ≡ ln Pi (t + ∆t) − ln Pi (t) ≈. ∆Pi (t) Pi (t). (2.21). 其中 Pi (t) 為公司 i 在時間點 t 時的價格 (本研究中記錄每筆資料價格的時間間隔為 36 秒)，∆t 為時間間隔， ∆p 為報酬率百分比，我們會依序選取不同的時間間隔 p ∆t 做運算，∆t 就類似於隨機漫步中的步數，假設我們選取時間尺度 ∆t = 60 分 11.

(28) 鐘 (60 × 60/36 = 100 個資料點)，代表依序每 60 分鐘 (100 個資料點) 把取對數後的價格減去 60 分鐘前取對數後的價格，我們則可以得到一組新的數據，一般而言對數報酬的計算方式有 overlapping 與 non-overlapping 兩種方式，我們採用的方式是 overlapping，如圖2.3所示. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. al. er. io. 接下來定義歸一化後的股價報酬率 gi ，表達式如下. sit. y. Nat. Figure 2.3: 圖上方計算對數報酬的方式為 non-overlapping 且時間尺度 ∆t = 5 分鐘；圖下方計算對數報酬的方式為 overlapping 且時間尺度 ∆t = 5 分鐘。. i Gi (t) − ⟨Gi ⟩ U n e n g σc h i gi (t) ≡. Ch. v. (2.22). i. 最後定義兩間公司間的相關係數 Cij ，表達式如下 Ci,j ≡ ⟨gi gj ⟩. (2.23). 相關係數是表示兩個變數之間線性關係密切程度的指標，用 Cij 表示，其值在 −1 至 +1 間。如兩者呈正相關，Cij 呈正值，Cij = 1 時為完全正相關；如兩者呈負相關則 Cij 呈負值，而 Cij = −1 時為完全負相關。完全正相關或負相關時，所有圖點都在直線回歸線上；若點的分佈越偏移直線回歸線則代表越離散，Cij 的絕對值越小。相關係數的絕對值越接近 1，相關越密切；越接近於 0，則越不相關。當 Cij = 0 時，說明 X 和 Y 兩個變數之間無直線關係。N × N 相關係數對稱矩陣示 12.

(29) 意圖如下：. .   C11.     C21    C=  C31    ..  .   . C12. · · · C1N . C22. · · · C2N. C32. · · · C3N. .. .. ... .. .. .. CN 1 CN 2 · · · CN N.                . (2.24). 式2.24中的 Cij 是相關係數矩陣的元素，當 i = j 時為對角線元素且其值為 1。. 2.4 卡忽南 -拉維展開式（Karhunun-Loeve Expansion）. 政治大 K-L 展開 (Karhunen Loeve 立Expansion) 是建立在統計基礎上用來表示隨機過程. ‧ 國. 學. 的方法，透過此展開把時間部分 (eigenvector) 轉換成空間部分。它是利用由隨機訊號統計特性中的一組正交化 (Orthogonal) 的基底函數來將隨機訊號轉變成零相. ‧. 關之隨機變數。經由 K-L 展開後所獲得的基底函數, 因為擁有正交的特性所以在整個隨機過程中的每個基底向量所轉換出來的訊號都不會有重複的現象發生。下. y. Nat. n. Rl (t). Ch. ⟨∆Rl2 (t)⟩. =. N √ ∑. er. io. al. Sl (t) = √. sit. 面的方程式是時間序列 K-L 展開表達式. i Un. v. T λj aj (l)bj (t). j=1. engchi. (2.25). • Sl (t)：對數報酬矩陣 • N ：為公司總家數 345 • T ：取對數報酬後的資料長度 • λj ：第 j 個特徵值 • aj (l)：特徵值所對應的特徵向量 • bj (t)：經過 K-L 轉換後得到的新的矩陣數據假設我們取共 345 間公司各有 11700 個資料點，設 ∆t 為 700 個資料點，如此一來我們可以得到維度為 T × N (11000 × 345) 的對數報酬矩陣 Sl (t)，接著我們將對數 13.

(30) 報酬矩陣 Sl (t) 轉換成相關係數的對稱矩陣後，然後對相關矩陣解特徵值，可以獲得 345 個特徵值以及每個特徵值所對應的特徵向量，其中每個特徵值對應 345 個特徵向量，而式3.9中的 Sl (t) 指原本的對數報酬矩陣，T 為取對數報酬後的資料長度 11000(11700 − 700)，N 為公司家數 345，λ 為所對應的特徵值，aj (l) 為特徵值所對應的特徵向量，而 bj (t) 則是經過 K-L 轉換後得到的新的矩陣數據。所以，當隨機訊號的能量集中於主要特徵向量時，若利用主要之特徵向量來表示此訊號，將不會有太多的失真。利用此一 K-L 展開特性將有助於資料特徵萃取，達到特徵標記之目的。. 2.5 參與率（participation 治Np）政 ratio. 大立參與率 (participation ratio) 是量化有多少比例的粒子被激發的一種方式，可以. ‧ 國. 下：. 學. 用來進一步檢驗特徵向量的隨機性質，參與率 (Inverse participation ratio) 方程式如. Il =. j 2 ∑N j 2 j=1 (al ) j=1 (al ) ∑N ∑N j 4 j=1 1 j=1 (al ). ‧. ∑N. Nat. y. (2.26). sit. 式2.26中的 ajl 代表第 l 個特徵值所對應的第 j 個特徵向量，且因為每個特徵值對. er. io. 應的所有向量平方合要為 1，所以我們討論兩個極端的例子：. n. al √ iv • CaseI：每個分量都等於 CN −1 (全部參與)，則 Nnp = 1。 hengchi U • CaseII：如果向量中僅某分量為 1(只有一個粒子參與)，其餘為 0，則 Np = 1/345。. 結論：Np 介於 1 與. 1 N. 之間，不會有大於 1 或者小於. 1 N. 的現象發生。. 參與率 Np 可以測試該特徵向量分量的分佈，在此特徵向量中若有少數公司分量的絕對值較大時，Np 值會較小，因為特徵向量中其他較多公司的分量絕對值會較小，表示並沒有參與這個特徵模式，所以稱為 participation ration，反之若較多公司參與此特徵模式則此值 Np 會變大，如同第一特徵向量一般（最大特徵值所對應的特徵向量），而從圖2.4可以了解不同的特徵向量模式所對應的參與率 Np 值。. 14.

(31) 0.2. 0.6. E ig env ector. 0.4. 0 −0.2 0. 50. 100. 150. 200. 250. C om p onent. C om p onent. 0.8. E ig env ector. 1996. 2 E i ge nv e c t or Fl u c t u at i on ∆t = 3. 6 ∗ 10 4 s 188 t h l a r g e s t e i g e n v a l ue 1 s t s m a l l e s t N p = 0. 0076. 300. 1996. 2 E i ge nv e c t or Fl u c t u at i on ∆t = 3. 6 ∗ 10 4 s 201 t h l a r g e s t e i g e n v a l ue 2 n d s m a l l e s t N p = 0. 0126. 0.5. 0. −0.5. −1 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. S tock. 1996. 2 E i ge nv e c t or Fl u c t u at i on ∆t = 3. 6 ∗ 10 4 s 1 s t l a r g e s t e i g e n v a l ue 1 s t l a r g e s t N p = 0. 6331. 0.1. 0.05. C om p onent. C om p onent. S tock. 1996. 2 E i ge nv e c t or Fl u c t u at i on ∆t = 3. 6 ∗ 10 4 s 8 t h l a r g e s t e i g e n v a l ue 2 n d l a r g e s t N p = 0. 3653. 0.2 0.1. 政治大. 0. −0.05 0. 50. 100. 150. 立. 200. 250. E ig env ector. E ig env ector. 0. 300. −0.1. −0.2 0. 50. 100. S tock. 150. 200. 250. 300. S tock. ‧ 國. 學 ‧. Figure 2.4: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為標的，以時間尺度 ∆t = 3.6 × 104 sec 下，所得的計算結果在不同的特徵向量模式所對應的參與率 Np 值。. sit. y. Nat. n. al. er. io. 圖2.4上列的兩張圖特徵向量中有少數公司分量的絕對值較大時，表示有比較. i Un. v. 多公司並沒有參與此特徵模式，所以參與率 Np 值會較小，而圖2.4下列的兩張圖. Ch. engchi. 特徵向量中大部分公司分量較為平均，表示有較多的公司參與此特徵模式則此值 Np 會變大。我們可以利用隨機矩陣理論來進一步測試特徵向量是否具有隨機性，根據隨機矩陣理論，由高斯隨機序列所產生的相關矩陣特徵向量，其分量分佈易接近高斯分佈，所以參與率 Np 接近 1/3，圖2.5顯示美國 S&P500 指數相關矩陣特徵向量的參與率 Np ，除了幾個比較大的跟比較小的特徵值外，其餘特徵模式的參與率 Np 皆符合理論預測。. 15.

(32) Parti ci p ati on R ati o. 1. λl. 10. 0. 10. 政治大. 0.1. 0.2. 0.3 Il. 學. 0. ‧ 國. 立. 0.4. 0.5. 0.6. ‧. n. al. er. io. sit. y. Nat. Figure 2.5: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為標的所計算的特徵值 λ 與 Participation Ratio 作圖，而隨機矩陣理論預測 Il ∼ 1/3 = 0.33333，大部份的特徵值所對應的參與率 Np 符合理論預測。. i Un. Ch. v. 2.6 持續性時間 ts（Switch e nTime） gchi. 如果時間序列有持續性時間或長時間的記憶，他們的機率密度分佈可能就不會是常態分佈，這對很多金融領域有著很重要的暗示 (特別是對資產的評價、選擇權的價格、投資組合的分配、風險的管理)，我們稱時間序列數值符號改變前的持續性時間為 Switch Time ts 。我們以圖2.6來解釋如何計算持續性時間 ts ，總共可以分為兩種情況（有值為零與沒有值為零的情況），情況一（沒有值為零的情況）如圖2.6(a)與圖2.6(b)所示：當相鄰兩點的值若維持同號 (正正、負負) 就累積 Switch Time ts ，當相鄰兩個點的值若為相反的符號則結束累計 Switch timets 且重新開始一個新的持續性時間 ts 累計，圖2.6(a)中一開始連續五個點都是正值（＋）直到第六個點為負值，這樣一來就累積的持續性時間 ts 為 4，而從第六個點重新累積持續性時間 ts ，從第六個點 16.

(33) 到第九個點為負值且第十個點為正值，累積的持續性時間 ts 為 3，而從第十個點重新累積持續性時間 ts ，而圖2.6(b)中的點持續正負相間（＋ -＋ -＋）則完全不累積持續性時間；情況二（有值為零的情況）如圖2.6(c)與圖2.6(d)所示：是牽扯到有值為零的情況，在此種情況下可將值為零的點視為與前一個點為同號，而計算的方式則與之前的規則相同，圖2.6(c)與圖2.6(d)中點的值可視為正正正正正負負負負正，其累積的持續性時間分別為 4 與 3。. 學. ‧ 國. 立. 政治大 (b) 此特徵向量的波動方式（正負相間）則不累積持續性時間 ts 。. ‧. (a) 此特徵向量的波動方式會累積兩個持續性時間 ts ，其中一個持續性時間 ts 為 4 另一個則為 3。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. (c) 此特徵向量的波動方式會累積兩個持續性時間 ts ，其中一個持續性時間 ts 為 4 另一個則為 3。. i Un. v. (d) 此特徵向量的波動方式會累積兩個持續性時間 ts ，其中一個持續性時間 ts 為 4 另一個則為 3。. Figure 2.6: 此組圖用來解釋持續性時間 ts 的計算方式，可以分為兩種情況，情況一為沒有值為零的點出現，如圖2.6(a)與圖2.6(b)所示；情況二為有值為零的點出現，如圖2.6(c)與圖2.6(d)所示。. 17.

(34) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 18. i Un. v.

(35) Chapter 3 實證分析政治大. 本論文研究的標的是美國標準普爾 500(S&P500) 指數中交易最為頻繁的 345 間. 立. 公司在 1996 年各月份的股票價格，價格的記錄方式為每間隔 36 秒記錄一次，我. ‧ 國. 學. 們將其對不同的時間間隔（∆t）下作對數報酬（價格取對數之後再相減）的計算，再將所得到的不同時間序列做相關係數對稱矩陣，進一步的利用上一章節所提到. ‧. 的計算方法（持續性時間 ts 、參與率 Np ）來分析與探討特徵值與其所對應的特徵. sit. y. Nat. 向量。. io. er. 美國股市每天交易的時間為 AM9：00∼PM4：30，一天一共會有 6.5 個小時 (23, 400 秒、650 個價格記錄) 的交易時間，而一年的交易天數一共有 240 天. n. al. Ch. i Un. v. (5, 156, 000 秒、156, 000 個價格記錄)。我們將股票交易的價格視為連續的狀態. engchi. （將股票價格視為隨機漫步般的前後移動），在這裡只考慮股市有交易的時間，移除其他不會開盤的時間，例如：晚上、週末、假日、國定假日與其他股市不開盤交易的情形，如此一來我們就可以將當次收盤的時間與下一次開盤的時間視為連續不間斷的狀態。本章節的前一節先簡單介紹基本定義，以及如何在資料上選取時間間隔（∆t），其餘小節則介紹整體的研究以及成果；在 3.2 節藉由相關矩陣之特徵值分佈的研究來探討理論與實際數據的差異；3.3 節則是透過卡忽南 -拉維展開式 (Karhunun-Loeve Expansion) 將空間部分 (相關矩陣中特徵值所對應的特徵向量) 轉換出時間部分 bj (t)，以探討空間部分與時間部分的相關性；3.4 節則是使用我們自己定義的方法來計算出每個特徵值所對應的持續性時間（Switch time ts ），以及對持續性時間做分析；在 3.5 節我們則計算出每個特徵值所對應的參與率 Np ，在 19.

(36) 探討大的參與率由哪些特徵值提供出來，以及大部份的特徵值所對應的參與率落在哪個值的範圍；我們則將每個特徵值所對應的持續性時間 ts 與參與率 Np 在對數尺度（log10）下作圖，也將利用自己定義的方法來將特徵值切割成四個區段，以便更進一步的探討它們（持續性時間 ts 與參與率 Np ）與特徵值的關聯性，也透過時間間隔 (∆t) 的改變看是否有規律性的現象發生，例如：Epp’s 效應（時間間隔 ∆t 越大，不同股票間的相關性越大）。以下則是本實驗的流程圖，透過流程圖可以更清楚整個實驗數據的計算順序與目的，如圖3.1所示. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. Figure 3.1: 數據處理流程圖. 20. v.

(37) 3.1 基本定義 3.1.1. 股價對數報酬（log-return）. 股價對數報酬亦即是在描敘股價漲跌變動率的情形，第 i 家公司在時間 t 的股價對數報酬如下所示：. ri (t) = log(Pi (t + ∆t)) − log(Pi (t)) ≈ log(Pi (t) + ∆Pi (t)) − log(Pi (t)) =. 政治大. ∆Pi (t) Pi (t). 立. ‧ 國. 學. Pi ：第 i 家公司的股票價格 ∆t：股價對數報酬的時間差. ‧. 股價對數報酬之相關函數（Correlation function）. sit. y. Nat. 3.1.2. (3.1). n. al. er. io. • 變異數（variance）：. Cσhi2 = E(ri − ri)2 U n i e n∑g c h i 2 T t=1. =. (ri − ri ) T. v. (3.2). • 標準差（standard deviation）： √. σi =. E(ri − ri )2. √∑. T t=1. =. (ri − ri )2 T. (3.3). • 共變異數（covariance）：股價對數報酬的共變異數代表不同公司變動的關聯性。例如：兩變數同時增加或同時減少時共變異數為正值，一增一減時為負值，由此可知，共變異數為正值時，兩變數間的變化具有同向性，反之，為 21.

(38) 負值時，變數間的變化具有反向性。方程式如下：. Cov(ri , rj ) = E(ri − ri )(rj − rj ) = E(ri rj ) − ri rj ∑T. =. t=1 (ri. − ri )(rj − rj ) T. (3.4). 將共變異數除以個別的標準差做歸一化，即為相關函數 (Correlation function)，其公式表示如下： Cov(ri , rj ) σi σj E(ri rj ) − ri rj = σi σj ∑T (ri − ri )(rj − rj ) = t=1 T σi σj ∑T (ri − ri )(rj − rj ) √∑ = √∑ t=1 T T 2 2 t=1 (ri − ri ) t=1 (rj − rj ). Cij =. 政治大. 立. ‧. ‧ 國. 學. Nat. n. al. er. io. ri ：第 i 家公司的股價對數報酬在長度 T 的平均數. 1. 1 < Cij < 1. sit. y. ri ：第 i 家公司的股價對數報酬. 相關函數的特性：. (3.5). Ch. engchi. i Un. v. 2. Cij = Cji 與 Cii = 1. 3.1.3. 股價對數報酬的交叉相關矩陣. 股價對數報酬的交叉相關矩陣 (Cross-Correlation Matrix)：由 N 家公司的股價對數報酬的相關函數組成一 N × N 的對稱矩陣。 . .  C11   C  21 C=  .  .  .  . C12. · · · C1N . C22 .. .. · · · C2N .. .. . .. CN 1 CN 2 · · · CN N 22.          . (3.6).

(39) 3.2 相關矩陣特徵值分佈假設一 T × N 維的隨機矩陣 C，其中 T 為股價報酬時間序列的長度且 N 為選擇股票公司的個數，根據隨機矩陣理論描述的 Wishart matrix 特徵值分布，當 N → ∞，T → ∞，Q =. 有限且大於 1 時，若先將數列作歸一化則其變異數 σ 2. T N. 為 1，隨機矩陣的特徵值 λ 分布函數 ρ(λ) 滿足下面的形式 √. Q ρ(λ) = 2π 其中. (λmax − λ) · (λmin − λ). √. (. λmax min. 立. (3.7). λ. ). 政治大. 1 1 = 1+ ±2 Q Q. (3.8). 由美國 S&P500 指數中挑選出 1996 ∼ 1999 間交易最為頻繁的 345 家公司股票做價. ‧ 國. 學. 格對數報酬的研究，且更進一步對其相關係數矩陣 C 做計算，並可從計算結果得到特徵值的分佈特性（如圖3.2與圖3.3所示。）. y. Nat. sit. 1996.2/60min Fitting RMT iv. n. al. er. io. 1.2. ρ(λ). 1. ‧. Eigenvalue Distribution. Ch. n U engchi. 0.8 0.6 0.4 0.2 0. 0.5. 1 λ. 1.5. Figure 3.2: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的所得的特徵值分佈與隨機矩陣理論下的特徵值分佈比較圖。. 23.

(40) Eigenvalue Distribution. Eigenvector Fluctuation 0.02. ρ(λ) λmax Eigenvector Componemt. 0. ρ(λ). 0.1. 0.05. −0.02. −0.04. −0.06. −0.08. −0.1 λmax. 0 0 10. −0.12. 1. 10. λ. 0. 50. 100. 150. 200. 250. 300. Stock. (a) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的且時間間隔（∆t）為 360 秒的特徵值後半部的分佈。. (b) 為其最大特徵值所對應的特徵向量。可以發現大部分均為同號，只有少數為異號。. Figure 3.3: 從圖3.3(a)可以發現有少數的特徵值非常大，遠離大部份的特徵值；圖3.3(b)的波動具有方向性（同號），表示股市運作是群體性且會有互相的連動關係。. 立. Eigenvector Distribution ∆t=360Sec 20. 政治大. Eigenvector Distribution ∆t=3600Sec. 30. 300th largest 345th largest. 20. 300th largest 345th largest. 10. −0.1. y. 0 −0.2. 0.2. 200th largest. 0 0.1 0.2 Eigenvector Component. sit. −0.1 0 0.1 Eigenvector Component. 100th largest. 15. 5. Nat. 0 −0.2. 200th largest. ‧. 5. 25 Probability Distribution. 10. ‧ 國. 15. The largest. 100th largest. 學. Probability Distribution. The largest. 0.3. n. al. er. io. (a) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 (b) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的且時間間隔家公司股票股價為計算標的且時間間隔（∆t）的選取為 360 秒時的計算結果。（∆t）的選取為 3,600 秒時的計算結果。. Ch. Eigenvector Distribution ∆t=18000Sec. The largest. Probability Distribution. 100th largest 15. engchi 25. th. Probability Distribution. 20. 200 largest 300th largest 345th largest. 10. 5. 0 −0.4. −0.2 0 0.2 Eigenvector Component. 20. v. Eigenvector Distribution ∆t=36000Sec The largest 100th largest 200th largest 300th largest. 15. 345th largest. 10 5 0 −0.4. 0.4. i Un. −0.2 0 0.2 Eigenvector Component. 0.4. (c) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 (d) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的且時間間隔家公司股票股價為計算標的且時間間隔（∆t）的選取為 18,000 秒時的計算結果。（∆t）的選取為 36,000 秒時的計算結果。. Figure 3.4: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別在 360 秒（10 個資料點）、3, 600 秒（100 個資料點）、18,000 秒（500 個資料點）、 36, 000 秒（1, 000 個資料點）的時間間隔（∆t）下做相關係數對稱矩陣計算，然後將所得的特徵值所對應的特徵向量做機率密度分佈，其中特地選取第一大（1st）、第一百大（100th）、第兩百大（200th）、第三百大（300th）、第三四五大（345th、最小）的特徵值所對應的特徵向量做機率密度分佈。 24.

(41) 圖3.2與圖3.3(a)是以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的所計算出來的特徵值機率密度分佈圖，可以從圖中觀察出特徵值的分佈特性：一群連續分佈的特徵值（圖3.2）與擁有極值的特徵值（圖3.3(a)的紅圈）。從之前的研究論文得知，最大的特徵值擁有稱為市場模式的性質，其所對應的特徵向量均為同號，會有這樣的現象是因為股票市場的運作並非隨機，但我們的研究結果（圖3.3(b)）與之前的文獻稍有不同，其中最大的特徵值所對應的大部分特徵向量同號（並非如先前的研究所說的完全同號），這可能是因為資料長度所造成的結果，我的研究資料長度為一個月（而文獻中的資料長度為一年），資料的記錄時間不夠長的話，比較容易顯現出隨機的性質，所以造成最大特徵值所對應的少部分特徵向量有異號的現象產生。. 治政為了進一步印證市場模式，我們以 1996 年 2 月美國大 S&P500 指數 345 家公司立股票股價為計算標的，分別在 360 秒（10 個資料點）、3, 600 秒（100 個資料點）、 ‧ 國. 學. 18,000 秒（500 個資料點）、36, 000 秒（1, 000 個資料點）的時間間隔（∆t）下做相關係數對稱矩陣計算，然後將所得的特徵值所對應的特徵向量做機率密度分. ‧. 佈，特地選取第一大（1st）、第一百大（100th）、第兩百大（200th）、第三百大. Nat. sit. y. （300th）、第三四五大（345th、最小）的特徵值所對應的特徵向量做機率密度分佈. er. io. 後繪製成圖形做比較，計算結果如圖3.4所示，其中有兩個發現，其一是第一大的. al. iv n C 皆幾乎完全以零為分界線偏向正或負，這印證了最大特徵值確實擁有市場模式的 hengchi U n. 特徵值所對應的特徵向量做機率密度分度所得到的圖形，不論在哪個時間尺度下. 性質；其二是其他四個（100th、200th、300th、345th）特徵值所對應的特徵向量做機率密度分度所得到的圖形，不論在哪個時間尺度下皆幾乎完全以零為對稱軸呈現對稱的現象，可以推斷除了最大的特徵值所對應的特徵向量有方向性外，其他特徵值所對應的特徵向量似乎是隨機的。. 25.

(42) 3.3 卡忽南 -拉維展開式（Karhunun-Loeve Expansion）時間序列 K-L 展開方程式如下：. Sl (t) =. N √ ∑. T λj aj (l)bj (t). (3.9). j=1. 藉由 K-L 展開將空間部分（相關矩陣中特徵值所對應的特徵向量）轉換出時間部分 bj (t)，以探討空間部分與時間部分的相關性，我們的想法是從光速等於波長乘以頻率衍生出來，將時間部分與空間部分類比成波長與頻率，借此來挖掘更多時間部分與空間部分的關聯性。 −4C omponent. x 10. 立. 6. y. sit er. al. b j (t). n −4 0. M ode). ∆t = 3.6 ∗ 10 3 s ∆t = 7.2 ∗ 10 3 s ∆t = 3.6 ∗ 10 4 s. ‧ 國 io. −2. E xpansion(M ark et. 2. Nat. 0. K−L. ‧. 2. 政治大 ∆t = 3.6 ∗ 10 s. 學. 4. of. 2000. Ch 4000. iv n 8000 U 10000 e n6000 tg c h i. Figure 3.5: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別以 360 秒（黑線）、3, 600 秒（綠線）、18, 000 秒（藍線）、36, 000 秒（紅線）的時間尺度下做相關係數對稱矩陣計算，然後將對數報酬矩陣 Sl (t)、第一大的特徵值（1st largest eigenvalue）及所對應的特徵向量（空間部分）做 K-L 展開後獲得的時間部分 bj (t) 繪製成圖。我們將選取四個不同的時間尺度將原本數據做 K-L 轉換，分別以 360 秒（10 個資料點）、3, 600 秒（100 個資料點）、18, 000 秒（500 個資料點）、36, 000 秒（1, 000 個資料點）的時間尺度下做相關係數對稱矩陣計算，然後將對數報酬矩陣 Sl (t)、第一大的特徵值（1st largest eigenvalue）及所對應的特徵向量（空間部分）做 K-L 展開獲得的時間部分 bj (t) 繪製成圖形（如圖3.5所示），可以發現在時間尺度從小變大的過程中，持續性時間扮演的越來越重要的角色，小的時間尺度點與點之間 26.

(43) 似乎沒有任何的關聯，任意的在正負之間跳動，而在大的時間尺度時點與點之間似乎有了關聯性，會持續一段時間為正或為負，不像小時間尺度時無序的跳動，我們可以推論說時間部分會隨著時間尺度（∆t）的增加更具有持續性時間的特性，或是說隨著時間尺度（∆t）的增加資料之間會有記憶的效果產生，而並非像隨機漫步般的無序出現，因此想對不同的特徵值對應的時間部分做更進一步的持續性時間 Ts 探討，所以我們會在下一節使用2.6節所定義的方法來計算持續性時間。. 3.4 持續性時間 ts（Switch Time）. 治政大如2.6節所呈現，故在此做簡單的描敘，我們將相關係數對稱矩陣的特徵值經過立 K-L 展開後獲得的時間部分 b (t) 根據2.6節的方法做持續性時間 t 運算，因此每我們使用所定義的方法來進一步檢驗其持續性時間 ts ，完整的計算方式. j. s. ‧ 國. 學. 個特徵值都會對應一個 ts ，共有 345 個 ts （因總共有 345 個特徵值）。. ‧. Switch Time Fluctuation. ∆t=3.6*103s. y 1. Ch. sit. 2. 10. er. al. 0. 0. ∆t=3.6*102s ∆t=3.6*104s. n. Switch Time. io. 1. 10. 10. 10. ∆t=3.6*104s. Nat. 2. 10. 3. ∆t=3.6*103s. Switch Time. 3. 10. Switch Time Fluctuation ∆t=3.6*102s. 10. engchi. i Un. v. 0. 50. 100. 150 200 Stock. 250. 10. 300. 0. 10. 20. 30. 40. 50. Stock. (a) 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司 (b) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公股票股價為計算標的的全部特徵值所對應的持司股票股價為計算標的的前五十大特徵值所對續性時間 ts 作圖。應的持續性時間 ts 作圖。. Figure 3.6: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，分別在 360 秒（綠線）、3, 600 秒（藍線）、36, 000 秒（紅線）的時間尺度（∆t）下做相關係數對稱矩陣計算，將特徵值經過 K-L 展開後獲得的時間部分 bl (t) 根據2.6節的方法做持續性時間 ts 運算，然後將每個特徵值所對應的持續性時間 ts 繪製成圖（順序是按照特徵值由大到小排列，而圖3.6(a)是全部特徵值所對應的持續性時間 ts 作圖的結果，圖3.6(b)為前五十大特徵值所對應的持續性時間 ts 作圖的結果。圖3.6是以 1996 年 2 月美國 S&P 500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別在 360 秒（10 個資料點）、3, 600 秒（100 個資料點）、36, 000 秒（1, 000 個資料點）的時間尺度下（∆t）做相關係數對稱矩陣計算，將特徵值經過 K-L 展開後獲 27.

(44) 得的時間部分 bj (t) 根據2.6節的方法做 ts 運算，然後將每個特徵值所對應的 ts 繪製成圖（順序是按照特徵值由大到小排列），從圖中有兩個發現，其一不論在哪個時間尺度下，最大的 ts 都是由前三大的特徵值所計算出來（圖3.6的左邊），其二隨著時間尺度的變大，ts 的值也會有顯著的增加，也對應到上一節所說的時間部分會隨著時間尺度的增加更具有持續性時間的特性，下一章節我們會針對空間部分也就是特徵向量做進一步的研究。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. Figure 3.7: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒、3, 600 秒、7, 200 秒、36, 000 秒的時間尺度下，將計算所得的每個特徵值與所對應的持續性時間 ts 作圖。. 圖3.7以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在四個不同的時間尺度下，將計算所得的每個特徵值與所對應的持續性時間 ts 作圖，可以發現相關矩陣的特徵值在小的時間尺度（360 秒、3, 600 秒、7, 200 秒）時隨著 Switch Time 呈線性增加（物質系統的特徵能量也跟頻率成正比關係），當時間尺度大的時候則呈現不同的統計性質（36, 000 秒），會有這樣的結果是因為當多變量統計分佈為高斯分佈特時徵值會跟 ts 呈線性關係，而這個部分我們會在附錄的地方做進一步的解說。 28.

(45) 0.2. 0.2. P. 0.3. P. 0.3. F. ∆t = 3.6 ∗ 10 2 s 199602 0.4. D. PDF. F. Eigenvalue. D. 199602 0.4. 0.1 0 0. ∆t = 3.6 ∗ 10 3 s. 5 λ Eigenvalue PDF. 10 ∆t = 3.6 ∗ 10 4 s. D. F. ∆t = 7.2 ∗ 10 3 s 199602 0.1. 0.05. P. 0.05. P. D. PDF. 0.1 0 0. 10. F. 199602 0.1. 5 λ Eigenvalue PDF. Eigenvalue. 0 0. 5 λ. 政治大 0 0. 10. 立. 5 λ. 10. ‧ 國. 學. ‧. Figure 3.8: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒、3, 600 秒、7, 200 秒、36, 000 秒的時間尺度下，將計算所得的每個特徵值做機率密度分佈。. sit. y. Nat. 圖3.8以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，在四個不. io. er. 同的時間尺度下，將計算所得的每個特徵值做機率密度分佈，並將圖3.7中 360 秒、3, 600 秒、7, 200 秒的時間尺度下找出不符合特徵值與 ts 呈線性關係的點，並. n. al. Ch. i Un. 在圖3.8中以紅線表示這些點中最小的特徵值的大小。. engchi. 29. v.

(46) 3.5 參與率（participation ratio Np）在固態物理中應用參與率來計算有多少粒子比例的粒子被激發，在這邊我們引用這樣的觀念來研究有多少公司被激發，使用的方程式如下： ∑N. j 2 ∑N j 2 j=1 (al ) j=1 (al ) ∑N ∑N j 4 j=1 1 j=1 (al ). Il =. (3.10). 式3.10中的 ajl 代表第 l 個特徵值所對應的第 j 個特徵向量。 Np. Fl u ctu ati on. ∆t = 3. 6 ∗ 10 2 s ∆t = 3. 6 ∗ 10 3 s ∆t = 3. 6 ∗ 10 4 s. 0.6. 政治大. 0.5. 0.5. 0.4. 立. 0.3. Np. Np. 0.7. ∆t = 3. 6 ∗ 10 2 s ∆t = 3. 6 ∗ 10 3 s ∆t = 3. 6 ∗ 10 4 s. 0.6. 0.4 0.3 0.2. 50. 100. 學. 0.1. ‧ 國. 0.2. 0 0. Fl u ctu ati on. Np. 0.7. 0.1. 150 200 S to ck. 250. 0 0. 300. 10. 20. 30. 40. 50. S to ck. ‧. sit. y. Nat. (a) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家 (b) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的的全部特徵值所對公司股票股價為計算標的的前五十大特徵值應的參與率 Np 作圖。所對應的參與率 Np 作圖。. n. al. er. io. Figure 3.9: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別在 360 秒（綠線）、3, 600 秒（藍線）、36, 000 秒（紅線）的時間尺度下做相關係數對稱矩陣計算，再將每個特徵值所對應的特徵向量做參與率 Np 的計算，然後將每個特徵值所對應的 Np 繪製成圖（順序是按照特徵值由大到小排列，而圖3.9(a)是全部特徵值所對應的參與率 Np 作圖的結果，圖3.9(b)為前五十大特徵值所對應的參與率 Np 作圖的結果。. Ch. engchi. i Un. v. 圖3.9是以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別在 360 秒（10 個資料點）、3, 600 秒（100 個資料點）、36, 000 秒（1, 000 個資料點）的時間尺度下做相關係數對稱矩陣計算，再將每個特徵值所對應的特徵向量做參與率 Np 的計算，然後將每個特徵值所對應的 Np 繪製成圖（順序是按照特徵值由大到小排列），對比上一小節持續性時間 tS 的研究有一同一異的地方，相同之處是最大的 Np 都是由前 3 大的特徵值所計算出來，相異之處是在做持續性時間 tS 的計算時，持續性時間 tS 的值會隨著時間尺度增加而變大，但是在做參與率 Np 的計算時，參與率 Np 的值並不會隨著時間尺度增加而增加（反而有變小的現象發生）。 30.

(47) Di stri b u ti on. Np. P rob ab i l i ty D i stri b u ti on. 15 ∆t = 3. 6 ∗ 10 2 s N¯ p = 0. 2965 ∆t = 3. 6 ∗ 10 3 s N¯ p = 0. 2932 ∆t = 3. 6 ∗ 10 4 s N¯ p = 0. 2499. 10. 5. 0.1. 立. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 學. Np. ‧ 國. 0 0. 政治大. ‧. Figure 3.10: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒（綠線）、3, 600 秒（藍線）、36, 000 秒（紅線）的時間尺度下，將計算所得的每個特徵值所對應的參與率 Np 做機率密度分佈圖。. sit. y. Nat. er. io. 若我們對每個特徵值所對應的參與率 Np 做機率密度分佈的計算，以 1996 年 2. al. iv n C 點）、3, 600 秒（100 個資料點）、36, 000 秒（1, 000 個資料點）的時間尺度下做相 he ngchi U n. 月美國 S&P500 指數 345 家公司股票股價為計算標的，分別在 360 秒（10 個資料. 關係數對稱矩陣計算，再將每個特徵值所對應的特徵向量做參與率 Np 運算後做. 成機率密度分佈圖（如圖3.10），可以從三個時間尺度下的參與率 Np 機率密度分佈圖發現一個特點，就是不論時間尺度如何變化特徵值對應的參與率 Np 大部份都落在 100 ∼ 120 左右（隨機矩陣理論預測的參與率 Np ∼ N/3 = 115），這也代表著除了少數幾個特徵值外, 其餘特徵模式的參與率皆符合隨機矩陣理論預測，我們就是要特別針對那少數幾個造成參與率 Np 不符合理論預測的特徵值進行研究，分析這些特徵值對應的空間部分與時間部分有何關聯性。. 31.

(48) 3.6 綜合討論我們將不同時間尺度（∆t）下的資料利用上述方法計算出每個特徵值對應的參與率 Np 與持續性時間 ts 在對數尺度下（log10）作圖。 1996.1 Np & ts 3. 10. ∆t=3.6*102s ∆t=3.6*103s ∆t=3.6*104s. 2. ts. 10. 1. 政治大. 立. 1. 2. 10. 10. 學. ‧ 國. 10. Np. ‧. n. al. er. io. sit. y. Nat. Figure 3.11: 以 1996 年 1 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒（綠圈）、3, 600 秒（紅圈）、36, 000 秒（藍圈）的時間尺度下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 。. 3. 10. 1996.2 Np & ts. Ch. engchi. ∆t=3.6*102s. i Un. v. ∆t=3.6*103s ∆t=3.6*104s 2. ts. 10. 1. 10. 1. 2. 10. 10 Np. Figure 3.12: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒（綠圈）、3, 600 秒（紅圈）、36, 000 秒（藍圈）的時間尺度下計算所得的參與率 Np 與持續性時間 ts 。 32.