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3.6 綜合討論
我們將不同時間尺度（∆t）下的資料利用上述方法計算出每個特徵值對應的參 與率 Np 與持續性時間 ts在對數尺度下（log10）作圖。
101 102
101 102 103
Np
t s
1996.1 N
p & t
s
∆t=3.6*102s
∆t=3.6*103s
∆t=3.6*104s
Figure 3.11: 以 1996 年 1 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒（綠圈）、3, 600 秒（紅圈）、36, 000 秒（藍圈）的時間尺度下計算所得的參 與率 Np 與持續性時間 ts。
101 102
101 102 103
Np
t s
1996.2 N
p & t
s
∆t=3.6*102s
∆t=3.6*103s
∆t=3.6*104s
Figure 3.12: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，且在 360 秒（綠圈）、3, 600 秒（紅圈）、36, 000 秒（藍圈）的時間尺度下計算所得的參 與率 Np 與持續性時間 ts。
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0 10 20 30 40 50 60
0 0.5 1 1.5
λ
ρ ( λ )
ρ ( λ ) & I( λ )
0 10 20 30 40 50 60 0
0.2 0.4 0.6
I( λ )
ρ(λ) I( λ )
3 2 1
Figure 3.14: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，用所計 算出來的特徵值機率密度ρ(λ) 與特徵值為變數的參與率I(λ) 來將特徵值分區段，
一共分為四個區段（由於版面問題在圖中只顯示三個，分別是 1、2、3 區三個區 段）。
圖3.13與圖3.14是以 1996 年 1 月、2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計 算標的在 3, 600 秒（100 個資料點）的時間尺度下，將計算所得的特徵值機率密 度ρ(λ) 分佈與以特徵值為變數的參與率I(λ) 繪製出來的圖性，X 軸為特徵值λ，
左邊 Y 軸為特徵值的機率密度，右邊Ｙ軸為參與率，接續我們將這些圖形切割成 三個區域，分別是最大的特徵值為 1 區（如圖表的 1 區）、從特徵值機率密度不等 於零到第一次為零的這段區間的特徵值為 3 區（如圖表的 3 區、特徵值集中於這 個區段）、1 與 3 區間的區段特徵值為 2 區（如圖表的 2 區、次大的幾個特徵值），
之後在特別將 3 區中最小的五個特徵值獨立出來成為 4 區（不在圖表顯示），這樣 一來就把所有的特徵值分成四個區段，以對應參與率 Np 與 ts在對數尺度（log10）
下作圖的結果（在長時間尺度下的點分成四個區域，如圖3.15、圖3.16、圖3.17、
圖3.18、圖3.19與圖3.20所示。）。
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13.12 59.32 173.88
‧
12.76 59.56 363.96
‧
12.88 51.77 243.28
‧
11.64 44.35 339.41
‧
12.07 70.37 609.94
‧
11.67 62.02 371.86
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我們以 1996 年 1 月（圖3.15）、2 月（圖3.16）、3 月（圖3.17）、3 月（圖3.18）、
3 月（圖3.19）、3 月（圖3.20）美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的在 360 秒（10 個資料點）、3, 600 秒（100 個資料點）、36,000 秒（1,000 個資料點）三個時 間尺度下，將每個特徵值對應的參與率 Np與持續性時間 ts在對數尺度下（log10）
作圖，X 軸為對數尺度下（log10）的參與率 Np，Y 軸為對數尺度下（log10）的持 續性時間 ts，藍、紅、黑色分別表示時間尺度 360、3, 600 秒、36, 000 秒，圓圈、
十字、方形、星星分別表示區段 1、2、3、4 內的特徵值，可以發現不論時間尺度 大小為何 I 區內的資料點都呈現圓圈的形狀，表示都是由區段 1(最大的特徵值) 內 的特徵值所對應的參與率 Np 與 ts 所繪製出來，而在任何尺度下 II 區內的資料點 是方形的形狀，表示都是由區段 3 內的特徵值所對應的參與率 Np 與 ts所繪製出 來，而在任何尺度下 IV 區內的資料點是十字、方形與星星的形狀，表示是少數的 區段 2 的特徵值及區段 3 與區段 4 內的特徵值所對應的參與率 Np 與 ts所繪製出 來，因此我們判斷 II 區與 IV 區的資料點大部分是小的特徵值計算而獲得，而 III 區的資料點大都呈現十字的形狀，表示都是由區段 2 內的特徵值（次大的幾個特 徵值）所對應的參與率 Np 與 ts所繪製出來。
從以上的分析可以獲得一些訊息，我們可以非常準確地抓到造成 I 區與 III 區 內資料點的特徵值的規律性，即較大的特徵值，但是沒辦法準確抓到造成 II 區內 資料點的特徵值的規律，所以想從最根本的本質為出發點，即為什麼在圖上會造 成 II 區的出現，是因為 II 區內的資料點的參與率 Np 值較小，參與率 Np 值的計算 方式如式3.11所示：
Il =
∑N j=1
(ajl)4 (3.11) 式3.11中的 Il是以特徵值所對應的特徵向量為變數計算而得，所以想比較一下造 成較小的參與率 Np值的特徵值（即造成 II 區資料點的特徵值）所對應的特徵向 量與較大（即造成 I、III 區資料點的特徵值）的特徵值所對應的特徵向量有何異 同，所以將以上敘述的特徵值所對應的特徵向量做圖比較（如圖3.21所示）。
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1996.2 Eigenvector Fluctuation
Stock
Eigenvector Component
1st smallest Np 1.8689 21th largest eigenvalue
(a) 造成最小參與率的第 21 大特徵值所對
1996.2 Eigenvector Fluctuation 2nd smallest Np 3.0462 55th largest eigenvalue
(b) 造成第二小參與率的第 55 大特徵值所
1996.2 Eigenvector Fluctuation 3rd smallest Np 11.0311 56th largest eigenvalue
(c) 第三小參與率的第 56 大特徵值所對應
1996.2 Eigenvector Fluctuation
Stock
Eigenvector Component
4th smallest Np 20.3823 80th largest eigenvalue
(d) 造成第四小參與率的第 80 大特徵值所
1996.2 Eigenvector Fluctuation
Stock
Eigenvector Component
1st largest eigenvalue
(e) 最大特徵值所對應的特徵向量作圖。
1996.2 Eigenvector Fluctuation
Stock
Eigenvector Component
2nd largest eigenvalue
(f) 第二大特徵值所對應的特徵向量作圖。
1996.2 Eigenvector Fluctuation
Stock
Eigenvector Component
3rd largest eigenvalue
(g) 第三大特徵值所對應的特徵向量作圖。
1996.2 Eigenvector Fluctuation
Stock
Eigenvector Component
4th largest eigenvalue
(h) 第四大特徵值所對應的特徵向量作圖。
Figure 3.21: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，造成 最小四個參與率的特徵值所對應的特徵向量與前四大特徵值所對應的特徵向量作
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1996.2 Eigenvector Fluctuation
(a) 為圖3.21(a)重新按照特徵向量由小至大繪製
1996.2 Eigenvector Fluctuation
(b) 為圖3.21(e)重新按照特徵向量由小至大繪製 後的結果。
Figure 3.22: 為圖3.21(a)與圖3.21(e)重新按照特徵向量由小至大繪製後的結果，紅 色圈圈是最小的十個特徵向量，青色圈圈則是最大的十個特徵向量，粉紅色線是
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有極端值的特徵向量）不被包含在內，想進一步了解前十大特徵值所對應的十個 最大與十個最小的特徵向量跟造成最小的十個參與率的特徵值所對應的十個最大 與最小的特徵向量有什麼不同，因此想了一個方法，就是將一個標準差內的特徵 向量點做最適曲線化，然後將三百四十五個特徵值所對應的五十個最大與最小的 特徵向量跟最適曲線上代入同一個Ｘ值所得到的 Y 值做比較，且將前十大特徵值 計算結果以綠色表示，而造成最小的十個參與率的特徵值計算結果則以紅色表示
（計算結果如圖3.23與圖3.24所示）。
0 10 20 30 40 50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Stock
Ratio
Total Eigenvalue 10 Eigenvalue 10 ts
Figure 3.23: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，所獲得 的前 50 小特徵特徵向量以下敘方法計算出來的比值。
圖3.23是三百四十五個特徵值所對應的前五十大特徵向量的計算結果，且將前 十大特徵值計算結果以綠色表示，而造成最小的十個參與率的特徵值計算結果則 以紅色表示，其他特徵值的計算及果則以藍線表示，最大特徵向量的計算結果對 應在 X 軸 1 的位置，依序向右記錄（第二大特徵向量的計算結果對應在Ｘ軸 2 的 位置），可以發現圖中三百四十五個特徵值所對應的十一至五十大的特徵向量計算
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結果（Ｘ軸 41 到 50 的位置），幾乎都糾結再一起，沒有一個明顯的分界線，但 三百四十五個特徵值所對應的前十大特徵向量計算結果（Ｘ軸 0 到 10 的位置），
則開始產生明顯的分離現象，紅線明顯的脫離了藍線與綠線，而紅線正是代表造 成最小的四個參與率的特徵值計算結果，這說明了造成最小的四個參與率的特徵 值所對應的前十大特徵向量與其他特徵值所對應的前十大特徵向量擁有不一樣的 性質。
0 10 20 30 40 50
−6
−4
−2 0 2 4 6 8 10 12 14
Stock
Ratio
Total Eigenvalue
10 Eigenvalue 10 ts
Figure 3.24: 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公司股價為計算標的，所獲得 的前 50 大特徵特徵向量以下敘方法計算出來的比值。
圖3.24是三百四十五個特徵值所對應的前五十小特徵向量的計算結果，且將前 十大特徵值計算結果以綠色表示，而造成最小的十個參與率的特徵值計算結果則 以紅色表示，其他特徵值的計算及果則以藍線表示，最小特徵向量的計算結果對 應在 X 軸 1 的位置，依序向右記錄（第二小特徵向量的計算結果對應在Ｘ軸 2 的 位置），可以發現圖中三百四十五個特徵值所對應的十一至五十小的特徵向量計算 結果 (Ｘ軸 11 到 50 的位置) 與三百四十五個特徵值所對應的十一至五十大的特徵
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向量計算結果有相同的現象，就是所有的線不論紅藍綠都糾結在了一起，而紅線 從 X 軸 1 到 10 的位置開始有脫離藍線與綠色的現象，這也說明了造成最小的十 個參與率的特徵值所對應的前十小特徵向量與其他特徵值所對應的前十小特徵向 量擁有不一樣的性質。造成最小的十個參與率的特徵值所對應的前十大與前十小 的特徵向量比較偏離其他的特徵向量，若依特徵向量值的大小排列的話，極端值 的特徵向量（前十大與前十小的特徵向量）比較沒有線性關係，容易落在離最適 曲線較遠的地方，而其他特徵值對應的前十大與前十小的特徵向量則與其他特徵 向量比較有線性的關係存在（特徵向量依大小排列）。
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Chapter 4 總結
本論文研究的是標準普爾 500(S&P500) 指數中交易最為頻繁的 345 間公司時間 序列的統計性質，主要的探討方向有二，其一為參與率 Np 與持續性時間 ts兩個 物理量在不同的時間尺度下所顯現出來的特性，且變化是否有具有規律性，即參 與率 Np 與持續性時間 ts是否有類似 Epps 的效應（隨著時間尺度變大而有規律的 變大），其二為針對造成極端值參與率 Np、持續性時間 ts（相對大）的特徵值進 行分析。
在參與率 Np與持續性時間 ts 的計算結果中發現了兩個現象，其一：不論時間 尺度如何改變，最大的參與率 Np 與持續性時間 ts 都是由前三大特徵值所計算出 來（如圖3.6與圖3.9所示），其二：持續性時間 ts會隨著時間尺度增加而大幅度改 變，而參與率 Np並不會隨著時間尺度增加而增加（如圖3.6與圖3.9所示）。
透過研究我們可以知道在長時間尺度（∆t = 3.6× 104s）的時候幾個次大的特 徵值所對應的持續性時間 ts增加的幅度大於其它特徵值對應的持續性時間 ts（如 圖4.1中的紅色十字），而最大的特徵值所計算出來的參與率 Np在任何時間尺度下 都會是最大的（如圖4.1中的紅色、藍色、綠色圓圈），而造成最小的幾個參與率 的特徵值所對應的特徵向量，會有少數幾個有極端值的現象（如圖4.2）。
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1996.2 Eigenvector Fluctuation
Stock
Eigenvector Component
1st smallest N p 1.8689 21th largest eigenvalue
(a) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公
1996.2 Eigenvector Fluctuation 2nd smallest N
p 3.0462 55th largest eigenvalue
(b) 以 1996 年 2 月美國 S&P500 指數 345 家公
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進行分析，產生一組 Random Potential 來解薛丁格方程式，如圖4.3所示，不隨時0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 所對應的波函數（如圖4.4所示）用來計算 Number of participaring particle Np，計
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 所對應的波函數（如圖4.4所示）用來計算 Number of participaring particle Np，計