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Chapter 2
理論背景與方法
本章節將針對論文中會使用到的理論做介紹，包括隨機矩陣理論，相關矩陣，
K-L 展開 (Karhunen- Loeve Expansion)，參與率 Np(number of participating stock)，
ts（switch time），以及簡短介紹物理上隨機行走與布朗運動與擴散運動。
2.1 隨機行走（random walk）、布朗運動與擴散運動
這一小節我們將對於布朗運動做簡單的介紹與分析。許多科學領域都會應用到 布朗運動 (random walk) 與擴散運動的概念來做進一步的衍生，在物理領域中則是 非常重要的基本觀念。
2.1.1 隨機行走（random walk）與布朗運動
遠從第一次世界大戰前的 1900 年代，法國的物理學家 Louis Bachelier 已經將 物理理論應用於財務分析。任合資產的價格波動以及它們的基本因素結構都是隨 機變化不受外力影響，相當類似於物理學中的布朗運動。Louis Bachelier 透過對 巴黎股市的研究寫成學術論文，其要點包括：提出有效率市場（Efficent Market）、
股價是隨機特性等先進觀念，即任合資產的價格波動以及它們的基本因素結構都 是隨機變化不受外力影響，相當類似於物理學中的布朗運動，此想法在財務學界 延用至今，且對經濟學有很大的貢獻。
在西元 1827 年英國植物學羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由 花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動，
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這些小的顆粒為液體的分子所包圍，由於液體分子的熱運動，小顆粒受到來自各 個方向液體分子的碰撞，布朗粒子受到不平衡的衝撞，而作沿沖量較大方向的運 動。又因為這種不平衡的衝撞，使布朗微粒得到的沖量不斷改變方向。所以布朗 微粒作無規則的運動。溫度越高，布朗運動越劇烈。它間接顯示了物質分子處於 永恆的、無規則的運動之中。但是，布朗運動並不限於上述懸浮在液體或氣體中 的布朗微粒，一切很小的物體受到周圍介質分子的撞擊，也會在其平衡位置附近 不停地做微小的無規則顫動。例如，靈敏電流計上的小鏡以及其他儀器上懸掛的 細絲，都會受到周圍空氣分子的碰撞而產生無規則的扭擺或顫動。[13] [14]
科學家發現布朗運動具有下列的特性：（1）溫度的改變會影響布朗運動。（2）
粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如 此。（3）粒子的運動沒有固定的軌跡，其運動軌跡呈鋸齒狀。（4）粒子的成分及 密度對其運動沒有影響。（5）粒子的運動永不停止。[15] [16]
2.1.2 一維隨機行走
一開始我們先思考這樣的一個問題，在一維空間下經過一段長時間之後，
布朗粒子離開起始位置後的平均位置 (位移期望值) 與均方位移 (Mean Square Displacement)，即簡單的一維隨機行走問題。現在我們假設一個物體在直線上做 隨機行走運動，每步有 p 的機率向右走 L 單位長度且有 q（=1− p）的機率向左走 L 單位長度，且每一步 ξi均為完全獨立不受前後步的影響的運動，故每單步的平 均位移為
E(ξi) = pL + q(−L) = (p − q)L (2.1) 其二階原動差（second moment）為
E(ξi2) = pL2+ q(−L)2 = L2 (2.2)
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故變異數為
V ar(ξi) = E(ξi2
)− (E(ξi))2
= L2− ((p − q)L)2
= L2(1− p2+ 2pq− q2)
= L2{(1 + p)(1 − p) + 2pq − q2}
= L2{(1 + p)q + 2pq − q2}
= 4pqL2 (2.3)
若 t 步後，其位置為 Xt=ξ1+ξ2+· · · · ·+ξt，t 步後的平均位移與變異數為
E(Xt) = E(ξ1) + E(ξ2) +· · · + E(ξt) = tE(ξi) = (p− q)tL (2.4) V ar(Xt) = V ar(ξ1) + V ar(ξ2) +· · · + V ar(ξt) = tV ar(ξi) = 4pqtL2 (2.5)
若機率 p = q 時，t 步後的平均位移與變異數為
E(Xt) = (p− q)tL−−→ 0p=q (2.6) V ar(Xt) = 4pqtL2 −−→ tLp=q 2 (2.7)
我們可以發現，當 p = q 時，E(ξt2)∝ t1
2.1.3 布朗運動：愛因斯坦的觀點
愛因斯坦的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程，其中的擴散係 數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。
以此方式，愛因斯坦可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子 量。根據亞佛加德定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為 22.414 升，其 中包含的原子的數目被稱為亞佛加德數。由氣體的摩爾質量除以亞佛加德數等同 原子量。愛因斯坦論點的第一部分是確定布朗粒子在給定的時間內傳播距離。古 典力學無法確定這個距離，因為一個布朗粒子受到每秒大約 1021劇烈碰撞。因此
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愛因斯坦考慮布朗粒子的集體運動。他表明，如果 ρ(x, t) 是布朗粒子的密度，在 位子 x 與時間 t，則 ρ 滿足擴散方程：
∂ρ
∂t = D∂2ρ
∂x2 (2.8)
其中 D 為質量擴散係數，若 D 為常數，解可為平面波形式：
P (x, t) = eikxP (k, t)e (2.9)
將式2.9帶入擴散方程式，可得
∂P (k, t)e
∂t =−Dk2P (k, t)e (2.10) 其解為
P (k, t) =e P (k, 0)ee −Dk2t (2.11)
利用反傅立葉（inverse Fourier transform），可得一般解為
P (x, t) = 1 2π
∫
dkeiktP (k, t)e (2.12)
將式2.11帶入將式2.12可得
P (x, t) = 1 2π
∫
dkeikte−Dk2tP (k, 0)e (2.13)
利用初始條件，當 t = 0 時，所有粒子均為在 x = 0 處，即
P (x, 0) = ∆(x− 0) (2.14)
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則擴散方程在初始條件下的解為
P (k, 0) =e
∫
dxe−ikxP (x, 0) =
∫
dxe−ikx∆(x) = 1
=⇒P (x, t) = 1 2π
∫
dkeikte−Dk2t = 1
√4πDte−x24Dt (2.15)
式2.15表明，顆粒的機率密度分布是與 t 為變數的高斯分布，隨著 t 的增加，顆粒 逐漸擴散至兩邊。而其平均位移 (The mean displacement) 為
E(x) =
∫
dx· x · P (x, t) = 0 (2.16)
變異數 (The variance) 為
V ar(x) = E(x2)− E(x)2 = 2Dt (2.17)
式2.17的 D = 2∆tx2 ，可得 σ(t)∝ √∆tt ∝√
N ，其中 t 為總時間，∆t 為每一步的時 間間隔， t
∆t 即為走 N 步之意，由此可得二階原動差 (second moment) 的表示式：
E(x2) = 2Dt (2.18)
由上敘兩種假設推導都可以得到一個共同的結論，即是 E(x2) ∝ t1，意味著其均 方位移 (mean square displacement) 與時間的一次方成正比。