矩陣的應用

2t x + y

i= ^h 5 −3 2 −1

i 則 ^h x y z t

i=?

3. 設 aij = i + 2j + 3 , 試求矩陣 [aij]2×3 =?

4. 求下列矩陣的乘積: (1) ^h 1 3 1 5

i h 2 1 1 4

i=? (2) ^h 1 2 3

−3 −2 1

i 2 3 5 41 6

(3)^h 2 1 3 −5

i h x y

i =?

5. 若2階矩陣 A, 滿足 A× A = ^h 2 2 2 2

i , 求矩陣 A =?

6. 已知 A = ^h 1 2 3 4

i, I₂ = ^h 1 0 0 1

i , 求矩陣 A² − 5A − 2I2 =

7. 設 A,B 皆為 n 階方陣,I 為 n 階單位方陣, 則下列何者正確?(A) (A + I)² = A²+ 2A + I (B) A²− B² = (A + B)(A− B) (C) A²− I = (A + I)(A − I) (D) A³ + I³ = (A + I)(A² − A + I) (E) (AB)² = A²B²

8. 設 A =





0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0



 , 試求 A², A³, A⁴ =?

3.3 矩陣的應用轉置矩陣:

A = [aij]m×n 則其轉置矩陣為 A^T = [aji]n×m

1. (A^T)^T = A

2. (A× B)^T = B^t × A^T

3. (A× B × C)^T = C^T × B^T × A^T 4. (A + B)^T = A^T + B^T

5. (αA)^T = αA^T

馬可夫轉移矩陣: 將原始狀態矩陣 X0 乘上 P 矩陣後為 X₁ 狀態, X₁ = P X0 稱 P 為轉移矩陣。矩陣 P [aij = pji] 恆有

i=1

aij =

j=1

pij = 1 , pij ≥ 0 即矩陣 P 每個元均介於0與1之間, 且每一行和為1的矩陣。

稱 P =





a11 a12 · · · a¹ⁿ a21 a22 · · · a2n

... ... ... ...

a_n1 a_n2 · · · aⁿⁿ



 =





p11 p21 · · · pⁿ¹ p12 p22 · · · pn2

... ... ... ...

p_1n p_2n · · · pⁿⁿ



 , 為馬可夫轉移矩陣。(馬可夫機率矩陣)。

如何列出馬可夫轉移矩陣: 矩陣 P 的 aji 元素記為 p_ij 表由原先第 i 個狀態轉變

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.3 矩陣的應用 _· 成第 j 個狀態的機率。

即可找出型如:

p11 p21 p31

p₁₂ p₂₂ p₃₂ p13 p23 p33











 from:目前狀態

i j k to:ijk

馬可夫推移矩陣。

n步轉移矩陣: 將原始狀態矩陣 X0 乘上轉移矩陣 P 後為 X₁ 狀態, X₁ = P X0 稱 P 為一步轉移矩陣。

若在時刻 n 觀察點狀態, 記為 Xn , 且下一時刻 n + 1 的觀察點狀態, 記為 X_n+1, 則 X₂ = P X1 = P²X0,· · · , Xn = P Xn−1 = PⁿX0, 稱 Pⁿ 為 n 步轉移矩陣。

馬可夫定理: 對於任意一機率轉移矩陣 P , 當 n 逐漸增大時, Xn = PⁿX0 會逐漸趨近於唯一的矩陣 X, 此時稱 X 為穩定狀態的矩陣。

機率轉移矩陣P [a_ij = pji]具有以下特點:

i=1

aij =

j=1

pij = 1 , aij ≥ 0 轉移矩陣的行矩陣各元的和為1。 (機率矩陣) 2. 若初始系統為 X0 , 經過一次移轉為 X1 = P X0 , 則 k 次移轉為 Xk = P^kX0

3. 若馬可夫過程 (初始狀態的機率矩陣X0 經過 n 次的上述轉移變換過程) 可達穩定狀態, 即必可滿足 P X = X 。馬可夫機率推移矩陣 P [a_ij > 0] 一定會產生穩定狀態。

4. 若 A,B 均為機率矩陣, 則 A× B, A^k, B^k,1

2(A²+ B²) ,A^kX 包括穩定矩陣 X 均為機率矩陣。

對稱矩陣: 若 A = A^T 則稱 A 為對稱矩陣。若 A^T = −A 稱 A 為反對稱矩陣。

一些特殊矩陣: 乘方運算會後呈現簡易規律或有其特殊性、應用性。

h cos θ − sin θ sin θ cos θ

= ^h cos nθ − sin nθ sin nθ cos nθ

i, 對角化矩陣 ^h a 0 0 b

= ^h aⁿ 0 0 bⁿ

i , 馬可夫矩陣 ,· · · 等。

乘法反方陣(反矩陣): 若 n 階方陣 A, B 滿足 AB = BA = In, 稱 B 是 A 的乘法反方陣, 記為 B = A⁻¹。當 A 具有反方陣時,⇔ det(A) 6= 0 ; 稱 A 為可逆方陣。

1. 並非任何方陣均有反方陣, det(A) 6= 0 才存在。

2. 若 A 有乘法反方陣, 則此反方陣具有唯一性。(若 AB = BA = I, AC = CA = I 則 B = BI = BAC = (BA)C = IC = C)

3. n 階方陣 A, B 若 AB = In 則 BA = I_n

可逆方陣的充要條件: A 為可逆方陣 ⇔ det(A) 6= 0 ; 若 AB = I = B^′A 則 B = B^′ 反方陣的求法: (並不是所有非零的n階方陣皆為可逆)。

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.3 矩陣的應用 _· 1. 矩陣列運算法: 列運算過程中若發現方程組無解, 即表示反方陣不存在。

將聯合矩陣 [A|Iⁿ] 經基本列運算化成 ⇒ [Iⁿ|B] 的型式, 則 B = A⁻¹ 將聯合矩陣 [A|B] 列運算化簡為 ⇒ [I|X] 則 X = A⁻¹B

2. 公式法: A⁻¹ = 1

det(A)adj(A) , det(A)6= 0

其中 adj(A) = [Cij] 為矩陣 A^T 的餘因子。(A 伴隨矩陣)

即元素 C_ij = 為A的轉置矩陣 A^T 後, 第 i 列第 j 行餘因子。(ij 元素餘因子為 (−1)^i+j× 去除第 i 列第 j 行的行列式值)

反方陣的一些性質: (若其反方陣均存在) 1. (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ 因

(AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = AIA⁻¹ = AA⁻¹ = I (B⁻¹A⁻¹)(AB) = B⁻¹(A⁻¹A)B = B⁻¹IB = B⁻¹B = I 例: A = ^h 2 1

3 2

i, B = ^h 1 −1 1 1

(AB)⁻¹ =







−1 2

1 2

−5 2

3 2





6=





 3 2

1 2

−5 2 −1





 = A⁻¹B⁻¹ 2. (A⁻¹)⁻¹ = A

3. (A⁻¹)ⁿ = (Aⁿ)⁻¹, n ∈ N

4. 若方陣 A, B, C中, 已知 A 為可逆方陣, 且 AB = AC 則 B = C 5. 行列式值: det(A× B) = det A × detB

det(A⁻¹) = 1

det(r · Aⁿ) = rdetAⁿ· det(Aⁿ) 6. (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T

二階乘法反方陣的公式: 若 A = ^h a b c d

i, 且 ad−bc 6= 0 則 A⁻¹ = 1 ad− bc

h d −b

−c a i

用反方陣解一次方程組: 若 AX = B, det(A) 6= 0 則 X = A⁻¹B 線性一次方程組 ⁿ a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2 可轉化成矩陣乘積表示 ^h a11 a12

a21 a22

i × h x

i = ^h b1

i 。若 A = ^h a11 a12

a21 a22

i ,X = ^h x y

i ,B = ^h b1

i , 方程組可表示成 AX = B 。當 det(A) 6= 0 時

A⁻¹AX = A⁻¹B IX = A⁻¹B X = A⁻¹B 解線性方程組的方法:

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.3 矩陣的應用 _· 1. 代入消去法:

將某一未知元用其他未知元的式子表示代入消去, 使其方程式中無此未知元。

2. 加減消去法:

分別將方程式乘上適當常數倍後, 兩式相加減, 使其消去某一未知元。

3. 高斯消去法 (高斯-喬登消去法):(恰一解或無限多組解或無解亦適用)

利用矩陣的基本列運算法, 化簡求解方程組。[A|B] 列運算化簡為 ⇒ [I|X]

則 X = A⁻¹B

4. 行列式克拉瑪法則: 方程組有恰一組解時, 可利用克拉瑪公式法, 解方程組。

5. 反方陣乘積法: 方程組有恰一組解時, 若 AX = B 可利用 X = A⁻¹B 解方程組。

例題演練例題1 設 A = ^h a b

c d i

, 驗證計算 A² − (a + d)A + (ad − bc)I2 = O2

例題2 利用矩陣方法解方程組 ⁿ 2x− 5y = 9

3x + 4y = 2 [Ans:x = 2, y = −1]

例題3 設 A = ^h 1 2 2 3

i, B = ^h 4 3

i , 且矩陣 X =^h x y

i 滿足 AX = B , 求 A 的乘法反方陣 A⁻¹ ? 及 X = ? Ans: A⁻¹ = ^h −3 2

2 −1

i, X = ^h −6 5

例題4 設 A³ = ^h −7 10

−2 3

i, A⁵ = ^h −18 25

−5 7

i, 求 A² 及 A ? Ans: A² = ^h 4 −5

1 −1

i, A = ^h −3 5

−1 2 i

例題5 有甲、乙兩支大瓶子, 一開始分別裝有 3 公升與 2 公升的水, 每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶 , 然後再將乙瓶的水倒出一半回甲瓶。試找出兩瓶子的水量轉移變化矩陣 P , 問兩輪後甲、乙兩瓶的水量分別為何? Ans:

甲乙

To:

P =





 3 4

1 1 2 4

1 2







甲乙

; 甲:53

15, 乙:27 15

例題6 觀察某射手平時練習之命中率如下: 若某一次射中, 則下一次命中的機率為0.9, 當他某一次沒有命中時, 下一次再射則命中率為0.7; 求此射手射擊的轉移矩陣 P ? Ans:

射中未射中 to:

P = ^h 0.9 0.7 0.1 0.3

i _射中

未射中

例題7 某城市及其近郊人口遷移情形為: 每年住城裡的人有 90% 繼續留在城市, 有 10%

流向郊區; 而郊區有 80% 留在郊區, 有 20% 遷住城市。求此地區城郊人口的轉移矩陣 P ? 若已知現今城市與郊區的人口比例為 3 : 1 求一年後, 城市郊區的人口比例為多少? 長期而言城市與郊區的人口比例為多少?

Ans:

城市郊區

To:

P = ^h 0.9 0.2 0.1 0.8

i _城市

郊區

, 29 : 11, 2 : 1

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.3 矩陣的應用 _· 例題8 ^⊚ 對增廣矩陣 [A|I3] 進行基本列運算, 求 A =

1 2 −1

2 3 4

−1 −3 6

的反方陣?

Ans: A⁻¹ =

30 −9 11

−16 5 −6

−3 1 −1

習題3-3 矩陣的應用 1. 將下列方程組表成矩陣的方程式 ?

(1)

2x + 3y − z = 7 5x + 4y + z = 6

4x + 3y + 7z = 1 (2)

x + y + z − w = 4 3x− y + 2z + 4w = 5 4x + 3y + z + 5w = 3 2. 解方程組: ⁿ 47x + 23y = 12

35x + 17y = 9 3. 設 A² = ^h 2 3

3 5

i, A³ = ^h 5 8 8 13

i, 求方陣 A ? 4. 設 A = ^h cos θ − sin θ

sin θ cos θ

i , 求 A⁻¹ =?

5. 設 A = ^h 2 1 3 2

i , B = ^h 1 1 2 −1

i 試解方程式 XA = B

6. 設 A =

−5 4 1 a 3 2

−1 a 2

為一不可逆方陣, 試求 a 之值?

7. 若矩陣 A = ^h 1 1

−1 2

i , 試計算A³ − 6A =?

8. 求下列矩陣的反矩陣: A = ^h 2 5 3 6

9. 設 A =

a b c p q r x y z

, 求一三階方陣 X 使 XA =

3p− 4x 3q − 4y 3r − 4z 2a + 5x 2b + 5y 2c + 5z 6a + 7p 6b + 7q 6c + 7r

10. 觀察某射手平時練習之命中率如下: 若某一次射中, 則下一次命中的機率為0.9, 當他某一次沒有命中時, 下一次再射則命中率為0.7; 若此射手第一次命中, 則第3次命中的機率為?

11. 根據氣象報導, 某地區的氣象只分雨天與非雨天, 該地區在非與天之後, 隔天是雨天的機率為 0.2 , 而在雨天之後, 隔天也是雨天的機率為 0.4 , 試將該地區氣象型態變化, 以轉移矩陣 P 表示之? 若開始觀察當天為非雨天, 則3天後該地區為非雨天的機率為?

12. ^⊚ 利用反矩陣及矩陣乘法, 求聯立方程組:

x− 2y + 4z = 9 2x− y + 3z = 9

4x + 7y − z = 15 之解?

並請自行比較行列式之克拉瑪法則或高斯列運算消去法之優劣?

13. ^⊚ 求下列矩陣的反矩陣: A =

1 1 1 1 0 1 2 −1 0

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.4 ⊚ 平面上的線性變換與二階方陣 _· 14. 使用圓球和球袋作機率實驗。球只有黑白兩色, 袋中裝有兩顆球, 因此只有三種可

能情況: 把雙白球稱為狀態1, 一白球一黑球稱為狀態2, 雙黑球稱為狀態3。對這袋球做如下操作: 自袋中隨機移走一球後, 再隨機移入一顆白球或黑球 (移入白球或黑球的機率相等)。每次操作可能會改變袋中球的狀態。

(a) (單選題) 如果現在袋子內的球是一白一黑 (即狀態2), 請問經過一次操作後, 袋中會變成兩顆黑球 (狀態3) 的機率是多少? (1) 1

4 (2) 1

3 (3) 1

2 (4) 2 把從狀態 j 經過一次操作後會變成狀態 i 的機率記為 P_ij (例如上題的機率3 就是 P32 ), 由此構成一 3× 3 矩陣 P。

(b) (多選題) 針對矩陣 P , 下列選項有哪些是正確的? (1) 矩陣 P 滿足 Pij = Pji 。 (2) P 是轉移矩陣 (即每行之和皆為1)。 (3) P 的行列式值為正。 (4) P11 = P33 。把矩陣 P 連續自乘 k 次後的矩陣記為 P^k 。已知矩陣 P^k 中 (i, j) 位置的值, 等於從狀態 j 經過 k 次操作後, 變成狀態 i 的機率。

(c) (多選題) 針對多次操作, 下列選項有哪些是正確的? (1) 從一白一黑 (狀態 2) 開始, 經過 k 次操作後, 變成雙白 (狀態1) 的機率與變成雙黑 (狀態3) 的機率相等。 (2) 從雙白 (狀態1) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 (狀態1) 的機率, 比變成雙黑 (狀態3) 的機率大。 (3) 從雙白 (狀態1) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 (狀態1) 的機率, 會隨著次數 k 的增加而遞減。 (4) 不論從哪種狀態開始, 經過 k 次操作後, 變成任何一種狀態的機率, 會隨著 k 趨近於無窮大而趨近於 1

3 。 3.4 ⊚ 平面上的線性變換與二階方陣平面上的線性變換: 二階方陣 ^h a b c d

i 將坐標平面上的點 P (x, y) 對應到點 P^′(ax + by, cx + dy) 的線性變換。即 ^h X

i = ^h a b c d

i h x y

平移的矩陣表示法:

點 P (x, y) 平移 (h, k) 單位後新坐標 P^′(X, Y ) 為ⁿ X = x + h Y = y + k ⇒

h X Y

i = h x

i+^h h k

伸縮變換矩陣: ^h λ1 0 0 λ₂

i , 為將任一點 P (x, y) 對應到 P^′(λ1x, λ2y) 的變換, 稱為一伸縮。

此變換的作用為分別將 x, y 坐標伸縮為 λ₁, λ2 倍

h X Y

i = ^h λ1 0 0 λ2

i h x y

i = ^h λ1x λ2y

A B

C D

A^′ B^′

C^′ D^′

平面上的伸縮變換

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https://sites.google.com/site/hysh4math 3.4 ⊚ 平面上的線性變換與二階方陣 _·

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.4 ⊚ 平面上的線性變換與二階方陣 _· 3. 伸縮 (contractions and expansions): ^h λ₁ 0

0 λ2

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.4 ⊚ 平面上的線性變換與二階方陣 _·

投影 (projections) 矩陣:

1. 坐標 P (x, y, z) 在 xy 平面上的投影坐標 P^′(X, Y )

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.4 ⊚ 平面上的線性變換與二階方陣 _· 例題4 矩形OABC 四頂點坐標 O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1) 經由矩陣 T = ^h 2 0 0 3

i 線性變換後的四頂點O^′, A^′, B^′, C^′坐標為何? 四邊形O^′A^′B^′C^′ 的面積為多少?

[Ans:O^′(0, 0), A^′(2, 0),B^′(2, 3), C^′(0, 3),A=6]

例題5 將點 P (6, 4) 分別做下列線性變換後的點坐標為何?

(a) 以原點為中心旋轉 30◦ [Ans:(−2 + 3√

3, 3 + 2√ 3)]

(b) 對直線 L : √

3x + y = 0 鏡射 [Ans:(−3 − 3√

3, 2− 3√ 3)]

(d) 沿著 x 軸推移 y 坐標的 1

2 倍 [Ans:(8, 4)]

例題6 平面上, 將點 A(2√

2,−4) 繞點 B(1, 1) 旋轉45^◦後的新位置 C 點, 則 C 點坐標為? [Ans: 先將 A 平移(−1, −1)、繞原點旋轉45^◦ 後再平移(1, 1)單位, 可得 C(3 + 2√

2, 3− 3√ 2) ]

習題3-4 平面上的線性變換與二階方陣

1. 已知點 P (1,−1), Q(−2, 1) 經過二階矩陣 T 作線性變換後所對應的點分別為 P^′(−1, −1), Q^′(0,−2) 求二階方陣 T

2. 直線 L : x− y = 2 經過二階矩陣 T = ^h 1 2 3 −2

i 作線性變換後所對應的新方程式為何?

3. △ABC 三頂點 A(1, 1), B(2, 1), C(1, 3) 經由 T = ^h 1 2 4 3

i 變換後的區域面積為?

4. 求一線性變換 T , 使 T ×^h 2

−1

i = ^h2 4

i,T ×^h−1 1

i = ^h1 1

i; 及求 T ×^h10

−7 i =?

5. 在坐標平面上有 A(5, 1), B(−7, 3), C(3, 0) 三點, 今以 x = −1, y = 2 為新坐標軸, 試求 A,B,C 各點的新坐標?

6. 利用平移, 化簡 x²+ 4y²− 2x − 16y + 1 = 0 , 使其不含一次項之新方程式為何?

7. 平移坐標後 (2, 5) 點的坐標是 (−2, −5) , 試求新原點對原坐標系的坐標?

8. 若 △OAB 為一正三角形, 且兩頂點坐標 O(0, 0), A(4, 6), 求 B 點坐標?

9. 將一平面坐標系的坐標軸旋轉60^◦, 得一新坐標系, 則點A(−2√

3, 2) 在新坐標系的坐標為? 又新坐標系一點B(2 + 2√

3, 2− 2√

3), 求其原坐標系的坐標?

10. 設 A(6, 4), B(2,−4) 是平面上兩點, 今將坐標軸旋轉 45^◦ , 求 A,B 新坐標?

11. 一點P (12, 8), 求 P 點對原點為中心作 X 軸,Y 軸方向各3倍的伸縮點坐標?

12. 若將圓C : x² + y² = 25 以 x 軸為基準, 作 12

5 倍的縱向伸縮得新圖形Γ, 求Γ的

方程式? 順伯的窩

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13. 求點 A(2, 5), B(−3, 2)依 x 軸作2倍的推移後, 所得新坐標A^′, B^′為?

又若依 y 軸方向作−3倍的推移後, 所得新坐標A^′′, B^′′為?

14. 如圖所示在坐標平面, △OAB 為一正三角形, 其中點 A 的坐標為 (1, 2) , 點 B 為 (b₁, b2) 。試問下列何者為真? (1) b1+ ib2 = (cos 60^◦+ i sin 60^◦)(1 + 2i) (2) b1 + ib2 = (cos 60^◦ − i sin 60^◦)(1 + 2i) (3) (b1, b2) = (−1, 2) (4) ^h b1

i = h cos 60^◦ − sin 60^◦

sin 60^◦ cos 60^◦

i h 1 2

i (5)^h b1

i = ^h cos 60^◦ sin 60^◦ sin 60^◦ − cos 60^◦

i h 1 2

A(1,2) O

15. 求點 A(2, 5), B(−3, 2) 依 x 軸作2倍的推移後, 所得新坐標 A^′, B^′ 為?

又若依 y 軸方向作 (−3) 倍的推移後, 所得新坐標 A^′′, B^′′ 為?

16. 設 P (4, 2), Q(−2, 3), R(1, −1) 將 P,Q,R 三點依 y 軸方向作 −1倍之推移後得 P1, Q1, R1 三點坐標, 則 P₁ 點坐標為? 又 ∆P₁Q1R1 面積為?

17. 將一平面坐標系的坐標軸旋轉45^◦, 得一新坐標系, 則一圖形對原坐標系之方程式為 3x²+ 8xy + 3y² = 2 , 求其對新坐標系的方程式? 又一圖形對新坐標系之方程式為 2x^′² + y^′² = 1 , 求其對原坐標系的方程式?

18. 將圖形 x² + y² = 1 繞 B(1, 1) 旋轉45^◦後所得新圖形的方程式為何?

第 ⁴ 章二次曲線

4.1 拋物線錐面與圓錐曲線:

空間中取兩不垂直之相交直線, 固定其中一直線為軸, 另一直線 (母線) 與此軸保持固定交角 Ω , 繞此軸旋轉 360^◦ , 所掃出的曲面為圓錐曲面。

1. 圓: 將一平面與此圓錐之對稱軸垂直所截交的軌跡。(軸與平面夾角 = 90^◦ )(平面過錐頂點則退化成一點)

2. 橢圓: 將一平面稍微傾斜與此圓錐之對稱軸非垂直所截交的軌跡。( Ω < 夾角

< 90^◦ ) (平面過錐頂點則退化情形為一點)

3. 拋物線: 平面不通過頂點, 但與錐面上通過頂點的一直線平行, 則此截交出有開口的拋物線。(平面與對稱軸夾角為 Ω ) (平面過錐頂點則退化情形為一直線)

4. 雙曲線: 將平面與上下兩錐面都有相交時, 則截交成雙曲線。( 0^◦ ≤ 夾角 < Ω ) (平面過錐頂點則退化情形為兩相交的直線)

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https://sites.google.com/site/hysh4math 4.1 拋物線 _·

圖 _4-1: 錐面與圓錐曲線

在文檔中 99math4 (頁 41-59)

第 4 章 二次曲線

第 ⁴ 章二次曲線