99math4

國立新營高中

99

課綱 數學科

自我

學習要點、 習題手冊

範圍

:

數學第四冊

空間

向量、 空間中的平面與直線、 矩陣、 二次

曲

線

高

二

:

班

號

學

生

:

指

導 教 師

:

鄭國順

老師

參考版本

:

南一

,

翰林

,

龍騰 版

新營高中

鄭國順 編

版本修訂

:2012

年

7

月

23

日

目

次

1

空間向量

1

1.1

空間概念

. . . .

1

1.2

空間向量的坐標表示法

. . . .

6

1.3

空間向量的內積

. . . .

11

1.4

外積、 體積與行列式

. . . .

13

2

空間中的平面與直線

19

2.1

平面方程式

. . . .

19

2.2

空間直線方程式

. . . .

21

2.3

三元一次聯立方程式

. . . .

27

3

矩陣

32

3.1

線性方程組與矩陣

. . . .

32

3.2

矩陣的運算

. . . .

36

3.3

矩陣的應用

. . . .

39

3.4

⊚

平面上的線性變換與二階方陣

_{. . . .}

₄₄

4

二次曲線

50

4.1

拋物線

. . . .

50

4.2

橢

圓

. . . .

57

4.3

雙曲線

. . . .

60

5

習題參考答案

66

5.1

第一章

. . . .

66

5.2

第二章

. . . .

67

5.3

第三章

. . . .

68

5.4

第四章

. . . .

69

https://sites.google.com/site/hysh4math _·

第

1

章

空間向量

1.1 空間概念 空間_{中點、 線、 面的公設(空間中點線面之間存在直觀上的基本關係):} 1. 相異兩點可以決定一直線; 一直線至少含有相異的兩點。 2. 不共線的三點可以決定一平面。 3. 若直線 L 有相異兩點落於平面 E 上, 則直線 L 在平面 E 上。 4. 若相異兩平面相交, 則此兩平面相交於一直線。 空間_{中決定平面的條件:} 1. 不共線的三點 2. 一線及線外一點 3. 相交於一點的兩直線 4. 兩平行線 空間_{中相異兩直線的關係:} 1. 相交一點 (此時兩直線共平面) 2. 平行不相交 (兩線在同一平面上) 3. 歪斜不相交 (兩線不共平面, 不相交又不平行), 此時兩直線為歪斜線。 線與平面的關_係: 1. 直線與平面平行 (沒有交點) 2. 直線與平面相交一點 3. 直線在平面上 (直線上的點均在平面上) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 空間概念 _· 平面的垂線: 若直線 L 和平面 E 相交於 P 點, 平面 E 上通過 P 點的任一直線都與 L 垂直, 則稱直線 L 和平面 E 垂直。 記為 L_⊥E P L E 空間垂直線 直線_{、 平面間垂直與平行的關係:} 1. 與直線 L 垂直的直線有無限多個 (不同方向的直線) 2. 與直線 L 垂直的平面有無限多個 (平面均為平行面) 3. 與直線 L 平行的直線有無限多個 (方向相同) 4. 與直線 L 平行的平面有無限多個 (平面法向量方向不同) 1. 與平面 E 垂直的直線有無限多個 (均為平行線) 2. 與平面 E 垂直的平面有無限多個 (法向量方向不同) 3. 與平面 E 平行的直線有無限多個 (不同方向的直線) 4. 與平面 E 平行的平面有無限多個 (相同法向量的平面) 三垂線_{定理: 設直線AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 BC⊥CD} 於 C , 則 AC⊥CD 利用∠_{ABC =} ∠_{ABD =} ∠_{BCD = 90}◦_{, 直角三角形畢氏定理: AD}2 _{= AB}2₊ BD2 = (AC2 − BC2) + (BC2 + CD2) = AC2 + CD2 ⇒∠_{ACD = 90}◦ 向量觀點: 已知  −⇀ AB·−⇀BC = −⇀0 −⇀ BC ·−⇀CD = −⇀0 ⇒ −⇀ AC ·−⇀CD = (−⇀AB +−⇀BC)·−⇀CD = −⇀0 意義: 若 L1 在 E 上, L2 不在 E 上, 它們相交於一點, 則要判別 L1, L2 是否互 相垂直時, 可將 L₂ 在 E 上的正射影 L3 , 則只要判別 L1, L3 是否垂直即可。 三垂線_{定理的逆定理: 設直線AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且} AC⊥CD 於 C , 則 BC⊥CD 平行關_{係的判定與性質:} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 空間概念 _· 1. 平面 E 外的一直線 L 和平面上的一直線平行, 則直線 L//E 。 2. 直線 L 和一平面 E 平行, 經過 L 的平面 E’交平面 E 於一線 L′ , 則 L//L′ 3. 平面 E 上的兩相交直線都平行於一平面 E′, 則兩平面 E//E′ 。 4. 兩平行平面與第三個平面相交, 則其兩交線互為平行。 垂直關_{係的判定與性質:} 1. 一直線 L 與一個平面上的兩相交直線都垂直, 則直線 L 垂直於此平面。 2. 若兩直線同垂直於一平面, 則此兩直線互相平行。 3. 若平面 E 包含另一平面 E′ _{的垂線, 則兩平面 E⊥E}′ 。 4. 若兩平面 E, E′ 互相垂直, 且交線為 L, 若 L′ _{在平面 E 上, 且 L⊥L}′ 則 L′⊥E′ 。 5. 平面 E 上的一直線 L 與另一斜直線 L′ ( L′ * E ) 垂直的充要條件是 L 與 L′在平面 E 上的正射影垂直。 三垂線逆定理。 兩面角: 若 AB, BC 分別在兩平面 E1, E2 上, 且均與兩平面相交的稜邊垂直, 則 ∠ABC 為其兩面夾角。 E2 E1 B _θ A θ C L1 L2 五_{個正多面體:} 正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體 頂點個數V 4 8 6 20 12 面個數F 4 6 8 12 20 稜長個數 E 6 12 12 30 30 尤拉公式 V + F − E = 2 2 2 2 2 2 每面正 N 邊形 3 4 3 5 3 正四面體: 每一面均為稜長 a 的正三角形。 A B D C 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 空間概念 _· 1. 高 h = √ 6a 3 2. 表面積 = √3a2 3. 體積 = 1 3 × √ 3a2 4 × h = √ 2a3 12 4. 外接球半徑 R = 3h 4 = √ 6a 4 5. 內切球半徑 r = 1h 4 = √ 6a 12 6. 兩面夾角餘弦 cos θ = 1 3 7. 外接球球心 O 到任兩頂點夾角 α,⇒ cos α = −1 3 正八面體: 連接正四面體各稜長的中點, 為正八面體。 正八面體體積: 為同稜長正四面體體積的4倍。 正立方體的八個頂點中, 任四頂點形成的正四面體有兩類: 稜長為 √2a 及 a 兩 種。 正六面體(正立方體): 每面均為稜長 a 的正方形 1. 斜對角線長 √3a 2. 外接球半徑 R = √ 3a 2 3. 內切球半徑 r = 1a 2 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 空間概念 _· F E B G D C A H A D C B O 四角錐體: 底面為四邊形, 側面為三角形, 稜邊共同相交一點。 例題演練 例題1 邊長為1的正四面體, 求此四面體任兩面的夾角為 θ , 則 cos θ =? [Ans:cos θ = 1 3 ] 例題2 求稜邊邊長為 a 的正四面體的體積? [Ans: √ 2a3 12 ] 例題3 每個稜邊邊長均為 a 的正四角錐, 底面為正方形, 側面為正三角形, 設底面與側面 的所夾的兩面角為 θ , 求 cos θ =? 及錐頂點到底面的高 h = ? [Ans:cos θ = 1 √ 3; h = a √ 2] B O D A C 習題1-1 空間概念 1. 如圖: 邊長為2的正四面體 ABCD, 從頂點 D 對底面 ABC 作垂線 DH 交底面 於 H 點, 求高 DH 的長度為何? 2. 一長方體的稜邊共有幾組歪斜線? 四面體的稜邊有幾組歪斜線? 3. 下列有關空間敘述, 那些是正確? (A) 過已知直線外一點, 恰有一平面與此直線垂直。 (B) 過已知直線外一點, 恰有 一平面與此直線平行。 (C) 過已知平面外一點, 恰有一直線與此平面平行。 (D) 過 已知平面外一點, 恰有一平面與此平面垂直。 (E) 過已知平面外一點, 恰有一平面 與此平面平行。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 空間向量的坐標表示法 _·

A

B C D

4. 正四面體 ABCD 中, 設兩平面 BCD, 與 ACD 的夾角為 θ , 求 cos θ 之值? 5. 請指出或說明下列敘述錯誤的地方? (A) 平行於同一平面的兩相異直線必平行。(B) 垂直於同一直線的兩線戶相平行。 (C) 任意兩相異直線必有一公垂線。(D) 兩相異直線若不相交, 必平行。(E) 過平面 外一點, 恰有一直線平行於此平面。 (F) 兩相異平面可能只交於一點。 6. 設直線 AB 垂直於平面 E 於 B, 若 B,C,D 都在平面 E 上, 且 BC⊥CD 於 C, 且 AC = 2, BC = CD = 1, 則 AD =?, AB =? 1.2 空間向量的坐標表示法 空間坐_標系: 在平面上建立一直角坐標系, 過原點 O 作一直線, 使它同時與 x, y 軸互相垂直, 此直線稱為 z 軸。 依右手法則規定z軸正負方向, 就組成空間坐標系, 此三個軸稱 為空間坐標軸; 由x軸與 y 軸所決定的平面稱為xy 平面; 由 y 軸與 z 軸所決定的 平面稱為yz 平面; 由 x 軸與 z 軸所決定的平面稱為xz 平面; 此三平面稱為坐標 平面, 坐標平面將空間分割成八個部份, 稱為卦限, 三個坐標軸正向所圍成的卦限 稱為第一卦限。 空間點P (a, b, c)對坐標軸與坐標平面的關係: 空間_{兩點P1, P2}距_離: P1(a1, b1, c1), P2(a2, b2, c2), P1P2 = q (a1 − a2)2 + (b1 − b2)2 + (c1 − c2)2 空間_{兩點P1, P2 中點坐標:} P1(a1, b1, c1), P2(a2, b2, c2) 中點 M = (a1 + a2 2 , b1 + b2 2 , c1 + c2 2 ) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 空間向量的坐標表示法 _· 垂足點 對稱點 距離 x 軸 _{(a, 0, 0) (a,−b, −c)} √_b2_{+ c}2 y 軸 (0, b, 0) (_{−a, b, −c)} √a2_{+ c}2 z軸 (0, 0, c) (_{−a, −b, c)} √a2_{+ b}2 xy 平面 (a, b, 0) (a, b,−c) |c| yz平面 (0, b, c) (_{−a, b, c) |a|} xz平面 (a, 0, c) (a,_{−b, c) |b|} x y z P(a, b, c) (a, 0, 0) (0, b, 0) (0, 0, c) (a, b, 0) (a, 0, c) (0, b, c) 圖_1-2: 空間坐標點P (a, b, c) 對坐標軸與坐標平面的關係 正四面體空間坐標: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1): x y z 空間_{向量的坐標表示法:} 坐標空間中, 始點 A(x1, y1, z1), 終點 B(x2, y2, z2) 的位置向量 −⇀AB 其坐標表示 為 −_{AB = (x}⇀ _{2− x1, y2 − y1, z2 − z1)} 我們可將 −AB 平移, 使得它的始點落於原點 O 上, 使其位置向量⇀ −⇀AB = −⇀OP

設−_{OP = (a, b, c),a, b, c 分別為}⇀ −⇀_{OP 的 x 分量、y 分量、z 分量。}

O x y z P −⇀ AB 空間中 P 點坐標 (a, b, c), 向量 −⇀OP 亦表示為 (a, b, c) 。 依前後文敘述判別 (a, b, c) 為點坐標或向量。 零向量 −⇀O = (0, 0, 0) 向量相等: 向量 −⇀a = (a1, a2, a3),− ⇀ b = (b1, b2, b3) 若 −⇀a = − ⇀ b _{⇔ a}1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 空間向量的坐標表示法 _· 空間_{向量的加減與係數乘法:} 設空間中兩向量 −⇀_{a = (x1, y1, z1),}−⇀_{b = (x2, y2, z2),r 為實數} −⇀_{a +}−⇀_{b = (x} 1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) −⇀_{a −}−⇀_{b = (x} 1 − x2, y1 − y2, z1 − z2) r−⇀a = (rx1, ry1, rz1) 空間_{中內分點公式:} 若點 P 是空間中 AB的內分點, 且AP : BP = m : n, 則−⇀OP = n −⇀ OA + m−⇀OB m + n = (nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n , nz1 + mz2 m + n ) O A P B 向量的線性組合: 若 −_OA,⇀ −⇀_{OB 為空間中兩不平行的非零向量, 若空間向量} −⇀_{OP 能表示成} −⇀_{OP =} x−⇀OA + y−⇀OB 其中 x, y 為實數, 稱為 −⇀OA,−⇀OB 的線性組合。 若平面 E 通過 O, A, B 三點, 則平面 E 上任一點 P , 則由向量和的平行四邊形 法可知 −_{OP 為}⇀ −⇀_OA,−⇀_{OB 的線性組合。 即} −⇀_{OP = x}−⇀_{OA + y}−⇀_{OB 其中 x, y 為實數。} 若 O, A, B, P 四點不共平面, 因 x−⇀OA + y−⇀OB 的終邊必在平面 E 上, 故 −⇀OP 不 可能表示成 x−⇀OA + y−⇀OB 1. 平面直角坐標點 P (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) 是由 (1, 0), (0, 1) 兩基底 (互相 垂直) 向量組成。 (平面上任一向量 −⇀OP = a−⇀ex + b−⇀ey 可表示成兩不平行向 量的線性組合, 其係數和未必為1。 若係數和為1, 表示 P, A, B 共線) 2. 空間中直角坐標點 P (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) 是由 (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1) 三基底 (互相垂直) 向量的線性組成。 O −⇀_{u = 3−}⇀_{a + 2}−⇀_b −⇀_a −⇀ b −⇀_{v = s−}⇀_{a + 1}−⇀_b −⇀_{w = 2−}⇀_{a + t}−⇀_b 例題演練 例題1 坐標空間中, 點 B(1, 2, 3) 對 z 軸的對稱點 B′ 的坐標為何? 又點 B 對 xy 平面 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 空間向量的坐標表示法 _· 的對稱點 R 坐標為何? [Ans:B′(_{−1, −2, 3), R(1, 2, −3)]} E F G H x y z A B C D 例題2 正四角錐體 (稜邊相等的金字塔形) 的底面四頂點的空間坐標分別為 (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) , 求此錐體的錐頂點坐標? [Ans:±(1 2, 1 2, √ 2 2 )] 例題3 坐標空間中, 平行四邊形 ABCD 三頂點坐標 ,A(1, 2, 5), B(4,_{−4, −3), C(−6, 5, 9)} , 求點 D 的坐標? [Ans:D(−9, 11, 17)] 例題4 已知坐標空間中, 三點 A(3, 2, 6), B(5,_{−1, 0), C(−3, 4, 3) , 試證明 △ABC 為} 等腰直角三角形? 例題5 已知點 P 在線段 AB 上的點, P A : P B = 2 : 3 , 若 A(1,_{−1, 8), B(11, −6, −2)} 求 P 點坐標? [Ans:P (5, −3, 4)] 例題6 設 −⇀OA = (2, 1),−⇀OB = (1, 2), 若 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB , 且 0 _{≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤} 1, x, y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域? C x y O A B 例題7 坐標空間中, 已知 −⇀OA = (1, 2, 3),−⇀OB = (0, 1,−1) (a) 若 −⇀OC = 1 2 −⇀ OA + 2 3 −⇀ OB 試描述 C 點的位置? [ans:−⇀OC = (1 2, 5 3, 5 6)] (b) 若 −⇀OD = −⇀OA + 2−⇀OB 試描述 D 點的位置?[ans:−⇀OD = (1, 4, 1)] (c) 若 −⇀OP = −⇀OA + t−⇀OB, 0 _{≤ t ≤ 1 試描述 P 點位置所形成的圖形? [Ans: 線} 段 AM ] (d) 若 −⇀OP = s−⇀OA + t−⇀OB, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2 試描述 P 點位置所形成的圖 形? [Ans: 平行四邊形 OANE] 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 空間向量的坐標表示法 _· M O −⇀_{p = 1−}⇀_{a + 2}−⇀_b −⇀ OB B E N −⇀ OA A −⇀ OP =−⇀OA+ t−⇀OB −⇀_{p = s−}⇀_{a + 2}−⇀_b 習題1-2 空間向量的坐標表示法 1. 已知 P (2, 3, 4) 為坐標空間中一點, 求下列各值? (a) P 點到原點的距離? (b) P 點到 yz 平面的距離? (c) P 點到 x 軸的距離? (d) P 點對 xy 平面的垂足點 P′ 坐標? 2. 在第一卦限內有一點 P 到 x 軸,y 軸,z 軸的距離分別為 15, 13,√106, 求 P 點的 坐標? 3. 設 A(2, 1,−2), B(0, −2, −1), C(1, 1, 0) , 求一點 P 使 P A2 + P B2 + P C2 為 最小, 並求其最小值? 4. 坐標空間中, _{△ABC 的三頂點為 A(2, 3, −1), B(0, 5, 2), C(1, 5, −4) 求 B,C 邊} 上的中線 AM 長? 5. 在坐標空間中, 在 x 軸上找一點 P, 使 P 點到 A(1,−1, 4), B(−2, 1, 3) 兩點等 距? 6. 已知 P (1, 2, 2), Q(2,_{−3, 5) 與 R(x, y, 11) 為坐標空間中三點, 且 P, Q, R 三點} 共線, 求 x, y 之值? 7. 已知 A(9, 3, 1), B(6, 4, 3), C(0, 6, 7) 為空間中三點, 判斷 A,B,C 三點是否共線? 並說明理由? 8. 設 A(3,_{−1, 2), B(4, 1, 0), C(0, −1, −2) , 若 ∆ABC 中} ∠_{A 的內角平分線, 外} 角平分線交底邊 ←→_{BC 於 D,E 兩點, 求 D,E 兩點坐標?} 9. 空間三點 A(1, a, 1), B(3,−5, 5), C(−1, 1, b) 共線, 求 a,b 之值? 10. 設 A(3,_{−1, 2), B(0, 3, 2), C(3, 7, −4) , 求 △ABC 之重心坐標?} ∠_{A 的內角平} 分線交 BC 於 D, 求 D 點坐標? 11. 若平行四邊形 ABCD, 已知三頂點 A(1, 2, 3), B(4, 3, 1), C(2,−3, 5) 求 D 點坐 標? 12. 坐標空間中, 已知−⇀OA = (1, 2, 2),−⇀OB = (−1, 2, 3) 若 −⇀OP = s−⇀OA+t−⇀OB, s, t ∈ R (a) 若 s = 1, 0_{≤ t ≤ 2 試描述 P 點位置所形成的圖形?} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 空間向量的內積 _· (b) 若 −⇀OP = s−⇀OA +−⇀OB, 0≤ s ≤ 1 試描述 P 點位置所形成的圖形? (c) 若−1 ≤ s ≤ 2, 0 ≤ t ≤ 3 試描述 P 點位置所形成的區域面積是 −⇀OA,−⇀OB所 張開平行四邊形面積的幾倍 ? 1.3 空間向量的內積 空間的_{向量內積: −}⇀_{a ·}−⇀_{b = |−}⇀_{a ||}−⇀_{b | cos θ = a1b1 + a2b2 + a3b3} 若 −⇀a = −⇀OA = (a1, a2, a3),− ⇀ b = −⇀OB = (b1, b2, b3) 則由餘弦定理: AB2 = OA2 + OB2 _{− 2OA × OB cos θ 及內積的定義} −⇀ OA_·−⇀OB = |−⇀OA_||−⇀OB_{| cos θ} = _|−⇀OA_||−⇀OB_{| ×}| −⇀ OA_|2+|−⇀OB_|2_{− |}−⇀AB_|2 2_|−⇀OA_||−⇀OB_| = 1 2(OA 2 + OB2_{− AB}2) = 1 2[(a 2 1+ a22+ a23) + (b12+ b22+ b23)− ((a1− b1)2+ (a2− b2)2+ (a3− b3)2)] = a1b1+ a2b2+ a3b3 故 −⇀_{a ·}−⇀_{b =|−}⇀_{a ||}−⇀_{b | cos θ = a1b1 + a2b2 + a3b3} O y z x θ −⇀a A −⇀ b B 空間向量內積的基本性質_: 空間中任意向量 −⇀_{a ,}−⇀_{b , −}⇀_c 1. 空間向量內積具有交換律_{: −}⇀_{a ·}−⇀_{b =} −⇀_{b · −}⇀_a 2. 空間向量內積與係數乘法關係_{: (α−}⇀_{a )·}−⇀_{b = −}⇀_{a · (α}−⇀_{b ) = α(}−⇀_{b · −}⇀_{c )} 3. 內空間向量積對加法的分配律_:−⇀_{a · (}−⇀_{b + −}⇀_{c ) = −}⇀_{a ·}−⇀_{b + −}⇀_{a · −}⇀_c 4. 空間向量自己內積值為其長度平方_:−⇀_{a · −}⇀_{a =|−}⇀_{a |}2 空間中兩向量垂直的判定_: 若 −⇀_{a = (a1, a2, a3),}−⇀_{b = (b1, b2, b3)} 若 −⇀_{a ⊥}−⇀_{b ⇔ −}⇀_{a ·}−⇀_{b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0} 空間向量的正射影₍投影_): −⇀_{a 在} −⇀_{b 上的投影 = (−}⇀_{a 在} −⇀_{b 的投影長) ×(}−⇀_{b 的單位向量)} −⇀_{a 在} −⇀_{b 的正射影= (}−⇀a ·−⇀b |−⇀b | )× −⇀ b |−⇀b | = ( −⇀_{a ·}−⇀_b |−⇀b |2 )× −⇀ b , 為一向量。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 空間向量的內積 _· θ −⇀_a −⇀ b −⇀_c −⇀_{a 在} −⇀_{b 的正射影= (}−⇀a ·−⇀b |−⇀b _| )× −⇀ b |−⇀b_| −⇀ a 在 −⇀_b 的投影長₌   −⇀_{a ·}−⇀_b |−⇀b |    , 為一正實數。 −⇀ b 在 −⇀_a 的投影向量 _{= (} −⇀ b _{· −}⇀a |−⇀a _|2 )− ⇀_{a 。 正射影長 = |}−⇀b · −⇀a |−⇀a | | 柯西不等式_{: |−}⇀_{a ·}−⇀_{b | = |−}⇀_{a ||}−⇀_{b || cos θ| ≤ |−}⇀_{a ||}−⇀_{b |} 且當 _{(a1, a2, a3) = t(b1, b2, b3)} 時等式成立。 一般形式_: 若 _{ai, bi ∈ R} 則 _{(a1b1+ a2b2+ a3b3)}2 _{≤ (a}2_{1+ a}2_{2+ a}2_3)(b2_{1+ b}2_{2+ b}2₃₎ 且當 −⇀_{a //}−⇀_{b ;} a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 時等式成立。 即 X_a2_i X_b2_{i ≥ (}X_aibi)2 。 兩群變數平方和的乘積 _≥變數兩兩乘積和的平 方 例題演練 例題1 已知空間向量 −⇀a = (1, 1, 2),−⇀b = (1,−2, −1) 兩向量, 若兩向量的夾角為 θ , 則 θ =? [Ans:θ = 2π 3 ] 例題2 已知向量 −⇀a = (4, 5, 2),−⇀b = (1, 2, 2) 求 −⇀a 在 −⇀b 上的正射影及正射影長? [Ans:−⇀c = (2, 4, 4),|−⇀c | = 6]

例題3 已知實數 x,y,z 滿足 x2+4y2+9z2 = 3 , 求 x+2y+3z 的最大值? [Ans:max=3] 例題4 空間中兩向量 −⇀u , −⇀v 滿足 _|−⇀u _{| = 3, |−}⇀v _{| = 2 且 −}⇀u , −⇀v 的夾角為 120◦ 求 |2−⇀u − −⇀v | =? [Ans:√52] 習題1-3 空間向量的內積 1. 設 A(8, 4, 3), B(4, 10,−9), 求 −⇀AB 與三坐標軸的方向餘弦? 2. 有一向量 −⇀a , 其長度為10, 始點在點 (0, 1,_{−1) , 方向角為} π 3, π 4, π 3 , 求 − ⇀_{a 的終} 點坐標? 3. 空間中有 A,B,C,D 四點, 已知 AB = 1, BC = 2, CD = 3,∠_{ABC =}∠_{BCD =} 120◦, 而 −⇀AB,−⇀CD 夾角為 60◦ , 則 AD 之長? 4. 設 −⇀a = (2, 1,_−3),−⇀b = (1, 0, 2), −⇀c = −⇀a + t−⇀b , 則當 t =?,_|−⇀c _{| 有最小值?} 又 −⇀_{a ⊥−}⇀_{c 時,t之值=?} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 外積、 體積與行列式 _· 5. 一長方體的長 AD = 1, 寬 CD = 2 , 高DH = 1 兩協對角線 DF , BH 相交於 點 P, 求 ∠_{BP F 的餘弦值?} E F G H A B C D x y z 6. 設 x, y, x ∈ R 且 (x − 1)2 + 4y2 + z2 = 9 求 2x + 4y + z 的最大值與最小值? 7. 已知空間中三點 A(1, 3, 4), B(1,_{−2, −2), C(2, 5, 7) 求} −⇀AB 在 −⇀AC 上的正射影 長? 另求 B 點在直線 AC 上的投影點 H 坐標? 8. 已知實數 x, y, z 滿足 x + 4y + 2z = 9 , 求 x2 + 4y2 + z2 的最小值? 並求此時 x, y, z 的值? 9. 已知正數 x, y, z 滿足 x + y + z = 6 求 1 x + 4 y + 9 z 的最小值? 及此時 x, y, z 的 值? 1.4 外積、 體積與行列式 空間_{向量的外積: 空間中若 −}⇀_{c ⊥−}⇀_{a , −}⇀_{c ⊥}−⇀_{b 則 −}⇀_{c 為 −}⇀_{a ,}−⇀_{b 的公垂向量。 稱 −}⇀_{c 為} −⇀_{a ,}−⇀_{b 的外積, 記作 −}⇀_{c = −}⇀_{a ×}−⇀_b 兩向量 −⇀_{a = (a1, a2, a3),}−⇀_{b = (b1, b2, b3) 則其外積 −}⇀_{c = (x, y, z),−}⇀_{c · −}⇀_{a =} 0, −⇀c ·−⇀b = 0 為 n a_b1x + a2y + a3z = 0 1x + b2y + b3z = 0 的解, 即 − ⇀_{c = −}⇀_{a ×}−⇀_{b =} (  a2 a3 b2 b3   ,    a3 a1 b3 b1   ,    a1 a2 b1 b2   ) = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) 外積的性質: 空間向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 1. (−⇀a _×−⇀b ) _{· −}⇀a = 0, (−⇀a _×−⇀b ) _·−⇀b = 0 2. −⇀a _×−⇀b = ₋₍−⇀b _{× −}⇀a ) 3. −⇀a _{× (}−⇀b + −⇀c ) = −⇀a _×−⇀b + −⇀a _{× −}⇀c 4. (α−⇀a )_×−⇀b = −⇀a _{× (α}−⇀b ) = α(−⇀a _×−⇀b ) x y z −⇀_a −⇀_b −⇀_{a ×}−⇀_b x y z −⇀_a −⇀ b −⇀ b _{× −}⇀a 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 外積、 體積與行列式 _· 向量外積大小的幾何意義: −⇀a _×−⇀b 的大小表示 −⇀a ,−⇀b 所展開的平行四邊形面積。 |−⇀a ×−⇀b | = |−⇀a ||−⇀b | sin θ= r    a2 a3 b2 b3    2 +  a3 a1 b3 b1    2 +  a1 a2 b1 b2    2 是以 −⇀_{a ,}−⇀_{b 為兩邊所張開的平行四邊形面積。} 內積值 −⇀a _·−⇀b 在物理上的意義為作功。 θ −⇀ b −⇀_a |−⇀b _{| sin θ} 三角_{形面積: a△ABC =} 1 2ab sin C = 1 2ac sin B = 1 2bc sin A= 1 2| −⇀ AB ×−⇀AC| 三項量所張_{出的平行六面體體積: 坐標空間三向量 −}⇀_{a ,}−⇀_{b , −}⇀_{c 張開出的平行六面體體} 積 V = Ah = |−⇀b _{× −}⇀c _{| · |−}⇀a _{|| cos φ|=|−}⇀a _{| · |}−⇀b _{× −}⇀c _{| · | cos φ|=|−}⇀a _{· (}−⇀b _{× −}⇀c )_| 或 V = |−⇀b _{· (−}⇀a _{× −}⇀c )_{| = |−}⇀c _{· (−}⇀a _×−⇀b )_| = a1 ×    b2 b3 c2 c3   + a2 ×    b3 b1 c3 c1   + a3 ×    b1 b2 c1 c2    = _|a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b1c3 − a3b2c1| −⇀ b _{× −}⇀c −⇀ b −⇀_c −⇀_a h φ ⊚ 三階行_{列式的定義: 餘因子降階展開法 detA3 = ai1Ci1+ai2Ci2+ai3Ci3 = a1jC1j+} a2jC2j + a3jC3j) 將三列 (橫向) 三行 (直向) 排列的元素稱三階行列式, 若將其某行或某列的元素 分別乘上其餘因子 Cij 的和, 逐次降階展開稱為餘因子降階展開行列式值。 其中元素 aij 的餘因子: Cij = (−1)i+j× (去除第 i 列第 j 行元素後的行列式值) |A| =      a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      = a1 ×    b2 c2 b3 c3   − b1 ×    a2 c2 a3 c3   + c1 ×    a2 b2 a3 b3    , 按照 第一列展開 = a1 ×    b2 c2 b3 c3   − a2 ×    b1 c1 b3 c3   + a3 ×    b1 c1 b2 c2    , 按第1行展開 = a1 ×    b2 b3 c2 c3   + a2 ×    b3 b1 c3 c1   + a3 ×    b1 b2 c1 c2    , 二階行列式性質 (行列對 調值不變, 任兩行對調其值異號) = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a1b3c2 − a2b1c3 − a3b2c1 ,(展開整理的行列式值) = (a1, a2, a3)· [(b1, b2, b3)× (c1, c2, c3)] = −⇀a · (− ⇀ b _{× −}⇀c ) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 外積、 體積與行列式 _· a3 b₃ c3 a3 b₃ a2 b₂ c2 a2 b₂ a1 b₁ c1 a1 b₁ − − − + + + _{由上可知: 我們將選擇零元素最多的某行或某列降階展開比} 較容易計算。 ⊚ 行_{列式的性質:} 1. 將行與列的所有元素互換, 其值不變。     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     =      a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      2. 將某兩行 (列) 對調位置, 其值變號。     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     = ₋     b1 b2 b3 a1 a2 a3 c1 c2 c3     ,     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     = ₋     a2 a1 a3 b2 b1 b3 c2 c1 c3     3. 任一行 (列) 之數可提出公因數。      a1 ka2 a3 b1 kb2 b3 c1 kc2 c3      = k     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     ,     ka1 ka2 ka3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     = k     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     4. 若某行 (列) 之數均為0, 則其行列式值為0。     a1 a2 a3 b1 b2 b3 0 0 0     = 0 5. 任兩行 (列) 之數成比例, 其行列式值為0。     a1 a2 a3 b1 b2 b3 kb1 kb2 kb3     = 0,      a1 ka1 a3 b1 kb1 b3 c1 kc1 c3      = 0 6. 將某行 (列) 的各數乘上一非0的數加至另一行 (列), 則其行列式值不變。     a1 + kb1 a2 + kb2 a3 + kb3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     =     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     7. 行列式的合併拆解: 可依任一行 (列) 將一個行列式拆成兩個行列式。     a1 + d1 a2 + d2 a3 + d3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     =     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3    +     d1 d2 d3 b1 b2 b3 c1 c2 c3         a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3    +     x1 a2 a3 y1 b2 b3 z1 c2 c3     =     a1 + x1 a2 a3 b1 + y1 b2 b3 c1 + z1 c2 c3     ⊚ 行_{列式的應用:} 1. 平面上三直線共點: 三相異不平行直線共同交一點: ( a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 a3x + b3y = c3 (將 L1, L2 克拉瑪公式解有相同解, 代入 L3 ) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 外積、 體積與行列式 _· ⇒      a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      = 0 2. 空間三角形 ABC 面積: 兩向量 −⇀AB = (a1, a2, a3),−⇀AC = (b1, b2, b3) 則 △ABC 面積 = 1 2| −⇀ AB×−⇀AC| = 1 2 r    a2 a3 b2 b3    2 +  a3 a1 b3 b1    2 +  a1 a2 b1 b2    2

3. 平面上三角形 ABC 面積: 平面上若 A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2) 則 a△ABC =

1 2 q |−⇀AB_|2_|−⇀_AC|2 _{− (}−⇀_{AB ·}−⇀_AC)2 ₌ 1 2|    b1 − a1 b2 − a2 c1 − a1 c2 − a2   | = 1 2|      0 0 1 b1 − a1 b2 − a2 1 c1 − a1 c2 − a2 1      | = 1 2|      a1 a2 1 b1 b2 1 c1 c2 1      |

4. 平面上 A、B、C 三點共線: 平面上若 A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2) 則 a△ABC =

1 2|    b1 − a1 b2 − a2 c1 − a1 c2 − a2   | = 1 2|      a1 a2 1 b1 b2 1 c1 c2 1      | = 0 5. 平行六面體體積: 向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 張開出的平行六面體體積

V = _|−⇀a _·(−⇀b _×−⇀c )_{| = |a}1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a1b3c2−a2b1c3−a3b2c1| =

|     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3    | 6. 空間中 ABCD 四面體體積:VD_−ABC = 1 3 倍 − ⇀ AB = −⇀a ,−⇀AC = −⇀b ,−⇀AD = −⇀_{c 張開出的平行六面體體積。(錐體體積 =} 1 3 柱體體積) VD_−ABC = 1 3| −⇀ AD _{· (}−⇀AB_×−⇀AC)_{| =} 1 3|     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3    | 7. 空間中 A、B、C、D 四點共面: 若 A、B、C、D 四點共面則其四面體體積為0 若 −AB = (a⇀ 1, a2, a3),−⇀AC = (b1, b2, b3),−⇀AD = (c1, c2, c3) 則 VD_−ABC = 1 3|     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3    | = 0 ,(此亦表示三向量 −⇀ AB、−⇀AC、−⇀AD 共平面) 三角_{形ABC 面積公式:} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 外積、 體積與行列式 _· a_{△ABC =} 1 2ab sin θ = q s(s_{− a)(s − b)(s − c), s =} 1 2(a + b + c) = r內 · s = abc 4R外 = 1 2| −⇀ AB_||−⇀AC_{| sin θ} = 1 2 q |−⇀AB_|2_|−⇀_AC|2 _{− (}−⇀_{AB ·}−⇀_AC)2_{, 平面或空間三角形均適用} = 1 2|      a1 a2 1 b1 b2 1 c1 c2 1      |, 平面上點A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2) = 1 2|    b1 − a1 b2 − a2 c1 − a1 c2 − a2   |, 平面上點A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2) = 1 2| −⇀ AB _×−⇀AC_{|, 空間三角形適用} 例題演練 例題1 已知坐標空間中,A(1, 2, 1), B(0, 6, 4), C(3, 5, 6) 三點, 求一單位向量 −⇀v , 使其 同時垂直 −_AB,⇀ −⇀_{AC? [Ans:±}

√ 3 3 (1, 1, 1)] 例題2 坐標空間中 _{△ABC 三頂點分別為 A(1, 2, 3), B(−1, 4, 6), C(5, 7, 3) , 求此三角} 形的面積? [Ans:3 2 √ 77] 例題3 設 −⇀a = (2, 1, 3),−⇀b = (1, 2, 1), −⇀c = (−1, 3, 2) 求由 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 所張開出的平 行六面體體積? [Ans:14] 例題4 已知向量 −⇀a = (1, 1, 2),−⇀b = (1,−2, −1) 求由 −⇀a ,−⇀b 所張開出的平行四邊形 面積? [Ans:3√3] 例題5 ⊚求行列式值     3 2 1 −1 2 2 4 1 ₋₃     =? [Ans:−23];     1 2 3 4 5 6 7 8 9    =? [Ans:0];      1 1 1 a b c a2 b2 c2      =? [Ans:(a− b)(b − c)(c − a)]; 例題6 ⊚ 平面上三相異直線共交點 例題7 ⊚ 已知空間中四點 A(1, 1, 1), B(2, 1, 0), C(1, 2, 1), D(a, a, 3) 共平面, 求 a 值? Ans: a =₋₁ 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 外積、 體積與行列式 _· 例題8 ⊚已知空間中三向量 −⇀_{a ,}−⇀_{b , −}⇀_{c 所張開的平行六面體體積為5, 求 2−}⇀_{a −3}−⇀_{b , 3}−⇀_{b +} 4−⇀c , −⇀c 三向量所張開的平行六面體體積? Ans: 30 已知由三向量 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 所張開出的平行六面體體積 習題1-4 外積、 體積與行列式 1. 向量 −⇀n 同時垂直 −⇀a = (2, 2, 1),−⇀b = (1, 0, 1) , 且 _|−⇀n_{| = 3 , 求 −}⇀n =? 2. 已知空間中四點 A(_{−1, 2, 1), B(2, −1, 0), C(1, 2, 3), D(0, −1, 1) 求向量}−⇀AB,−⇀AC,−⇀AD 所張開的平行六面體體積? 四面體A − BCD 的體積? 3. 已知空間中 △ABC 三頂點分別為 A(−1, −2, −3), B(5, −2, 3), C(1, 0, k) , 此 三角形的面積為9, 求 k值? 4. ⊚ 求行列式值 (1)     3 27 −41 −1 11 −23 −5 −32 65     =? (2)     228 −342 339 −92 138 ₋₁₆₁ 1116 93 186     =? 5. ⊚ 試解方程式     x 1 0 0 x 1 6 _{−11 x + 6}     = 0 6. ⊚ 行列式     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     值, 與下列哪些行列式值相同? (A)      a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      (B)      a1 − b1 b1 c1 a2 − b2 b2 c2 a3 − b3 b3 c3      (C)      a1 b1 c1 a3 b3 c3 a2 b2 c2      (D)      a1b1 b1 c1 a2b2 b2 c2 a3b3 b3 c3      (E)       2a1 2a2 2a3 1 2b1 1 2b2 1 2b3 c1 c2 c3       7. ⊚ _{求行列式值 (1)}     1 1 1 0 0 ₋₄ 1 2 2     =? (2)    cot θ csc θ csc θ cot θ    =? 8. ⊚ 求行列式值:     √ 2 +√13_{− 4} √13 √ 2 +√13 + 4 √2 + 4     =? 9. ⊚ 設    a b c d    = 3, 則    3a_{− 4b 5a + 3b} 3c_{− 4d 5c + 3d}    =? 10. ⊚ 求行列式值:     1 2 3 2 5 −1 −1 3 1     =?

11. ⊚ _{設平面坐標上三點 A(−1, 2), B(3, −2), C(a, a + 2) , 若 △ABC 面積為10,}

則 a 值為? 又當 A、B、C 三點共線時,a 值為?

https://sites.google.com/site/hysh4math _·

第

2

章

空間中的平面與直線

2.1 平面方程式 平面的法_{向量: 坐標空間中, 一個以非零向量 −}⇀_{n 的直線 L 與平面垂直, 則稱 −}⇀_{n 為平} 面 E 的一個法向量, 記為 −⇀_{⊥ E} 平面方程式: 平面上任兩點的向量有共同的法向量, 且平面的法向量均 //−⇀n , 若確定 平面的法向量 −⇀_{n 及平面上任一點 P (x0, y0, z0) 可決定其方程式。(點法式)} 若法向量 −⇀n = (a, b, c) 垂直平面 E 上的所有直線,P (x0, y0, z0) 在平面 E 上, 則 點_{法式: (a, b, c)· (x − x0, y − y0, z − z0) = 0 化簡可得平面方程式} E : ax + by + cz = d 其中 d = ax0 + by0 + cz0 , 一般_{式: 故在坐標空間中平面方程式可表成三元一次方程式的形式} E : ax + by + cz + d = 0 , 其中 (a, b, c) 為平面的一個法向量。 平面截距式: 平面與三坐標軸交於 (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) 三點, 則平面方程式 E : x a + y b + z c = 1 此時的平面法向量為 ( 1 a, 1 b, 1 c) 兩平面的夾角 θ, π _{− θ : cos θ =} − ⇀ n1 · −n⇀2 |−n⇀1||−n⇀2| E1, E2 之夾角 θ, π − θ 其中之一與其兩平面法向量 −n⇀1, −n⇀2 夾角相同, 利用向量 內積可得 cos θ = − ⇀ n1 · −n⇀2 |−n⇀1||−n⇀2| E1 θ E2 B A C n1 n2 π_{− θ} π_{− θ} θ 點 P (x0, y0, z0) 到平面 E : ax + by + cz + d = 0 的距離: d(P, E) =    ax0 + by0 + cz0 + d √ a2 _{+ b}2 _{+ c}2    P (x0, y0, z0) 到平面 E : ax + by + cz + d = 0 距離。 利用解析法:P 在 E 上的 垂足點 H, 假設 PH 直線的參數式, 且 H 點在平面 E 上。 則 d = P H 或 d(P, E) = P H = |−⇀QP|| cos θ| = |−⇀QP|| −⇀ QP _{· −}⇀n |−⇀QP||−⇀n|| =| (x0 − x, y0 − y, z0 − z) · (a, b, c) |(a, b, c)| | 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 平面方程式 _· =  ax0 + by0 + cz0 + d √ a2 _{+ b}2 _{+ c}2    E P(x0, y0, z0) H P′ Q(x, y, z) −⇀_n θ 兩平行面距離: 兩平面 E : ax + by + cz + d1 = 0, F : ax + by + cz+2 = 0 則兩平行面 E, F 距離為 d(E, F ) = |d(P, E) − d(P, F )| = √|d1 − d2| a2 _{+ b}2 _{+ c}2 平面簇: 若 E1, E2, E3 為有共同交線的平面, 則 E3 : E1 + kE2 = 0 , k ∈ R 三平面 E1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0, E2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0, E3 : a3x + b3y +c3z +d3 = 0 若有共同交線, 則聯立方程式 E1, E2 與 E1, E3 的解集合相同。

即 E1−E2 = 0 ≡ E1−E3 = 0 , 故存在實數 s, t 使得 s(E1−E2)+t(E1−E3) =

0 可得 E3 = s + t t E1 − s tE2 , 同除以 s + t t , 可令 E3 : E1 + kE2 = 0 , k ∈ R 例題演練 例題1 平面 E : x + 2y + 3z = 4 包含下列哪些向量? −⇀ A = (1,_{−2, 1),}−⇀B = (1, 2, 3) , −⇀C = (1, 1,_−1),−⇀D = (_{−3, 2, 1) 又下列哪些} 點在平面 E 上? P (1,−2, 1), Q(1, 2, 3),R(1, 1, −1), S(−3, 2, 1) Ans:−⇀A ,−⇀C ;S 例題2 求通過 P (3, 2, 1) 和平面 x_{− 2y + 3z = −4 平行的平面方程式?} Ans: x− 2y + 3z = 2 例題3 求過點 A(1,−1, 2), B(2, 0, 4), C(3, 2, 5) 三點的平面方程式? [Ans:E:3x-y-z=2] 例題4 求平面 E : x +√2y + z = 4 與 xz 平面的夾角? [Ans:θ = 45◦, 135◦] 例題5 求點 P (4,_{−3, 5) 到平面 E : x − 2y + 2z = 2 的垂足點坐標? [Ans:(2,1,1)]} 例題6 坐標空間中, 求平面 E : 2x− 3y + 4z = 17 上一點 Q 坐標, 使 Q 點到空間 P (0, 11,_{−2) 的距離為最短? [Ans:Q(4, 5, 6)]} 習題2-1 平面方程式 1. 求通過點 A(1, 2, 3), 且以 −⇀n = (1,_{−1, 2) 為法向量之平面 E 的方程式?} 2. A(−1, 1, 2), B(3, −5, 4) , 求線段 AB 之垂直平分面方程式? 3. 求過 A(1,_{−1, 4), B(−2, −2, 3), C(−1, −2, 2) , 三點的平面E方程式?} 4. 若過 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) 三點的平面方程式為 ax + by + cz = 6 則 a, b, c 之值為? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 空間直線方程式 _·

5. 試求兩平面 E1 : x− y + z − 3 = 0, E2 : x + y +

√

6z + 2 = 0 的夾角? 6. 試求兩平面 E1 : x + 2y− z − 3 = 0, E2 : x− y + 2z − 3 = 0 的夾角?

7. 求空間三點 A(3, 4, 5), B(4, 5, 4), C(2, 6, 6) , 求 _{△ABC 之面積? 設 ABC 平} 面與平面 x − 2y + z − 7 = 0 的夾角為 θ , 則 cos θ =? 8. 求點 P (−1, 2, −4) 到平面 E : x + 4y − 5z + 15 = 0 的距離? 9. 求點 P (5,_{−2, 6) 在平面 E : x − 4y + 7z + 11 = 0 的投影點座標H?} 10. 空間中四點 (0, 0, 0), (1, 2, 3), (2, 3, 1), (1, 1, a) 共平面, 則 a 值為何? 11. 求過點 A(2,−3, 4) 且與 x + 2y + 3z = 4 平行的平面方程式? 12. 求過點 A(1,_{−2, 1) 且與兩平面 x + 2y − z = −1, x − y + z = 1 均垂直的平面} 方程式? 13. 求點 P (2,−3, 5) 在平面 E : x − y − 3z − 12 = 0 的垂足點坐標及點 P 對於平 面 E 的對稱點坐標? 14. 求與平面 E : x− 2y + 2z = 3 平行且與 E 之距離為5的平面方程式? 15. 求兩平行面的距離:E1 : x− y + 2z = 7, E2 : x− y + 2z + 2 = 0 16. 求包含兩平面 E1 : x− 2y + z − 3 = 0, E2 : 2x + 3z + 4 = 0 之交線, 且過點 (1, 4, 1) 的平面方程式? 2.2 空間直線方程式 直線_{參數式: 直線過 A(x0, y0, z0) 點, 且直線方向} −⇀_{L //(l1, l2, l3) 的直線方程式: L :} ( x = x0 + l1t y = y0 + l2t z = z0 + l3t , t _{∈ R , 稱為直線的參數式。} 空間中, 直線 L 通過 A 點的直線, 且 L 與向量 −⇀v 平行, 則直線上任意異於 A 點 P (x, y, z), 必有 −⇀AP //−⇀v , 因此 −⇀AP = (x_{− x}0, y− y0, z− z0) = t(l1, l2, l3), t ∈ R 可得直線 L 上的點坐標為 L : ( x = x0+ l1t y = y0 + l2t z = z0 + l3t , t ∈ R; L −⇀_{v = (l} 1, l2, l3) A(x0, y0, z0) P(x, y, z) 所以只要找出直線的一個方向 −⇀_{L , 及任何直線上的} 一點就可決定其直線方程式。 直線_{對稱比例式: 若將直線上的關係} −⇀_{AP //−}⇀_{v 表達成} x− x0 l1 = y − y0 l2 = z − z0 l3 稱 為直線對稱比例式。 其中 l1, l2, l3 均不為0 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 空間直線方程式 _· 空間_{中直線、 平面關係:} 1. 平面與平面的關係: 兩面式: 兩平面的法向量不平行時, 相交成一直線 L :n a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 E2 E1 E2 L (a) 兩相異平面的法向量不行時, 兩平面平行。 2. 兩相異直線的關係: (a) 兩直線相交一點 (此時兩直線必共平面) (b) 兩直線平行 (此時兩直線必共平面) (c) 兩直線為歪斜線 (此時兩直線必不共平面) E M L −⇀_n E L M E L M L′ 3. 直線與平面關係: (a) 直線 L 與平面 E 平行不相交。 (b) 直線 L 落於平面 E 上。 (c) 直線 L 與平面 E 相交一點。 E L E L −⇀_n E P L 求空間的點坐標 (求垂足點、 最遠、 最近點、 交點、 投影點 · · · ): 可設法用參數式來 表示, 再用解析法求其點坐標。 ⊚ _{空間 P 點到直線 L 距離:} 1. 利用垂足點 Q 參數式, 且 −⇀P Q_⊥−⇀L , 則 d = P Q 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 空間直線方程式 _· 2. 空間 P 點到直線 L 的距離 d: 直線 L 任一點 A,−⇀AP 與 −⇀L 夾角 θ 則 d = |−⇀AP| sin θ = |−⇀AP|p1− cos2_{θ =|}−⇀_AP| v u u t1− ( −⇀ AP _·−⇀L |−⇀AP||−⇀L|) 2 A L Q P θ 空間P點與平面 E 的最近點 (垂足點) H 及對稱點 P′: 可設點 H 為直線 P H 的參 數式 (−−⇀P H//−⇀n ), 且H在平面 E 上。 ⊚ _{若平面 E 垂直平分 P P}′ _{則稱 P}′ _{為 P 點關於平面 E 的對稱點。 可利用 P, P}′ 的中點為 H , 求出 P 的對稱點P′ 。 E P(x, y, z) H P′ −⇀_n ⊚ 空間_{中兩平行線的距離: 兩直線 L1, L2} 互相平_{行時, 直線上任意一點 P 到另一直線} 的距離都相等。 故兩平行線距離即為 L1 上一點 P 到直線 L2 的距離。 d(L1, L2) = d(P, L2) = P Q L2 L1 P Q ⊚ 歪斜線_{: 空間中兩直線沒有共同交點, 且直線方向不平行, 稱為互為歪斜的兩直線。(此} 時兩線 ←_AB,→ ←→_{CD 不共平面)。 若直線 L 同時垂直 L1, L2 且與 L1, L2} 相交點分別 為 P, Q 則稱 L 為兩歪斜線的公垂線, P Q 為 L1, L2 的公垂線段。 兩歪斜線的距離求法: 1. 可設公垂線與 L1, L2垂足點 P,Q 的直線參數式點坐標, 再利用−⇀P Q⊥− ⇀ L1,−⇀P Q⊥− ⇀ L2 求出兩坐標的參數, 則 d = P Q 2. 求出包含 L2 且 //L1 的平面 E, 則 d = L1 上的任一點到平面 E 的距離。 3. AC 在公垂線 −⇀P Q//−⇀AB×−⇀CD 上的正射影長 d = | −⇀ AC _{· (}−⇀AB_×−⇀CD)_| |−⇀AB _×−⇀CD_| 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 空間直線方程式 _· E L1 L₂ Q P L A B C D −⇀ AC Q P 空間三坐_{標軸與三坐標平面方程式:} 1. x 軸: 直線參數式  x = t y = 0 z = 0 , t ∈ R 。x 軸直線的單位向量 (±1, 0, 0) 兩面式:  y = 0 , (xz 平面) z = 0 , (xy 平面) 2. y 軸: 直線參數式  x = 0 y = t z = 0 , t ∈ R 。y 軸直線的單位向量 (0, ±1, 0) 兩面式:  x = 0 , (yz 平面) z = 0 , (xy 平面) 3. z 軸: 直線參數式  x = 0 y = 0 z = t , t ∈ R 。z 軸直線的單位向量 (0, 0, ±1) 兩面式:  x = 0 , (yz 平面) y = 0 , (xz 平面) 4. xy 平面方程式: 0x + 0y + 1z = 0 ; xy 平面的單位法向量為 (0, 0,_{±1) ,} 直線 z 軸的方向必垂直 xy 平面。 5. yz 平面方程式: 1x + 0y + 1z = 0 ; yz 平面的單位法向量為 (_{±1, 0, 0) , 直} 線 x 軸的方向必垂直 yz 平面。 6. xz 平面方程式: 0x + 1y + 1z = 0 ; xz 平面的單位法向量為 (0,_{±1, 0) , 直} 線 y 軸的方向必垂直 xz 平面。

空間_{向量的方向角:} −⇀_{OP 與坐標軸的三個方向角α, β, γ, 則 cos}2_{α + cos}2_{β + cos}2_{γ =} 1 |−⇀OP| = r = √a2 _{+ b}2 _{+ c}2_{, 且cos α =} a r, cos β = b r, cos γ = c r ⇔−⇀OP = r(cos α, cos β, cos γ)

平面向量的方向角 α, β : cos2α + cos2β = 1 _{⇒ α + β =} π 2 或 |α − β| = π 2 空間_{中兩平面夾角、 兩相交線夾角及直線與平面的夾角:} 1. 空間中, 若 −⇀v _{⊥ 平面 E , 則平面法向量 −}⇀n //−⇀v 。 2. 空間中, 若 −⇀v 與直線平行, 則直線方向向量 −⇀L 必 //−⇀v 。 3. 兩平面上的相異兩線夾角不一定是兩平面夾角 (兩平面法向量夾角)。 除非此 兩直線所在的平面恰垂直這兩平面。 兩平面夾角 θ, 180◦_{− θ 其中之一恰為兩平面法向量 −}n⇀1, −n⇀2 的夾角。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 空間直線方程式 _· 4. 兩相交直線的夾角 θ, π− θ 其中之一為兩直線方向向量 −L⇀1,− ⇀ L2 的夾角。 5. 直線 L 與平面 E 的銳夾角為 θ , 若 L 直線方向向量 −⇀L 與平面 E 法向量 −⇀_{n 夾角為 λ , 則 θ + λ} 銳角 = 90◦ 或 θ + 90◦ = λ鈍角 E L θ −⇀_n L 例題演練 例題1 已知直線 L 過 A(2, 1,_{−3), B(4, 2, 1) 兩點, 求 L 的參數式?} [Ans:  x = 2 + 2t y = 1 + t z = _{−3 + 4t} , t ∈ R (表示法不唯一)] 例題2 求過點 P (1, 4,_{−3) 且包含直線}  x = 2 + 2t y = −4 + 3t z = 5− t , t ∈ R 的平面方程式? [Ans: 16x_{− 17y − 19z = 5]} 例題3 求兩平面 E1 : x− 2y + z − 3 = 0, E2 : 2x + y − z − 2 = 0 交線的對稱式? [Ans:x− 2 1 = y − 1 3 = z− 3 5 ] 例題4 求兩線 L1 : x_{− 4} 2 = y + 1 2 = z + 3 1 , L2 : x_{− 4} 3 = y + 1 −1 = z + 3 2 的交點坐標 P 及包含兩直線的平面方程式 E? [Ans:P (4,−1, −3), E : 5x − y − 8z = 45] 例題5 求包含點 P (−1, 1, 5) 和直線 L : x 1 = y _{− 1} 1 = z _{− 2} −5 的平面 E 方程式? [Ans:E : 3x + 2y + z = 4] 例題6 空間中, 討論直線 L :  x = 5 + 2t y = 3_{− 2t} z = _{−1 + t} , t ∈ R, 與平面 E : 2 − 3 − 5 + 9 = 0 相交情形? [Ans: 交一點P (−1, 9, −4)] 例題7 設平面 E 的方程式為 2x + y _{− z = 3, 試分別討論與下列三直線與平面的關係:} L1 : x− 2 3 = y − 2 1 = z − 3 2 , L2 : x− 1 2 = y− 2 −1 = z− 3 3 , L3 : x− 1 2 = y _{− 2} −1 = z _{− 1}

3 [Ans:L1, E交一點 P (2, 2, 3); L2//E ;L3 ⊂ E] 例題8 求直線 L : x− 1 1 = y − 2 −3 = z− 3 2 與兩直線 L1 : x 2 = y −6 = z 4, L2 : x− 2 −1 = y + 1 3 = z_{− 5} −2 的相交情形? [Ans:L//L1, L = L2] _順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 空間直線方程式 _· 例題9 ⊚ _{求點 P (3, 2, 6) 到直線} x + 1 2 = y 2 = z _{− 2} −3 的距離? [Ans:6] 例題10 ⊚ 求二平行線 L_{1 :} x− 1 2 = y − 3 −3 = z − 4 2 , L2 : x− 4 2 = y − 2 −3 = z− 8 2 的 距_{離? [Ans:3]} 例題11 ⊚ 兩歪斜線 x− 1 1 = y_{− 2} 1 = z _{− 1} −1 , x_{− 8} 6 = y _{− 7} 2 = z_{− 2} −3 , 求(1) 公垂線 段兩端點坐標? (2) 公垂線直線的對稱比例示? [Ans:P (1, 2, 1), Q(2, 5, 5);LP Q: x− 1 1 = y − 2 3 = z− 1 4 ] 習題2-2 空間直線方程式 1. 若 A(3, 1,_{−1), B(2, 5, 3), C(x, y, −5) 三點共線, 求 x,y 之值? 及} ←→AB 之參數 方程式? 2. 求過點 (2,_{−1, 3) 且平行直線} n x + y + z = 1_{2x− y + 3z = 2} 之直線方程式? 3. 求過點 (4, 1,−2) 且垂直平面 2x + y − z + 1 = 0 之直線方程式? 4. 求兩平面 E1 : 3x + 2y + z = 4, E2 : x + 2y + 3z = −4 交線 L 的參數式? 5. 兩直線 L1 : x− 1 1 = y + 2 −2 = z + 1 2 , L2 : x + 1 2 = y + 5 3 = z − 5 −6 相交於 P 點, 求 P 點坐標? 6. 在空間中, 下列方程組何者圖形為一直線? (A) 3x + 2y + z = 1, 6x + 4y + 2z = 5 (B)  x = 2t + 1 y = 3t_{− 2} z = 3 , t ∈ R (C) x_{− 2} 3. = y _{− 6} 2 = z _{− 5} 3 (D) 2x + y = 1 (E) x + y − 2z = 0, x − 2y + z = 1, 2x_{− y − z = 1} 7. 求過 (1, 0, 1) 且平行於直線 L : n 2x_3x− 3y − z + 2 = 0_{− 2y − 3 = 0} 之直線方程式? 8. 求包含二平行線 L1 : x− 1 2 = y + 3 −1 = z + 1 −2 , L2 : x + 1 2 = y −1 = z + 2 −2 的 平面方程式? 9. 空間中, 判別兩直線 L1 :  x = 1 + 2t y = −5 + 4t z = −1 + t , t ∈ R; L2 :  x = 1 + 4t y = 1 + 2t z = −2 + 4t , t ∈ R 之關係? 10. 求空間中一點 P (8, 6,_{−6) 對平面 E : 3x + 2y − 3z = 10 的投影點坐標 H 及} P 點關於平面 E 的對稱點 P′坐標? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三元一次聯立方程式 _· 11. ⊚ _{求二平行線 L1 :} x− 1 3 = y + 1 2 = z _{− 3} −2 , L2 : x_{− 2} 3 = y _{− 2} 2 = z + 1 −2 的 距_離? 12. ⊚ 設點 P (1, −2, 3),L : x− 2 1 = y + 1 2 = z + 3 2 , 則 P 在直線 L 上的投影點 坐標為? 又 P 點到直線 L 的距離為? 13. ⊚ _{求點 P (3, 6, 3) 到直線} x− 6 2 = y_{− 3} 1 = z _{− 3} 1 的距離? 14. ⊚ 兩歪斜線 x + 1 2 = −y + 3 2 = z 1 , x− 2 1 = y − 4 2 = −z + 2 1 , 求 (1) 公垂 線段兩端點坐標? (2) 公垂線段長? 2.3 三元一次聯立方程式 三_{元一次聯立方程式的一般解法:} 1. 代入消去法: 將某一變數表示成其他變數的式子代入所有的方程式, 使變數未 知元減少, 再繼續求解新聯立方程組。 2. 加減消去法: 將某兩列方程式分別除上某常數後, 相加減, 以去除某變數的方 法。 3. 克拉瑪法則 (公式解): 一次方程組若為恰一解時的公式解。            x = ∆x ∆ y = ∆y ∆ z = ∆z ∆ 二_{元一次方程組的 克拉瑪公式解: 二元一次方程組} n a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 若 ∆ =   a1 b1 a2 b2   , ∆x =    c1 b1 c2 b2   , ∆y =    a1 c1 a2 c2    1. 若 ∆ _{6= 0 , 則方程組恰有一解, 其解為 ⇒}      x = ∆x ∆ y = ∆y ∆ 2. 若 ∆ = 0 時, (1) ∆x = ∆y = 0 , 則方程組無限多組解。(克拉瑪公式無法求出方程組之解, 但高斯列運算法可求出方程組之通解。) (2) ∆x, ∆y 中有一不為0, 則方程組無解。 ⊚ 三_{元一次方程組的克拉瑪公式解: 三元一次方程組} ( a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 若 ∆ =      a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      , ∆x =      d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3      ,∆y =      a1 d1 c1 a2 d2 c2 a3 d3 c3      ,∆z =      a1 b1 d1 a2 b2 d2 a3 b3 d3      順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三元一次聯立方程式 _· 考慮 (x0, y0, z0) 為其解, 則 ∆x =      d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3      =      a1x0 + b1y0 + c1z0 b1 c1 a2x0 + b2y0 + c2z0 b2 c2 a3x0 + b3y0 + c3z0 b3 c3      利用3階行列式的性質, 將第2,3行分別乘以 −y0,−z0 並加至第1行, 可得 ∆x =      a1x0 b1 c1 a2x0 b2 c2 a3x0 b3 c3      = x0 · ∆ , 同理可得 ∆y = y0 · ∆,∆z = z0 · ∆ 因此, 當 ∆ 6= 0 , 則方程組的解為 ⇒            x = ∆x ∆ y = ∆y ∆ z = ∆z ∆ 稱為 三元一次方程組 的克拉瑪公式解(Cramer’s rule) ⊚ 三平面幾_{何關係的代數判定:} 坐標空間中三平面 E1 : a1x + b1y + c1z = d1, E2 : a2x + b2y + c2z = d2, E3 : a3x+b3y+c3z = d3 的交點坐標, 相當於解三元一次方程組 ( a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 1. 恰有一組解, 則三平面恰相交一點。 (∆ _{6= 0, 三法向量彼此不平行、 不成比} 例) 圖 _2-3: 三平面恰相交一點 2. 若有無限多組解, 則三平面為 (a) 三平面互異且相交於一直線。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量彼 此不平行、 不成比例) (b) 兩平面重合與第三平面相交一直線。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 有兩 法向量成比例) (c) 三平面重合。 (∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比例) 圖 2-3: 三平面異且相交於一直線、 兩平面重合與第三平面相交一直線、 三平面重合 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三元一次聯立方程式 _· 3. 若無解, 則三平面為 (a) 三平面兩兩相交一直線, 且三直線互相平行不相交。(∆ = 0, 但 ∆x, ∆y, ∆z有 6= 0 , 三法向量彼此不平行、 不成比例) (b) 兩平面互相平行, 分別與第三平面相交一直線。(∆ = 0, 但 ∆x, ∆y, ∆z有 6= 0 , 兩法向量平行與另一個不平行) (c) 三平面互相平行。(∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量互相平行成比 例) (d) 兩平面重合且與第三平面平行。(∆ = 0, ∆x = ∆y = ∆z = 0, 三法向量 互相平行成比例) 圖 _2-3: 平面兩兩相交一直線, 且三直線互相平行不相交、 兩平面互相平行, 分別與第三平面相交一直 線、 三平面互相平行、 兩平面重合且與第三平面平行 表 _2-3: 三元一次聯立方程式的解與三平面的幾何關係 代數判定 _\關係 聯立方程式的解 平面幾何關係 ∆6= 0 恰一解(∆x ∆ , ∆y ∆, ∆z ∆) 三平面恰相交一點 ∆ = 0 ∆x, ∆y, ∆z有 6= 0 無解 三平面兩兩相交一直線, 且三直線互相平行不相交 ∆x, ∆y, ∆z有 6= 0 無解 兩平面互相平行, 分別與第三平面相交一直線 ∆ = 0 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無解 三平面互相平行 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無解 兩平面重合且與第三平面平行 ∆ = 0 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 三平面互異且相交於一直線 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 兩平面重合與第三平面相交一直線 ∆x = ∆y = ∆z = 0 無限多組解 三平面重合 空間_{向量的線性組合: 若} −⇀_OA,−⇀_{OB 為空間中兩不平行的非零向量, 空間向量} −⇀_{OP 能表} 示成形如 −_{OP = x}⇀ −⇀_{OA + y}−⇀_{OB 其中 x, y 為實數, 稱為} −⇀_OA,−⇀_{OB 的線性組合。} 若 −OA = (a⇀ 1, b1, c1),−⇀OB = (a2, b2, c2),−⇀OC = (a3, b3, c3) 為空間中兩兩不平 行的非零向量, 則空間上任一向量 −⇀OP = (d1, d2, d3) 必能唯一表示成 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB + z−⇀OC 其中 x, y, z 為實數, 稱為 −⇀OA,−⇀OB,−⇀OC 的線性組合。 x, y, z 的解即為 (d1, d2, d3) = x(a1, a2, a3) + y(b1, b2, b3) + z(c1, c2, c3) 的解, 相 當於解三元一次方程組 ( a1x + a2y + a3z = d1 b1x + b2y + b3z = d2 c1x + c2y + c3z = d3 由 克拉瑪 公式可知, ∆ = 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三元一次聯立方程式 _·      a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      =     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     6= 0 時 (即 −⇀ OA,−⇀OB,−⇀OC 不共平面) , 實數 x, y, z 有恰一解 (∆x ∆ , ∆y ∆ , ∆z ∆ ) 1. 平面直角坐標點 P (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) 是由 (1, 0), (0, 1) 兩基底 (互相 垂直) 向量組成。 (平面上任一向量 −⇀OP = a−⇀ex + b−⇀ey 可表示成兩不平行向 量的線性組合, 其係數和未必為1。 若係數和為1, 表示 P, A, B 共線) 2. 空間向量 −⇀OP 能表示成形如 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB 其中 x, y 為實數 _⇔ O, A, B, P 四點共平面 3. 空間中直角坐標點 P (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) 是由 (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1) 三基底 (互相垂直、 不共平面) 向量的線性組成。 4. 空間上任一向量−⇀OP = (d1, d2, d3) 若能唯一表示成 −⇀OA = (a1, a2, a3),−⇀OB = (b1, b2, b3),−⇀OC = (c1, c2, c3) 的線性組合 ⇔ ∆ =     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     6= 0 時 (即 −⇀ OA,−⇀OB,−⇀OC 不共平面) 5. 空間向量若 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB + z−⇀OC, x + y + z = 1 則 A,B,C,P 四點 共面。(因 −⇀CP 可表示成 x−⇀CA + y−⇀CB) O −⇀_{u = 3−}⇀_{a + 2}−⇀_b −⇀_a −⇀ b −⇀_{v = s−}⇀_{a + 1}−⇀_b −⇀_{w = 2−}⇀_{a + t}−⇀_b 三_{元一次方程組的解(空間向量觀點):} ( a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 ∆ =      a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      , ∆x =      d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3      , ∆y =      a1 d1 c1 a2 d2 c2 a3 d3 c3      , ∆z =      a1 b1 d1 a2 b2 d2 a3 b3 d3      x(a1, a2, a3) + y(b1, b2, b3) + z(c1, c2, c3) = (d1, d2, d3) 即 x−⇀OA + y−⇀OB + z−⇀OC = −⇀OD 1. 若 ∆ 6= 0 , 即 O, A, B, C 四點不共平面, 則向量表示法恰有一解。 2. 若 ∆ = 0 時,O, A, B, C 四點共平面 (1) 若點 D 與 O, A, B, C 四點共平面, 則 ∆x = ∆y = ∆z = 0 , 則方程 組為無解 (O,A,B,C 共線, 但與 D 不共線時) 或無限多組解 (無任三點共線, 或四點共線時)。 (2) 若點 D 不在 O, A, B, C 四點的平面上, 則 ∆x, ∆y, ∆z 6= 0 , 則方程組 無解。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三元一次聯立方程式 _· 例題演練 例題1 解方程組  x + y + z = 4 x + 2y + 3z = 5 2x + 3y + 4z = 9 。 [Ans:z = t, y1 − 2t, x = t + 3, t ∈ R] 例題2 已知一二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 的函數圖形經過 (1, 1), (2, 12), (_{−1, −9)} 三點, 求出此二次函數? [Ans:2x2+ 5x− 6] 例題3 解三元一次聯立方程組  x− y + 2z = 3 2x + y + z = 3 x_{− 4y + 5z = 6} 。 [Ans:    x = 2_{− t} y = _{−1 + t} z = t , t_{∈ R}] 例題4 ⊚ 利用克拉瑪公式解解方程組 n _{3x + 11y = 15} 4x + 15y = 7 。 [Ans:x = 148, y = −39] 例題5 ⊚ 利用克拉瑪公式解解方程組  2x + 3y − z = −2 x_{− y + z = 8} 3x− 2y − 9z = 9 。 [Ans:x = 4, y = −3, z = 1] 例題6 ⊚已知聯立方程組 ( x− y − 2z = 3 2x + 3y + z = 1 ax + 2y_{− z = b} 有無限多組解, 求 a, b 的值? [Ans:a=3,b=4] 例題7 ⊚_{就實數 a 值, 判定三平面} ( E1 : x + 2y + z = 3 E2 : 2x + 5y− 2z = 5 E3 : x + 4y− 7z = a 的相交情形? [Ans:a = 1 , 相交一線,    x = 5− 9t y = _{−1 + 4t} z = t , t_{∈ R}; a 6= 1 兩兩相交一直線且互相平行] 例題8 ⊚ 給定坐標空間四個向量 −⇀_{a = (1, 1, 1),}−⇀_{b = (1, 3, 4),−}⇀_{c = (1, 2, 6),}−⇀_{d =} (6, 13, 27) , 其中−⇀d 可否表示成 −⇀a ,−⇀b , −⇀c 的線性組合 −⇀d = x−⇀a + y−⇀b + z−⇀c ? 若可以, 求出其線性組合? [Ans:x = 1, y = 2, z = 3] 習題2-3 三元一次聯立方程式 1. 二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 的圖形經過 (1, 1), (2, 3), (3, 7) 三點, 求出此二 次函數? 2. 解方程組: n 6x_15x− 8 = 7y_{− 20 = 2y} 3. 解方程組: n 47x + 23y = 12_{35x + 17y = 9} 4. 解方程組:  x + 2y− z = 4 2x + 5y + 3z = 31 3x_{− y + z = 7} 5. 解方程組:  3x− 2y + 7z = 80 5x + 3y _{− 4z = 2} 2x + 5y + z = 42 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math _· 6. 甲、 乙、 丙三人合作一工程, 若甲與乙合作能在2天完工, 若乙、 丙合作則4天完工, 而甲、 丙合作則 22 5 天完工, 問甲、 乙、 丙三人單獨作工程各需幾天完工? 7. 解方程組:  3x− 2y + 7z = 80 5x + 3y − 4z = 2 2x + 5y + z = 42 8. 解方程組:  3p + 5q + r = 39 4p_{− q + 2r = 19} 6p− 2q + r = 10 9. ⊚ 解三元一次聯立方程組  x− y + 2z = 3 3x− 2y + 5z = 6 2x− 5y + 7z = 10 10. ⊚ 解三元一次聯立方程組  2x + y + z = 7 3x + y _{− z} = 6 7x + 2y _{− 4z = 11} 11. ⊚ 就實數 a 值, 討論三平面 ( E1 : x + y + az = 1 E2 : x + ay + z = 2 E3 : x + y + z = 1 的幾何關係? 12. ⊚ 判別三平面 ( E1 : −4x + 2y − z = −1 E2 : 3x + y + 3z = 1 E3 : 2x + 4y + 5z = 3 的幾何關係? 13. ⊚ 給定坐標空間四個向量 −⇀_{a = (1,−2, 3),}−⇀_{b = (4, 3,−5),−}⇀_{c = (3,−1, 1)} , 判別向量 −⇀d = (_{−4, −9, 11) 可否唯一表示成 −}⇀a ,−⇀b , −⇀c 的線性組合 −⇀d = x−⇀a + y−⇀b + z−⇀c ? 若可以, 求出其線性組合? 14. ⊚ 給定坐標空間四個向量−⇀a′ = (3,_{−2, 1),}−⇀b′ = (_{−5, 3, 4),}−⇀c′ = (11,_{−7, −2) ,} 判別任意向量 −⇀_{d 可否唯一表示成} −⇀_a′_,−⇀_b′ _,−⇀_c′ 的線性組合 −⇀_{d = x}−⇀_a′ _+y−⇀_b′ _+z−⇀_c′ ?

第

3

章

矩陣

3.1 線性方程組與矩陣 一_{次方程組的一般解法:} 1. 代入消去法: 將某一變數表示成其他變數的式子代入所有的方程式, 使變數未 知元減少, 再繼續求解新聯立方程組。 2. 加減消去法: 將某兩列方程式分別除上某常數後, 相加減, 以去除某變數的方 法。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.1 線性方程組與矩陣 _· 3. 克拉瑪法則: 一次方程組若為恰一解時的公式解。            x = ∆x ∆ y = ∆y ∆ z = ∆z ∆ 4. 高斯消去法 (高斯-喬登消去法): 增廣矩陣: 將線性方程組 ( a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 的係數分離出來, 寫 成矩形的陣列 " a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 # 稱為增廣矩陣。 其中 " a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 # 稱為 係數矩陣。 高斯-喬登消去法就是使用矩陣的基本列運算法則, 將增廣矩陣化成形如 " 1 0 0 α 0 1 0 β 0 0 1 γ # 的型態。 則對應方程組的解為 x = α, y = β, z = γ 矩陣的基本_列運算: 1. 可將某兩列對調仍表示同一個方程組。 2. 將矩陣某一列的各數都乘以非零的數仍表示同一個方程組。 3. 將矩陣某一列的各數都乘以非零的數後加至另一列仍表示同一個方程組。 高斯消去法解線性方程組的步驟: 1. 在第一行的數中選取一數當主軸元素 (pivot) 將其列上移當第一列, 並將其 乘_{上某數加至其餘各列, 使其餘各列同行元素均為0。}  1 ∗ ∗ ∗1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  2. 在第二行的數中 (去除上一主軸元素列) 選取一數再當主軸元素 (pivot) 將其 列上移當第二列, 並將其乘上某數加至剩餘列, 使其剩餘列同行元素均為0。 " 1 1 ∗ ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗2 0 ∗ ∗ ∗ # 3. 按上述步驟, 依此選取主軸元素 (並將其化為1), 進行列運算, 直到主對角元 素均為各行主軸元素後, 使其下三角矩陣元素均為0。 " 1 1 ∗ ∗ ∗ 0 1 2 ∗ ∗ 0 0 1 ∗3 # (高斯消去法。) 4. 再依序將矩陣上三角元素進行列運算至0。 " 1 1 0 0 _∗ 0 1 2 0 _∗ 0 0 1 ∗3 # 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.1 線性方程組與矩陣 _· 5. 此增廣矩陣的最右行即為方程組之相對應未知數之解, 表對應方程組的解為 x = α, y = β, z = γ。 " 1 0 0 α 0 1 0 β 0 0 1 γ # (高斯-喬登消去法。) 高斯消_{去法判斷三元一次方程組的解情形: 若用矩陣基本列運算化簡增廣矩陣, 運算結} 果如下 1. 方程組有唯一解 :  a ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 c _∗  , 其中 a, b, c 均不為0。 即增廣矩陣的非零 列數等於未知元個數。 2. 方程組為矛盾無解:  a ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 0 d  或  a ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ 0 0 0 d  或  a ∗ ∗ ∗ 0 0 0 _∗ 0 0 0 d  。 即_{係數矩陣為零列, 增廣矩陣非零列。} 3. 方程組為無限多組解:  a ∗ ∗ ∗ 0 b ∗ ∗ 0 0 0 0  或  a ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ 0 0 0 0  或  a ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0  。 即增廣矩陣的非零列數小於未知元個數。 n元一次方程組係數矩陣與增廣矩陣的高斯列運算非零列數意義: 1. 係數矩陣的零列數 _{6= 增廣矩陣的零列數時, 此方程組為無解。} 列運算後形如  0 0 0 k  , k 6= 0 表此方程祖為無解。 2. 係數矩陣的非零列數=增廣矩陣的非零列數 k < n 時, 此方程組為無限多組 解。(且有 n − k 個變數可當任意數 ) 3. 係數矩陣的非零列數=增廣矩陣的非零列數= n時, 此方程組為恰有一組解。 例題演練 例題1 利用高斯消去法解聯立方程組  2x + 3y + 5z = 3 x + 2y + 3z = 1 3x + y + 2z = 6 。 [Ans:    x = 2 y = ₋₂ z = 1 ] 例題2 利用高斯列運算解聯立方程組  x + y + z = 2 x + 2y + z = 3 2x + 5y + 2z = 5 。 [Ans: 無解] 例題3 解聯立方程組  x + y − 2z = 1 2x + 3y − 6z = 5 3x + 4y − 8z = 6 。 [Ans:    x = _−2t y = 3 + 2t z = t , t_{∈ R}] 例題4 求兩平面相交直線 n 3x + 2y_{x + y + 2z = 2}− 3z = 7 的參數式? [Ans:    x = 3 + 7t y = _{−1 − 9t} z = t , t _∈ R] 習題3-1 平線性方程組與矩陣 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.1 線性方程組與矩陣 _· 1. 利用增廣矩陣解方程組:  x− y + 2z = 4 2x− y + 2z = 1 5x− 3y + 6z = 6 2. 利用增廣矩陣解方程組:  x− 4y + 2z = 0 2x_{− 8y + 4z = −1} −3x + 8y + z = 2 3. 利用增廣矩陣解方程組:  2x + 4y − 3z = 3 3x_{− 8y + 6z = 1} 8x− 2y − 9z = 4 4. 解方程組:  x + 2y− z = 4 2x + 5y + 3z = 31 3x_{− y + z = 7} Ans: 5. 求聯立方程組:  x + y + z = 4 x + 2y + 2z = 2 x + y− z = −2 之解? 6. 解方程組  x + 3y− z = 2 2x− y + 3z = 12 5x + 4y + z = 17 。 7. 解方程組:  x + y + z = 2 x + 2y + z = 3 2x + 5y + 2z = 5 8. 解方程組:  x + y − 2z = 1 2x + 3y − 6z = 5 3x + 4y _{− 8z = 6} 9. 試求空間三平面 E1 : 2x + y−x = 5, E2 : x + 2y + z = 7, E3 : 7x + 8y + z = 31 的交線? 10. 若方程組:  x− 2y − 3z = 1 2x− 2z + 2 = 0 3x + 2y _{− z = a} 有解, 求 a 值? 並求此方程組的解? 11. 方程組:  x− y + 2z = 1 − a x + 3y_{− 3z = 1 + a} 3x + y + z = a 有解, 求 a 值? 12. 方程組:  x + y + z = 7 x + 2y + 3z = 4 x + 3y + 5z = a 有無限多解, 求實數 a 值? 13. 方程組: ( x_{− y − 2z = 3} x + y + z = 1 5x + y + az = b 有無限多解, 求實數 a, b 值? 14. 解方程組:  x + y + z = 2 x + 2y + z = 3 2x + 5y + 2z = 5 15. 就實數 a 值, 討論聯立方程組  x + y + az = 1 x + ay + z = 1 ax + y + z = 1 的解? 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 矩陣的運算 _· 16. 就實數 a 值, 討論聯立方程組  x + 2y + z = 3 2x + 5y − 2z = 5 x + 4y − 7z = a 的解? 17. 將空間向量 −⇀d = (4, 10,_{−4) 表示成 −}⇀a = (3, 5, 2),−⇀b = (1,_{−3, 2),−}⇀c = (1, 1,−2) , 的線性組合 −⇀d = x−⇀a + y−⇀b + z−⇀c ? 3.2 矩陣的運算 矩陣_{的表示法:} 當矩陣 A 共有 m 列 n 行時, 稱 A 為 m×n 階矩陣, 形如   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn   簡記為 A = [aij]m_×n 為 m 列 n 行的矩陣, 其中 aij 表第 i 列第 j 行的元素, 稱 為矩陣的第 (i, j) 元。 當 m = n 時, 稱矩陣 A 是一個 n階方陣。1 × n 階的矩陣 也稱為列矩陣, m × 1 階的矩陣稱為行矩陣。 矩陣_{的相等: 若兩相同階數的矩陣 A = [aij]m×n, B = [bij]m×n 滿足 A 與 B 每一個} 相同位置的元都相等,(aij = bij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n), 記作 A = B 零矩陣與_{單位矩陣: 零矩陣與單位矩陣在矩陣加法與乘法扮演的角色如同數值0 與1 在} 實數的加法與程法所扮演的角色。 一個 m × n 階矩陣的每一個元素都是0時稱為m × n 階的零矩陣, 記為 Om_×n n 階方陣中的 a11, a22,· · · , ann 元稱為主對角線元素, 若主對角線元素都是1, 其 他位置的元素均為0時, 稱為 n 階單位方陣, 記為 In 矩陣的_{加法: 兩矩陣 A = [aij]m×n, B = [bij]m×n 相加, 就是相同位置上的元相加。} 即 A + B = C = [aij + bij]m_×n = [cij]m_×n 其中 cij = aij + bij 。 兩矩陣若非同 size(同列同行數) 則相加減為無意義。 矩陣的_{加法性質:} 1. A + B = B + A (矩陣加法有交換律) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (矩陣加法有結合律) 3. O + A = A (矩陣加法有單位元素 O) 4. A + (−A) = O (矩陣加法有反矩陣 ) 5. (h + k)A = hA + kA 其中 h, k ∈ R 矩陣_{的減法: 兩矩陣 A = [aij]m×n, B = [bij]m×n 相減, A − B = A + (−B) =} [aij − bij]m_×n 就是相同位置上的元相減。 矩陣的_{係數乘法: 矩陣 A = [aij]m×n 若 r ∈ R, rA = [raij]m×n} 矩陣的_{係數乘法性質: 矩陣 A = [aij]m×n, B = [bij]m×n, r, s∈ R} 1. (rs)A = r(sB) 順伯的窩