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雙曲線

在文檔中 99math4 (頁 62-69)

1. 求滿足下列條件的橢圓方程式?

(a) 中心為 (3, 5) , 長軸平行 x 軸且長為12, 短軸長為8 (b) 長軸上的頂點為 (0, 1), (0, 21), 焦點為 (0, 2), (0, 20)

(c) 中心為原點, 軸為坐標軸, 且過 (2, 3), (−1, 4) 兩點 (d) 兩焦點為 (3, 1), (−1, 1), 長軸長為 2√

5 的橢圓?

2. 求橢圓 4x2 + y2 + 16x + 2y + 13 = 0 的頂點與焦點坐標?

3. 求與 x2 3 + y2

10 = 1 有相同的焦點且長軸長為 10 的橢圓方程式?

4. 關於橢圓 Γ : q

(x− 1)2 + (y− 2)2 + q

(x + 1)2 + (y + 2)2 = 6, 下列何者為 真? (A) (0, 0) 是 Γ 的中心 (B) (1, 2), (−1, −2) 為 Γ 的焦點 (C) Γ 的短軸 為4 (D) Γ 對稱於直線 x = y (E) Γ 對稱於(1, 2), (−1, −2) 兩點的連線

5. 火星繞太陽的軌道是以太陽為焦點的橢圓, 而且火星軌道上之近日點與遠日點和 太陽的距離比為 5 : 6 , 求橢圓軌道之長短軸比?

6. 點 P 在橢圓 Γ : x2

25 + y2

36 = 1 上, 且 P 到一焦點 F1 的距離為7, 則點 P 到另 一焦點 F2 的距離為何?

7. 求過點 P (10, 5) 至橢圓: x2 + 4y2 = 180 之切線方程式有兩條, 試求兩切點坐標 及兩切線方程式?

8. 一動點 P 到 (3

2, 0) 的距離等於它到直線 x− 6 = 0 的距離一半, 求動點 P 所成 圖形的方程式?

9. 設圓 C 過點 B(−1, 0) 且與圓 C : (x + 1)2+ (y + 2)2 = 9 相切, 又圓 C 的圓 心 P 所形成的圖形為何? 其方程式為何?

10. 已知三角形 ABC 的周長為16且 B, C 為兩定點, 其 BC = 6 , 求頂點 A 的軌 跡方程式?

11. 將橢圓 Γ : x2 9 + y2

16 = 1 以原點為中心伸縮3倍, 所得的新圖形 Γ1 方程式為何?

若將 Γ 上每一點沿 x 方向伸縮4倍, 沿 y 方向伸縮3倍, 所得的新圖形 Γ2 方程 式為何?

4.3 雙曲線

雙曲線的定義: 平面上動點P 到兩定點 F1, F2 之距離差的絕對值為定值2a, 即 P F− P F = 2a; (2a < F F = 2c) 則P 點所形成的軌跡稱為雙曲線。 兩定點 F1, F2

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https://sites.google.com/site/hysh4math 4.3 雙曲線 · 稱為雙曲線的焦點, 線段 F1F2 的中點稱為此雙曲線的中心。

雙曲線的數學式: q(x− x1)2 + (y− y1)2q(x− x2)2 + (y− y2)2 = 2a

2a < F F = 2c , P 點軌跡為 : 雙曲線 2a = F F = 2c , P 點軌跡為 : 兩射線 2a > F F = 2c , P 點軌跡為 : ∅

雙曲線的各要素: 雙曲線上任一點 P 與兩焦點的線段 P F1, P F2 稱為 P 的焦半徑。

過 兩焦點的直線為雙曲線的貫軸線。 過中心點且與貫軸垂直的直線稱為雙曲線的 共軛軸線。 貫軸與雙曲線的交點稱為雙曲線的頂點。

c a

P

F µJÂI³e¶b

V ³»ÂI V' ³»ÂI

F' µJÂI

º¥ªñ½u

¦@³m¶b

-¤¤¤ß

雙曲線的方程式: c2 = a2 + b2 ; a,b 無絕對大小關係。

中心點為原點, 貫軸在x軸上: | q

(x− c)2 + y2 − q

(x + c)2 + y2| = 2a

1. 去絕對值,移項P F1=P F2±2a

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

2. 取平方,移項3. 再取平方,整理 左右型:x2 a2 − y2

b2 = 1, (c2 = a2 + b2) 中心點為原點, 貫軸在y軸上: |qx2 + (y− c)2qx2 + (y + c)2| = 2a

1. 去絕對值,移項P F1=P F2±2a

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

2. 取平方,移項3. 再取平方,整理 上下型:x2 b2 − y2

a2 = −1, (c2 = a2 + b2)

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漸近線的意義: 當雙曲線上的動點 P (x, y) 逐漸遠離中心點時, 點 P 就逐漸趨近直線 L1 : y = b

ax 或 L2 : y = −b

ax 。 也就是說雙曲線向四個象限往外伸展時, 雙曲線 與此兩條直線就會任意的接近 (不相交)。

亦即 L1, L2 為此雙曲線的漸近線則雙曲線上任意一點 P (x, y) 會滿足 d(P, L1)× d(P, L2) = k , 其中 k = a2b2

a2 + b2 為定值。

雙曲線的平移與伸縮:

y

O x

Γ

O(h, k)

Γ

y

O x

Γ

O(h, k)

Γ

雙曲線的伸縮 y

O x

漸近線

漸近線 Γ Γ Γ′′

將雙曲線 x2 a2 − y2

b2 = 1 的圖形以原點為中心伸縮 r 倍, 可得雙曲線 x2

(ar)2 − y2

(br)2 = 1 的圖形。

將雙曲線 y2 a2 − x2

b2 = 1 的圖形以原點為中心伸縮 r 倍, 可得雙曲線 y2

(ar)2 − x2

(br)2 = 1 的圖形。

雙曲線的標準式: 曲線平移 (h, k)單位後, 可得

左右型:(x− h)

2

a2 (y− k)2 b2 = 1 上下型:(y− k)

2

a2 (x− h)2 b2 = 1

c2 = a2 + b2; a, b 無絕對大小關係, 正焦弦長為 2b2

a , 最短焦弦長就是正焦弦長。

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https://sites.google.com/site/hysh4math 4.3 雙曲線 · 4-3: 雙曲線的幾何性質

雙曲線方程式 中心 焦點坐標 頂點坐標 貫軸方程式 共軛軸方程式 漸近線 左右型: (x− h)

2

a2 (y− k)2

b2 = 1 (h, k) (h± c, k) (h ± a, k) y − k = 0 x− h = 0 b(x− h) ± a(y − k) = 0 上下型: (y− k)

2

a2 (x− h)2

b2 = 1 (h, k) (h, k± c) (h, k ± a) x − h = 0 y− k = 0 b(y− k) ± a(x − h) = 0

雙曲線方程式與漸近線: 雙曲線上點 P (x, y) 到兩漸近線 L1 : a1x+b1y +c1 = 0, L2 : a2x + b2y + c2 = 0 的距離乘積為一常數

故 Γ : (a1x + b1y + c1)× (a2x + b2y + c2) = K

等軸雙曲線: 貫軸與共軛軸長相等的雙曲線。 此時兩漸近線互相垂直。

共軛雙曲線:





Γ : (x− h)2

a2 − (y− k)2 b2 = 1 Γ : (y− k)2

b2 − (x− h)2 a2 = 1

互為共軛雙曲線。

(h, k)

漸近線

ΓΓ為共軛雙曲線 Γ Γ

1. 雙曲線 Γ 之貫軸是 Γ 的共軛軸。 Γ 之共軛軸是 Γ 的貫軸。

2. 有共同的中心點 (h, k) 及漸近線 b(x− h) ± a(y − k) = 0。

3. Γ, Γ 之四個焦點共圓 (圓心為對稱中心) 雙曲線的參數式: (x− h)2

a2 − (y− k)2 b2 = 1 n x = h + a sec θ

y = k + b tan θ , 0 ≤ θ < 2π 雙曲線與直線的關係:

1. 不相交 (聯立方程式無解, 代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ < 0)

2. 恰一交點 (代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ = 0 相切: 此直線不與漸近線 平行。 交一點未必是切線。)

3. 兩交點 (聯立方程式為兩解, 代入消去法, 為一元二次方程式; ∆ > 0) 由直線斜率來判斷與雙曲線的關係:

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https://sites.google.com/site/hysh4math 4.3 雙曲線 · 1. 過中心點的直線且斜率介於兩漸近線之間與雙曲線交兩點或不相交。

2. 與漸近線平行的直線和雙曲線必相交一點。

3. 點 P (x, y) 到兩直線距離乘積若為一定值 a2b2

a2 + b2, 則點 P 軌跡是以此兩直 線為漸近線的雙曲線。

例題演練 例題1 求雙曲線 Γ :

q

(x− 2)2 + y2 − q

(x + 2)2 + y2 = 2 的 (A) 焦點 (B) 中 心 (C) 貫軸長與共軛軸長 (D) 漸近線方程式 Ans:(A) (2, 0), (−2, 0) (B)(0, 0) (C) 2a = 2, 2b = 2√

3 (D) √

3x + y = 0,√

3x− y = 0 例題2 求雙曲線 (x− 1)2

9 − (y− 2)2

4 = −1 的頂點, 焦點, 漸近線方程式, 共軛軸長?

[Ans: 頂點 (1, 4), (1, 0), 焦點 (1, 2 +√

13), (1, 2−√

13), 漸近線 2x− 3y + 4 = 0, 2x + 3y− 8 = 0, 共軛軸長6]

例題3 已知點 P 在以 F1(8, 0) 與 F2(2, 0) 為焦點的雙曲線上, 且 P F1 = 10, P F2 = 6 , 則下列有關此雙曲線的敘述哪些是正確的?(1) 中心為 (5, 0) (2) 貫軸長為 4 (3) 共軛軸長為 2√

5 (4) 點 P 在雙曲線的左支 (5) 兩頂點的距離為 4 [Ans:1,2,3,4,5]

例題4 若雙曲線與 x2 25 − y2

16 = 1 有相同漸近線, 且通過點 (5, 8) , 求其方程式?

Ans:x2 75 − y2

48 = −1

例題5 求漸近線為 y = 2x, y = −2x , 且通過點 (3, 8) 的雙曲線方程式? [Ans:y2 28 − x2

7 = 1 ]

例題6 一動點 P 到點 (1, 0) 的距離等於它到直線 L : x− 4 = 0 的距離的2倍, 求動點 P 所成圖形的方程式? Ans: (x− 5)2

4 − y2 12 = 1

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https://sites.google.com/site/hysh4math 4.3 雙曲線 · 例題7 已知一雙曲線的兩焦點為 (−4, 2), (2, 2), 貫軸長為4, 求此雙曲線的方程式?

[Ans:(x + 1)2

4 − (y− 2)2 5 = 1]

例題8 討論雙曲線 2x2 − y2 = 2 與直線 L : y = x + 1 的相交情形?

[Ans: 交兩點 (−1, 0), (3, 4)]

習題4-3 雙曲線 1. 求滿足下列條件的雙曲線方程式?

(a) 頂點為 (4, 0), (−4, 0), 焦點為 (6, 0), (−6, 0)

(b) 中心為原點, 一個焦點為 (0,−13) , 一個頂點為 (0, 12) (c) 一焦點為 (3, 8) , 共軛軸在 y = 3 上, 且共軛軸長為 8 (d) 中心為 (3, 2) , 貫軸半徑 3, 且平行 X 軸, 其共軛軸半徑 2 2. 雙曲線 Γ :

q

(x− 5)2 + y2q(x + 5)2 + y2 = 8 求 (A) 焦點 (B) 中心 (C) 貫軸長與共軛軸長 (D) 對稱軸方程式

3. P 為雙曲線 Γ : x2

16 − y2

9 = 1 上的一點, 若 F1, F2 為此雙曲線上的兩焦點, 且 P F1 : P F2 = 1 : 3 則 △F1P F2 的周長為何?

4. 求與雙曲線 Γ : x2 16 − y2

9 = 1 有相同漸近線, 且通過點 (8, 3) 的雙曲線方程式?

5. 求漸近線為 3x− 4y + 2 = 0, 3x + 4y + 14 = 0 , 且通過點 (6, 2) 的雙曲線方程 式?

6. 二次方程式 Γ : 4x2− 9y2− 16x − 36y − 56 = 0 為何種圖形? 並求其焦點坐標?

7. 判別方程式 5x2 − 4y2 + 10x + 40y− 115 = 0 的圖形?

8. 已知一雙曲線的漸近線為 5x− 3y − 22 = 0, 5x + 3y + 2 = 0 並過點 (5, −4) , 試求此雙曲線方程式?

9. 求 9x2 − 4y2 + 18x + 16y− 27 = 0 的正焦弦長?

10. 求雙曲線 x2 − 9y2 + 12x + 36y + 9 = 0 的共軛雙曲線?

11. 雙曲線 Γ : 9x2 − y2 = 81 中, 一焦點到某一條漸近線之距離為何?

12. 求過點 (3, 0) 且與圓 (x + 3)2 + y2 = 16 相切之所有圓的圓心軌跡方程式?

13. 雙曲線 Γ : q

(x + 4)2 + (y− 1)2 − q

(x− 2)2 + (y + 3)2 = 6 求 (A) 焦點 (B) 中心 (C) 貫軸長與共軛軸長 (D) 正焦弦長 (E) 對稱軸方程式

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5 章 習題參考答案

高中數學第三冊習題參考答案:

5.1 第一章 習題1-1 1. 2√ 6 3

2. 4× 12 ÷ 2 = 24, 1 × 6 ÷ 2 = 3 3. AE

4. 1/3

5. (A) 可能相交。(B) 三度空間不真。(C) 二度空間不真。(D) 可為歪斜線。(E) 無限 多條。(F) 交一線或不相交。

6. AD = √

5, AB = √ 3 習題1-2

1a. √ 29 1b. 2 1c. 5

1d. P(2, 3, 0) 2. (5, 9, 12)

3. P (1, 0,−1), 10 4. AM = 5

2 5. P (2

3, 0, 0)

6. x = 4, y = −13 7. −⇀

AC = 3−⇀

AB , 共線

8. D(5/2, 1/4,−3/4), E(10, 4, 3) 9. a =−2, b = −3

10. (2, 3, 0); (1, 13/3, 0)

11. D(−1, −4, 7) 12a. 線段: −⇀

OP 終點 P 落於 2AM 內 12b. 平行四邊形 OAMB 中的線段 BM 12c. 9 倍

習題1-3

1. −2/7, 3/7, −6/7 2. 5, 1 + 5√

2, 4 3. 5

4. t = 4/5,|−⇀c | = 3√

30/5; t = 7/2 5. 2

3

6. max = 11, min− 7 7. 2√

14; H(−1, −1, −2) 8. min=9;x = 1, y = 1, z = 2 9. x = 1, y = 2, z = 3; min = 6 習題1-4

1. ±(2, −1, −2)

2. V = 6; V − ABCD = 1 3. k = 0,−2

4. 1230, 0

5. x = −1, −2, −3 6. ABE

7. 4;−1 8. −27 9. 87 10. 39

11. a = 2,−3; a = −1

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