圖Ⅲ.1-26 170 圖Ⅲ.1-27
（十一）橢圓周長
原題：假如有側圓，以短徑相乘之，以圓周法冪乘之，得數寄位。
置長徑，內減短徑，餘自乘之，得數四之，加入寄位，共得 數為實，開平方除之，得周。171
就原術文所給出的結果，我們以文字符號表示如下：假設橢圓的長軸為
2a
， 短軸為2b
，則：
2 2
355
22 2 4 2 2
113
a b a b
橢圓周長 ＝
關氏以圖Ⅲ.1-28 來解釋，其解術曰：「正視則全圓，故長短徑相乘，以圓周 法冪相乘之，得數。視傾則二線，故倍長短徑差，自乘之，得數，二數相并，得 側圓周冪。」172由此可知關氏是以各種兩種角度來看此橢圓而得出其周長的近似 公式，有關於關氏得出此面積的方式筆者尚未有更好的解釋方式，從術文亦不知 關氏之法的解釋，故本題僅以其術文所得出之近似公式呈現之。
170 本圖節錄自徐澤林，《和算選粹》，頁 110。
171 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 110。
172 同註 171。
短徑 長徑 圓柱的高
假高
圖Ⅲ.1-28 173
（十二）半圓闕 174
原題：假如有半圓闕，半徑若干，灣若干，承背准規而周畹形，
問畹背。175
從原題的解術可知該畹背的長度計算公式：「置半徑，自乘，三之，加入灣 冪，共得數為實，以三為廉法，開平方除之，得背。」176亦即：
2 2
2 3 +
半徑3 灣 畹背
關氏於其解術中提到：「半灣冪依四分之一增約術，得數乃灣冪三分之一，擬勾 冪，半徑冪，擬股冪，二數相并，得灣背冪。」177從其術文我們亦無法得知關氏 實際求弧長的方法為何？但從現代角度來看，灣背其實就是阿基米德螺線，但有 關於其算法關孝和敘述的極為模糊故無法得知。178
圖Ⅲ.1-29 179
173 本圖節錄自徐澤林，《和算選粹》，頁 110。
174 「圓闕」即弓形。
175 同註 171。
176 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 110。
177 同註 176。
178 參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 138。
179 本圖節錄自徐澤林，《和算選粹》，頁 111。
（十三）球體體積
並以球體的半徑為高，而後關氏指出「立圓積為錐積，三之，以高除之，得錐面
後透過切割移補將此體積視為一個大圓錐，而此大圓錐的底面積就是球冠的表面 積，但關氏於此仍無交代何以可將上述尖錐形體積視為一個大的圓錐，同時透過 現代積分方式可知此公式應為球冠的近似公式，而非確切值，至於關氏如何得知 此公式則有待研究。
Ⅲ 、「解見題之法」的結語 .2
關氏「解見題之法」主要內容為體積與面積的「算術」問題，但求面積前關 氏給予了幾個「墊基」的運算法則，首先定義數字的加法與減法，並提及加法結 合率，即「分合第一」，之後關氏從加法與減法的基礎上介紹乘法對加法的分配 率，並透過圖形與算式等雙重表徵予以解釋，而後再給出「和的平方」公式，接 著透過代數變換得出諸個等式的結果，而透過此等變換的歷程可同時習得各算式 間的關係，例如將“圓徑＋弦＝勾＋股”化簡的過程中可了解直角三角形內切圓徑 與整個三角形三邊「勾、股、弦」間的關係，因此「分和第二」可以說是給了後 續面積與體積計算上的基礎。接著關氏探討「全乘」的面積與體積公式，主要包 含正方形（體）、長方形（體）的面積公式。而後探討「折乘」，在折乘的部分關 氏介紹了：直角三角形面積、梯形面積、勾股定理、正四角錐體積、方切籠體積、
蕎麥形體積、圓面積、弓形面積、橢圓面積、橢圓周長、球體體積與面積、球冠 體積與表面積。其中勾股定理的「圖證」方式與劉徽在《九章算術》中利用出入 相補所證明的方式均相同（如圖Ⅲ.2-1），193由此更可驗證和算與中國數學一脈相 承之說。
193 劉徽對勾股定理的證明採用以形證數的方法，利用出入相補，即對圖形進行切割，分別將青 出Ⅰ→青入 ’Ⅰ ，青出Ⅱ→青入 ’Ⅱ ，朱出Ⅲ→朱入 ’Ⅲ ，如此便將以勾股為邊的正方形移到以 弦為邊的正方形的區域內，移動前後圖形的面積一致，而此種「形數統一」的思想方法更具 有科學創新的重大意義。以上文字轉錄自傅海倫、賈冠軍，《數學思想方法發展概論》，頁 30。
圖Ⅲ.2-1 劉徽勾股定理示意圖 194
關氏在正四角錐體積之圖證方式則亦採用切割術，同時透過些許比例概念就 可得到其體積公式，相對於中國《九章算術》中將立方體切割成塹堵、陽馬、鱉 臑之計算方式，195筆者認為兩者求得體積公式的方法各有其精妙之處，但由此也 可看出關氏已經逐漸跳脫中算而發展出自己的一套算法。此外我們於中算中常見 原術文給出計算公式，但卻不見其故，而最早開始給出數學論證的就是劉徽，同 樣的我們發現關氏在此題不但給出公式，同時給出切割的方法與比例概念，在關 流學派的諸多書目中，此題已道出其“教學上的意義”勝過於“解題上的意義”，也 無怪乎《三部抄》堪稱為該學派的學問入門。
在圓上，關氏延續劉徽在《九章算術》的算法，亦即圓面積＝半周×半徑，
而其顯示一個很重要的事實，即圓面積的二維性質與周長的一維性質非常相關。
196而其橢圓面積公式更是一絕，透過圓柱斜截面積的方式將橢圓面積算出，此方 式在中國數學中未曾出現，因此筆者推估應為關氏自創的作法。球體積方面關氏 所給出的球體積公式較劉徽的球體積公式不同，關氏主要利用將球截面的近似角 柱體積和來求得公式，而劉徽則是企圖利用以牟合方蓋來解決球的體積，但直到 其兒子祖暅以截面原理成功地利用牟合方蓋推導出正確的球體積公式。197而後關 氏給出球冠的正確體積、且近似的表面積公式，有關於關孝和的圓理請參閱《括
194 本圖節錄自傅海倫、賈冠軍，《數學思想方法發展概論》，頁 30。
195 詳見李儼，錢寶琮《科學史全集》，頁 71。
196 參閱蕭文強，《心中有數》，頁 128～130。
197 參閱李繼閔，《九章算術及其劉徽注研究》，頁 342～350。
要算法》的貞卷。
從教育的觀點來看，關氏鋪陳的雖為「算術式」的問題但已經脫離純算術的 結構，以過往中國的數學來說，求體積或面積等問題均會給予確切的邊長，如：
方五尺…等，而關氏所鋪陳的問題均以「若干」為其敘述方式，由此可知關氏已 開始將問題抽象化，或者說已經進入「以符號代表數」的階段。下二卷〈解隱題 之法〉、〈解伏題之法〉中，關氏將以立天元，即假設未知數 x 的代數模式開始解 題，此時天元所扮演的角色可說是一個將問題轉譯的角色，或者說是一個媒介，
透過這個媒介，我們可以將問題列式並解方程式。198而求解方程式的複雜過程當 然仍須倚重算術運算，因此我們可以說，關氏在章節的結構安排上不但具有其合 理性與必要性，而且也頗具“教育意義”。
198 參閱謝佳叡，《從算術思維過渡到代數思維》。