第Ⅲ章、《三部抄》的內容分析(上)
Ⅲ. 1、「解見題之法」之簡介暨內容分析
本卷為關孝和的《三部抄》中較為基礎的一卷，所謂的『見』通『現』，顯 現的意思，所謂見題，就是以算術方法來求解的簡單問題，而從文本中也可以看 出，而在本卷中，主要處理幾何圖形的度量問題。本卷就內容而言主要可分為四 個部分：加減第一、分合第二、全乘第三、折乘第四，分別簡述如下：
1. 加減第一：定義加法與減法的驗算意義。
2. 分合第二：說明以符號代表數字的概念，也就是假設未知數的概念，關孝 和在此稱為「傍書法」，所謂傍書法即在一條短豎線旁邊寫上文 字做為記號來表示數量關係的一種方法，例如：“甲加乙”、“甲 減乙”、“甲乘乙”在文本中分別寫成“|甲|乙”、“|甲 乙”、“|甲乙”，
甲 、2 甲 、3 甲 則分別寫成 “4 甲 巾”、“
甲 再 巾
”，“甲
三”，其中巾是冪(平
方)的簡寫，而 3 甲、－12 戊則 分別寫成“ ”、“ ”，
113而傍書法所表示的數學式子的變化，在「解隱題之法」中出現 的頻率較高。
3. 全乘第三：討論幾何圖形中「正形」度量的幾何圖形度量計算問題，所謂的 正形指的就是長方形(含正方形)、長方體(含正方體)之類的幾何圖 形，其面積或體積是由縱、橫、高三者相乘後直接得到而不需再
113 參閱吳培群，《關孝和》。
甲 戊
乘以某一個分數系數，因此稱之為「全乘」。114
4. 折乘第四：討論幾何圖形中「非正形」(變形)的幾何圖形度量計算問題。文 本中依次介紹直角三角形的面積公式、梯形的面積公式，勾股定 理的證明、求方錐的體積公式及算法，方切籠及蕎麥形的體積，
橢圓面積之計算，求畹背長。就直角三角形、方錐而言，其面積 與體積的計算公式為縱、橫、高三者「全乘」後，再分別乘以二 分之一與三分之一，故因而稱為「折乘」。115
一、加減第一之內容分析 附并
加減的部分只蓋略的提到加減法應根據題目的意旨「兩位相併者謂加，兩位 相消者謂減。」116，此外也論及并與加法的運算是相同的，117這裡的「兩位」，
前者指的是被加數與加數﹔後者指的則是被減數與減數。而後關孝和附上四個與 加減有關的題例。我們先看加法例子：
（一）加法二例：
1. 假如有直、長若干，平若干問和。置平，加入長，得和。
2. 假如有甲若干，乙若干，丙若干，問相併共數。置甲，加入乙得數又 加入丙，得共數。118
以現代符號表示，文中的兩位加法與三位加法相當於a b
與
a b
c。接著關氏以生活化的例子來敘述減法，我們給出減法例子。
（二）減法二例：
1. 假如有直、長平和若干，平若干，問長。置和，減平，餘得長。
2. 假如有甲、乙、丙相并數若干，甲若干，乙若干，問丙。置共數，減 甲，餘又減乙，餘得丙。119
114 參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 93。
115 參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 93。
116 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 103。
117 兩位得和謂之「加」，多位得和謂之「并」。
118 同註 116。
119 同註 116。
減法中，關氏自兩位減法a b
擴展到到三位相減
a b
c，以上只是簡單的加減法運算，其用意為在後續計算上給予語詞上的程序性定義。
二、分和第二 附添、削、化
關氏於文中提到「分合者，依術意，圖正副與段數，而傍書加、減、相乘者 名，宜分之合之」，120也就是說這個部分會根據題目的意思來產生某些未知數的 正副與係數，而依照傍書的方式就可以進行加、減與相乘，其中計算的過程可能 會分開計算，也可能會合併計算，以下面第(一)、(二)例就可以明白其「分」與
「合」之意。
（一）乘法對加法的分配律
原題： 假如有四不等，甲若干，乙若干，丙若干，問積。
解法一(分術)：置甲，以乙相乘，得二段右積
甲乙
。置甲，以丙相乘，得二段 左積甲丙
。二積相并，折之得積。解法二(合術)：置乙，加入丙，得共數以甲相乘 甲丙甲乙，折半之，得積。121
根據關孝和的解法，我們可用現代的表示法分別敘述如下：
解法一(分術)：二段右積 = 甲 乙 ， 二段左積 = 甲 丙 ，
+ +
= =
2 2
右積 左積 甲乙 甲丙
積
解法二(合數)：
+
= 2 乙 丙 甲 積
從原題的敘述，較難看出原題所求的積是指什麼，但透過文中的附圖Ⅲ.1-1 就可以窺之一二。
120 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 103。
121 同註 120。
乙 右 甲 丙
左
乙 右 甲 丙
左
乙 右 甲 丙
左
圖Ⅲ.1-1 分合術解釋圖
從原文解法一中： 置甲，以乙相乘，得二段右積
甲乙
與置甲，以丙相乘，得二段左積
甲丙
。可看出關氏的解法乃是利用長方形的對角線可將其面積等分 的原理來解此題，我們以下圖來說明：乙 右 甲 丙
左
乙 右 甲 丙
左
橘色的區域為二段右積＝甲×乙 黃色的區域為二段左積＝甲×丙
兩積相并＝右積×2＋左積×2 折半得積
甲
丙 乙
乙 右 甲 丙
左
C B A
D
從原文解法二中可看出關氏先將乙與丙相加後再乘以甲，而我們以下圖就 可以清楚的看出其解法二與上述解法一殊途同歸。