關孝和《三部抄》之內容分析

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(1)國立臺灣師範大學數學研究所碩士論文指導教授：洪萬生博士陳創義. 博士. 關孝和《三部抄》之內容分析. 研究生：林典蔚撰. 中華民國一百零一年一月.

(2) 致謝經過半年的奮鬥，本論文終於完成，首先我要感謝洪萬生老師及其數學史團隊的協助，經過這一年半數學史讀書會的幫忙才讓我得以對和算有深入的瞭解並著手研究。半年前，個人因帶學生做科展後，曾萌生轉換研究主題的念頭，而當時與陳創義老師商量後決定還是以原主題進行研究，在此我要感謝陳創義老師當時的鼓勵與幫忙，是您當初的鼓勵讓我論文得以順利完成。其次我要感謝三位口試委員：林炎全教授、陳創義教授、洪萬生教授，感謝你們在口試時給了我很多寶貴的建議，讓我論文得以修正並發表。同時我要感謝新竹高商的行政同仁及我的同事們，帶職進修本是件相當麻煩的事，從課務到學務上都感謝行政同仁們的幫忙。此外，也謝謝同事們的鼓勵，對於大家的幫助典蔚銘記在心。最後，我要感謝我的家人，感謝你們一路上的加油打氣，這半年來的辛苦也因為你們的鼓勵而轉化為完成論文的最佳動力。林典蔚一百零一年一月.

(3) 論文摘要關鍵字：關孝和、三部抄、和算、行列式。 17 世紀中至 18 世紀初為日本封建文化最繁榮時期，史稱「元祿文化」，而這個時期也被日本學術界稱為「文藝復興」。和算也在這個時期產生飛越式的進步，從延寶（1673～1681）至寶歷（1751～1763）約一百年間最出色的數學家莫過於關孝和。關孝和出生於群馬縣的武士家庭，後侍奉德川綱豐而成為幕府武士，因師從毛利重能且曾廣泛涉獵中國數學因而成為傑出的和算家之一，被日本人譽為「算聖」。本論文分析的書目《三部抄》共分為〈解見題之法〉、〈解隱題之法〉、〈解伏題之法〉三部份，本書之重要性在於建立「傍書法」的文字代數方法與所謂「演段法」的消元結構。經內容分析後，筆者認為《三部抄》的題例與結構類似於現代的數學教科書，因此可說是關流數學知識基本框架內以及數學知識傳承中所規定的最基本數學內容；此外將關氏的與萊布尼茲的行列式相關的文獻比較後筆者認為從時間、性質、算則上來看，關孝和應為行列式算則的創始人。.

(4) 目錄第Ⅰ章、導論 Ⅰ.1 研究動機. 1. Ⅰ.2 歷史回顧. 2. Ⅰ.3 研究限制. 5. Ⅰ.4 研究取向. 5. Ⅰ.5 研究問題. 6. 第Ⅱ章、《三部抄》的歷史脈絡 Ⅱ.1 《三部抄》成書的時代背景 Ⅱ.2 《三部抄》的作者. 7 22. 第Ⅲ章、《三部抄》的內容分析(上) Ⅲ.1、「解見題之法」之簡介暨內容分析. 37. Ⅲ.2、「解見題之法」的結語. 61. 第Ⅳ章、《三部抄》的內容分析(中) Ⅳ.1、「解隱題之法」簡介與內容分析. 65. Ⅳ.2、「解隱題之法」的結語. 82. 第Ⅴ章、《三部抄》的內容分析(下) Ⅴ.1「解伏題之法」簡介及內容分析 Ⅴ.2「解伏題之法」的結語. 87 130. 第Ⅵ章、結論 Ⅵ.1 《三部抄》於其流派內的所扮演的角色. 139. Ⅵ.2〈解伏題之法〉是否具有行列式概念. 141. 附錄一附錄二參考資料. 143 144 160.

(5) 第Ⅰ章、導論 Ⅰ.1 研究動機 17 世紀中至 18 世紀初期為日本封建文化最為繁榮的時期，史稱為「元祿時期」，而此時期亦被日本學術界稱之為「文藝復興時期」。此時中國書籍的大量傳入，使得日本的民族意識高漲並開始著重於異於漢文化的各種學問研究，其中「和算」即為該時期的代表文化之一，隨著數學名家輩出，此時的日本已不可同日而語，同時更呈現出脫離中國數學知識體系的態勢，這個時期的代表數學家有關孝和、建部賢弘、荒木村英、田中由真、島田尚政、井關知辰、…等人，其中關孝和算是該時期最傑出的數學家。1 關孝和在數學上的貢獻主要在其將天元術予以推廣並建立所謂「傍書法」的文字代數方法以及所謂「演段」的消元法，並由此開創了類似於今日的行列式算則。除此之外，關氏更對招差法、剪管術、垛積數、角術、圓理等做過深入的研究。由於筆者研究關孝和的過程中發現關流的諸多和算家中，大多獲得三段免許：「見題免許」、「隱題免許」、「伏題免許」，而這三段免許正好也是關孝和死後於其流派間不斷被傳抄的《三部抄》的書名，也因此引發筆者著手研究該書於其流派間的地位。《三部抄》主要分為三卷：〈解見題之法〉、〈解隱題之法〉、〈解伏題之法〉。〈解見題之法〉的內容主要利用傍書法，介紹文字代數的加減基本運算，並研究各種面積與體積的如何求得，因此可說是頗具「算術」概念的一卷；〈解隱題之法〉的內容則由關氏「立天元」起進入「代數」操作，主要探討多項方程式求解的歷程；解伏題之法的內容則透過天元術開始進行「演段」的操作，同時透過多項方程組的消元創立出類似於行列式展開法的機械式算則，此法比萊布尼茲更早 10 年。日本學界也多認為關孝和是發明行列式的第一人，亦有多位學者持相左的看法，因此，筆者認為將此部分透過內容分析，並確立關氏在消元的過程中是 1. 參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 22。 ~1~.

(6) 否具有「行列式概念」則是當務之急。此外，就學習者的角度來說，從算術進入代數，又從代數進入「演段」運算，此書「循序漸進」的學習架構更有別於關氏其餘「純解題」的書籍，也因此，從教育的角度來檢視此書的三卷更是筆者認為除了內容分析外更值得研究的部分。上述諸多原因促成筆者著手研究，也期待這樣的研究能釐清學界有關關氏研究的部分議題，並以更多元的角度，來看待關流門派內的典範著作《三部抄》。. Ⅰ.2 文獻回顧有關於關孝和的生平事蹟研究不多，但有關於關流及其門派內的相關人物之介紹則以專文居多，而對於筆者所研究的《三部抄》亦是以專文或期刊的論述較為常見，以下僅就筆者所能蒐羅到的文章做概略介紹：關於關孝和生平的專論或與《三部抄》相關的論述分列如下：（1）平山諦，《關孝和全集》，東京：恆星出版社，1981 年。（2）吳培群，〈關孝和〉，北京電子科技學院。（3）林鶴一，《林鶴一博士和算研究集錄》2 卷，東京開成館，1937年。（4）林鶴一，〈The “Fukudai”（伏題）and Determinants in Japanese Mathematics〉，東京數學物理學會記事，第五卷第二期，1910年。（5）烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年。（6）城地茂，〈論日本數學史研究方法─為日本數學家關孝和（1642-1708）殁後300週年而作〉（7）城地茂，〈關孝和之故居與他的《楊輝算法》抄本〉，《第七屆科學史研討會彙刊》（台北：中央研究院科學史委員會，2007）頁 35~58。（8）洪萬生等，《當數學遇見文化》，台北：三民書局，2009 年。（9）徐澤林，〈中算術數學機械化思想在和算的發展－解伏題的機械化特. ~2~.

(7) 徵〉，《自然科學史研究》第 20 卷第 2 期，頁 120~131。（10）徐澤林，〈建部賢弘的數學認識論－論《大成算經》中的“三要”〉，《自然科學史研究》第21卷第3期，頁232~243。（11）徐澤林、衛霞，〈“演段”考釋－兼論東亞代數演算方式的演變〉，《自然科學史研究》第30卷第2期，頁219~245。（12）徐澤林、周暢，〈建部賢弘的業績與關孝和的影響〉，《內蒙古師範大學學報》第39卷第6期。（13）徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年。（14）黃俊瑋，〈關孝和的〈解隱題之法〉〉，HPM通訊第十三卷第2、3 期合刊。（15）張建偉，〈關孝和與關流學派〉，《內蒙古師範大學學報》第35卷第 1期。（16）馮立昇，《中日數學關係史》，山東：山東教育出版社，2009 年。（17）劉雅茵，《關孝和《括要算法》之內容分析》，台北：台灣師範大學碩士學位論文，2011年。（18）劉泉，《和算消元法起源的歷史考察》。中國：天津師範大學碩士學位論文，2010年。在本論文中，筆者以徐澤林的《和算選粹》作為內容分析的藍本，並輔以其〈中算數學機械化思想在和算的發展－解伏題的機械化特徵〉及黃俊瑋的〈關孝和的〈解隱題之法〉作為檢視分析的依據。但由於徐澤林《和算選粹》中僅給出原術文並給予些許內容的概括性介紹，同時〈解伏題的機械化特徵〉僅針對第三卷中各題例的機械化步驟解釋並無前兩卷的相關內容；而黃俊偉的〈關孝和的解隱題之法〉則給出《三部抄》的第二卷〈解隱題之法〉的內容分析，雖本專文分析極為詳盡但尚未能從整體來檢視三卷的題例與結構。上述其餘各著述則在關孝和的生平與《三部抄》的歷史脈絡上給予很大的幫助。. ~3~.

(8) Ⅰ.3 研究限制關孝和之大部分的專文屬日文創作，而筆者在不擅於日文的情形下僅能以其相關譯本或針對日文中的漢字予以部分解讀，抑或擷取其純文字代數或圖形的方式，配合該術文的中譯本予以內容分析，因此筆者引用自台灣及中國學者的專文，以避免於日文翻譯與詮釋上的錯誤。此外，由於劉雅茵碩士於其論文《關孝和《括要算法》之內容分析》已將關孝和的生平及歷史介紹甚為詳細，因此，筆者之研究則著重於本書《三部抄》於其流派內的影響與教育意義同時對其內容在歷史上的創新並給予一個客觀的評價。. I.4 研究取向有鑑於現代學者對於關孝和的貢獻多論及行列式上的發明，但另有學者指出德國的萊布尼茲才是行列式理論的創始者，筆者認為將關孝和與行列式有關的書《三部抄》經過精闢的分析後有助於釐清這個問題，同時附帶歷史的脈絡及時代背景，更能讓人對於《三部抄》的內部結構以及該書於流派的地位有更深入的瞭解。本論文第Ⅱ章主要介紹《三部抄》的時代背景，包含：政治背景、鎖國時代的背景、經濟發展、元祿時代與文化、江戶時代與數學，其次介紹《三部抄》的作者：關孝和，內含：生平、數學學習、數學著作、數學貢獻以及流派。接著於第III、IV、V章中分別介紹《三部抄》中的三卷〈解見題之法〉、〈解隱題之法〉、〈解伏題之法〉的內容並給出這三個章節的結語。第Ⅵ章的結論中，筆者對於此書的教材地位以及關孝和的行列式研究進行了全面性的探討。附錄中則含有日本學者傳抄《三部抄》的電子檔以供讀者比較徐澤林所編纂的《和算選粹》是否有誤寫的情況。. ~4~.

(9) I.5 研究問題根據上述，筆者擬定研究問題如下：一、《三部抄》於關流內的教材地位為何? 二、透過《三部抄》的內容分析確定關氏在消元的過程中是否具有「行列式概念」?. ~5~.

(10) ~6~.

(11) 第Ⅱ章、《三部抄》的歷史脈絡《三部抄》一書是1683年至1685年於關孝和死後由其弟子傳抄而成，本書為關流門派學問的入門，為了對此本書有更深入的瞭解，筆者嘗試從當時的文化背景、作者的生平，以及此書撰述的目的及門派內的地位等做一個概括性的介紹，讓讀者對於此書又更深入的認識。. Ⅱ.1 《三部抄》成書的時代背景一、政治背景（一）德川家康的霸業《三部抄》的成書時代為日本的江戶時代（1603～1867），江戶時期的幕藩體制源自於1600年因關原之戰而掌握霸權的德川家康，德川家康為三河國（愛知縣）岡崎城主松平廣忠的長子，幼名竹千代，初名元信、元康，後改為家康。六歲時尾張國織田信秀（信長之父），繼則為駿河國（靜岡縣）今川義元的人質。2. 圖Ⅱ.1-1 德川家康圖. 3. 在1560年時，今川義元與信長在尾張作戰陣亡後，德川家康離開今川而回到 2 3. 參閱鄭梁生，《日本史－現代化的東方文明國家》，頁 105。本圖節錄自維基百科，網址為 http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BE%B7%E5%B7%9D%E5%AE%B6%E5%BA%B7 ~7~.

(12) 岡崎。而1590年時，豐臣秀吉將小田原的北條氏消滅後，德川家康的領地移至關東，於江戶（東京）建立城堡，成為領有二百五十萬石的最大「大名」。41598年豐臣秀吉死後，委命其政權末期擔任五大老，5但豐臣秀吉的死卻讓德川家康開始覬覦其權力而違背與秀吉的諾言，亦即政治需在五大老與五奉行的商議下進行規定，6並擅自對各諸大名論功行賞。此外，德川藉由違反「御掟」來達到分裂豐臣政權的目的，7以趁混亂奪得天下大權。五大老之一的石田三成因感到不滿而在1600年邀集反對家康的諸大名與德川家康大戰於美濃的關原，8史稱「關原之戰」，關原戰後，由石田三成所代表的西軍大舉潰散，因而開始了德川家稱霸全球的大業。9 戰後德川家康對協助有功的大明增其土地，並著手廢絕石田派大名共九十一家，沒收土地共六百四十二萬石，除了一部分增封東軍將士外，一部分收歸己有並改為直轄市，由於戰前德川家康已擁有二百五十萬石領地，此戰後更增致三百萬，從此成為擁有超過豐臣秀吉的統治者，10更於1603年被冊封為「征夷大將軍」，於江戶開創幕府，至此進入「江戶時代」。 1605年，德川家康將將軍之職給了其兒子秀忠，並隱退至駿府，以「大御所」掌握實權。111614年，德川有鑑於年事已高，外加豐臣秀賴亦為一睿智青年，因此便以京都方廣寺的鐘鳴為藉口發動了兩次大阪之役並剿滅豐臣一家，12至此德 4. 5 6. 7 8 9 10 11. 12. 與將軍締結主從關係的一萬石以上的武士稱為大名（諸侯），大名依照與將軍的親疏關係，而分為親藩、譜代、外樣三種。親藩為三家（尾張、紀依、水戶）等德川氏一族的大名，譜代則是自始隸屬於德川式的家臣，外樣則是關原戰後服屬於德川氏的大名，而配置的大名大體上會依據親藩與譜代配置於軍事要地、政治重心地帶與經濟富庶之地，外樣則盡量安置在偏遠地區。以上資料參閱林明德，《日本史》，頁 115。豐臣秀吉任命輔佐其子豐臣秀賴的五位重臣，為當時其政權體制下的最高職務。「五奉行」在當時又被稱為「年寄」，主要為將政事實施的組織，其組織的人數並非一定是五個人，在政事的施行上，需採取合議制的方式進行，在豐臣秀吉死後，其所有法令均需「五奉行」的簽署後才能予以公告並實施，以當時來說，「五奉行」共有五位，分別為淺野長政（五奉行之首）、石田三成、曾田長盛、長束正家、前田玄以。又稱為「殿中御掟」，亦即明示政權方針的法令。為日本有名的「三關」之一，地勢顯要。參閱鄭梁生，《日本史－現代化的東方文明國家》，頁 106。轉引自林明德，《日本史》，頁 114，註三。「大御所」（おおごしょ）即為親王隱退後所居住的地方，但這個詞後來常被用來稱呼隱退的幕府將軍。早年豐臣家重建方廣寺，寺內鐘上的銘文中有「國家安康」、「君臣豐樂」等句子，但卻被誣 ~8~.

(13) 川所建立的江戶幕府正式成為該時期的執政機構。. （二）幕藩統治－體制與法治德川家康於在世時已將幕府體制大致抵定，但整個體制則是在第三任將軍德川家光時確立，幕藩體制的基礎就是領土，德川氏當時能收的田租約七百萬石，約占總租額的四分之一，13而其領導階層則由幕府與藩兩級統治，組織結構也較前代複雜，最高決策者為將軍，相對於其他封建的諸侯，將軍就類似於國王的角色，將軍發號司令處稱為「御用部屋」，而「家老」、「年寄」、「若年寄」則在此辦公，幕府的體制如下：14 幕府體制（中央）職稱大老. 老中. 大目付. 寺社奉行. 江戶町奉行勘定奉行若年寄目付. 13 14 15. 任務幕府臨時的最高職務，負責統括政務，參與重要政策的確定，員額是一名。. 由祿額兩萬五千石以上的大名中遴選，員額5～6名，指揮三奉行，掌管一般政務。類似於現在的監察院，但此時的大目付為老中的耳目，負責監看各官職。管理寺社，並裁判關東以外地方幕府直轄地的訴訟，有點類似於現在的地方法院。掌管江戶地區各類治安，負責地區各類糾紛裁決的單位，類似於首都的法院。負責租稅收納、會計、並裁決關東內訴訟問題。由譜代大名遴選三到五名，管理旗本，御家人並司職城中的事務。15 隸屬若年寄，監察旗本與御家人的行為。. 指為“豐臣為君，而需將家康分開（剷除）才能國泰民安”因而德川家康於 1614 年揮軍攻打由豐臣秀豐所領導的大阪城，史稱「大阪冬、夏之陣」，又稱「大阪之役」。參閱林明德，《日本史》，頁 115。參閱鄭梁生，《日本史－現代化的東方文明國家》，頁 108～109。將軍直屬家臣領地未滿一萬石但能參見將軍的稱為旗本，不能參見的稱為御家人。 ~9~.

(14) 從上述體制可看出，其行政體系與司法體系的複雜度，此外也可瞭解當時的監察體制算是相當完備的，亦即層層把關以防止任何動亂，等同於實施嚴格的警察制度。雖說如此，但也由於體制上的完備，因此對於大名的各項限制也逐一的放寬，同時「改易」的情形也少了許多。16 體制上完備了，那法令呢？德川家康取得政權後隨即命令金地院崇起草幕府體制的基本法典《武家諸法度》，並於1615年於當時的將軍德川秀忠前向諸大名宣讀此法典的十三條規則，其條文大致內容如下：獎勵文武、儉約，放逐造反者、殺人者、他國人，禁止擅自結婚，限制服裝、轎座，禁止新建及擅自修築居城。17 內容大多為了防止武將叛變所制訂，而這部法典也並非一直維持德川家康的內容，每任將軍上任後均會對於內容稍加修訂，如：第三代將軍德川家光在原條文中新增了參勤交替的義務並禁止建造大型船隻，18而之後的將軍也維持著新增或修訂此法的任務以宣示新的主子上任，同時條文的內容也常受到當時時勢影響。此外對於天皇的權力，德川家康在1615年制訂「禁中並公家諸法度」，對天皇以及朝廷實施嚴厲管控使得天皇的統治權蕩然無存。對於宗教的掌握，則頒佈「諸宗諸本山法度」，規定寺廟禁止聚眾以圖謀不軌。同時亦頒佈「寺院法度」以確立本寺與末寺的本末制度，19至此宗教已不再是一個獨立的機構，而成為支配幕府的御用機關。. 二、鎖國時代幕府會產生鎖國的制度主要為加強其政權的管理與掌握重要都市與統治商業及對外貿易。1604年，德川家康限定了埤、京都、長崎等地商人對於葡萄牙商人運來的蠶絲的購買價格權限，而貿易的興盛亦造成基督教傳播的盛行，但由於 16 17 18. 19. 「改易」即沒收土地，例如關原之戰後，德川即對石田派大名進行改易。參閱河合敦，《圖解江戶時代》，頁 28。規定諸大名必須輪流待在江戶處理公務並晉見將軍，也因此諸大名需輪流於領地與江戶居住一年以上，參閱河合敦，《圖解江戶時代》，頁 28。參閱林明德，《日本史》，頁 118～119。 ~ 10 ~.

(15) 該教與封建體制的教義發生矛盾，故1613年幕府頒佈「禁教令」，並驅逐西班牙與葡萄牙兩國的傳教士，同時對於不肯改信教的教徒予以懲戒。德川秀忠於1616 年再度重申禁教令，並且禁止中國以外的船隻在長崎與平戶以外的港埠交易， 1635年（寬永十二年）則禁止無渡航的船隻出港，並禁止葡萄牙與日本人雜居， 1639年則驅逐葡萄牙人並禁止他們東來，荷蘭人則移居長崎的出島，20而1635年與1639年的禁令合稱「寬永鎖國令」，基本上幕府會施行鎖國除了對於貿易有權力予以限制外，也防止本國的金銀流出，更重要的是能防止各諸藩因貿易而壯大，也就更能加強對各藩國的控制。21. 圖Ⅱ.1-2 日本出島平面圖. 22. 但由於日本四面環海，因此即便施行鎖國亦無法將所有外國人杜絕於外，如：鄰近的俄羅斯人亦常到蝦夷地與愛奴族交易。23十八世紀後半期，產業革命的歐美各國為了與中國貿易與捕獵鯨魚，開始於日本海一帶徘徊，「黑船」也常. 20. 21 22 23. 「出島」為日本江戶時代肥前國長崎港內的扇形人工島、外國人居留地，資料參閱自維基百科。參閱鄭梁生，《日本史－現代化的東方文明國家》，頁 110。本圖轉引自河合敦，《圖解江戶時代》，頁 213。「蝦夷地」即明治以前對於北海道的稱呼，「愛奴族」則是居住於北海道及附近各島的居民。 ~ 11 ~.

(16) 進出於日本港口。24除此之外，江戶時代亦持續的與中國及荷蘭貿易，且中國為主要的貿易對象。日本從中國輸入的物品主要以生絲與絹織為大多數。此外，日本國內大多的砂糖、中藥、書籍也多仰賴中國進口，日本早期輸出給中國的部分則屬金銀等礦產，但17世紀中後期則因為金銀短缺而改輸出銅礦。居住地方面， 1641年荷蘭人全體被限制於長崎的出島，由於當時中國並未列入限制國家，因而散居各地。1688年幕府開始於長崎郊外建造「唐人村」，25並將中國人全體遷移至此，雖管制沒有荷蘭人嚴格，但仍有官員駐紮及守衛管制。由於與中國貿易越來越頻繁，幕府擔心大量的金銀流出，因此也開始限定貿易額度，但仍有許多貿易私下進行，這也是促成幕府於1688年對中國人限居的原因之一。26. 圖Ⅱ.1-3 江戶時代中國與日本的貿易狀態. 27. 荷蘭方面，幕府雖於1641年限制其居住地，但由於該地擁有田地、畜舍、和醫院，因此生活上沒有障礙。而貿易方式，荷蘭則是將中國南方生產的生絲賣給日本並換取金銀與瓷器。自1680年開始，荷蘭對於日本的貿易額則雖受到了限制但仍持續與日本貿易直達幕末。此外，荷蘭商館的館長原則上一年一任，新任的館長每年亦固定前往江戶謁見將軍，並同時呈交《荷蘭風說書》給幕府，而幕府 24 25 26 27. 「黑船」泛指來到歐美的日本船隻，因船身漆黑而得名。「唐人村」即中國人居住的地方。參閱河合敦，《圖解江戶時代》，頁 106～107。本圖轉引自河合敦，《圖解江戶時代》，頁 107。 ~ 12 ~.

(17) 也藉此得知世界的主要消息。28. 三、經濟發展（一）農業農業為封建時代的基本產業，江戶時期農民約佔全國人口的八成到九成，社會的生產主要靠農業，但仍受到自然經濟的支配。構成近世社會最重要的是村與百姓。村莊大多以農業為主，村民亦大多屬農民，其構成份子是「村役人」、「本百姓」與「水吞百姓」等，29各村政的運作都基於「村法」，違者處以「村八分」的制裁。30而幕府與各藩族則是靠著村法來控制村人，並得以取得年貢、徭役的分配與徵收。此等制度的組織架構並非是全村人為一個整體，而是以村民數戶編成「五人組」，31並藉此達到共同納稅、防制犯罪的小單位。32 （二）商業江戶初期的商業方面，「港町」、「客棧町」、「城下町」大為興盛，33城下町最大的即為江戶，自德川幕府成立以來江戶便發展成一大消費都市。大阪則成為當時的經濟中心，四十五萬人口中就有一萬以上的「問屋」與仲介人，34除此之外大阪還有「天下廚房」之稱，是西日本與全國物資的集散地。京都的工商業亦很發達，並以西陣織及美術工藝品稱著。此三個地方的交通隨著其商業交流的發達而熱絡，甚而於1663年，江戶、京都、大阪三都的商人組成了「町飛腳」同業公會，35實行每個月三次的定期郵遞。36此外，埤、京都、博多、長崎等為根據地的有力商人常利用船隻以及交通體系尚未整頓的時期之價格差異來累積財富，因而被稱為「初期富豪」，直到1613年，德川秀忠施行鎖國之後，初期富豪 28 29 30 31 32 33 34 35 36. 參閱河合敦，《圖解江戶時代》，頁 84～85。「村役人」、「本百姓」、「水吞百姓」分別代表村里幹事、自耕農、佃農或貧農。「村八分」即使違反規定的村人處於全村絕交的狀態稱為村八分。「五人組」是集合鄰近的五戶農家組織而成。參閱林明德，《日本史》，頁 121。「港町」、「客棧町」、「城下町」分別代表港埠、客棧、城堡都市「問屋」即批發商。「町飛腳」即民間郵遞行業參閱林明德，《日本史》，頁 118～119。 ~ 13 ~.

(18) 開始衰退，十七世紀後半的三都與城下町獨佔了商業物流，批發商組成同業公會並制訂規章以企圖獨佔其經營權。江戶的「十組問屋」37與大阪的「二十四組問屋」企圖獨佔江戶與大阪間的安全與流通而組成聯合組織，幕府起初並不承認行會，但到了十八世紀後，為了商品流通與物價政策，決定以承擔營業稅為條件，廣泛公認商人的行會並允許企業獨佔。38 貨幣方面，德川於1600年設置金座、銀座大量鑄造慶長金銀為最早於全國統一實施相同貨幣的時期，一開始設置金座銀座的地點為江戶與近江坂本，而後全國也開始設置，並鑄造大量的銅錢與鐵錢，十七世紀中，金銀錢普及於全國，促進商品的流通與發展。但是一直以來，東日本以金交易，而西日本以銀交易的狀況在明治以前並無改善，因而十七世紀後半，各藩開始以城下町為中心的藩經濟發達下，「藩札」（各藩印製的貨幣）在領地內開始流通，以彌補金銀不足與藩財政困難。39. 四、元祿時代與文化德川家族從家康開始到第三代將軍家光奠定了江戶的根基，一開始採取中央集權的統治手段，直到第五代將軍德川綱吉開始出現了由專斷轉為注重教化與文治主義（禮文主義）的「元祿時代」。德川綱吉在位期間，利用先前累積的大量財富開展了空前的繁榮時代，其執政初期的風格偏向法家，賞罰分明，不僅於政治上如此，學問與藝術上也朝氣蓬勃。當時綱吉召集林鳳岡講授《大學》，每月以大名、旗本、儒者為對象講授四書五經，更於湯島建築祀奉孔子的大成殿（湯島聖堂），並讓林氏的講堂遷徙至此。40由於元祿時代的政治清明與經濟發展，民眾也因此萌生了多采多姿的文化，史稱「元祿文化」。（一）文學與藝術. 37 38 39 40. 「十間問屋」即批發商。參閱林明德，《日本史》，頁 125。同註 37。參閱鄭梁生，《日本史－現代化的東方文明國家》，頁 116。 ~ 14 ~.

(19) 元祿時代的文學與古代傳統依附統治階級貴族的文藝有所不同，改成以民眾為主流的大眾文學，由於封建身份制度的壓抑而無法追求仕途的人們，因而轉向於追求俗世的享樂。在元祿時期，町人的文藝已經取代了傳統文藝而普及於都市與鄉村，並以西鶴、松尾芭蕉等一些京畿的町人文藝為中心。41戲劇方面，則有淨琉璃與歌舞伎的發達，淨琉璃為日本說唱藝術的一種，以三味線（三弦琴）為伴奏；而歌舞伎則是綜合了音樂、舞蹈和默劇的表演方式。42藝術方面則因為經濟的發達而使得人們也開始思考藝術所帶來的精神享受，其中富豪與庶民的喜好則各有不同，富豪喜愛鮮豔色彩與洗練華麗的美術，而庶民則喜愛以美人、演員、相撲等題材的「浮世繪」。43 （二）儒學朱子學的思想之所會興起，與幕府跟各藩欲建立一個重視上下秩序與尊重禮節的社會有關，一開始朱子學起源於日本禪宗將此一學問傳到日本，到江戶時期則變成封建社會主要的教學內容，而儒家以禮來規範君臣間的道德正符合幕府時期的需求，換句話說，德川的封建結構與儒家的倫理思想是同構的。44藤原惺窩為祖的京學、南村梅軒的南學派、朱舜水的水戶學、貝原益軒的養生訓，堀川學派的古義學等都是當時各據一派的儒學之一，由此也可看出儒學的盛行。45 （三）科學科學上則興起有益於生活的實學，如農學、醫學、數學、天文歷算學、…等；農學方面有宮崎安貞的《農業全書》十卷；藥物方面有貝原益軒的《大和本草》十八卷；數學上則因建築城堡與開墾心田等土木工程與商業的需求而開始發展「和算」46，始於吉田光由在十七世紀初所著的《塵劫記》三卷與關孝和的高等數學計算；天文與歷算上，1684年幕府天文方的澀川春海在《授時歷》的基礎上. 41 42 43 44 45 46. 參閱林明德，《日本史》，頁 132。參閱河合敦，《圖解江戶時代》，頁 32～33。「浮世繪」為以庶民為出發點，描寫市民生活風格的繪畫，參閱林明德，《日本史》，頁 133。參閱林明德，《日本史》，頁 134。參閱鄭梁生，《日本史－現代化的東方文明國家》，頁 118。「和算」即日本的數學。 ~ 15 ~.

(20) 制訂了日本的第一部歷法《貞享歷》，歷法的制訂上推動了數學與自然科學上的發展。47. 五、江戶時代與數學 1603年，德川家康建立江戶幕府，並開啟了260年的江戶幕府統治，儘管當時的中國限制其船隻在海上與日本人貿易，但中國船到日本貿易的次數卻越來越多。1636年日本頒佈鎖國令後，日本禁止日本對外的一切貿易，但仍容許中國與荷蘭在長崎貿易，日本人把中國海商的對日貿易稱為「唐船貿易」，而當時明清的數學主要就是透過唐船等媒介進到日本，並促成「和算」的發展。48 （一）算盤的傳入有關於算盤確切傳入日本的時間目前無從考證，綜合諸多學者的說法，我們僅能斷定算盤傳入的時間應不晚於十六世紀中葉。早在明朝初期，記載有算盤圖的《魁本對相四言雜志》就傳入日本並被複刻，日本人對於珠算顯然已經有所瞭解，而與中國的交易頻繁自然也促成對於更高效率計算工具的使用。同時在弗洛伊斯的《日歐比較文化》中亦找到關於算盤的記載，49弗洛伊斯比較日本與歐洲在計算上的差異並指出歐洲人用鵝毛筆與籌碼進行計算，而日本人則是用jina（算盤）進行計算，由此可知早在《算法統宗》傳入以前，珠算已傳入日本，並於短時間內得到普及，對日本數學以及國民教育產生了深刻的影響。從史學的角度來看，其作用在於引發數學的轉變，或可稱算盤或珠算是催生和算的重要媒介。此外，除了算盤的傳入外，應當有講解珠算之運算的方法書或口訣書，否則單有算盤的傳入也難以應用，有關於口訣或方法的書籍筆者在此不多論述。但從和算程序性算則的特徵我們可瞭解其與珠算的採用有著密不可分的關係，例如於《算用. 47 48 49. 參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 21。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 36。弗洛伊斯（Luis Frois）是 1562 年到日本傳教的西班牙神父，他的《日歐比較文化》寫於 1585 年，弗洛伊斯主要是感受到歐洲人與日本人間的文化差異因而且下此書，此書主要是比較日本與歐洲的世俗文化，其中算盤則是被列為比較的一項內容。 ~ 16 ~.

(21) 記》與《割算書》中以. 1 表示錐率，50姑且不論其正確性與否，倘若當時無珠 2.96. 算的協助，則當時的數學家無以處理此等大量重複性計算工作的能力，因此機械化的運算某種程度上當然是受益於珠算的傳入。51 （二）中國算書與歷法的傳入江戶前期，日本開始對中算第二次大規模的學習與吸收。52宋朝以後，中日兩國聯絡頻繁因而使漢籍傳入朝鮮並得到很好的保存。《九章算術》、《算學啟蒙》、《楊輝算法》等書在宋元明時期已傳入朝鮮、此時的中日之間的商業往來與文化交流主要以民間的方式進行，因此不論是以海上貿易的形式傳入，抑或者豐臣家侵略朝鮮時所得，我們可知至少有幾本代表性的著作在此時傳入日本：《算法統宗》、《算學啟蒙》、《楊輝算法》。53 1.《算法統宗》的傳日及影響. 54. 有關於《算法統宗》傳入日本的方式過去大多人公認的說法是：遠藤利貞提出毛利重能奉豐臣秀吉之命前往明朝攜回程大位的《算法統宗》，此一說法的根據為《文藝類纂》，該書成書於1878年，並論述毛利重能兩度赴明，其中一次因身份問題備受冷落，另一次則因明朝政局動盪故將該書攜回。但三上義夫卻認為毛利重能的《割算書》並無《算法統宗》影響的痕跡，且無史料佐證毛利重能攜回的書為《算法統宗》，故認為此說法不足採信，並改採信吉田素庵最早將《算. 50 51 52 53 54. 1 1 實際的錐率為，此處的僅為近似值。 3 2.96 參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 37~46。參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 86。參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 13~14。. 《算法統宗》是一部重要的中國傳統數學著作，特別是珠算知識的詳備，著稱於後世。該書以《九章算術》的體例為宗，始以數學入門知識，繼以傳統的數學知識和日用數學知識，終以難題雜法，內容堪稱廣泛。其中，卷一至卷二介紹數學知識和珠算常識，卷三至卷十二依次為方田、粟布、衰分、少廣、分田截積、商功、均輸、盈朒、方程、勾股等十類算法，卷十三至卷十七為歌訣表述的各類算題以及寫算、指算、縱橫圖等雜法。全書以卷三至卷十二為主體，卷十七最末一節「算經源流」是個基本上以年代為序的算學書目，其中收錄自北宋元豐七年（1084）至明萬曆十六年（1588）間所刻算學書名五十一種。以上文字轉引自陳威男，《明代算書《算法統宗》內容分析》，台灣師範大學數學系碩士論文，頁32。. ~ 17 ~.

(22) 法統宗》的內容傳授給族人吉田光由的說法。55 而後又有平山諦提出利馬竇透過教會帶給在日傳教的斯皮諾拉，而斯皮諾拉離開京都前交給吉田光由的假設性說法。但由於平山本人亦稱其說法為假說故其真實性有待商確。由於日本最早的算書《塵劫記》（1627年）由吉田光由所編，此書根據《算法統宗》為寫作藍本，因此我們可說《算法統宗》與吉田家族有著密不可分的關係，也因此對於《算法統宗》的傳日之因，目前較為大家所接受與相信的為上述第二個說法。56 明代的《算法統宗》由於內容偏重實用性與商業性，因此傳日後對於江戶初期封建體制的高度發展扮演了很重要的角色。吉田光由（1598－1672年）從小便從長輩那習得相關知識，而後所著作的《塵劫記》則是以《算法統宗》為寫作藍本，至此，明代數學開始於日本境內廣為流傳。57 既然《塵劫記》是以《算法統宗》為寫作藍本，那是否完全復印呢？其實不然，底下我們就幾個面向來談：58 （1）兩者的題例與結構呈現出一些特徵：原理相同，但題目不同。（2）《塵劫記》的部分數學名稱與基本素材均源自於《算法統宗》。如：單位、九九口訣、乘除算法等。（3）《塵劫記》在栗布、衰分、開平開立、銀兩換算、…等數學題例是根據日本社會經濟生活的實際情形加以仿造而得，在書中或多或少可找到《算法統宗》的影子，由此可看出吉田光由是將此書完全消化吸收後再另給題例。總之，吉田光由將《算法統宗》的數學知識透過《塵劫記》一書來具體呈現，同時又保有當時的社會風情與文化，因此我們可說《算法統宗》扮演了一個將日本數學系統化的一個重要媒介。. 55. 56 57 58. 吉田素庵（1571-1632）出生於京都的醫學世家，其祖父吉田宗桂曾兩次赴明並治癒明朝皇帝的病，並被譽“日本日華子”，從吉田宗桂的父親宗忠開始以「角倉」為商號，並與明朝持續貿易，從吉田素庵的父親開始，角倉家族就被特准以外貿船「角倉號」與中國貿易。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 47。參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 87。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 46。參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 87。 ~ 18 ~.

(23) 圖Ⅱ.1-4 明程大位像. 2.《算學啟蒙》的傳日及影響. 圖Ⅱ.1-5 《算法統宗》之一內頁. 59. 60. 《算學啟蒙》傳入日本的時間目前已不可考，萬治元年（1658年），久田玄哲對其進行復刻，但據考證久田並沒有對《算學啟蒙》進行訓解，因為久田對其數學內容無法理解。由久田所訓點的《新編算學啟蒙》發行後不久，便有星野實宣的《新編算學啟蒙註解》於1672年問世，而星野的註解對於此書在日本境內廣為流傳頗具意義。元祿三年（1690年）建部賢弘的《算學啟蒙諺解大成》乃研究《算學啟蒙》後對於其內容詳細解釋所完成，該書對於天元術知識在日本境內的傳播扮演重要的角色，隨著和算的發展，和算家關注的焦點已經從明代數學轉向宋元數學。而相對於《算法統宗》僅有一人訓點，我們可知和算家重視《算學啟蒙》的程度遠大於《算法統宗》。《算學啟蒙》對日本數學的影響主要在於「天元術」的傳入，可說是和算家 59 60. 圖四及圖五轉引自網址 http://www.chiculture.net/0803/html/c32/0803c32.html# 《算學啟蒙》為元代朱世傑於1299年（大德三年）完成的一部講述天元術為主的啟蒙性數學著作，除了目錄及〈總括〉以外，共上、中、下三卷。其總括與上卷主要提供基礎算學入門，中卷主要處理當代重要且基礎的民間問題，而下卷則開始入門高次開方與天元術。以上資料參閱董芳成，《從「啟蒙」觀點看朱世傑的《算學啟蒙》》台灣師範大學數學系碩士論文， 2003 年。. ~ 19 ~.

(24) 由「算術」轉變為「代數」思維的一道橋樑，但和算家對於天元術的真正含意即便有星野實宣的註解但仍不甚清楚，直到寬文十一年（1671）澤口一之刊行的《古今算法記》才對於天元術有十足的理解。61在《古今算法記》中澤口一之曾針對一元二次方程式會得到兩根的情形稱為「狂翻」，但對於多根的問題後來也稍加修改已知條件使其根只有一個，關孝和後來很多的多根問題基本上都源自於這本書，在《古今算法記》發行後不久，關孝和第一部數學書《發微算法》於1674 年問世，主要針對《古今算法記》的十五個遺題予以解答，為了解此十五個遺題，關氏也用自己發明的「傍書法」與「演段術」進行解答。62因此我們可說《算學啟蒙》促使日本對於天元術的理解，並促使澤口一之與關孝和等人的應用，而造就後續和算發展。此外，開方術、垛積術以及解線性方程組的方法內容對和算也產生重要影響。63. 圖Ⅱ.1-6 算學啟蒙的九歸除法. 61. 62 63. 64. 64. 《古今算法記》共七卷五冊，前三卷說明塵劫記以來的一些日用算法，第六卷則針對《改算記》的遺題給予解答，從第四卷～第六卷則對《算法根源記》的 150 道遺題給出解答，第七卷則是澤口一之給出的 15 個遺題。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 70。參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 74。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 71，及烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 88～90。本圖轉引自網址 http://hk.chiculture.net/0803/html/c30/0803c30.html#。 ~ 20 ~.

(25) 3.《楊輝算法》的傳日及影響. 65. 《楊輝算法》於十六世紀末已傳入日本，確切的傳入時間不詳，其對於和算的影響深遠，例如：和算求解同餘式組的解法稱為「剪管術」這個詞就是來自於《楊輝算法》，筆者所研究的數學家關孝和受到《楊輝算法》的影響甚大，從石黑信由（1760～1836）轉抄《楊輝算法》寫本的卷末記載有： “寬文辛丑仲夏下浣日，訂寫迄，關孝和” 可知關孝和曾訂寫《楊輝算法》，而其確切的時間應該是在1673年，所寫的版本較朝鮮刊本正確，由此可得知關氏應先抄寫《楊輝算法》後於1673年再予以訂正。本書中有關於解高次方程的方法、求同餘式組的解法、重差術等方法對於關流的影響很大，在關孝和、建部賢弘與建部賢明三人合著的《大成算經》中就曾多次引用《楊輝算法》的內容。此外，於建部賢弘的《算學啟蒙諺解大成》中也可發現引自《楊輝算法》的內容，這十足的表現出此書於和算家中所扮演的重要性。平山諦則認為《楊輝算法》與《算學啟蒙》則是影響關孝和最為重要的兩本中國算書。66. 圖Ⅱ.1-7 《楊輝算法》中的習算剛目 65. 66 67. 67. 《楊輝算法》為南宋數學家楊輝（1220～1280）所寫的三種著作的統稱，包含《乘除變通本末》三卷（1274）、《續古摘奇算法》二卷（1275）、《田畝比類乘除捷法》二卷（1275），該書主要介紹商用乘除問題以及各田面積問題以及二次方程求解問題。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 71～75。本圖轉引自網址 http://www.chiculture.net/0803/html/c29/0803c29.html# 。 ~ 21 ~.

(26) Ⅱ.2 《三部抄》的作者一、關孝和的生平關孝和（Seki Takakazu , 1642？～1708），通稱為關新助，字子豹，號自由亭，生年不詳，寶永五年（1708）十月二十四日去世，葬於東京都新宿區弁天町淨輪寺。68. 圖Ⅱ.2-1 關孝和像. 69. 據《寬政重修諸家譜》可知，關孝和出生在上野騰網的一個武士家庭，父親是內山永明，其父親育有四男二女，關孝和為二子，後來過繼給關五郎左衛門做為養子，關孝和的哥哥名叫永貞，繼承父職，後來成為“支配勘定”，70弟永行從醫，最小的弟弟永章在德川綱重旗下任職。關孝和的父親與養父都是藤網藩大名武田家的家臣，後來都受聘於同藩領主蘆田家，後來蘆田家沒落了又受聘於甲府德川家。71廷保四年（1676）關孝和仕於甲府宰相德川綱重，同年德川綱重去世，關孝和又仕於德川綱重之子德川綱豐，擔任堪定吟味。72寶永元年（1704），德. 68. 轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 71。. 69. 本圖轉引自網址：http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history 。. 70 71 72. 「支配勘定」為主管測量的官。「甲府」即山梨縣。「堪定吟味」為江戶的職務名稱。類似於現在的會計工作，受老中支配，檢查堪定所中的一切事務，將奉行以下所有官吏所做違法的事情報告老中，同時對於幕府的預算進行審計工作，參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 71。 ~ 22 ~.

(27) 川綱豐成為第五代將軍德川綱吉的世子因此遷居到江戶城之西丸，73關孝和跟隨過去成為幕府的武士，擔任御納戶組頭，74成為德川幕府下屬武士之職，管理幕府生活用品，奉祿為御藏米250俵，外加10人扶持，後追加至300俵。75寶永三年，關孝和晉升為小譜請而進入了非役人的行列，76關孝和於寶永五年（1708）病逝，葬於江戶的牛進七軒寺町淨輪寺．諡號法行院宗達日心居士。77 關孝和沒有後代，曾過繼姪子官新七為養子，繼承關家家業，享保十二年（1727），關新七因犯事被判「重追放」之刑，78至此關家敗落，寬政六年（1794），關流門下建部派的學生四名出遊時，路過淨輪寺發現關孝和的墓殘破不堪因而協助重修墓地，並立碑以示紀念。79自從關孝和進入和算後，和算進入日新月異與嶄新的階段，關氏使和算成為十七世紀以來文化圈內最為發達的傳統數學，故常被稱為「算聖」。. 二、關孝和的數學學習有關於關孝和的數學造詣從何而來目前沒有定論，有一種說法是關孝和自幼聰明，故對於數學無師自通；另一種說法則是關氏曾師從於高原吉種，據齊東野人《武士隱見錄》（1738）卷五曾敘述： 73. 「德川綱豐」即江戶第六代將軍「德川家宣」。「西丸」即江户城西邊的一隅，將軍及世子居住的地方。. 74. 「御納戶組頭」為江戶時代幕府武士職名，受若年寄支配，負責將軍家的金銀、服飾、調度的出納，掌管大名、旗本（家臣）以下官員進貢物品或賞賜物品。參閱徐澤林，《和算選粹》，頁71。. 75. 76 77 78. 79. 所謂御藏米 250 俵相當於正式工資，按“藏米取”形式發放，即每年三次到固定發俸點領取；而 10 人扶持則類似現下的津貼，是給予武士家僱佣下人的補貼，分十二個月支領。扶持米是按每名成人每日食米 5 合，每年發放的天數、藏米現米的比率等幕府及各藩都有不同規定︰比如幕府按每年 350 日計，1 人扶持＝5 合/日×350 日＝1750 合＝1.75 石現米＝5 俵藏米。“俵” 其實就是一個米袋子，時代劇裡看到的用稻草捆扎的一個個橢圓形的裝米的包，其實就是 “俵”，因為固定體積的稻米重量差不多，所以就用來做米的單位，江戶時代的 1 俵大抵相當於現在計量的 52.5 公斤。參閱網址：http://book.douban.com/review/4472830/ 「小譜請」為江戶時代官名，為閒職，事實上等於預備役，無實際工作而仍領有俸祿參閱吳培群，「關孝和」，北京電子科技學院期刊。 “重追放”是禁止罪犯進入一些被稱為御構場所的地區，通常御構場所是指一些都市，實際上到處旅行還是被允許的，是相當變通的一种刑法，特别是在一些没有附加禁止事項的追放時。 “中追放”、“輕追放”是比之範圍更寬鬆的追放。參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 173。 ~ 23 ~.

(28) 上述文字之意含為：如此熟讀算學啟蒙，瞭解天元之道理，加以自我發明，思量種種手段，乃至於演段之理及町間之術、曆法、天文等無一不通達其理。此藝達上聽，受陛下召見，於甲府家受封卡御勘定奉行之格。此時自南都（今奈良）傳來書物，為唐本。混雜於佛書中，任誰讀了也不了解其意。既非佛書，亦非儒書醫書之類。難知為何書之故，順序混雜欲於每年仲夏曬書。不知為什麼新助知道這本書，看其旨趣，察知可能為大方算書。閒暇之於登南都才借其書，逗留南都夜以繼日抄寫之。回江戶三年之間，日夜費心，終極其奧義。因此於我朝算術界可謂古今無人可比之名人。80從這裡可看出關氏對於數學的造詣之深厚，此外也可看出關氏曾閱讀過中算書《算學啟蒙》且掌握了天元術的道理，同時在此基礎上創立自己的各種新數學方法。在關流的數學傳承中也一直都有《算學啟蒙》的內容，如《三部抄》中就有提到天元術的相關定義運算。除了《算學啟蒙》外，《楊輝算法》對於關孝和的影響也很大，且所抄訂的《楊輝算法》與朝鮮的刊本之不同更可顯示出關孝和除了弄懂該書的內容外，更可對於其內容予以訂正。 81. 而該書於關流內的影響亦大，在關孝和與建部賢弘兄弟所著的《大成算經》一. 書中曾多次引用《楊輝算法》的內容。從諸多史料可看出，影響關氏最大的兩本 80. 81. 原文及翻譯文均轉引自城地茂，《關孝和之故居與他的《楊輝算法》抄本》，第七屆科學史研討會彙刊，頁 48。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 73。 ~ 24 ~.

(29) 中算書應為《算學啟蒙》與《楊輝算法》。此外中國的歷算對於關孝和亦有不小的影響，關孝和晚年的著作《天文數學雜著》有一半的篇幅是關於《授時歷》進行圖解與註釋，並對於其算法予以簡明解証或予以修正，由於《授時歷》包含招差術與割圓法等數學內容，因此《授時歷》所包含的數學內容對於和算的發展亦相當重要。82. 三、關孝和的數學著作關孝和的著作在關流體系內多以抄本流傳，筆者認為之所以以「抄」來傳承其知識大概與其流派間的密傳制度有關，關氏生前只有出版《發微算法》（1674），而死後其弟子荒木村英（Araki Murahide, 1640～1718）與孫弟子大高由昌（Ohtaka Yoshimasa）將其數學遺稿整理出版，該書為《括要算法》（1712），而其中於關流內堪稱基本的知識架構的則有〈解見題之法〉（約1683）、〈解隱題之法〉（1685）、〈解伏題之法〉（1683），合稱為「三部抄」以及〈開方翻變之法〉（1685）、〈題術辨議之法〉（1685）、〈病題明致之法〉（1685）、〈方陣之法˙圓攢之法〉（1683）、〈算脫之法˙驗符之法〉（1683），合稱為《七部書》，此外還有《求積》、《球闕變形草》與《開方算式》。除了數學之外，關氏在天文曆算上也有相關著述，如：《八法略訣》（1680）、《授時發明》（1680）、《授時曆經立成之法》（1680）、《授時曆經立成》、《關訂書》（1686）、《四餘算法》（1697）、《宿曜算法》、《天文數學雜著》（1699）。83 《四餘算法》是對於氣、孛、羅、計四種算法的解說，此書乃從編制歷法的角度講述有關的歷算知識，在數學上沒有新的內容；而《天文數學雜著》則根據關氏不同時期研究天文、歷算方面的心得與成果匯集而成，其內容涉及日、月蝕推算，日影測量、五星運動計算等方面的內容。84. 82 83 84. 參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 78。參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 72。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 130～131。 ~ 25 ~.

(30) 四、關孝和的數學貢獻以上為關孝和的數學學習部分，緊接著我們要介紹關孝和在數學造詣所產生的影響。（一）傍書法與演段術隨著澤口一之《古今算法記》（1671）的問世，可看出和算家對於天元術的理解與消化，而關孝和對於天元術不但予以消化，更進一步的予以改良，其改良主要為兩個面向：其一，傍書法的貢獻，其二，演段消元的貢獻或可稱為輔助未知數的貢獻。所謂的「傍書法」，從和算家的角度來看即為「劃正負段術、傍書其名」，其表示法則可以歸納為以下三條：（1）多項式係數用籌碼表示。（2）已知量、未知量均以漢字或簡化漢字表記。（3）多項式按天元式布置（縱行），係數仍為多項式時，則布於天元式之一級（橫式）。85 「傍書法」是關孝和在研究天元術的過程中所引入的，關氏的著作《發微算法》乃對於《古今算法記》所遺留下來的十五個問題進行解答而編，其遺題均屬高次方程問題，關氏有鑑於天元術的不足因而引入新的符號代數法則「傍書法」，按日本學界的說法，《發微算法》是最早採用傍書法所獲得的結果。但從傍書法的原術文中我們看不出關氏引入傍書法的痕跡，日本學者為此則表示應該是其遺題中有一問屬1458次的高次方程式，若關氏沒有對於天元術予以改進，則對此高次方程式則愛莫能助，也因此促成《發微算法》為最早採用傍書法的說法。關氏在天元術上的另一個改進就是引入了輔助未知數，簡單來說就是造出一個或多個多項方程式，而這些多項方程式的係數又是一個多項式，關孝和及當時的和算家稱之為演段術，所謂的天元術與演段術的差別我們可用下列算式來表. 85. 參閱徐澤林，中算數學機械化思想在和算中的發展－解伏題的機械化特徵，《自然科學史研究》，第 20 卷第 2 期（2001 年），頁 122。 ~ 26 ~.

(31) 2 n M  a0  a1 x  a2 x    an x 示：已知  ，則消去M，使得兩式變成一個多項方程 2 n M  b0  b1 x  b2 x    bn x. 式，而此多項方程式為僅含有一個未知數x的開方式：.  a0  b0    a1  b1  x   a2  b2  x 2     an  bn  x n  0 這樣的演算過程我們稱為天元術，而演段術則是要建立如下關於y的兩式： 2 n  A0  A1 y  A2 y    An y  0 ，其中兩式個各項係數 Ai , Bi 均為x的多項式，而透  2 n  B0  B1 y  B2 y    Bn y  0. 過將兩式的y刪除而造出一個僅含有一個未知數x的開方式的過程我們稱為「演段術」。86關孝和於《發微算法》與《三部抄》的〈解伏題之法〉中都因使用的數量關係較為複雜，而需設立多個輔助未知數。關氏在解伏題中亦稱這些輔助未知數為「虛數」，透過輔助未知數（虛術）的消元過程而得到目的未知數（真數）的多項方程式。（二）方程式論關孝和的方程式論主要呈現於〈解隱題之法〉、《開方算式》、〈開方翻變之法〉，前兩篇論述了高次方程式的解法，後篇則講述了方程式的分類與方程根的判別條件。目前日本學者多認為關孝和的增乘開方法是在《算法統宗》與《楊輝算法》的基礎上獨立出現的，關孝和在解隱題之法中提到“或實翻而不能盡者，立負商，如前到實”已經打破中算家以正商由大到小的單方面逼近實根的限制，而承認了負商就等於承認了負根的存在。87 方程式多根的情形在和算中最早從澤口一之的《古今算法記》就有注意到這樣的狀況，並將這樣的題目稱為“狂翻好”，所謂的「好」即題目的意思。關孝和在〈開方翻變之法〉的“開出商數第一”中根據方程根的情形對方程進行了分類，共分為全商式、變商式、交商式與無商式，我們略述如下：. 86. 87. 參閱徐澤林，中算數學機械化思想在和算中的發展－解伏題的機械化特徵，《自然科學史研究》，第 20 卷第 2 期（2001 年），頁 123。參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 121～122。 ~ 27 ~.

(32) 全商式. 只有正根或負根的方程式。. 變商式. 有兩個以上的正根或負根的方程式。. 交商式. 既有正根也有負根的方程式。. 無商式. 沒有正根亦沒有負根的方程式。. 而在“驗商有無第二”中給出根的判別條件，並在“適盡諸級之法第三”中講述如何使「無商式」變成「有商式」的具體作法，而“諸級替數第四”中則討論了方程式存在的範圍，最後的“視商級數第五”中根據適盡諸級之法找出方程正根存在的臨界點，引進了「商的級數」概念。88以上為關氏在多項方程式的開方理論中的相關論述。（三）招差法、垛積術、剪管術和算對於招差法最早出現於關孝和的《括要算法》，關氏在其元卷給出了概括性的說明：夫元積之各數參差者，齊之以累裁招差之法求之矣，凡以定積一次相減，各積差得等數者，招平定二差，而依一次相乘之法求之；到二次相減各積差得等數者，招立平定三差，而依二次相乘之法求之。到三次相減各積差得等數者，招三乘、立、平、定四差，而依三次相乘之法求之。皆俟各段得等數者，而招諸差率求元積也。89 這段話為關氏對於累裁招差術與中國古代二次及三次內差法的繼承間的關係給予清楚的說明，從這裡可看出累裁招差為中國招差的推廣。90一般來說所謂的處理招差問題就如同現在的給定已知n個點，求出n次插值多項方程式的過程，有關於關氏詳細的計算方法，由於並非本論文的研究要點因此不加詳述。91關氏的累裁招差是一套系統的均差算法，可將高次插值降次處理的程序性算法，而這也是《授時歷》中三次內差法的基本特徵之一。關氏的所有的招差問題，都給了表格. 88 89 90 91. 參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 123～126。轉引自徐澤林，《和算選粹》，頁 158。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 99。參閱劉雅茵，《關孝和《括要算法》之內容分析》，國立臺灣師範大學數學系碩士論文。 ~ 28 ~.

(33) 的計算模式，完全繼承了中國歷算的傳統，其方法上給出均差表亦是由中國的「歷算差分表」發展而來，因而透過此表很容易就可以直接得到均差插值多項式，即牛頓基本插值公式。後續的「混沌招差法」亦是以累裁招差法所發展出來的典型牛頓插值公式。92 「垛積術」同樣源自於中算，亦稱為「堆垛術」，是計算依一定規則堆疊在一起的物體總數，而這些問題在《算學啟蒙》、《楊輝算法》、《算法統宗》當中亦有著墨，隨著這些書傳入日本後，想當然爾對於和算的發展也產生了一定的影響。在《括要算法》元卷的方垛中，關氏給出了十一個冪和公式： n. 1. 圭垛積 S1   r  r 1. n2  n 2. n. 2. 平方垛積 S 2   r 2  r 1 n. 3. 立方垛積 S3   r 3  r 1. 2n3  3n 2  n 6 n 4  2n3  n 2 4. . 2n12  12n11  22n10  33n8  44n 6  33n 4  10n 2 11. 十乘方垛積 S11   r  24 r 1 n. 11. 而且關氏也意識到k乘方垛積 S k 為 n 的  k  1 次多項式（無常數項），即： k乘方垛積 S k  a0 n k 1  a1n k  a2 n k 1    ak n 而後關氏發現其係數與賈憲三角的關係，並藉以造出方垛的公式表來求得各項的係數，93關氏的造術原理從最初的累裁招差法獲得一系列的方垛公式，並藉助歸納法發現了係數變化的規律。基本上得到k乘方垛積 S k 為 n 的  k  1 次多項式（無常數項）這樣的關係式並不困難，但其係數的一般性規律則仍須藉助賈憲三角與衰垛等方面的知識，因此關氏的貢獻不僅在於提出垛積的一般性程序算則，更與招差做了聯繫，同時均以表格的方式呈現，讓人不難看出和算與中算間關係之密. 92 93. 參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 98～110。參閱劉雅茵，《關孝和《括要算法》之內容分析》，國立臺灣師範大學數學系碩士論文，頁 48 ～58。 ~ 29 ~.

(34) 切。94 「剪管術」主要是探討不定分析的問題，出現於關孝和《括要算法》的亨卷中，不定方程早從中國的《孫子算經》中的「物不知數」開始，直到南宋的秦九韶將其集大成，到了明朝程大位的《算法統宗》亦出現孫子歌並廣為流傳。其實關孝和的剪管術與中國算法基本上是相同的，而其剩一術是剪管術的子程序，亦即與秦九韶的大衍求一術的算法程序也是相同的。95 （四）角術所謂的「角術」指的為正多邊形（稱為角形）的邊長a（稱為面），而透過a 求得外接圓半徑 R（角中徑）與內切圓半徑 r（平中徑）之間的過程即稱為角術，關氏主要透過設定 a  1 ，而後分別求得正三角形到正二十邊形的外接圓半徑 R （角中徑）與內切圓半徑 r （平中徑）的多項方程式，我們以正十一邊形為例，關氏發現正十一邊形之外接圓半徑 R 可列出如下的多項方程式：. 1  11R 2  44 R 4  77 R 6  55 R8  11R10  0 而後可解得 R  1.714732766 半弱，有關於關孝和的「角術」在《括要算法》中並沒有給出推導過程，《大成算經》卷十一「角法」中給出其推導方式，這應該也是關孝和的推導方法。透過圓周上的分點與相似關係，關氏可以得到部分關係式，並藉此求出外接圓半徑 R （角中徑）與內切圓半徑 r （平中徑）的多項方程式。96《括要算法》出版之後，許多和算家均對於角術有所研究，如《括要算法第三難角法演段圖抄》（松永良弼，享保二年三月）、《括要算法角法演段圖抄》（松永良弼口授，山路主住校訂）、《括要角術再考》（作者不詳）、《括要算法角術解》（作者不詳）、《括要算法角術演段》（作者不詳）、《括要算法角術演段諺解》（石黑信由著）、《系面演段》（作者不詳），此後，「角術」成為和算中的一個獨特知識領域。97. 94 95 96 97. 參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 110～120。參閱邱佩瑜，《解說《括要算法》亨卷「剪管術」》，HPM 通訊第十三卷第七、八期合刊。參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 149～154。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 98～110。 ~ 30 ~.

(35) （五）圓理關於「圓理」我們從關氏《括要算法》的貞卷亦可窺知一二，其內容主要為探求圓周率、弧長、球體積的幾何知識。圓周率方面關氏沿用村松茂清《算俎》中的「碎抹術」，從正四邊開始並逐次的倍增其邊數來進行割圓，依次得到 2k 邊形的周長 lk ，而後發現. k 趨近於常數，其中  k  lk  lk 1 ，而後利用「增約術」  k 1. 可得   3.14159265359 。98 弧長方面，關氏將招差應用於弧長計算上並藉以構造出牛頓形式的插值多項式： 5. 5. 6. 4. P  h     d  h  p 2    d  h  h 2  4  d  h  h  A  d  2h  h 2  d  h   3. 2. B  d  2h  h 2  d  h   h  h1   C  d  2h  h 2  d  h   h  h1  h  h2   D  d  2h  h 2  d  h  h  h1  h  h2  h  h3   E  d  2h  h 2  d  h  h  h1  h  h2  h  h3  h  h4  ，. 其中P為弧長，h為矢長，d為圓弧直徑， hi 為插值結點。關氏在此公式上雖屬近似公式，但對建部賢弘的影響致深，而其插值方式後世亦稱為「混沌招差法」。99 球體積方面，關孝和將球體分別截成50、100、200片，並分別求得體積為 S50 、 S100 、 S 200 並代入增約術公式可得： V  S100 .  S100  S50  S 200  S100  100  S100  S50    S200  S100 . 最後關孝和的目的是希望能寫出球體體積以正方體體積計算所需乘上的「立圓率」，並算出立圓率為. 98 99 100 101. 355 101 。 678. 參閱劉雅茵，《關孝和《括要算法》之內容分析》，國立臺灣師範大學數學系碩士論文，頁 29。參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 154～155。參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 134。參閱馮立昇，《中日數學關係史》，頁 110～120。 ~ 31 ~.

(36) 五、關流及其數學傳承（一）遺題繼承與算額奉納對於江戶前期的數學而言，在和算流派及家元－免許制度全面建立以前，和算家其實有許多橫向交流的機會，但是流派的產生卻阻隔了其橫向合作的可能性，因而形成了一種直系的數學交流方式，在此種情形下，學術上的競爭就容易出現，也因如此，遺題繼承與算額奉納這類帶有競爭性質的學術互動就成為江戶前期和算實現互動的主要方式。102 遺題繼承的活動開始於吉田光由的《塵劫記》，這樣的活動不但提升了和算家的智力追求層次，同時也在某種程度上促進不同的和算家於不同流派間的學術互動。所謂的遺題，簡單來說就是指“遺留問題的解決和新問題的繼續提出”。這樣的文化主要分為四系，其各系的源頭則分別為：吉田光由、村瀨義益、池田昌意與中村政策，而其中第一系列的遺題開始於吉田光由的《塵劫記》並結束於關孝和的《發微算法》，關孝和在《發微算法》中所使用的天元術對於後續的和算發展則意義非凡，關於這一系列的源流我們以下圖來呈現：. 圓方四卷起（1657 年）. 新編塵劫記（1641）. 厥疑抄答術（1672 年以前）. 算法厥疑抄（1661 年）. 童介抄（1664 年）. 古今算法記（1671 年）. 改算記（1659 年）. 算法至源記（1673 年）. 參兩錄（1653 年）. 102. 算法根源記（1669 年）. 算法直解（1670 年）算法啟蒙集（1670 年）. 參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 151。 ~ 32 ~.

(37) 表Ⅱ.2-1 《塵劫記》遺題源流. 103. 在關氏的《發微算法》中並沒有遵循慣例提出遺題，就此第一系列的遺題告一段落，但這樣的活動並沒有因此而結束，解遺題的歷程促成和算家挑戰「難題」的習慣也因而造就了計算技術的發達。104 遺題發展的同時，將解題方法刻在匾額上奉獻給神社或寺廟的作法也開始盛行，算額的意思即為寫有數學問題的匾額，通常上面都會有“問”、“答”、“術文” 之外，還會給出精緻的幾何圖形和奉納者的基本資料，同時會將匾額懸掛於神社或佛閣的繪馬堂中。105由於和算所獨有的江戶時期藝道的發展模式，算額在發展過程中十分注重美學，且通常其題目看起來複雜，且計算過程數據龐大，但其解卻是漂亮的整數解，這樣的鋪陳主要也是為了突顯解題者的智慧。106. （二）關流江戶時期的數學發展形成了諸多的流派，但流派間沒有形成實質性的區別，只存在代數符號、數學術語上的差異。同一個流派內的數學語言通常是相同的，但不同流派間的數學語言可能就會有差異。數學流派中，以關流代表江戶時期最高的數學水平，基本上我們所謂的和算指的就是關流數學。107 關流開始於關孝和，有關於關孝和的生平請參閱本章節的第二部份Ⅱ.2103 104 105. 106 107. 轉引自烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 152。參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 152。「繪馬」為早期日本因為對神社或寺廟的崇敬因而獻上珍貴的馬匹而來，而逐漸的他們就以劃有馬匹的繪版來代替。所劃的對象也逐漸由馬匹延伸到其他物件。也就是現今所謂的「繪馬」，如下圖。本文及下圖均轉引自洪萬生等，《當數學遇見文化》，頁 185。. 圖Ⅱ.2-2 現今的繪馬參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 158～159。參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 170。 ~ 33 ~.

(38) （一），荒木村英為關孝和的正宗傳人，通常稱為關流的第一代宗統，但有一說法是荒木村英應該是關孝和的同門師兄弟，但此亦不足為奇，因為流派的傳承中有可能是傳師兄弟而非徒弟。至於建部賢弘，雖其數學能力遠在荒木村英之上，但其任職於幕府，深受將軍吉宗重用，大概也無暇顧及關流的日常事物。而松永良弼則因師傳於關孝和的遺稿，因此被視為關流的第二代傳人；另一方面，建部賢弘的高徒中根元圭因在關氏的基礎上師從於建部，因此這條支線就被視為關流的旁系，有關於關流傳承的線索我們呈現如下：108 關孝和. 荒木村英松永良弼. 建部賢弘久流島義太. 中根元圭. 山路主住. 中根彥循. 安島直圓. 幸田親盈. 日下城. 金井兼庭. 內田五觀. 本多立明. 澀川春海. 川北朝鄰林鶴一表Ⅱ.2-2 關流傳承圖. 109. 六、關流的密傳與免許制度和算在江戶時期取得許多優秀的成果，而成果通常都以刊本的方式公開發. 108 109. 參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 174。本圖轉引自烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 174。 ~ 34 ~.

(39) 行，但仍有些數學知識僅止於其流派內弟子學習，外人無法習得，同時傳承的東西中又有密中之密，亦即少數傳人才能學得的數學知識，這樣的傳承方式我們就稱為「密傳」。各流派對於其數學內容通常都會寫於其流派所發放的算學免許狀之中，對於不同水準的學生，所傳之書當然也就有深淺、難易之差。所謂的「免許狀」，事實上為對於學習者所在流派以及學習者在該流派的學習當中所達到數學水平或段位的一種書面證明方式，相當於現在的證照。在關孝和的時代，和算的免許分為「算學許符」與「算學印可」兩段，而松永良弼則將免許改分類為四段，這四段分別為「見題免許」、「隱題免許」、「伏題免許」與「別傳免許」，而山路主住則將免許又改成「見題免許」、「隱題免許」、「伏題免許」、「別傳免許」與「印可免許」五段，同時制訂以「段位」等級表示弟子的學業程度與水平。110有關於免許的內容，由於各時期的免許均有差異，因此筆者在此僅列出帝國學士院所收藏藤田貞資抄寫的關流免許狀目錄：第一見題免許卷首河圖；洛書；三成；大極；四象；大數；小數；諸率；算法草術；加減乘除之法；開除法；九章；平垛解術；圓法玉率及弧矢弦玉欠輪；諸法根源；諸法慎始；統術；點竄；籌策；一算盈朒；之分法；統術解；同秘傳；同目錄之解；單伏點竄；再乘和門；總括；見題蘊奧。. 第二隱題免許太極；全積門；差分門；因積門；勾股門；互換門；形容門；截積門；收約門；雜式門；諸角門；分合；形寫兌換盈縮；勾股變化之門；隱題溫奧。. 第三伏題免許. 110. 參閱烏云其其格，《和算的發生－東方學術的藝道化發展模式》，頁 186～189。及劉雅茵，《關孝和《括要算法》之內容分析》，國立臺灣師範大學數學系碩士論文，頁 30～31。 ~ 35 ~.

(40) 無極；單伏演段；眾伏演段；單伏起術；維乘；兩式演段；方程演段；交離；商一演段；因府；消長又曰加減反復；起率演段；兩義式；潛伏式；造化式；諸角經術；解伏題蘊奧；交式斜乘之解。111 而這三段免許即為本論文所分析的專書《三部抄》，即〈解見題之法〉、〈解隱題之法〉、〈解伏題之法〉的書名，由此可知關流的數學知識基本架構及傳承中的基本內容即為「三部抄」。112. 111 112. 參閱張建偉，《江戶時代的和算流派》，中國天津師範大學碩士論文，頁 23。參閱徐澤林，《和算選粹》，頁 149～154。 ~ 36 ~.

(41) 第Ⅲ章、《三部抄》的內容分析(上) 現在，筆者開始分析《三部抄》的內容，讓其知識結構能夠清楚地呈現出來。《三部抄》的知識結構可分為〈解見題之法〉、〈解隱題之法〉、〈解伏題之法〉三卷。筆者在本章將論述《三部抄》中〈解見題之法〉的部分，而下兩個章節則分別論述〈解隱題之法〉、〈解伏題之法〉二卷。. Ⅲ.1、「解見題之法」之簡介暨內容分析本卷為關孝和的《三部抄》中較為基礎的一卷，所謂的『見』通『現』，顯現的意思，所謂見題，就是以算術方法來求解的簡單問題，而從文本中也可以看出，而在本卷中，主要處理幾何圖形的度量問題。本卷就內容而言主要可分為四個部分：加減第一、分合第二、全乘第三、折乘第四，分別簡述如下： 1. 加減第一：定義加法與減法的驗算意義。 2. 分合第二：說明以符號代表數字的概念，也就是假設未知數的概念，關孝和在此稱為「傍書法」，所謂傍書法即在一條短豎線旁邊寫上文字做為記號來表示數量關係的一種方法，例如：“甲加乙”、“甲減乙”、“甲乘乙”在文本中分別寫成“|甲|乙”、“|甲乙”、“|甲乙”，甲甲甲甲、甲、甲則分別寫成 “ ”、“ 再 ”，“ ”，其中巾是冪(平巾三巾 2. 3. 4. 方)的簡寫，而 3 甲、－12 戊則分別寫成“ 113. 甲 ”、“. 戊 ”，. 而傍書法所表示的數學式子的變化，在「解隱題之法」中出現. 的頻率較高。 3. 全乘第三：討論幾何圖形中「正形」度量的幾何圖形度量計算問題，所謂的正形指的就是長方形(含正方形)、長方體(含正方體)之類的幾何圖形，其面積或體積是由縱、橫、高三者相乘後直接得到而不需再 113. 參閱吳培群，《關孝和》。 ~ 37 ~.