本研究的主要目的是要瞭解國小三至六年級學童數感之概念結構。而 本章節首先描述數感的意義及概念，其次說明數感的內容為世界各國重視 的課題，並進一步說明檢測的模式以及分析的方法，然後整理具體的研究 目的方向，最後提出在研究過程中幾個重要名詞的意義與詮釋。
第一節 研究動機
著名的科學家朗道曾說過一句話：「數學是一切科學的基礎。」數學 的重要性由此可見一斑。但在學習數學的過程中，一定有不少人會發現一 個普遍的現象：有些人學習數學如囊中取物，很容易將所學的數學知識融 會貫通，並適當的應用於正確的時機；有些人在一番苦心學習之後，卻仍 丈二金剛摸不著頭腦。此種現象不禁讓人要問：為什麼？
固然，影響數學學習的因素有許多，但有越來越多的實徵研究證明數 感的缺乏對於數學學習障礙的影響，也有越來越多的研究支持有關數感的 教學活動可以明顯地降低兒童早期階段數學學習的失敗(Griffin, Case, &
Siegler, 1994)。因此，不妨可以就著「數感」此一因素來進行深入的探討。
何謂「數感」(Number sense)？Hope(1989)認為要精確描述數感並不容 易，但當缺乏數感的情況發生時，卻能很容易地察覺。Hope 又認為數感具 有下列的意義：一、數感是對數字本身以及使用與闡述數字的一種感覺；
二、數感是在計算時對於不同正確程度的一種理解；三、數感是用數字去 支持論證的一種普通常識；四、數感是產生合理估算、偵查算術錯誤、選 擇最有效的計算程序以及辨識數字組型的一種能力。美國國家數學教師協 會(National council of Teachers of Mathematics, 簡稱 NCTM)在 1989 年所出 版的 「學校數學課程與評量標準」(Curriculum and Evaluation Standards for
School Mathematics)中提及：數感是對於數字各種意義的直覺(NCTM, 1989, p.39)。而擁有良好數感的兒童則具備：一、對數字意義的充分瞭解；二、
發展數字之間多樣的關係；三、辨識數字的相對大小；四、瞭解運算對數 字的相對影響；五、對於日常環境中一般物件及情況的測量能夠發展適當 的參照(NCTM, 1989, p.38)。
近年來，數感概念在數學教育中逐漸受到國內外數學教育界的重視。
例如由美國國家研究協會(National Research Council)在 1989 年出版的 Everybody Counts 一書中即提到：國小數學的主要目標應該要發展數感。
另外，美國國家數學教師協會(NCTM)於出版品「學校數學課程與評量標 準」(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)中也明確 將數感列入數學教育課程標準之一，並提及：關於數字相關性的直覺，有 助於學童進行數字問題的計算結果以及推測答案之合理性的判斷，而此直 覺性則需要擁有良好的數感(NCTM, 1989, p.38)。而 NCTM 於 2003 年三版 之「學校數學教育原則與標準：總論」(Principles and Standards for School Mathematics: An Overview)則於「數與運算」(Number and Operations)的標 準當中說明：本教育標準的中心即是數感的發展(NCTM, 2003, p.7)；而此 標準有三個教學目標：一、能瞭解數字、數字表徵的方式、數字之間的相 關性以及數系；二、能瞭解運算的意義以及其相關性；三、能流暢地計算 以及進行合理的估算。上述三個目標其實皆涵蓋在數感的內涵之中。
日本算數的教學目標是：使學童透過有關數、量、形的算數活動，體 會基礎算數的知識和技能。而低年級「數」的教學目標即為透過使用具體 物的活動，來豐富學童對數的感覺，因此可見數感培養的重要性。而中高 年級「數」的教學目標之一為知道使用概數的時機以及理解四捨五入，並 使用概數來進行四則運算，此點是涵蓋在數感的內涵之中的。隨著學童擁 有：日常的事象見解、構建的解題脈絡、養成的思考能力，而能注意到算 數活動的樂趣以及數式處理的好處，進而培育學童活學活用的生活態度。
海峽對岸的中國大陸於 2001 年所頒布的「義務教育數學課程標準」
也明確地將數感概念作為數學學習內容之一，這在中國大陸是前所未有 的。「義務教育數學課程標準」(2001)中學習內容強調要發展學生的數感、
符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識、推理能力，而數感擺在首要的 位置，顯示理解數感概念，並讓其在學生的學習數學過程中建立，是此課 程標準非常強調及重視的。同時此課程標準也描述了數感的表現與要求，
包括：一、理解數的意義；二、能用多種方法來表示數；三、能在具體的 情境中把握數的相對大小關係；四、能用數來表達和交流資訊；五、能為 解決問題而選擇適當的演算法；六、能估計運算的結果，並對結果的合理 性作出解釋。透過上述的要求，希望學生能在逐步體驗與發展的過程中建 立數感，並經由每一學段、每一學期的數學教學循序漸進地培養數感。
在台灣，九年一貫數學學習領域的教學總目標也述及國民小學第二階
段(四至五年級)學生能培養流暢的數字感(教育部，2003)。同時，有部分的 能力指標雖未明白提到數感一詞，但卻隱含數感的意義，例如：N-1-01「能 說、讀、聽、寫一萬以內的數，比較其大小，並作位值單位的換算」，N-1-15
「能做兩個同類量的間接比較與個別單位的比較」，皆符合數感「瞭解數 的基本意義」以及「認知數字之大小」的內涵；A-1-03「能在具體情境中，
認識加法的交換律、結合律、乘法的交換律，並運用於簡化計算」，A-1-04
「能理解加減互逆，並運用於驗算與解題」，A-2-01「能在具體情境中，
理解乘法結合律、乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算之性質，並運 用於簡化計算」，A-2-02「能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題」，上 述則符合數感「瞭解運算對數的意義和影響」的內涵；C-R-01「能察覺生 活中與數學相關的情境」，也符合數感「日常生活中的數字使用與測量」
的內涵。
根據上述可以發現目前各國已積極將數感的議題納入課程標準中，由 於數感並非片段概念組成，也非一朝一夕即可養成，而是經由一個連續
的、循序漸進的涵養過程來培養，所以幾乎所有課程標準皆將數感概念明 定為各個教學階段的教學內容之一，希望藉由長期的教學，來發展學童的 數感概念。國內外已有不少學者對於數感教學進行相關研究並提出其論點 (Sowder, 1990；Howden , 1989；Hopkins,1995；Burns, 1997；Trafton &
Hartman, 1997；Schneider & Thompson, 2000；Gurganus, 2004；Thornton &
Tucker, 1989；支毅君，1997；楊德清，2002；侯淑芬，2003；)。但在進 行數感教學之前，首先宜了解兒童之數感概念結構，藉由此概念結構來觀 察目前國小學童之數感發展程度與層次，根據層次才能發展適合學童之數 感教學策略。由於兒童數感的發展在數學教育中是如此被突顯，而數感的 教學又是如此的重要，目前國內的研究結果顯示，針對兒童數感之概念結 構尚雜亂無章，因之需予以統整並進行結構分析，以提供數感教學一有效 的方針，此為當今重要之課題。