數感與評量

對於解決問題、推理、數感以及概念瞭解等各方面，已經逐漸被認為 是學習數學的重要因素，所以評量這些因素的傳統觀點一定要作改變 (Howden, 1989)。評量因此不僅僅是測驗，而是一種持續的、動態的、且 經常是非正式的過程(NCTM, 1989)。故而歷年來，國內外針對數感評量的 相關研究不僅只有紙筆測驗，同時包含有晤談方式以及電腦施測等，茲分 述如下：

一、紙筆測驗

Reys & Yang(1998) 研究台灣國小六年級學生及國中二年級學生之筆 算能力與數感表現之相關性。研究者設計一份 20 題的計算題以測驗學生 的筆算能力，另外設計一份40 題的數感測驗題，而數感測驗題的前 20 題 是與筆算測驗題的題目平行的，即使用相同的數字，但不同之測驗型態，

藉此測驗學生是否有能力應用不同的數感概念來回答相同的計算問題。研 究結果顯示學生的筆算平均成績顯著地優於數感概念測驗題的平行問題 之平均成績，因此，具有良好的計算技巧並不一定表示其數感概念的發展 也較好。

Reys, Reys, McIntosh, Emanuelsson, Johansson, & Yang(1999)針對數感 此一議題進行一項跨國性的研究，參與研究的國家有澳洲、瑞典、台灣以 及美國。研究者根據McIntosh, Reys & Reys(1992)發展的六個數感架構，

設計不同形式的數感測驗題目以適合於群體測驗和適用於此四個國家的 不同年齡層的學童，測驗題數從30 至 45 題不等，而學生被要求每一測驗 題均不超過 30 秒的時間，同時將答案直接寫在測驗紙上，總測驗時間約 30 分鐘。此研究的目的並非比較國與國之間的學生其數感成就孰優孰劣，

而是在於瞭解學生的數感發展情況以進一步發展數感題庫與課程，藉以幫 助學生建立更好的數感概念。

二、晤談方式

楊德清(2001)採用訪談策略(interview technique)來探究 21 位國小六年 級學生回答數字大小(包括數字稠密度、比較分數大小、及排序分數與小數) 問題時之解題能力，藉此幫助教師瞭解學生所遭遇的困難，以利其設計數 感教學活動，並提供課程設計者設計相關課程時之參考。研究者設計之訪 談工具包含 3 個問題：(一)檢測兩小數之間包含無限多小數之認知；(二) 分析國小六年級學生對兩小數之間具無限多之分數概念的理解；(三)檢驗 學生對兩分數之間具無限多之分數的認知能力。研究結果顯示：訪談對象 在回答訪談問題時鮮少使用具數字意義的方法，大多數學童傾向使用傳統 算則的方式，如此一來則侷限了兒童思考與推理的能力。而低、中程度的 學生則幾乎不具數感的特徵 — 瞭解數字基本的意義與比較數字大小的 能力。

林勇吉、楊德清(2003)在探究電算器教學活動是否對國小五年級學生 數感能力的發展有正面的影響。為了瞭解樣本在研究中的主觀想法與行為 的意義，研究者採用質性研究中的個案研究方法，對其進行深度訪談，藉 以充分闡釋個案的語言、行為，來瞭解個案在教學活動前後所發生的變 化。而其訪談分成三部分：

(一)教學前訪談：

採半結構晤談法，目的在於探究兒童所具備或缺乏的數感能力。

(二)教學中訪談：

研究者根據教學前的訪談結果，對個案所缺乏的數感能力進行電算器 教學活動，以幫助他學習數感能力。

(三)教學後訪談：

亦採半結構晤談法，在教學二個月後，再度對個案進行訪談，用以確 認個案是否從教學中學習到數感能力。研究結果發現以電算器教學活動培 養數感能力對於該個案學生是有助益的。

Ghazali, Rahman, Ismail, Idros, & Salleh(2003)發展一個數感架構來評 量馬來西亞的國小學童之數感程度。此評量架構包含四個數感組成元素：

數數、加法和減法、乘法和除法以及位值的概念。與其它的評量架構比較，

本架構強調敘述在此四個組成元素中學生的解題策略為何。經由重複的訪 談然後再精製評量架構的過程，研究者要試著調整訪談的進行方式，例如 處理學生害羞不敢回答的情況或問問題的技巧等，同時修正不適宜的技 術，例如具體物的提供反而限制學生回答策略的方式。最後定案的數感架 構則用來訪談108 位國小一、二、三年級的學生之數感概念。訪談結果歸 納學生在四個組成元素的解題技巧有三個層次，分別是萌芽期(emergent)、

發展期(beginning)、勝任期(competent)。萌芽期(emergent)的學生可能無法 給 予 答 案 或 回 答 錯 誤 或 使 用 不 純 熟 的技 巧 來 進 行 數 學 解 題 ； 發 展 期 (beginning)的學生表現出試著經過思考來解題，但卻不是非常經熟的；而 勝任期(competent)的學生則充分表現精熟的策略來進行數學解題。藉由此 評量架構來進行訪談，研究者希望能進一步探討學生運算能力的不同層 次，藉以改進教學並增進學生的數感能力。

三、電腦施測

Pike & Forrester(1997)根據心算、數字大小關係的理解以及察覺和使用 數字關係的能力三個面向來探討兒童數感能力，針對六至十一歲學童進行 七個月的研究，全部的課業測驗皆使用電腦來進行，所有資料直接被電腦 紀錄以利分析。結果顯示：學童的心算能力與數字大小關係的理解和察覺 及使用數字關係的能力兩者有高度相關，而後二者卻無顯著相關，意即數 字大小關係的理解和察覺及使用數字關係的能力有可能是學童心算能力 的組成元素，其發展程度會影響學童心算能力的發展程度。

許清陽(2000)利用電腦網際網路線上測驗，編製標準化之「國小高年 級學童數字常識評定量表」，以此量表調查高年級學童數感的發展情形。

此評定量表共分為五個組成成份：(一)瞭解數字意義和關係的能力；(二)

辨認數字大小的能力；(三)瞭解運算對數字的意義和影響的能力；(四)發展 計算策略與判斷答案合理性的能力；(五)以多重方式表徵數字的能力。而 其信度考驗，建立了各分量表及總量表的內部一致性信度和重測信度；效 度方面，則建立內容效度、專家效度及建構效度。研究結果顯示：「國小 高年級學童數字常識評定量表」具有不錯之信、效度。透過此評定量表發 現：國小高年級學童在整體數感的發展上普遍偏低。而國小高年級不同性 別之男女學童在發展計算策略與判斷答案合理性的能力和以多重方式表 徵數字的能力這兩個向度上，男女差異達顯著水準，但其平均數差異都很 小，因此是否有實質的應用價值仍有待後續研究。另外，在實施數學科建 構式教學新課程和傳統教學舊課程之高年級學童在數感各組成成分發展 上具有顯著性差異，即表示，國小高年級學童實施數學科建構式教學比傳 統教學在數感上有較好的發展。

林素微(2002)定義數感為情境中數的覺知與推理，依據此定義，研發 出電腦化數感動態評量系統，其動態提示系統運作適性而有效，整個動態 評量系統對於學生具有協助與區辨的效益。在真實化克漏字式的數學問題 情境中，558 位高年級學生必須針對多個未知數量進行合理值的選擇和判 準。研究結果顯示：32%左右的學生屬於數感表現水準一，這群學生對於 日常生活中習見、而未知數量資訊不太複雜的情境表現程度不錯，但對於 較不習見且運作較複雜的情境掌握度則仍待加強。36%左右的學生屬於表 現水準二。僅有17%的學生具有全面普遍高度精熟的表現。整體而言，六 年級學生的數感表現比五年級學生來得好，其表現顯得又快又準確，顯示 學童的數感會隨著數的處理與學習經驗的增加而提昇；城市地區的學生數 感表現比鄉鎮學生略佳，主要差異在於鄉鎮地區的學生數感表現薄弱的人 數比率較高；而女生的數感表現比男生好，且其差異幅度隨著難度層次的 提昇而有小幅增加。採取數感動態評量的方式，在有效的介入之下，學生 即可從中得到學習，藉由此評量過程，學生得以促發其數感概念並加以提

昇。

張文宜(2004)針對數感的「比例判準」、「生活心算」及「基準量應用」

三個內涵層面，以真實情境為素材，創新的操作題型及多媒體融入來發展 電腦化多元題型測驗，而本測驗以四、五、六年級共 1240 位學生當作常 模進行測驗。研究顯示：六年級數感表現最佳，五年級次之，四年級較為 薄弱，顯示學生數感表現會隨著年級的提升而有顯著的進步；女生的數感 表現略為優於男生；城市與鄉村地區學生數感的表現，四年級的差異並不 明顯，而在城市地區的五、六年級學生其數感表現明顯優於鄉村地區的學 生；至於資優學生的數感表現則明顯優於常模學生。

由上述之文獻分析，可以發現數感評量由初期的傳統紙筆測驗以及晤 談方式，演變至今的電腦施測評量。誠然由於科技的日新月異，電腦於各 方面之使用已越來越普及，因此，由電腦來實施評量儼然已成為趨勢，同 時也是最為便捷的方式之一。