第一章 緒論
第一節 研究動機
第一章 緒論
第一節 研究動機
「列聯表（contingency table）」主要用來呈現類別資料，將觀察對象或事件 發生的兩種因果表現，以數字單位表示發生的次數，分別將之排放成雙向交叉的 一種統計表，其中最簡單的形式就是 2×2 的二維交叉表。解讀列聯表的過程就像 是處於問題解決的情境般（Godino ＆ Batanero,1998），需要兼具多重的數學能力 才有辦法去完成。而解決問題的能力也是各國教育中期待學生在經過學校數學教 育後能習得的關鍵能力之一。我國九年一貫數學領域課程綱要（教育部，2007）
中就曾具體指出，希望學生在學習數學後能解決日常生活中的問題，更進一步能 在不熟悉的情境下，能懂得如何去尋求問題解決的途徑，達到解決問題的最終目 的。德國就將列聯表列入國民小學的數學教育課程中，Reiss, Barchfeld, Lindmeier, Sodian 和 Ufer（2011）的研究更指出列聯表的解讀雖然對國小學童而言是困難的，
但是仍有許多國小學童是有能力成功解讀列聯表的。
成功解讀列聯表所需要的數學能力，許多學者抱持著不同的見解。Batanero, Godino, Vallecillos, Green 和 Holms (1994) 指 出 比 率 （ proportionality ） 與 機 率
（probability）的數學概念會影響列聯表的解讀；Batanero, Estepa, Godino 和Green (1996)的研究說明了列聯表內含了機率和比率推理（proportional reasoning）的數 學概念；Godino 和Batanero（1998）提出次數（frequencies）、比例（ratios）與 總數（totals）是成功解讀列聯表重要的數學概念；Reiss, Barchfeld, Lindmeier, Sodian 和Ufer（2011）更針對國小二、四、六年級的學童，利用個別晤談的方式 來進一步理解學童對於列聯表的認知，並指出成功解讀列聯表需要的數學概念之 一就是抽樣（sampling）。 從上述學者們的研究中可以得知，成功解讀列聯表的 數學概念除了要具備基礎的數學運算能力及比率推理的概念外，更與統計學中的
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機率概念有著密不可分的關係。
然而學童們解讀資料的能力、比率推理與機率等數學概念究竟是從何時開始 發展的呢？根據國際學者們的相關研究顯示低年級學童（甚至是學齡前的兒童）， 早就已經具備了基本解讀資料的能力了，學（兒）童能根據資料形成基本的假設，
並根據假設預測未來事件可能的發生結果（Koerber, Sodian, Thoermer & Nett, 2005；Ruffman, Perner, Olson & Doherty, 1993)。Tourniaire (1986) 就曾針對國小 三、四、五年級的學生進行比率推理的研究，發現三年級的學童已經能解決簡單 的比率推理問題，更建議可以朝更低年級的學童去進行研究與了解。Bar（1987）
在研究國小學童在比率推理能力的發展時，也發現學齡前的兒童是有辦法去解決 某些簡單的比率問題的。而在機率概念上的發展，Yost、Siegel 和 Andrews（1962）
的研究結果就指出在適當的條件下， 4、5 歲的孩子是具有機率概念的。Falk、
Falk 與 Levin (1980) 的研究結果也建議可以在學校教育中讓國小一年級學童 開始進行機率概念的學習。Andrew (2009)更提出在小學機率教學時，可以透過與 日常生活相關的實驗操作，將使得學童能立即的了解機率概念。HodnikČadež 與 Škrbec(2011)的研究結果也顯示，學齡前的學童已具備有初步的機率概念。
美國數學教師學會（national council of teachers of mathematics, 以下簡稱 NCTM）所發表的「學校數學教學的原則與標準」（principle and standards for school mathematics）中，「資料分析與機率」（data analysis & probability）就已針對學齡 前兒童（幼稚園兒童）開始到十二年級學生，設計了一連串與生活相關的統計相 關課程，其中期待學齡前到二年級的學童在能發展及評估推理，並針對資料來進 行預測的目的中，能針對學生經驗中，有可能或不可能發生的事件來進行討論；
且在「數與操作」（number and operations）的課程設計上，也期待六到八年級的 學童能了解並使用比例與比率來表示數量關係。紐西蘭教育部所公布的數學與統 計學習領域（the mathematics and statistics learning area of The New Zealand Curriculum）中也將統計課程（statistics）的學習從小學一年級就開始扎根，機率
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的概念也從二年級開始進行課程的學習；而在數與代數（number and algebra）中，
也期待學童在八年級後（by the end of year eight），能靈活將乘法策略應用在整數、
比例與等值分數上。我國九年一貫課程現階段數學領域的課程設計中，也有「統 計與機率」課程的設計，在小學階段的相關學習主要著重在物體的計數與劃記，
即數與量的計算，與統計圖表上的認識；真正與機率相關的課程學習主要是安排 在九年級（國中三年級），一開始就從各種統計量的認識進入課程，較是以理論 的觀點來認識統計與機率。此外，我國也將比率上的教學安排在國小的高年級
（N-3-14 能認識比率及其在生活中的應用）。因此，可以發現世界各國為配合學 童的認知發展，紛紛都將機率與比率推理課程的相關概念逐步地列入正規化的課 程教學中。
相較於國際上，已有部分學者將列聯表視為是數學教育研究的一個議題，持 續關注學童在列聯表上的認知與發展。而國內學術研究則似乎多將與列聯表有關 的研究集中在統計分析的功能上，將列聯表視為是統計分析的工具，例如交叉列 聯表分析、卡方考驗的列聯表分析等，將列聯表視為主題來進行研究的議題在國 內仍處於起步的階段。而機率與比率推理概念上的相關研究則發展的較早。在九 年一貫課程改革之前，蘇國樑（1995）就曾針對國小一、二年級學童，利用晤談 的方式來了解學童們對於機率與比例概念，結果發現一年級學童幾乎毫無機率概 念，甚至是二年級學童也無比例概念，更別說有比率的概念了，此結果與國際相 關議題上的研究結論有著明顯的落差。而九年一貫課程實施後，學童在相關概念 的認知現況也有待進一步的探討。此外，回顧屢次在 TIMSS 和 PISA 等國際性的 數學評比中，我國學生雖然有不錯的成績表現，但依據周玉秀（2006）的研究結 果顯示，我國學童在 2003 年國際學生評鑑計畫（PISA）的數學評比中，發現學 生在機率主題上的得分最為低落。教育的目的無非是希望在已知學童既有的基礎 下，經過有系統的課程設計，而達到有效率的學習。因此在探討學童認知發展的 過程中，學童尚未接受過相關正規教育前的認知發展，是許多研究者矚目的研究
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議題之一。透過這些研究結果，也可以用來評量學童在經過學校正規教育後的認 知發展，進一步檢視教育的成效。
故基於上述各種因素，加上目前國內在列聯表相關研究上仍處於成長階段，
尚無一標準化的試題可以參考，因此本研究擬綜合國際相關研究文獻的建議與結 果，以自編的方式來進行相關評量工具的研發。將影響列聯表解題的數學概念分 為比率推理與機率，並依比率推理、機率與列聯表三個概念分別研發個別的分測 驗。在研究變項的選擇上，HodnikČadež 與 Škrbec(2011)曾針對 4、5 歲與國小 一至三年級的學童，進行學童機率概念的瞭解，並以性別與年齡去進行分析，結 果指出學童對於機率概念的認知是會隨著年齡的增加而有所提升，而性別並沒有 顯著影響學童機率上的發展。但在 Bart, Kamal 和 Lane(1987)的研究中卻發現學童 比率推理的概念會顯著的受到年級和性別的影響。在許多研究中常指出當男女生 的性別出現差異時，男生往往在較高層次的數學認知上有優於女生的表現，因此 在本研究仍將針對性別視為是考量的重點變項之一。由於本研究嘗試以學童較少 接觸的題型作為施測的試題，需要有適度的文字說明來加強學童對試題的了解，
因此本研究將研究對象設定在已有基礎閱讀能力的二年級學童，再向上延伸至六 年級學童，希望能全面性的了解學童在解讀列聯上資料上相關概念認知上的發展，
並透過個案晤談進一步了解學童的解題策略。